2018年初中数学中考一轮复习--三角形基础知识导学案

第19讲全等三角形一、知识梳理全等图形及全等三角形全等图形能够完全重合的两个图形就是______全等图形的形状和________完全相同全等三角形能够完全重合的两个三角形就是全等三角形说明完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等全等三角形的性质性质1 全等三角形的对应边________性质2 全等三角形的对应角________性质3 全等三角形的对应边上的高________性质4 全等三角形的对应边上的中线________性质5 全等三角形的对应角平分线________全等三角形的判定基本判定方法1.三条边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS)2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为____ )3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为____ )4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为____ )5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为____ )拓展延伸满足下列条件的三角形是全等三角形：(1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等；(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中总结最少要有一组对应边相等利用“尺规”作三角形的类型1 已知三角形的三边，求作三角形2 已知三角形的两边及其夹角，求作三角形3 已知三角形的两角及其夹边，求作三角形4 已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形5 已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形角平分线的性质与判定性质角平分线上的点到角两边的______相等判定角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______上二、题型、技巧归纳考点一：全等三角形性质与判定的综合应用例1 已知：AB＝AE，∠1＝∠2，∠B ＝∠E，求证：BC＝ED.技巧归纳：1．解决全等三角形问题的一般思路：①先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题．即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系；2．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；3．利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等．考点2全等三角形开放性问题例2如图在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是________．(不添加辅助线)技巧归纳：由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出(有些是推出)两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全等，再去解决其他问题．这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度．三、随堂检测1、已知：如图19－2，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB＝DC.2、在△ABC中，AB＝CD，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．3、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使点A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长，为什么？4、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是( )A．PO B．PQC．MO D．MQ参考答案例1证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD ＝∠2＋∠BAD ，即∠BAC ＝∠EAD.∴在△BAC 与△EAD 中，∴△BA C ≌△EAD ，∴BC ＝ED.例2(1)添加的条件是：DE ＝DF(或CE ∥BF 或∠ECD ＝∠DBF 或∠DEC ＝∠DFB 等)．(2)证明：在△BDF 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，∠EDC ＝∠FDB ，DE ＝DF ，∴△BDF ≌△CDE随堂检测1、 证明：∵AC 平分∠BDC,BD 平分∠ABC∴∠ACB=∠DBC在△ABC 与△DCB 中∠ABC=∠DCBBC=BC∠ACB=∠DBC△ABC ≌△DCB∴AB=DC2、解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°.在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，∵AE ＝CF, AB ＝BC ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)．(2)∵AB ＝BC, ∠ABC ＝90°，∴∠CAB ＝∠ACB ＝45°.∵∠BAE ＝∠CAB －∠CAE ＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°，∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝45°＋15°＝60°.3、[解析] 根据题意，有CD ＝BC ，∠ABC ＝∠EDC ，∠ACB ＝∠ECD ，根据ASA 可以证明△ABC ≌△EDC.解：因为AB⊥BF，DE⊥BF，B、D分别为垂足，所以∠ABC＝∠EDC＝90°.又因为BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，所以△ABC≌△EDC.所以AB＝ED.。

中考数学一轮复习第15课三角形基础知识导学案【考点梳理】：一、三角形的种类（1）按边分⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形底和腰不等的三角形等腰三角形不等边三角形三角形 （2）按角分⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧直角三角形钝角三角形锐角三角形斜三角形三角形二、三角形的一些重要性质（1）边与边的关系：任意两边之和（或差）大于（或小于）第三边。

（2）角与角的关系：三角形三内角之和等于180°；一个外角大于任何一个和它不相邻的内角且等于和它不相邻的两内角之和。

三、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

四、全等三角形的判定（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称：“SAS ”）。

（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简称：“ASA ”）。

（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称：“AAS ”）。

（4）有三边对应相等的两个三角形全等（简称：“SSS ”）。

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称：“HL ”）。

五、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

【思想方法】方程思想，分类讨论等【考点一】：三角形三边之间的关系【例题赏析】（2015•江苏南通，第5题3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ A ．5，6，10 B ．5，6，11 C ．3，4，8 D ．4a ，4a ，8a （a ＞0） 考点：三角形三边关系．.分析：根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．解答：解：A 、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B 、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C 、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D 、∵4a+4a=8a ，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A ．点评：本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，小于第三边是解答此题的关键．【考点二】：三角形的内角和定理及其推论【例题赏析】（2015•滨州,第7题3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°考点：三角形内角和定理．分析：首先根据∠A：∠B：∠C=3：4：5，求出∠C的度数占三角形的内角和的几分之几；然后根据分数乘法的意义，用180°乘以∠C的度数占三角形的内角和的分率，求出∠C等于多少度即可．解答：解：180°×==75°即∠C等于75°．故选：C．点评：角形的内角和是180°．【考点三】：多边形的内角和与外角和【例题赏析】（2015•安徽, 第8题4分）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=∠ADC D．∠ADE=∠ADC考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理．分析：利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B∠C，根据∠A=∠B=∠C，得到∠ADE=∠EDC，因为∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC 所以∠ADC=∠ADC，即可解答．解答：解：如图，在△AED中，∠AED=60°，∴∠A=180°﹣∠AED﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，在四边形DEBC中，∠DEB=180°﹣∠AED=180°﹣60°=120°，∴∠B=∠C=（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2=120°﹣∠EDC，∵∠A=∠B=∠C，∴120°﹣∠ADE=120°﹣∠EDC，∴∠ADE=∠EDC，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，故选：D．点评：本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C．【考点四】：全等三角形的判定【例题赏析】（2015•贵州省贵阳,第8题3分）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C． AD∥BC D． DF∥BE考点：全等三角形的判定与性质．分析：利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．解答：解：当∠D=∠B时，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），故选：B．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键．【考点五】：全等三角形的性质【例题赏析】（2015，广西柳州，14，3分）如图，△ABC≌△DEF，则EF= 5 ．考点：全等三角形的性质．分析：利用全等三角形的性质得出BC=EF，进而求出即可．解答：解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF则EF=5．故答案为：5．点评：此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边是解题关键．【真题专练】1.（2015•江苏宿迁，第2题3分）若等腰三角形中有两边长分别为2和5的周长为（）A．9 B． 12 C． 7或9 D． 9或122.（2015•桂林）（第2题）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A． 110°B． 120°C． 130°D． 140°3..（2015•长沙，第10题3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A． B． C． D．4．（2015•山东德州,第8题3分）下列命题中，真命题的个数是（)①若﹣1＜x＜﹣，则﹣2；②若﹣1≤x≤2，则1≤x2≤4③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB．A．4 B． 3 C． 2 D． 15.（2015•四川巴中,第13题3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．6.（2015，广西玉林，21，6分）根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）7.（2015•贵州省黔东南州,第13题4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）8.（2015•齐齐哈尔,第13题3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF 要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）9.（2015•青海，第10题2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．10.（2015•甘南州第19题 7分）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．【真题演练参考答案】1.（2015•江苏宿迁，第2题3分）若等腰三角形中有两边长分别为2和5的周长为（）A．9 B． 12 C． 7或9 D． 9或12考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．.分析：题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．[来&源:中国^%教@育出版~网] 解答：解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选：B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2.（2015•桂林）（第2题）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A． 110°B． 120°C． 130°D． 140°考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故选B．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．3..（2015•长沙，第10题3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A． B． C． D．考点：三角形的角平分线、中线和高．分析：根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．解答：解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．4．（2015•山东德州,第8题3分）下列命题中，真命题的个数是（)①若﹣1＜x＜﹣，则﹣2；②若﹣1≤x≤2，则1≤x2≤4③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB．A．4 B． 3 C． 2 D． 1考点：命题与定理．.分析：根据分式成立的条件对①进行判断；根据乘方的意义对②进行判断；根据多边形外角和定理对③进行判断；根据互余公式对④进行判断．解答：解：若﹣1＜x＜﹣，﹣2，所以①正确；若﹣1≤x≤2，则0≤x2≤4，所以②错误；凸多边形的外角和为360°，所以③正确；三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，所以④正确．故选B．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．5.（2015•四川巴中,第13题3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是1＜c＜5 ．考点：三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．分析：根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．解答：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．6.（2015，广西玉林，21，6分）根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：OM平分∠BOA ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．分析：根据图中尺规作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，根据全等三角形的判定和性质得到答案．解答：解：结论：OM平分∠BOA，证明：由作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，在△COM和△DOM中，，∴△COM≌△DOM，∴∠COM=∠DOM，∴OM平分∠BOA．点评：本题考查的是角平分线的作法和全等三角形的判定和性质，掌握基本尺规作图的步骤和全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7.（2015•贵州省黔东南州,第13题4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件AB=CD ，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：先根据平行线的性质得∠ABD=∠CDB，加上公共边BD，所以根据“SAS”判断△ABD ≌△CDB时，可添加AB=CD．解答：解：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，而BD=DB，∴当添加AB=CD时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CDB．故答案为AB=CD．点评：本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．8.（2015•齐齐哈尔,第13题3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC=EF或∠BAC=∠EDF ．（只填一个即可）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析： BC=EF或∠BAC=∠EDF，若BC=EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC=∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．解答：解：若添加BC=EF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC=∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC=EF或∠BAC=∠EDF点评：此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．9.（2015•青海，第10题2分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC=DF （只需写一个，不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：求出BC=EF，∠ABC=∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：解：AC=DF，理由是：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC=DF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．10.（2015•甘南州第19题 7分）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．.分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．解答：（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DBF中，，△ABF≌△DBF（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；（2）证明：如图：，MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．。

第22课时等腰三角形
姓名班级
学习目标：
掌握等腰三角形（等边三角形的）性质和判定，能灵活运用其轴对称性解决问题。

学习重难点：
灵活运用等腰三角形的轴对称性解决问题
学习过程：
一、知识梳理
1.相关概念：等腰三角形（腰、底、顶角、底角）、等边三角形（是等腰三角形的特例）．
2.相关性质和判定：
（1）等边对；等角对 .
（2）等腰三角形的顶角、底边上的、底边上的相互重合.
（3）等腰三角形是轴对称图形，（、）所在直线就是它的对称轴（等边三角形共有条对称轴）.
（4）等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于 .
（5）三个角都的三角形是等边三角形；有一个角是的三角形是等边三角形.
3.相关重要结论：等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等；一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半；顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.
二、精典题例
例1、一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是( )
．14
．13 14
B cm
13
A cm
．或D．以上都不对
C cm cm
例2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 ，求该等腰三角形的底角的度数。

三、中考连接
四、反思总结
1.本节课你复习了哪些内容？
2.通过本节课的学习，你还有哪些困难？
五、课堂练习
1．等腰三角形的周长为26cm ，一边长为6cm ，那么腰长为（ ）．
6A cm ． 10B cm ． 610C cm cm ．或 14D cm ．
2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）．
A ．过顶点的直线
B ．底边的垂线。

备考中考数学一轮专题复习学案18三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形．2.三角形中的主要线段：(1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点所得到的线段，叫做三角形这边上的中线．(2)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，连接这个顶点和垂足的线段，叫做三角形这边上的高线（简称三角形的高）．(3)三角形的角平分线：连接三角形的一个顶点和这个角的平分线与对边交点的线段，叫做三角形的角平分线．(4)三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.3.三角形的边之间关系：(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.推论：三角形的两边之差小于第三边.(2)三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围.③证明线段不等关系.【温馨提示】三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围. 4.三角形的角之间关系：(1)三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.推论：①直角三角形的两个锐角互余.②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(2)三角形的外角和等于360°；5.三角形的边与角之间的关系：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.6.三角形的分类：按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩三边都不相等的三角形底边和腰不相等的三角形等腰三角形等边三角形三角形按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形【例1】（2019·石家庄新华区质量检测）将一幅三角尺按图示的方式摆放(两条直角边在同一条直线上，且两锐角顶点重合)，连接另外两条锐角顶点，并测得∠1＝47°，则∠2的度数为( )A. 60°B. 58°C. 45°D. 43°【答案】B ．【解答】如下图，∵∠3＝180°－60°－45°＝75°，∴∠2＝180°－∠1－∠3＝58°. 故选B ．典型例题【例2】（2019·扬州）已知n 是正整数，若一个三角形的3边长分别是n ＋2、n ＋8、3n ，则满足条件的n 的值有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【答案】D ．【解答】由三角形两边之和大于第三边可得：⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）＋（n ＋8）>3n （n ＋2）＋3n >n ＋8（n ＋8）＋3n >n ＋2，解得2<n <10，∵n 是正整数，∴n ＝3，4，5，6，7，8，9，故选D.【例3】（2019·青岛）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F .若∠ABC ＝35°，∠C ＝50°，则∠CDE 的度数为( )A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°【答案】C ．【解答】如下图，∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝35°，∴∠1＝∠2＝17.5°.∵AE ⊥BD ，∴BF 为AE 边上的中线，∴AD ＝DE ，∠5＝90°－∠1＝72.5°.∴∠3＝∠4.∴∠CDE ＝2∠3.∵∠C ＝50°，∴∠BAC ＝95°.∴∠3＝∠BAC －∠5＝22.5°.∴∠CDE ＝2∠3＝45°.故选C ．知识点2：全等三角形知识点梳理1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．2.三角形全等的判定：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）.直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．典型例题【例4】（2019·衡水故城县期末）如图，△ABC ≌△DEC ，点E 在线段AB 上，若∠AED ＋∠BCE ＝52°，则∠ACD 的度数为（ ）A. 25°B. 26°C. 27°D. 28°【答案】B ．【解答】∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ABC ＝∠DEC ，∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE .∵∠AED ＋∠DEC ＋∠CEB ＝180°，∠CEB ＋∠ABC ＋∠BCE ＝180°，∴∠AED ＝∠BCE .∵∠AED ＋∠BCE ＝52°，∴∠AED ＝∠BCE ＝12×52°＝26°.∴∠ACD ＝∠BCE ＝26°． 1.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.21教育名师原创作品推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.知识点梳理知识点3： 等腰三角形（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°—2∠B ，∠B =∠C =2180A ∠-︒ 2.等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.3.等边三角形：(1)定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.(2)性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.(3)判定:三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.【例5】（2019·内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（）A. 16B. 12C. 14D. 12或16【答案】A．【解析】方程x2－8x＋15＝0的两个根为3，5.但长度为3，3，6的三条线段不能构成三角形，故该三角形的三边为5，5，6，即周长为16.故答案为A．1.直角三角形定义:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2. 直角三角形的性质:（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3. 直角三角形的判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4.勾股定理及逆定理：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c 的平方，即：a2+b2=c2;（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【例6】（2019·重庆市12/26）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB 交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A33B3217D13【答案】B．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝3DM3，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'典型例题于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝12×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'，∵S△BDC'＝12BC'•DH＝12BD•CM，DH＝3，∴DH故选：B．1．(2019·荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是( )A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°2.(2019·石家庄藁城区模拟)李老师布置了一道作图作业：“将一条12cm的线段分成三段，然后用这三条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5cm，5cm，2cm；小王：3cm，4cm，5cm；小赵：3cm，3cm，6cm；小张：4cm，4cm，4cm.其中，分法不正确的是( )A．小李B．小王C．小赵D．小张3. (2019·杭州)在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则( )A. 必有一个内角等于30°B. 必有一个内角等于45°C. 必有一个内角等于60°D. 必有一个内角等于90°4. (2019·眉山)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠巩固训练B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是( )A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°5. (2019·张家界)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝13 AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )A. 4B. 3C. 2D. 16. (2018·邯郸二模)三个全等三角形按如图所示的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是( )A. 90°B. 120°C. 135°D. 180°7. （2019·河北中考说明）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC ＝60 cm，AB＝100cm，a，b，c，…，是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a，b，c，…的个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 98. （2018·包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E 分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C＋∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°9. （2018·陕西）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( )A. 423B. 2 2C.823D.3 210.（2019·呼和浩特）下面三个命题①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题序号为________．11. （2019·怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为________．12. （2019·株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB ＝________．13. （2019·成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为________．14. （2019·甘肃）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．15. （2019·盐城）如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．16.（2019·通辽15/26）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．17.（2019·北京市12/28）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．18.(2019·杭州)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B；(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．19.（2019·兰州）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E.求证：AC∥DF.20.（2019·无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O，求证：（1）△DBC≌△ECB；（2）OB＝OC.21. （2019·温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．22.（2019·石家庄十八县联考二）如图，直线a∥b，点M，N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN 上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D，E，设∠NPE＝α.(1)证明：△MPD∽△NPE；(2)当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置；(3)当△NPE是等腰三角形时，求α的值．1．【答案】C.【解析】如下图，可得∠3＝∠2＝45°，∠4＝60°，∴∠1＝45°＋60°＝105°.2．【答案】C.【解析】∵3＋3＝6，不满足三角形两边之和大于第三边∴长为3 cm，巩固训练参考答案3 cm ，6 cm 的三条线段不能作一个三角形，故选C.3．【答案】D.【解析】设这三个内角分别为∠A ，∠B ，∠C ，则∠A ＝∠B －∠C ，移项得∠A ＋∠C ＝∠B ，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴2∠B ＝180°，即∠B ＝90°.4．【答案】C.【解析】∵∠B ＝30°，∠ADC ＝70°，∴∠BAD ＝∠ADC －∠B ＝70°－30°＝40°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAD ＝40°.∴∠C ＝180°－∠ADC －∠DAC ＝180°－70°－40°＝70°.5．【答案】C.【解析】如下图，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵DC ＝13AD ，∴DC ＝14AC .∵AC ＝8，∴DC ＝14×8＝2.∵∠C ＝90°，∴BC ⊥CD .又∵BD 平分∠ABC ，∴DE ＝DC ＝2，故选C .6．【答案】D.【解析】如下图，由图形可得∠1＋∠4＋∠5＋∠8＋∠6＋∠2＋∠3＋∠9＋∠7＝540°，∵三个三角形全等，∴∠4＋∠6＋∠9＝180°.又∵∠5＋∠7＋∠8＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝540°－180°－180°＝180°.7．【答案】D.【解析】如下图．易证△BDE≌△EFG≌△GKH≌△HL M，可得BD＝EF ＝GK＝HL＝BC－DC＝1002－602－72＝8 cm，根据此规律，共有80÷8－1＝9个这样的矩形．8．【答案】D.【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠C＋∠BAC＝145°，∴∠B＝180°－(∠C＋∠BAC)＝180°－145°＝35°.∴∠C＝35°.∵∠DAE＝90°，∴∠ADC＝55°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝45°.∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝55°－45°＝10°.9．【答案】C.【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，AC＝8，∴AD＝AC·sin45°＝8×22＝4 2.∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°－60°＝30°.∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE＝30°.∴∠BAD＝∠ABE，∴AE＝BE，在Rt△BDE中，∵∠DBE＝30°.∴DE＝1 2 BE＝12AE .∵AE ＋DE ＝AD ，∴AE ＋12AE ＝4 2.∴AE ＝823.10．【答案】①②. 【解析】命题①顶角相等的等腰三角形则三角都相等，若有底边相等则两三角形全等；命题②如解图所示，若AB ＝EF ，BC ＝FG ，AH 、EI 分别为BC 、FG 边上的中线，则有△ABH ≌△EFI ，即有∠B ＝∠F ，即有△ABC ≌△EFG ；命题③错误．11．【答案】36°.【解析】这个等腰三角形的顶角为180°－2×72°＝36°.12．【答案】4.【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线，∴AB ＝2MC ，∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点，∴EF 是△CM B 的中位线．又∵EF ＝1，∴MC ＝2EF ＝2.∴AB ＝2MC ＝4.13．【答案】9.【解析】∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE .∴CE ＝BD ＝9.14．【答案】85或14. 【解析】当∠A 为顶角时，则底角∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝50°，此时的特征值k ＝80°50°＝85；当∠A 为底角时，则顶角(∠B 或∠C )＝180°－2∠A ＝20°，此时的特征值k ＝20°80°＝14.故答案为85或14. 15．【答案】2.【解析】如下图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝x ，∵∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝x ，AC ＝2x .∴AB ＝2AC ＝2x .在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝（2x ）2－x 2＝3x ，∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝(3＋1)x ＝6＋2＝2(3＋1)，解得x ＝2，∴AC ＝2.16．【答案】6或25或45．【解析】解：①如图1：当AB ＝AC ＝5，AD ＝4，则BD ＝CD ＝3，∴底边长为6；②如图2：当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝3，∴BD＝2，∴BC＝22+＝25，24∴此时底边长为25；③如图3：当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD22-3，AC CD∴BD＝8，∴BC＝45∴此时底边长为45故答案为：6或5517．【答案】45．【解析】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB ＝∠PAB +∠PBA ＝45°，故答案为：45．18．【解答】(1)证明：∵点P 在AB 的垂直平分线上，∴PA ＝PB .∴∠PAB ＝∠B .∴∠APC ＝∠PAB ＋∠B ＝2∠B ；(2)解：根据题意得BQ ＝BA ，∴∠BAQ ＝∠BQA ，设∠B ＝x ，∴∠AQC ＝∠B ＋∠BAQ ＝3x ，∴∠BAQ ＝∠BQA ＝2x ，在△ABQ 中，x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°，即∠B ＝36°.19．【解答】证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ∠B ＝∠E ，BC ＝EF∴△ABC ≌△DEF (SAS)．∴∠ACB ＝∠DFE .∴AC ∥DF .20．【解答】 (1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵BD ＝CE ，BC ＝BC ,∴△DBC ≌△ECB (SAS)；(2)解：∵△DBC ≌△ECB ，∴∠EBC ＝∠DCB .∴OB ＝OC .21．【解答】(1)证明：∵CF ∥AB ，∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F .∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD .在△BDE 与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FCD ∠BED ＝∠CFD ，BD ＝CD∴△BDE ≌△CDF (AAS )；(2)解：∵△BDE ≌△CDF ，∴BE ＝CF ＝2.∴AB ＝AE ＋BE ＝1＋2＝3.∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴△ABC 为等腰三角形．∴AC ＝AB ＝3.22．【解答】(1)证明：∵a ∥b ，∴∠1＝∠PNE .又∵∠MPD ＝∠NPE ＝α，∴△MPD ∽△NPE ；(2)解：当△MPD 与△NPE 全等时，点P 是MN 的中点；(3)解：①当PN ＝PE 时，∠PNE ＝∠PEN ＝70°.∴α＝180°－∠PNE －∠PEN ＝180°－70°－70°＝40°. ∴α＝40°；②当EP ＝EN 时，α＝∠PNE ＝∠1＝70°；③当NP ＝NE 时，α＝∠PEN ＝180°－∠PNE 2＝180－∠12＝180°－70°2＝55°. 综上所述：α的值为40°或70°或55°.。

第18讲三角形与多边形一、知识梳理三角形概念及其基本元素定义由________直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形叫三角形基本元素三角形有____条边，____个顶点，____个内角三角形的分类1．按角分:三角形形错误!2．按边分：三角形错误!三角形中的重要线段重要线段交点位置中线三角形的三条中线的交点在三角形的______部角平分线三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部高______三角形的三条高的交点在三角形的内部；____三角形的三条高的交点是直角顶点；______三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部三角形的中位线三角形的三边关系三角形的内角和定理及推理多边形多边形的定义在同一平面内，不在同一直线上的一些线段__________相接组成的图形叫做多边形多边形的性质内角和n边形内角和____________外角和任意多边形的外角和为360°多边形对角线n边形共有______条对角线不稳定性n边形具有不稳定性(n>3)拓展n边形的内角中最多有________个是锐角正多边形定义各个角________，各条边________的多边形叫正多边形对称性正多边形都是________对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形平面图形的镶嵌定义用______、______完全相同的一种或几种____________进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的________平面镶嵌的条件在同一顶点的几个角的和等于360°常见形式(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：________个正三角形或________个正四边形或________个正六边形(2)用两种正多边形镶嵌①用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和________个正四边形;②用正三角形和正六边形镶嵌：用________个正三角形和________个正六边形或者用________个正三角形和________个正六边形;③用正四边形和正八边形镶嵌：用________个正四边形和________个正八边形可以镶嵌常见形式（3）用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形,则有60m＋90n＋120k＝360，整理得______________，因为m、n、k为整数,所以m＝______，n＝________，k＝________,即用________块正方形，________块正三角形和________块正六边形可以镶嵌防错提醒能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于360°二、题型、技巧归纳考点一：三角形三边的关系例1 若三角形的两边长分别为6 cm、9 cm，则其第三边的长可能为( ) A．2 cm B．3 cmC．7 cm D．16 cm技巧归纳：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形,通常只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形．考点2三角形的重要线段的应用例2 如图在△ABC中， D,E分别是边AB、AC的中点，BC＝8，则DE＝__________。

中学中考数学第一轮复习导学案相似三角形相似三角形◆课前热身1．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．ADBC? B．BCDF? C．CDBC? D．CDAD? DFCECEADEFBEEFA B C D E F 1题A2.如图所示，给出下列条件：D ①?B??ACD；②?ADC??ACB；B C③ACCD?ABBC；④AC2?ADAB．（第2题图）其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1B．2C．3D．43.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：14.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4. 其中正确的有：（）A．0个B．1个C．2个D．3个【参考答案】 1. A 2. C 3. B 4. D- 1 -AF）◆考点聚焦1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．◆备考兵法1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“_型”“母子型”等．2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．◆考点链接一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法1. 若DE∥BC（A型和_型）则______________．2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=________，CD=_______，BC=__ ____．222ADBEC EABDCCA DB 3. 两个角对应相等的两个三角形__________．4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5. 三边对应成比例的两个三角形___________．三、相似三角形的性质- 2 -1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．◆典例精析例1（山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为米．甲【答案】9.小华乙【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为_米，由相似得1.55，解得_?9，所以路灯甲的高为9米，故填9. ?_30例2（浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4_4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_______．【答案】 P1（1，4），P2（3，4）．点拨：这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性．拓展变式在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有______条．【答案】 3例3 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；- 3 -②E F：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（）A．①③ B．③ C．① D．①②【答案】 B【解析】∵AB∥DC，∴△AEF?∽△CDF，?但本题还有一对相似三角形是△ABC?≌△CD A（全等是相似的特例）．∴①是错的．∵AEEF1??，∴②EF：ED=1：2是错的．CDDF2 ∴S△AEF：S△CDF =1：4，S△AEF：S△ADF =1：2．∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．拓展变式点E是ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】 C ◆迎考精练一、选择题1.（江苏省）如图，在5?5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（） A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格- 4 -D．先向下平移3格，再向右平移2格2.（浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及_，那么_的值（）A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限D．有无数个3.（浙江宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A M BO CN DA．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形4.(浙江义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

课题：11.1.1三角形的边【学习目标】1．认识三角形，•能用符号语言表示三角形，并把三角形分类．2．知道三角形三边不等的关系．3．懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，•并能用于解决有关的问题【学习重点】知道三角形三边不等关系．【学习难点】判断三条线段能否构成一个三角形的方法．【自主学习】学前准备回忆你所学过或知道的三角形的有关知识。

并写出来。

【合作探究】知识点一：三角形概念及分类1、学生自学课本63-64页探究之前内容，并完成下列问题：（1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段___________________所组成的图形叫做三角形。

如图，线段____、______、______是三角形的边；点A 、B 、C 是三角形的______; _____、 ______、_______是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

图中三角形记作__________。

（2）三角形按角分类可分为_____________、______________、_________________。

（3）三角形按边分类可分为 _____________三角形 _____________——————— _____________（4）如图1，等腰三角形ABC 中，AB=AC,腰是__________，底是_________,顶角指_______，底角指_____________.等边三角形DEF 是特殊的_______三角形，DE=____=_____.图1练习一：1、如图2．下列图形中是三角形的有_______________？AB C图22、图3中有几个三角形？用符号表示这些三角形．知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形1、探究：请同学们画一个△ABC，分别量出AB，BC，AC的长，并比较下列各式的大小：AB+BC_____AC AB+ AC _____ BC AC +BC _____ AB从中你可以得出结论：__________________________________________。

第21课时 三角形及其全等班级： 姓名： 学习目标1、了解三角形的相关概念。

2.探索并掌握两个三角形全等的条件。

3.掌握全等三角形性质。

学习重难点三角形全等的条件和相关性质的运用。

学习过程： 一知识梳理 三角形的性质：1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________． 三角形中的主要线段：1.角平分线：三角形的角平分线交于一点，这点叫三角形的内心，它到三角形三边的距离 ，内心也是三角形内切圆的圆心。

2．三角形三边的垂直平分线：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离 ，外心也是三角形外接圆的圆心。

3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 三角形全等判定方法：（简写）① ② ③ ④ 直角三角形全等判定方法（简写） 直角三角形的性质：1. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的____．2. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的____．；3. 勾股定理：_______________________________．4. 勾股定理的逆定理：_____________________． 二典型例题1.三角形及其性质.（1）如图，在Rt △ABC 中，90C ∠︒＝，CAB ∠的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E .若3BC ＝，则DE 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4（2）如图，在等边△ABC 中，点D E ，分别在边BC AC 、上，已知2CD ＝，//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，求EF 的长．2.三角形的全等.（1）如图，四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，△ABO ≌△ADO .下列结论：AC BD CB CD ⊥①；②＝；③△ABC ≌△ADC ；DADC ④＝.其中所有正确结论的序号是__________． （2）（中考指要P64第6题）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，且DF BE =。

第11章 《三角形》复习导学案学习目标：一、复习十一章三角形相关知识点1.三角形的相关概念2.三角形的分类3.三角形的特性4.三角形的高、中线、角平分线5.三角形的内角和定理6.三角形的外角二、掌握三角形知识点的相关题型复习内容：一、 三角形的相关概念1.定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．①组成三角形的线段叫做三角形的边: AB 、 BC 、 AC ②相邻两边的公共端点是三角形的顶点：A 、 B 、 C③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角: ∠A 、∠B 、∠C④三角形有三条边，三个内角，三个顶点.④三角形ABC 用符号表示为△ABC 。

注：直角三角形ABC 表示Rt △ABC ⑤三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示二、三角形的分类按边分类 按角分类当堂练习1判断三角形形状（1）∠1=42° ∠2=48° ∠3=90° 这是__________三角形 （2）∠1=60° ∠2=80° ∠3=40° 这是_________ 三角形 （3）∠1=91° ∠2=80° ∠3=9° 这是__________三角形三．三角形的特性 特性一：具有稳定性特性二： 两边之差<第三边<两边之和当堂练习2.每组中的三根小棒，能围成一个三角形吗？ （1）、3cm ，8cm ， 5cm （ ） （2）、3cm ，1cm ， 7cm （ ）⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩三不等边三角形角形腰与底不相等的等腰三角形等腰三角形腰与底相等的等边三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形（3）、4cm ，6cm， 3cm （）3、已知三角形的三边长分别为2,3,a，那么a的取值范围是（）(A) 1<a<5 (B)3<a<7 (C)4<a<6 (D)2<a<64、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm，这个三角形的周长是________。