第一节 实数的相关概念

八年级数学实数知识点八年级数学是学生们数学学习中的一个阶段，涉及到很多实用的数学知识和技能。

其中实数是一个重要的知识点。

实数是指所有的有理数和无理数的集合，是数学中的基本概念之一。

下面我们来详细了解一下八年级数学实数知识点。

一、实数概念实数是指所有的有理数和无理数的集合。

其中有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数是不能表示为有限小数或者分数的数。

实数在数学中具有很重要的地位，它们包含了我们所熟知的所有数，并且提供了基本的数学运算法则。

二、实数基本运算法则实数基本运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

这些运算法则在实数中是适用的，可以通过这些法则来进行数学计算。

实数加、减法可以通过数轴的正负进行研究，而乘法和除法则需要注意除数不能为零。

三、实数绝对值实数的绝对值是这个数到原点的距离，绝对值是一个非负数。

正数的绝对值与它本身相等，负数的绝对值是它本身的相反数。

绝对值有很多应用，如求解不等式、导数的定义等。

四、实数的比较实数的比较需要注意大小关系，可以通过大小比较符号进行判断。

对于任意两个实数a和b，如果a<b，则称a小于b；如果a>b，则称a大于b；如果a=b，则称a等于b。

五、实数的分类实数可以根据有理数和无理数进行分类，有理数包括整数、分数和小数，而无理数则包括无限不循环小数和代数无理数。

有理数和无理数在数学中都有重要的应用，如证明勾股定理等。

六、实数的近似实数的近似是指通过一定的方法将复杂的数进行简化，以便于计算。

常见的近似方法包括四舍五入、截断和近似成一定的形式等。

近似方法在实际运用中很常见，如测量长度和面积、统计数据等。

总之，实数在八年级数学中是一个非常重要的知识点。

了解实数的概念、基本运算法则、绝对值、比较、分类和近似方法可以帮助我们更好地掌握数学相关知识，提高数学应用能力。

在学习实数这一知识点时，要注意理解概念，掌握方法，提高思维能力，才能在数学学习中获得更多的收益。

《数学分析》研究的基本对象是定义在“实数集”上的函数，为此，我们要先学习一些实数理论，然后学习函数论，最后学习极限论！第一节 实数、数集、确界 一. 实数及其性质：1. (,0)p p q q q⎧⎧≠⎨⎪⎨⎩⎪⎩正分数有理数：为整数且或有限十进小数和无限十进循环小数实数负分数无理数：无限十进不循环小数[问题] 有理数，无理数的表示不统一，对统一讨论实数是不利的，为了讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：在此规定下，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示，并且衍生出两个概念：对于正实数012n x a a a a = ，有理数012n n x a a a a = 称为实数x 的n 位不足近似；而有理数01211(1)10n n n n n x a a a a a x -=+=+称为实数x 的n 位过剩近似 对于负实数012n x a a a a =- ，有理数01201211(1)10n n n n n x a a a a a a a a a -=--=-+ 称为实数x 的n 位不足近似；而有理数01n n x a a a =- 称为实数x 的n 位过剩近似 规定：零的n 位不足近似为110n -，零的n 位过剩近似为110n 从而： 实数x 的n 位不足近似n x 单调增加：012n x x x x x ≤≤≤≤< ⇒n x 收敛于x实数x 的n 位过剩近似n x 单调减少：012n x x x x x ≥≥≥≥> ⇒n x 收敛于x2. 实数大小的比较：首先规定：正实数>零>负实数无限小数法比较：设01n x a a a = 、01n y b b b = 均为正实数，其中00,a b 为非负整数，k a ，k b (1,2,)k = 为整数且09,09k k a b ≤≤≤≤，若有,0,1,2,k k a b k == ，则称x 与y 相等，记为：x y =；若00a b <或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l == 且11l l a b ++<，则称x 小于y ，记为：x y <；对于负实数x 、y ，按上述规定分别比较,x y --即可有限小数法比较：设01n x a a a = 、01n y b b b = 为两个实数，则：x y <⇔存在非负整数n ，使得n n x y <，其中n x 为x 的n 位过剩近似，n y 为y 的n 位不足近似例：设,x y为实x y <，求证：存在有理数r ，满足x r y <<3. 实数集{}|R x x =为实数的性质：封闭性：任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数 有序性：任意两个实数a b ，必满足a b a b a b <=>，，之一 传递性：若a b b c <<，，则a c <阿基米德性：,a b R ∀∈且0b a >>，则必n N +∃∈使得na b >稠密性：任意两个不相等的实数之间总有另一个实数，且既有有理数也有无理数 对应性：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系二. 绝对值：分析论证的基本工具1. 绝对值的定义：实数a 的绝对值,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩2. 绝对值的几何意义：数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离，从而||x a - 表示点x 与点a 的距离3. 绝对值的性质：0a b R δ∀∈>，，，则有：||||0a a =-≥，并且||00a a =⇔=||||a a a -≤≤；||||||ab a b =⋅；||||a ab b =（0b ≠） ||a a δδδ<⇔-<<；||a a δδδ≤⇔-≤≤ ||a a δδ>⇔>或a δ<-；||a a δδ≥⇔≥或a δ≤-||||||||||a b a b a b -≤±≤+{}max ,22a b a b a b -+=+ {}min ,22a ba b a b -+=- 三. 区间与邻域：1. 区间、闭区间套、分割以及分割的模：✧ {}{}{}{}{}{}{}{}{}(,)|[,]|[,)|(,]|[,)|(,]|(,)|(,)|(,)|a b x a x b x R a b x a x b x R a b x a x b x R a b x a x b x R a x x a x R a x x a x R a x x a x Ra x x a x R x x R ⎧⎧⎪=<<∈⎪⎪=≤≤∈⎨⎪=≤<∈⎧⎪⎪⎨⎪=<≤∈⎪⎩⎩⎨+∞=≥∈⎧⎪-∞=≤∈⎪⎪+∞=>∈⎨⎪-∞=<∈⎪⎪-∞+∞=∈⎩开区间，有限区间闭区间，闭开区间，半开半闭区间开闭区间，区间，，无限区间，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩，,a b R ∈且a b <✧ 闭区间套：如果闭区间列{}[,],1,2,3,n n a b n = 满足：1) 1122[,][,][,]n n a b a b a b ⊃⊃⊃⊃ 亦即123321n n a a a a b b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ 2)lim()0n n n b a →∞-=亦即当∞→n 时区间[,]n n a b 的长度趋于零则称闭区间列{}[,],1,2,3,n n a b n = 是一个递缩闭区间套，简称为闭区间套。

第一章 数与式第⼀节 实数考点⼀：实数的分类与实数的有关概念<实数的分类>实数：是有理数和⽆理数的总称。

定义为与数轴上的点相对应的数。

有理数：整数和分数统称为有理数整数：正整数、零和负整数统称为整数正数：⼤于零的数，正数前⾯可以放上正号“+”来表⽰（常省略不写）负数：⼩于零的数，⽤⼤于零的数前⾯放上负号“-”来表⽰0既不是正数也不是负数分数：正分数、负分数统称为分数⽆理数：⽆限不循环⼩数叫⽆理数。

即⾮有理数之实数，不能写作两整数之⽐。

若将它写成⼩数形式，⼩数点之后的数字有⽆限多个，并且不会循环。

常见的⽆理数有⼤部分的平⽅根、π等。

<数轴、相反数、绝对值、倒数>数轴：规定了原点、单位长度和正⽅向的直线叫做数轴。

任何⼀个有理数都可以在数轴上表⽰。

相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中⼀个数为另⼀个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

零的相反数是零。

数轴上，表⽰互为相反数（零除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

绝对值：把⼀个数载数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

⼀个正数的绝对值是它本⾝；⼀个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

在数轴上表⽰的两个数，右边的数总⽐左边的数⼤。

倒数：如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。

注意：1.零没有倒数2.求分数的倒数，就是把分数的分⼦分母颠倒位置。

⼀个带分数要先化成假分数。

3.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

⾃然数⽆理数实数<平⽅根、算术平⽅根、⽴⽅根>平⽅根：⼀般地如果⼀个数的平⽅等于a,那么这个数叫做a的平⽅根,也叫a的⼆次⽅根.⼀个正数有正负两个平⽅根，它们互为相反数；0的平⽅根是0；负数没有平⽅根。

开平⽅：求⼀个数的平⽅根的运算叫做开平⽅。

开平⽅是平⽅运算的逆运算，因此，可以运⽤平⽅运算求⼀个数的平⽅根。

算数平⽅根：正数的正平⽅根称为算数平⽅根。

第一章数与式第一节实数的相关概念一、教学目标：1．理解实数的有关概念，掌握实数的运算性质，知道实数自身的体系分类；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义，掌握科学记数法。

2.强化基本运算，培养数感，形成理性的思维．3.培养计算策略的选择和能力的提高．加强建立数学模型解题的能力．二、教学重难点重点:会求一个数的绝对值、倒数、相反数；注意近似数与有效数字的选取方法以及科学计数法的表示方法。

难点：实数运算性质的掌握与灵活应用三、学情分析掌握实数的运算性质，知道实数自身的体系分类；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义，掌握科学记数法。

强化基本运算，培养数感，形成理性的思维。

四、教学手段及运用多媒体课件。

运用多媒体课件让学生更容易观察理解五、教学方法运用复习知识，教师讲解；学生练习。

六、教学过程（一）知识复习考点一实数及其分类1. 有理数：①______和②______统称为有理数.2. 无理数：无限③_________小数叫做无理数.失分点1 无理数的判定判定一个数是不是无理数关键在于不同形式表示的数最终结果是不是无限不循环小数.在判定无理数时应注意：（1）用根号表示的数不一定就是无理数，如④_____、⑤______等；（2）用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数，如⑥______、⑦______等；（3）最终结果含有π的数是无理数；（4）有规律的无限不循环小数是无理数，如：0.1010010001…（两个1之间依次增加一个0）（2）按正负分类实数可分为正实数，0，负实数.0既不是正数，也不是负数.正负数可用于表示相反意义的量.【归纳总结】“盈”与“亏”，“胜”与“负”，“增加”与“减少”，“收入”与“支出”，“赢”与“输”，“向上”与“向下”等均是具有相反意义的词.考点二数轴、相反数、倒数、绝对值（高频考点）1. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；实数和数轴上的点是一一对应的.2. 相反数（1）只有______不同的两个数叫做互为相反数，即a和-a互为相反数,特别地，0的相反数是0.（2）实数a、b互为相反数a+b＝____.考点三科学记数法（高频考点）1.科学记数法：把一个大于10的数表示成____.的形式（其中1≤a＜10，n是正整数），其中n的值等于原数的整数位数减1.2. 近似数和精确度近似数：对于一个实际数所取的近似值.精确度：近似数与准确数的接近程度，一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位.如：3.1是精确到0.1或叫做精确到十分位.（二）‘例题讲解【归纳总结】1. 求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，并化简；2. 非零整数a的倒数为，0没有倒数,分数的倒数为；3. 非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.类型二科学记数法例2 （’14白银）节约是一种美德，节约是一种智慧，据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人.350000000用科学记数法表示为( )A. 3.5×107B. 3.5×108C. 3.5×109D. 3.5×1010【解析】将一个较大数表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，故a＝3.5;n的值等于原数的整数位数减1,因为原数为一个9位数，所以n＝9-1=8，因此350000000=3.5×108.【备考指导】将一个数用科学记数法表示成a×10n的形式时，需要从下面两个方面入手：（1）确定a和n的值：①确定a：a是只有一位整数的数，即1≤a＜10；②确定n：当原数≥10时，n等于原数的整数位数减1，或等于原数变为a时小数点移动的位数；当0＜原数＜1时，n是负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数的零）或等于原数变为a时小数点移动的位数.（2）对于含有计数单位并需转换单位的科学记数法，可以利用1亿＝1×108，1万＝1×104，1千＝1×103来表示，能提高解题的效率.拓展变式（’14盐城)2014年5月，中俄两国签署了供气购销合同，从2018年起，俄罗斯开始向我国供气最终达到每年380亿立方米，380亿这个数据用科学记数法表示为（）A. 3.8×109B. 3.8×1010C. 3.8×1011D. 3.8×1012（三）、练习p 1-3题（四）、作业：练习本第一页（五）、反思：通过本节学生掌握了实数的运算性质，会求一个数的绝对值、倒数、相反数，掌握科学计数法的表示。

第1页第1课时 实数的有关概念教学目标：1． 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念． 2． 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。

3． 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小4． 画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。

重点难点：1． 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2．相反数、倒数、数的绝对值概念；3．在已知中，以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题。

教学设计： 一、基础回顾1、实数的有关概念 (1)实数的组成 (2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)， 实数与数轴上的点是一一对应的。

数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数实数a(a ≠0)的倒数是a1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 二：【典例精析】1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．： 解：（1）如图所示：（2）300－（－200）=500（m ）；或|－200－300 |=500（m ）；或 300+|200|=500（m ）．答：青少宫与商场之间的距离是 500m 。

2．下列各数中：-1，0，169，2π，1.1010016.0, ,12-, 45cos ,- 60cos , 722,2,π-722.有理数集合{ …}； 正数集合{ …}； 整数集合{ …}； 自然数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}； 绝对值最小的数的集合{ …}；3. 已知(x-2)2，求xyz 的值．解：48 点拨：一个数的偶数次方、绝对值，非负数的算术平方根均为非负数，若几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零．4．已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2求32122()2()m ma b cd m -+-÷的值第2页5. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a ＞b ，化简a a b b a -+-- 三：【训练】 四：教学反思：第2课时 实数的运算教学目标：1．了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。

简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。

有理数，包括整数和分数。

整数如－3、0、5 等，分数如 1/2、－3/4 等。

这些数都可以表示为两个整数的比值。

而无理数，则是无限不循环小数，比如圆周率π约等于 31415926，以及根号 2 约等于 14142135实数的概念让我们能够描述和处理各种数量关系，无论是在日常生活中的测量、计算，还是在科学研究中的复杂运算，实数都扮演着至关重要的角色。

二、实数的性质1、有序性实数具有有序性，即任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b。

例如，3 ＜ 5，－25 ＞－3 等。

这种有序性让我们能够比较数的大小，从而进行排序和选择。

2、稠密性实数是稠密的，这意味着在任意两个不相等的实数之间，总是存在着无穷多个其他实数。

比如在 1 和 2 之间，有 11、12、125 等等无数个实数。

3、四则运算封闭性实数对四则运算（加、减、乘、除，除数不为 0）是封闭的。

也就是说，两个实数进行四则运算的结果仍然是实数。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8，6 25 ＝ 35，4 × 2 ＝ 8，8 ÷ 2 ＝ 4 等。

三、实数的表示方法1、小数表示实数可以用小数来表示。

有限小数，如 025、314 等，能准确地表示为有理数。

无限循环小数，如 0333（1/3），也是有理数。

无限不循环小数，如π、根号 2 等，则是无理数。

2、数轴表示我们可以用数轴来直观地表示实数。

数轴上的每一个点都对应着一个唯一的实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。

例如，0 对应的点在数轴的正中间，正数在 0 的右边，负数在 0 的左边。

四、实数的运算1、加法实数的加法遵循交换律和结合律。

交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a例如，2 ＋ 3 ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)例如，（1 ＋ 2) ＋ 3 ＝ 1 ＋（2 ＋ 3) ＝ 62、减法减法是加法的逆运算。