【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：3.4.2 基本不等式的应用 Word版含解析

3.1 不等关系1．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．会用不等式(组)表示不等关系．(重点) 3．会比较数(或式)的大小．(难点)[基础·初探]教材整理 不等关系阅读教材P 73～P 74，完成下列问题．在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况．1．人类能听到的声音频率x 不低于80 Hz 且不高于2 000 Hz ，用不等式表示为________．【解析】 “不低于80 Hz ”即“≥80 Hz ”；“不高于2 000 Hz ”即“≤2 000 Hz ”．【答案】 80 Hz ≤x ≤2 000 Hz2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不高于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，用不等式组表示上述关系为________．【答案】 ⎩⎨⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【精彩点拨】 总收入＝单价×销售量，总收入－成本＝利润．【自主解答】 设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.用不等式表示不等关系的注意事项1．利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．2．在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．[再练一题]1．一个两位数，个位数字为a ，十位数字为b ，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．【解析】 该两位数为10b ＋a ，由题意可知10b ＋a >50. 【答案】 10b ＋a >506 t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【精彩点拨】【自主解答】 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎨⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，即⎩⎨⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步．(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意． (3)要将所有不等关系都表示为不等式．[再练一题]2．如图3-1-1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍，写出L 与W 的关系．图3-1-1【解】 由题意，得⎩⎨⎧(L ＋10)(W ＋10)＝350，L >4W ，L >0，W >0.[探究共研型]探究1 如果<b ，那么a －b 分别与0的关系？反之呢？【提示】 若a >b ，则a －b >0，反之也成立； 若a ＝b ，则a －b ＝0，反之也成立； 若a <b ，则a －b <0，反之也成立． 探究2 若a >b ，则ab >1吗？反之呢？【提示】 若a >b ，当b <0时，a b <1，即a >bD ⇒\ab >1； 若a b >1，则ab －1>0，即a －b b >0， ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0， 即ab >1D ⇒\a >b ，反之也不成立．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．【精彩点拨】 ―x <1【自主解答】 x 3－1－(2x 2－2x ) ＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∵x <1，∴x －1<0， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， ∴x 3－1<2x 2－2x .1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．作商法比较大小的步骤及适用范围 (1)作商法比较大小的三个步骤： ①作商变形； ②与1比较大小； ③得出结论．(2)作商法比较大小的适用范围： ①要比较的两个数同号；②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．[再练一题]3．若m >2，比较m m 与2m 的大小． 【解】 ∵m m 2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m，又m >2，∴m2>1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m >⎝ ⎛⎭⎪⎫m 20＝1， ∴m m >2m .[构建·体系]1．用不等式表示a 与b 的平方和是非负数，应为________．【解析】 a 与b 的平方和应表示为a 2＋b 2，非负数即≥0，故a 2＋b 2≥0. 【答案】 a 2＋b 2≥02．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为________．【解析】 由题意可知v ≤120，d ≥10，即⎩⎨⎧v ≤120，d ≥10.【答案】 ⎩⎨⎧v ≤120，d ≥103．b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)，若再添上m g 糖(m >0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为________.【导学号：91730050】【解析】 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了． 【答案】 a ＋m b ＋m >ab4．已知m ＝x 2＋2x ，n ＝3x －2，则m 与n 的大小关系是________． 【解析】 ∵m －n ＝x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74，又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴m －n >0，∴m >n . 【答案】 m >n5．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？【解】设软件数为x ，磁盘数为y ，由题意得⎩⎨⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ，y ≥2且y ∈N .我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A 容器不小于B 容器的容积．若前一个量用a 表示，后一个量用b 表示，则上述事实可表示为________；________；________.【答案】 a <b a >b a ≥b2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T 满足关系为________.【导学号：91730051】【解析】 “限重”即不超过的意思，即T ≤40. 【答案】 T ≤403．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示就是________．【解析】 “不低于”即≥，“高于”即>， “超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.【答案】⎩⎨⎧x ≥95，y >380，z >454．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________．【答案】⎩⎨⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *5．《铁路旅行常识》规定：“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……”设身高为h (米)，请用不等式表示下表中的不等关系身高超过1.5米可表示为h >1.5， 身高不足1.2米可表示为h <1.2. 【答案】 1.2≤h ≤1.5 h >1.5 h <1.26．若a∈R，则a1＋a2与12的大小关系是________．【解析】∵a1＋a2－12＝2a－1－a22(1＋a2)＝－(a－1)22(1＋a2)≤0，∴a1＋a2≤12.【答案】a1＋a2≤127．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过 2 200 km，写成不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．【解析】如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为8xx－12，因此，不等关系“它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间”可以用不等式8xx－12>9来表示．【答案】8(x＋19)>2 2008xx－12>98．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________．【解析】∵A＝n－n－1＝1n＋n－1，B＝n＋1－n＝1n＋1＋n，∵0<n＋n－1<n＋1＋n，∴A>B.【答案】A>B二、解答题9．某帐篷厂为支援某地震灾区，由于帐篷规格的需要，要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的数量的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，根据题意需用不等式组来表示，则有⎩⎨⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ∈N *，y ∈N *，即⎩⎨⎧5x ＋6y ≤40，3x ≥y ，x ∈N *，y ∈N *.10．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 【解】 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．[能力提升]1．已知a ≠0，b ≠0，且a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________． 【解析】a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2 ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，a 2b 2>0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 【答案】 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b2．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为________.【导学号：91730052】【解析】 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1,百度百度 此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .【答案】 M >N3．如图3-1-2所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示出来________．(1) (2)图3-1-2【解析】 (1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S 1＝12a 2＋12b 2＝12(a 2＋b 2)，(2)的面积S 2＝ab ，所以有12(a 2＋b 2)>ab .【答案】 12(a 2＋b 2)>ab4．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且每一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组．【解】 依题意得，第二次钉子没有全部钉入木板，第三次全部钉入木板，则不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <1，47＋47k ＋47k 2≥1，(k ∈N *)．。

3．4．2 根本不等式的应用导学目标：会用根本不等式解决简单的最大小值问题和实际应用问题。

教学重点：根本不等式在最值问题中的应用和简单实际应用。

教学过程：一、问题情境：在问题“＞，＞，且，求的最小值〞的求解中，小明同学给出了如下的解法：解：由，得，∴，。

思考：你认为小明同学的做法对不对？为什么？因为两个不等式中，不能同时取“等号〞，即不存在满足题设条件的，使得。

你能给出正确的解法吗？你有几种解法？解：方法一：∵＞，＞，，∴≥。

当且仅当，又。

即，时，上式“=〞号成立。

故当，时，那么的最小值为。

方法二：由，得，∴，又知＞，＞。

∴≥，从而≥，即的最小值为。

解法三：由＞，＞，且，得当且仅当即时，。

思维提升：根本不等式的功能在于“和与积〞的相互转化，使用根本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合根本不等式，往往需要拆添项或配凑因式一般是凑和或积为定值的形式，构造出根本不等式的形式再进行求解．根本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等〞，“三相等〞就是必须验证等号成立的条件．二、自主检测：１，叫做这个数的算术平均数，叫做这个数的几何平均数。

2根据课本98页图3-4-1，你能给出根本不等式的几何解释吗？答：“圆的半径不小于半弦〞。

因此根本不等式还可以用几何方法证明。

3．一些常用的重要不等式及其变形：；；；；，以上公式均当且仅当时等号成立。

4．根本不等式在最值问题中的应用：当〔定值〕时，有最小值，有最小值〔当且仅当时，取得最值〕；当〔定值〕时，有最大值；当〔定值〕时，有最大值〔当且仅当时，取得最值〕。

三、探究活动：探究一利用根本不等式求最值例1．g3＋g ＝g＋＋1．1求的最小值；2求＋的最小值．解由g3＋g ＝g＋＋1，得错误!1∵＞0，＞0，∴3＝＋＋1≥2错误!＋1∴3－2错误!－1≥0即3错误!2－2错误!－1≥0∴3错误!＋1错误!－1≥0∴错误!≥1∴≥1当且仅当＝＝1时，等号成立．∴的最小值为12∵＞0，＞0，∴＋＋1＝3≤3·错误!2∴3＋2－4＋－4≥0∴[3＋＋2][＋－2]≥0∴＋≥＝＝1时取等号，∴＋的最小值为2探究提高利用根本不等式的方法构造关于所求变量的不等式解决变量的最值问题。

3・4・2基本不等式的应用［学习目标］1•熟练掌握基本不等式及其变形的应用 2会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题.3•能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.戸知识梳理自主学习知识点一基本不等式求最值 1. 理论依据：2s(1) 设X , y 为正实数，若x + y = s(和s 为定值)，则当x = y 时，积xy 有最大值，且这个值为_. ⑵设x , y 为正实数，若xy = p(积p 为定值)，则当x = y 时，和x + y 有最小值，且这个值为 2 p.2. 基本不等式求最值的条件： (1) x , y 必须是正数:(2) 求积xy 的最大值时，应看和 x + y 是否为定值：求和 x + y 的最小值时，应看积 xy 是否为 定值. (3) 等号成立的条件是否满足.3. 利用基本不等式求最值需注意的问题： (1) 各数(或式)均为正. (2) 和或积为定值.(3) 判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可(4) 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的 条件的一致性.知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题.解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系； (4) 作出结论.歹题型探究重点突破题型一 利用基本不等式求最值⑵已知x , y 均为正实数，且满足3 + 4= 1，则xy 的最大值为(1)已知t > 0,则函数y =t 2— 4t + 1t的最小值为4. ⑶已知x >2则f(x)=三—4宁的最小值为答案 (1) — 2 (2)3 (3)12t + 1 — 4t 1解析 (1)y = t ------------- = t — 4> 2 — 4= — 2, 1当且仅当t =-，即t = 1或t =— 1(舍)时，等号成立, y 的最小值为一2.x , y• 3 4o -=12-P= 3，••• xy 的最大值为3.2 . -x — 4x + 5(3)f(x)=2x — 42(x — 2)因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件 1 1跟踪训练1 (1)设a >b >0,贝U a 2+ - +I— 的最小值是 ab a(a — b)1 1⑵已知x , y 为正数，且2x + y = 1,则；+y 的最小值为 ________ 答案 (1)4(2)3 + 2 2解析 (1)a 2+ 1 + —1— = a 2 — ab + ab +1+ —1— = a(a — b) +1ab a 但一b ) ab a(a — b )当且仅当a(a — b) = 1且ab = 1,I当且仅当x — 2=^，即x = 3时，等号成立•x — 2当且仅当x= 413 42' 3 即x = 3, y = 2时，等号成立，反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点: 是各项均为正; 二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形, 合理拆分项或配凑(2)xy = 12 2 /(x — 2)+ 1 1+ ab + 匚》2 + 2 = aa —b ab5-即a = 2, b =孑时取“=(2) 由 2x + y = 1 ,即x = ^2^2, y = 2- 1时，等号成立 题型二基本不等式的综合应用1 1例2 (1)已知x > 1,y > 1,且1Inx 、4、ny 成等比数列，则xy 有最 _____________ (填“大”或“小”) 值为 ________ . 答案小e解析由题意得jnxlny ,■/x > 1, y > 1, /• Inxlny >0,又 In(xy)= lnx + lny >2 Inx lny = 1, /• xy > e. 即xy 有最小值为e.x⑵若对任意x > 0, x 2 + 3x + 1 w a 恒成立，求a 的取值范围•/x > 0, ••• x +2,x1 1••• f(X )w 1，即 f(X )max = 5，反思与感悟 最值法解答恒成立问题 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有:当且仅当y = 2x xy 'lnxlny =14,设 f(x)= Xx 2 + 3x + 11x+ 33+(1)f(x) > a 恒成立? a V f(x)min . (2)f(x) V a 恒成立? a > f(X )max . 跟踪训练2（1）设a > 0, b > 0,若3是3a 与3b 的等比中项，贝U - + :的最小值为v a b⑵函数y = kx + 2k — 1的图象恒过定点 A ,若点A 又在直线mx + ny + 1 = 0上，贝U mn 的最大 值为____________ .(1)由题意得，3a 3b = ('J 3)2 3 4 5, 即卩 a + b = 1,2当且仅当2m = n = 1时，等号成立. 题型三基本不等式的实际应用例3要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏 目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的 宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ,请确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），使矩形广告面积最小，并求出最小值 解 设矩形栏目的高为 acm ,宽为bcm , ab = 9000•① 广告的高为a + 20,宽为2b + 25,其中a >0, b >0. 广告的面积 S = (a + 20)(2b + 25) = 2ab + 40b + 25a + 500答案1(1)4 (2用解析 1 . 二 a + b =b aa+ b)=2+a +b1 b当且仅当^=：,即a =b =2时，等号成立.(2)y = k(x + 2) — 1 必经过(一2,— 1)，即点 A(— 2,— 1), 代入得一2m — n + 1 = 0, /• 2m + n = 1,=120, b = 75时，S 取得最小值 24500 ,故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小，最小值为 24500cm 2.反思与感悟利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识 (函数及不等式性质等)解决问题•用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行: (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数 ⑵建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题 (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值 •(4) 正确写出答案•跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长 400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快 需要 ________ 小时• 答案 8解析 设这批货物从 A 市全部运到B 市的时间为t ,则当且仅当竽=盂，即v = 100时，等号成立, 此时t = 8小时•mn = 1(2m n)w 1」2m + n1 8, 400+ 16v16v 400=8（小时）,自查自纠尹当堂检测X2-x+ 1 .......................... ….2. 函数y= ______________________________________ " (x> 1)在x= t处取得最小值，则t =X—I答案2xx—VI+1 1 1解析y= = x+ = x— 1 + + 1x—1 x —1 x—1> 2 + 1 = 3,1当且仅当x— 1 = ---- ，即x= 2时，等号成立.x—13. 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是___________ .① 6.5m :② 6.8m:③ 7m；④ 7.2m.答案③1解析设两直角边分别为a, b，直角三角形的框架的周长为I，则~ab = 2,二ab= 4, l = a+ b +」a2+ b2> 2.ab+ 2ab= 4 + 2 2沁6.828(m).故③既够用，浪费也最少.4. _________________________________ 函数f(x) = x(4 —2x)的最大值为.答案2解析①当x€ (0,2)时，x,4 —2x>0,1 |2x+ (4 —2x ) 2f(x) = x(4 —2x)< 2 迁-------- }= 2,当且仅当2x= 4 —2x,即卩x= 1时，等号成立.②当x w 0或x> 2时，f(x) V 0,故f(x)max = 2.5. x V弓时，函数y= 4x—2 + -一的最大值为4 4x—5VI• y= 4x— 5 + + 34x—5答案15解析•/ X V；, ••• 4x—5V 0,4一5-4x+土 +3W- 2叫(5- 4x、一+ 3 = 1.f5 - 4x1当且仅当5-4x= ——，即x= 1时，等号成立.5 —4x「课堂歩结------------------------------------- 11•用基本不等式求最值(1) 利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“ 一正”一一各项为正数；②“二定”一一“和”或“积”为定值；③“三相等”一一等号一定能取到•这三个条件缺一不可•(2) 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件•(3) 在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y= x+ p(p>0)X的单调性求得函数的最值•2•求解应用题的方法与步骤：(1)审题；⑵建模例式)；(3)解模；(4)作答•=18500 + 25a+ 40b> 18500 + 2 ,25a X 40b=18500 + 2 . 1000ab= 24500.当且仅当25a = 40b时，等号成立，此时b=5 * * 8a，代入①式得a = 120,从而b = 75,即当a81•下列函数中，最小值为4的函数是 _______ •①y= x+ 4；x②y= sinx+』(0v x v n;sinx' 歹'③y= e* * x+ 4e「x；④y= Iog3x+ Iog x81.答案③解析①中x=- 1时，y=—5v 4,②中y = 4时，sinx= 2，④中x与1的关系不确定，选。

3．4 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)3．4.1 基本不等式的证明1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 算术平均数与几何平均数 阅读教材P 96，完成下列问题．对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．若两个正数a ，b 的算术平均数为2，几何平均数为2，则a ＝________，b ＝________.【解析】由题意可知⎩⎨⎧a ＋b 2＝2，ab ＝2，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝4，ab ＝4， ∴a ＝2，b ＝2. 【答案】 2 2教材整理2基本不等式阅读教材P97～P98，完成下列问题．如果a，b当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)称为基本不等式．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，都有a＋b≥2ab成立．()(2)不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2.()【答案】(1)×(2)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________解惑：__________________________________________________[小组合作型](1)求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca；(2)求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【精彩点拨】(1)利用a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc求证；(2)利用a2b＋b≥2a2；b2c＋c≥2b2；c2a＋a≥2c2求证．【自主解答】(1)∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc. 又a，b，c为不全相等的正数，∴a＋b＋c≥ab＋ac＋bc.又a，b，c互不相等，故等号不能同时取到，所以a＋b＋c>ab＋ac＋bc.(2)∵a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a，当且仅当a2b＝b时等号成立．b2c＋c≥2b2c·c＝2b，当且仅当b2c＝c时等号成立．c2a＋a≥2c2a·a＝2c，当且仅当c2a＝a时等号成立．相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.利用基本不等式证明不等式的条件要求：(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[再练一题]1．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.【证明】 法一 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．法二 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋b ＋c )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．[探究共研型]探究1 【提示】 不成立．如当x <0时，x ＋1x <0，显然不成立．探究2 当x <0时，能否应用基本不等式求解，x ＋1x 的范围是多少？ 【提示】 可以，当x <0时，－x >0， ∴x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x≤－2(－x)·1(－x)＝－2.当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时等号成立，∴x＋1x∈(－∞，－2]．探究3当x≥0时，如何求“x＋1x＋1”的最小值？【提示】x＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1－1≥2(x＋1)·1x＋1－1＝2－1＝1，当且仅当x＋1＝1x＋1，即x＝0时等号成立．求函数y＝(x＋5)(x＋2)x＋1(x>－1)的最小值，并求相应的x值．【精彩点拨】y＝(x＋5)(x＋2)x＋1――→变形y＝(x＋1)＋kx＋1＋b――→基本不等式求最小值【自主解答】y＝(x＋5)(x＋2)x＋1＝(x＋1)2＋5(x＋1)＋4x＋1＝(x＋1)＋4x＋1＋5，∵x>－1，∴x＋1>0，∴y≥2(x＋1)·4x＋1＋5 ＝4＋5＝9.当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，等号成立．∴函数y＝(x＋5)(x＋2)x＋1(x>－1)的最小值为9，此时x＝1.1．基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境．2．应用基本不等式求函数最值，常见类型如下：.(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值； (2)构造和为定值，利用基本不等式求最值． [再练一题]2．(1)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值； (2)已知x >54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最小值.【导学号：91730065】【解】 (1)∵0<x <13， ∴1－3x >0，∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112， 当且仅当x ＝16时，函数y ＝x (1－3x )取得最大值112. (2)∵x >54，∴4x －5>0， ∴y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3 ≥2(4x －5)·14x －5＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5， 即x ＝32时取等号．∴当x ＝32时，y 取最小值为5.1．a ＋1≥2a (a >0)中等号成立的条件是________． 【解析】 等号成立的条件是两项相等，即a ＝1. 【答案】 a ＝12．函数f (x )＝2x ＋8x (x >0)有最小值为________． 【解析】 2x ＋8x ≥22x ·8x ＝8，当且仅当x ＝2时等号成立．【答案】 83．已知x ，y 为正实数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________.【导学号：91730066】【解析】 ∵x >0，y >0，∴1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝12，y ＝18时，等号成立． ∴(xy )max ＝116. 【答案】 1164．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是________． 【解析】 ∵b >a >0，∴a 2＋b 2>2ab . 又∵a ＋b ＝1，∴b >12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab >b 2＋a 2，故b 最大． 【答案】 b5．已知a ，b ，c ，d 都是正实数． 求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac ≥4.【证明】 ∵a ，b ，c ，d 都是正实数， ∴ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d c ＋c d ≥2b a ·ab ＋2d c ·cd ＝4.当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”．我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．给出下面四个推导过程：①因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2；②因为x ，y ∈(0，＋∞)， 所以lg x ＋lg y ≥2 lg x ·lg y ； ③因为a ∈R ，a ≠0，所以4a ＋a ≥24a ·a ＝4；④因为x ，y ∈R ，xy <0，所以x y ＋yx ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导过程为________．【解析】 ②③错误，①④正确，对于②，lg x ，lg y 不一定为正数；对于③，a ∈R ，也失去了应用基本不等式的前提．【答案】 ①④2．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.【导学号：91730067】【解析】 ∵x >0，∴f (x )＝4x ＋ax ≥24a ＝4a . 当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立． 由题意可知a2＝3，即a ＝36. 【答案】 363．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________． (1)a 2＋b 2>2ab ；(2)a ＋b ≥2ab ；(3)1a ＋1b >2ab ；(4)b a ＋ab ≥2.【解析】 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴(1)错误．对于(2)(3)，当a <0，b <0时，明显错误．对于(4)，∵ab >0， ∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.【答案】 (4)4．已知函数y ＝2＋3x 2＋12x 2，当x ＝________时，函数有最________值，为________．【解析】 ∵x 2>0， ∴y ＝2＋3x 2＋12x 2≥2＋23x 2·12x 2＝14，当且仅当3x 2＝12x 2，即x ＝±2时，取等号．【答案】 ±2 小 145．下列函数中最小值为4的是________．①y ＝x ＋4x ；②y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)；③y ＝3x ＋4·3－x ；④y ＝lg x ＋4log x 10. 【解析】 对于③，y ＝3x ＋4·3－x ≥23x ·4·3－x ＝4，当且仅当3x ＝2时取等号．【答案】 ③6．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是________． 【解析】 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝4 2. 当且仅当2a ＝2b ，即a ＝b ＝32时等号成立． 【答案】 4 2 7．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．【解析】 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立，故m ∈[4，＋∞)，由b ≠0，得b 2≠0， ∴2－b 2＜2，∴22－b 2＜4，即n ∈(0,4)，综上易得m ＞n . 【答案】 m ＞n8．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．【解析】 ∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， ∴lg a ·lg b <12(lg a ＋lg b )，即P <Q ，又a ＋b 2>ab ，∴lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )， ∴R >Q ， 即R >Q >P .【答案】 R >Q >P二、解答题9．已知a ，b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．【解】 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0， ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ，即21a ＋1b≤ab . 10．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 【证明】 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b . ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．(2)法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.[能力提升]1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是________.【导学号：91730068】(1)1x ＋y≤14；(2)1x ＋1y ≥1；(3)xy ≥2； (4)1xy ≥1.【解析】 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立．【答案】 (2)2．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．【解析】 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x ，x ∈(0,1]恒成立．∵x ∈(0,1]，x ＋1x ≥2，∴a ≤2.【答案】 (－∞，2]3．设0<a <1<b ，则log a b ＋log b a 的最大值为________．【解析】 ∵0<a <1<b ，∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.【答案】 －24．已知x >y >0，xy ＝1，求x 2＋y 2x －y的最小值．【解】 ∵xy ＝1， ∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y ≥ 2(x －y )·2x －y＝2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2x －y ，xy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6＋22，y ＝6－22时取等号．。

基本不等式的证明学习目标：1理解基本不等式的内容及证明．重点2能运用基本不等式证明简单的不等式．重点3能用基本不等式求解简单的最大小值问题．难点问题引入：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。

如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。

不过，我们可做第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b。

那么如何合理地表示物体的质量呢？简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以A=2ba+表示物体的质量。

这样的做法合理吗？设天平的两臂长分别为l1,l2，物体实际质量为M，根据力学原理（当物体处于平衡状态时，动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂）有。

由此可知，物体的实际质量是。

对于正数a,b，我们把2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。

两个正数的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？我们先取一些数作试验:算结果表明ab≤2。

也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等。

[自主预习·探新知]思考如何证明不等式错误!≤错误!a>0，b>01．算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．2．基本不等式如果a，b是正数，那么错误!错误!当且仅当a＝b时取“＝”，我们把不等式称为基本不等式．[合作探究·攻重难]，b为正数，证明下列不等式成立：1ba ab≥2;2 a1a≥2.=16，∈(−2,+∞),求此函数的最小值。

x+2变式：求函数＝错误!>－1的最小值，并求相应的值．应用基本不等式应注意的问题：1．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”成立吗？为什么？2．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”,∈[4,+∞)成立吗？为什么？[当堂达标·固双基] 1．a＋1≥2错误!a>0中等号成立的条件是________．__2．函数f＝2＋错误!>0有最小值为______．3．已知>0，则函数f＝7－－错误!的最大值为________．4．已知a，b，c，d都是正实数．求证：错误!＋错误!≥45当>－1时，求＝错误!的最大值，并求相应的值．总结提炼：。

3 . 4.2基本不等式的应用【学习目标】1•熟练掌握基本不等式及其变形的应用2会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题3能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.[f问题导学-------------------------------知识点一基本不等式及变形思考使用基本不等式证明： 1 1< .ab（a>0, b>0），并说明什么时候等号成立.1 +1梳理以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.ab2当a>0, b>0 时，有-—--+ - a b当且仅当________ 时，以上三个等号同时成立.知识点二用基本不等式求最值思考因为X2+ 1 >2X,当且仅当X= 1时取等号•所以当X= 1时，（X2+ 1）min = 2. 以上说法对吗？为什么？梳理基本不等式求最值的条件:(1) _________________ x, y必须是;⑵求积xy的最大值时，应看和x+ y是否为 ____________ ;求和x+ y的最小值时，应看积xy是否为_________ ;(3)等号成立的条件是否满足.题型探究类型一基本不等式与最值4例1 (1)若x>0 ,求函数y= x+-的最小值，并求此时x的值;x3⑵设0<x<2，求函数y= 4x(3 - 2x)的最大值;4⑶已知x>2，求x+ 的最小值；x—21 9⑷已知x>0 , y>0，且［+ y= 1,求x+ y的最小值.反思与感悟在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.跟踪训练1 (1)已知x>0，求f(x) = 12+ 3x的最小值；x4⑵已知x<3，求f(x)= + x的最大值；x—3⑶设x>0 , y>0,且2x+ 8y= xy，求x+ y的最小值.类型二基本不等式在实际问题中的应用命题角度 1 几何问题的最值例2 ⑴用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？反思与感悟利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大（小）值及取最大（小）值的条件．跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度 2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少?反思与感悟应用题，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）•使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于20 2千米，那么这批货物全部运到B市，最当堂训练快需要_________ 小时.11 k1.设a>0, b>0,且不等式-+ 1 + -------------- > 0恒成立，则实数k的最小值等于 __________ •a b a+ b5 x2—4x+ 52•已知x>5，则f（x）= X“，有最______________ （填“大”或“小”）值，为_________ •3 •将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理（够用且浪费最少）的铁丝长度应是 ________ m（取整数）•54 .已知0<x<1，贝y f（x）= 2+ log 2x+ |o g2x的最大值是 _____ •厂规律与方法■--------------------------------1 •用基本不等式求最值（1）利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“ 一正”一一各项为正数；②“二定”一一“和”或“积”为定值；③“三相等”一一等号一定能取到•这三个条件缺一不可. （2）利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.（3）在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y = x+^(p>0)的X单调性求得函数的最值.2 .求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.答案精析问题导学知识点一2 11即1_ < ,ab(a>0, b>0)，当且仅当-=£,即卩a= b时，等号成立._+a b梳理www a= b知识点二思考错.显然(X2+ 1)min = 1.x2+ 1 >2x,当且仅当x= 1时取等号.仅说明抛物线y= x2+ 1恒在直线y= 2x上方，仅在x =1时有公共点.使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值•如果都不是定值，可能出错.梳理(1)正数(2)定值定值题型探究例1 解⑴当x>0时，x+ 4>2 x 4= 4,x \ x4 2当且仅当x= 4即x2=4, x=2时取等号.4•••函数y= x + -(x>0)在x= 2时取得最小值 4.入⑵•/ 0<x<3• 3- 2x>0,y = 4x(3 —2x)= 2[2x(3 —2x)]3当且仅当2x= 3-2x,即x= 4时’等号成立•3.3 9•••函数y= 4x(3- 2X)(0<X<2)的最大值为⑶•/ x>2, • x- 2>0 ,4 4•- x + = x-2+ + 2x- 2 x- 2》2/- 2)土 + 2= 6，4当且仅当x- 2= ——，即x= 4时，等号成立.x-24•x + 的最小值为6.x- 21 9⑷方法一••• x>o, y>o, ；+ y = 1，•x+ y= x+9(x+y)y 9x= +一+ 10》6 + 10= 16,x y当且仅当x=第又1+9= 1,x y即x= 4, y= 12时，上式取等号.故当x= 4, y= 12 时，(x+ y)min = 16.1 9方法二由丄+ - = 1,x y得(x- 1)(y—9) = 9(定值).1 9由一 +一= 1 可知x>1, y>9 ,x y•x + y= (x- 1)+ (y- 9) + 10> 2 x- 1 y-9 + 10= 16 , 当且仅当x- 1= y-9 = 3, 即卩x= 4,y = 12时上式取等号，故当 x = 4, y = 12 时，(x + y)min = 16.跟踪训练1解⑴•/x>0,12 c c 12…f (x )= 7 + 3x 》2 - 3x = 12 ,12当且仅当3x =—,即卩x = 2时取等号， x••• f(x)的最小值为12.⑵• x<3, --x — 3<0 ,• “、 44 --f(x) = + x = + x — 3 + 3x — 3 x — 3• f(x)的最大值为一1. ⑶由 2x + 8y -xy = 0，得 y(x — 8) = 2x.2x• x>0, y>0, • x — 8>0 , y = ~, x — 8• x + y = x +层=x +壬血空x —8x — 8=(x — 8) + 鱼 + 10x — 8 >2 x — 8 X 16 + 10= 18.16当且仅当x — 8=」d ，即x = 12时，等号成立.x — 8即x = 1时取等号3— x 3=- 1,• x + y的最小值是18.例2解(1)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy = 100,篱笆的长为2(x+ y) m.x + y — __由一^> xy，可得x+ y>2 100, 2(x+ y) > 40.当且仅当x= y= 10时等号成立.所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，贝U 2(x+ y) = 36, x+ y= 18,矩形菜园的面积为当且仅当x= y= 9时，等号成立.所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2又设水池总造价为y元，根据题意，得y= 150X + 120 X (2 X 3x+ 2 X 3 X 4-3°0)= 240 000 + 720 X x+=297 600(元),当且仅当x= 1600即x= 40时，y取得最小值297 600. x所以当水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元. 例3解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管及其他费用为3X [6x+ 6(x—1) + 6(x—2) + •••+ 6X1] = 9x(x+ 1).设平均每天所支付的总费用为y元，小1则y= 一[9x(x+ 1)+ 900] + 6X 1 800x=9x+ 900+ 10 809x2 xy m .由，xy w x+ y""2 18~2=9,可得xyw 81,跟踪训练2解设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为4 8003xm.> 240 000 + 720 X 2900+ 10 809 = 10 989（元）, X当且仅当9x = 900,即x = 10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 引申探究 解设 X 1 , X 2 [15 ,+ 8 ），且 X 1< X 2.则（9X 1 + 900+ 10 809） — （9X 2 + + 10 809）=9（X 1 — X 2）+ 900（2 —X 2） [900、=（X1— X2）9 —蕊=（X 1 - X 2） 9X 1X 2 —900X 1X 2T 15W X 1<X 2, •- X 1 — X 2< 0, X 1X 2> 225,即 y = 9x + 900 + 10 809 在[15, + ）上为增函数.X •••当x = 15,即每15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少. 跟踪训练38 当堂训练1 .— 4 2.小 1 3.7 4.2— 2.5 •- （x 1 —X ）9X 1X 2 — 900 < 0, X 1X 2> 2。

苏教版必修五：根本不等式第一课时授课教师：盐城市第一中学杨芹一、设计理念新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、开展，但这必须是在教师的引领之下，否那么学生很容易误入歧途。

教师应该尽力做好学生探究活动的引路人。

在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索〞的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和效劳者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕根本不等式的发现、开展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想。

在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念。

二、教材分析本节课是苏教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。

主要是二元均值不等式。

它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的根底上展开的，作为重要的根本不等式之一，为后续的学习奠定根底。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时根本不等式是必不可缺的。

根本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以根本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，根本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，根本不等式也起着重要的作用。

就内容的人文价值上来看，根本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。

三、目标分析1从实际情境和实验操作中抽象归纳出根本不等式，渗透学生由特殊到一般的数学思想，提升学生数学抽象、数学建模的素养；2引导学生自主探索根本不等式的证明过程，会证明根本不等式，提升学生逻辑推理、数学运算素养；3能正确运用根本不等式证明一些简单的不等式，会求函数的最值；4通过对根本不等式猜测、证明的探究，感受数学的简洁美、对称美四、教学手段多媒体教学。

苏教版高二数学必修5全套学案§1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又，从而在直角三角形ABC中，．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=，则，同理可得，从而．类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即．试试：（1）在中，一定成立的等式是（）．A．B.C.D.（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如；．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※典型例题例1.在中，已知，，cm，解三角形．变式：在中，已知，，cm，解三角形．例2.在．变式：在．三、总结提升※学习小结1.正弦定理：2.正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※知识拓展，其中为外接圆直径.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在中，若，则是（）.A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶D．2∶2∶3.在△ABC中，若，则与的大小关系为（）.A.B.C.≥D.、的大小关系不能确定4.已知ABC中，，则=．5.已知ABC中，A，，则=．课后作业1.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝，解此三角形．2.已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，求实数k的取值范围为．§1.2余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．学习过程一、课前准备复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．复习2：在△ABC中，已知，，，解此三角形．。

学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的联系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想在不等式中的应用．
知识点一一元二次不等式的概念
思考我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么你能写出不等式x2>1的解集吗？
梳理(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做________________不等式．
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．
(3)不等式所有解的________称为解集．解不等式的任务是求解集．
知识点二“三个二次”的关系
思考分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系．。