第一讲 实数

代数部分第一章：实数基础知识点： 一、实数1、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数2、非负数：正实数与零的统称。

（表为：x ≥0） 常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

4、无理数：初中遇到的无理数有四种：（1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等5、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0 （3）互为相反数的两个数在距原点距离相等的原点两侧（4）互为相反数的两个数的商为-1实数与它的相反数时一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；反之亦成立。

倒数等0实数 负数整数 分数 无理数有理数正数整数分数无理数 有理数│a │ 2a a (a ≥0)(a 为一切实数)于本身的数是1和-1（3）注意0没有倒数，（4）若实数a ＞1，则a1＜1，若实数0＜a ＜1，则a1＞1 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0＜,0,00＞,a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

第一章 数与式 第一讲 实数【基础知识回顾】一、实数的分类：1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。

如：2π是 数，不是 数， 722是 数，不是 数。

2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。

2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。

a =因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。

【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。

1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。

其中a 的取值范围是 。

2、近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。

【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。

2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】 四、数的开方。

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪⎨ ⎧ 正无理数无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数（a ＞0）（a ＜0） 0 （a=0）1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。

第一章 数与式课题：第一讲 实数的有关概念【考点聚焦】考点一、有理数、无理数、实数的相关概念（核心考点）1、_______统称为有理数。

______________叫做无理数。

无理数的四种表示形式：__________________ ____________________.(举例说明)。

2、___________统称为实数。

实数的分类： ①按定义分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧分数⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫ 有限小数或无限循环小数无理数⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环小数②按正负分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧ 正无理数负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负无理数[注意](1)任何分数都是有理数，如227，－311等； (2)0既不是正数，也不是负数，但0是自然数。

3、实数当中相反数、倒数、绝对值的意义（1）相反数：a 的相反数是______;若a ，b 互为相反数，则a+b=_____；0的相反数是______，a-b 的相反数是_______。

（2）倒数：①定义：乘积为_____的两个数互为倒数。

因为___不能作除数,所以____没有倒数。

②表示：a 的倒数为_____（a ≠0）③性质：倒数等于它本身的数是________。

（3）绝对值：①几何意义是：数轴上表示数a 的点与原点的________，叫做数a 的______，记作____。

②代数意义是： ____ ( ) |a |＝ ____ ( ) ____ ( )③绝对值等于它本身的数是__________。

4、实数和数轴上点的对应关系①数轴：规定了________、________和__________的直线，叫做数轴。

②实数和数轴上的点是___________的，即每一个实数都可以用数轴上的一个_____来表示；反之，数轴上的每一个______都可以用一个________来表示。

考点二、近似数与科学记数法5、科学记数法：把一个数写成____________ (其中1≤|a |＜10，n 为整数)的形式．设这个数为m ，①当|m |≥10时，n 等于原数的整数位数减1.②当|m |≤1时，|n |等于原数最左边非零数字前所有零的个数．6、近似数：一个近似数__________到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位．有计数单位的近似数，由近似数的位数和后面的单位共同确定．如3.618万，数字8实际上是十位上的数字，即精确到十位．考点三、非负数7、非负数非负数的概念：______和_____叫做非负数。

第1讲-实数1．算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记为a ，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根． 开平方：求一个数a 的平方根的运算，平方与开平方互为逆运算．例如，（±3）2＝9，所以 的平方根是 ，9的算术平方根是 ．2．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作x ＝3a ．开立方：求一个数a 的立方根的运算，开立方与立方互为逆运算．例如，43＝64，所以64的立方根是 ．3．无理数：无限不循环小数． 4．实数：有理数和无理数统称实数．实数⎩⎪⎨⎪⎧ 有理数⎩⎨⎧整数分数→有限小数或无限______小数无理数→无限______小数实数与数轴上的点一一对应．如图，能在数轴上找到表示－3，2，π，…的点．5．有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数． 有理数的运算法则及运算性质等同样适用．例如，－π的相反数是 ，|－3|＝ ．1~20的平方，你知道吗？1~10的立方数【实数的相关概念】6．求下列各数的算术平方根及平方根．7．（1）4表示4的 ，所以4＝ ，±16表示16的 ，所以±16＝ ；（2）49的平方根是 ，5的算术平方根是 ，16的平方根是 ；（3）已知x －1是36的算术平方根，则x ＝ ；（4）如果正数m 的平方根为x ＋1和x －3，则m 的值是 ； （5）已知2a －1的算术平方根是3，3a ＋b －1的算术平方根是4，求a ，b 的值．8．（1）8的立方根是 ，3－1000＝ ，－13是 的立方根；（2）—8的立方根是 ，64的立方根是 ．9．（1）算术平方根是本身的数是 ； （2）平方根等于本身的数是 ；（3）一个数的立方根是它本身，则这个数是 ．10．把下列各数填入相应的大括号里．π，2，－12，|－2|，2.3•，30%，4，2.121121112…，3－8①有理数集：{ …} ②无理数集：{ …} ③实 数 集：{ …}【实数的相关运算】 11．求下列各式的值： （1）214； （2）－0.25； （3）(－3)2；（4）3(－2)3； （5）327125； （6）144＋3(－8)．12．计算：（1）35－27＋5＋37； （2）32－|2－3|； （3）5×（5－15）．13．若x 2＝9，则x ＝ ，若25x 2＝9，则x ＝ ，若x 3＝27，则x ＝ ，若（x －1）2＝16，则x ＝ ． 14．求下列各式中x 的值： （1）25x 2－36＝0； （2）（1－2x ）2＝81；（3）13x 3－9＝0；（4）15（x ＋1）3－25＝0．15．在－2，4，2，3.14，3－27，π5这6个数中，无理数共有（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 16．2－1的相反数是（ ）．A ．－2－1B ．2＋1C ．1＋ 2D ．1－ 217．下列说法不正确的是（ ）．A ．125的平方根是±15B ．－9是81的一个平方根C ．0.2的算术平方根是0.04D ．－27的立方根是－318．9的算术平方根是（ ）．A ．3B ． 3C ．±3D ．±319．一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是 ．【算术平方根的双重非负性、实数的估算及比较大小】20．（1）若2x＋1＋|y＋3|＝0，则x＝，y＝；（2）已知（a＋2）2＋|b－3|＝0，则2b＋3a＝．21．（1）估计11的值在（）．A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间（2）下列整数中，最接近90的是（）．A．6 B．7 C．8 D．9 22．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数5对应的点是（）．A．A B．B C．CD．D23．已知3≈1.732，300≈17.32，30000≈173.2，…（1）0.03≈，0.0003≈；（2）37≈1.912，37000≈；你发现了什么规律？24．阅读下列材料，解答问题：∵2＜7＜3，∴7的整数部分为2，小数部分为7－2．请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果12的整数部分为a，12的小数部分为b，求：a，b和b（a＋b）的值．25．若17的整数部分是x ，小数部分是y ，则x ＋yx ＝ ．26．研究下列算式，你会发现有什么规律？1×3＋1＝4＝2；2×4＋1＝9＝3；3×5＋1＝16＝4； 4×6＋1＝25＝5；…请你找出规律，并用公式表示出来．第1讲-参考答案1．9，±3，32．44．循环，不循环5．π， 36．7．（（3）37；（4）4；（5）解：依题意得：2a －1＝32，a ＝5，3×5＋b －1＝42，b ＝2．8．（1）2；－10；－127；（2）－2；4． 9．（1）1，0；（2）0；（3）±1，0．10．①有理数集：{2，－12，2.3•，30%，4，3－8…}②无理数集：{π，|－2|，2.121121112…}③实数集：{π，2，－12，|－2|，2.3•，30%，4，2.121121112…，3－8}11．（1）32；（2）－0.5； （3）3； （4）－2；（5）35；（6）10． 12．（1）45＋7；（2）42－3；（3）4．13．±3，±35，3，5或－3．14．（1）x ＝±65；（2）x 1＝－4或x 2＝5；（3）x ＝3；（4）x ＝4． 15．C16．D 17．C 18．B 19．±820．（1）－12，－3；（2）0．21．（1）C ；（2）D22．C23．（1）0.1732，0.01732；（2）19.1224．a＝3，b＝12－3，b（a＋b）＝12－31225．17 426．第n项：n(n＋2)＋1＝n＋1．。

重点考点例析考点一：无理数的识别。

例1 （2012•六盘水）实数312,,,8,cos 45,0.323o &&中是无理数的个数有（ ）个．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。

对应训练1．（2012•盐城）下面四个实数中，是无理数的为（ ）A ．0B ．3C ．﹣2D ．27考点二、实数的有关概念。

例2 （2012•乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（ ）A ．﹣500元B ． ﹣237元C ． 237元D ． 500元点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．例3 （2012•遵义）﹣（﹣2）的值是（ ）A ．﹣2B ． 2C ． ±2D ． 4点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．例4 （2012•扬州）﹣3的绝对值是（ ）A ．3B ． ﹣3C ． ﹣3D ．点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．例5 （2012•黄石）13-的倒数是（ ） A ．13 B ． 3 C ． ﹣3 D ．13- 点评： 此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．例6 （2012•怀化）64的立方根是（ ）A ．4B ． ±4C ． 8D ． ±8点评： 此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．例7 （2012•荆门）若29x y -+与|3|x y --互为相反数，则x+y 的值为（ ）A ．3B ． 9C ． 12D ． 27点评： 本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．对应训练2．（2012•丽水）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ）A ．﹣3℃B ． ﹣2℃C ． +3℃D ． +2℃3．（2012•张家界）﹣2012的相反数是（ ）A ．﹣2012B ． 2012C ．12012-D ．120124．（2012•铜仁地区）|﹣2012|= ．5．（2012•常德）若a 与5互为倒数，则a=（ ）A ．15 B ． 5 C ． ﹣5 D ．156．（2011•株洲）8的立方根是（ ）A ．2B ． ﹣2C ． 3D ． 4 7．（2012•广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+=0，则（）2012的值是 ．考点三、实数与数轴。

第一章 数与式第一讲 实数【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。

如：2π是 数，不是 数， 722是 数，不是 数。

2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。

2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。

a =因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。

【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数和有效数字。

1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。

其中a 的取值范围是 。

2、近似数和有效数字：⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。

【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。