高中数学第二章第2课时预习导航学案新人教A版必修84

第2课时 球的体积和表面积问题导学预习教材 P117－P119 的内容，思考以下问题： 1．球的表面积公式是什么？ 2．球的体积公式什么？1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R3S .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√半径为 3 的球的体积是( ) A ．9π B ．81π C ．27πD ．36π解析：选 D. V ＝43π×33＝36π.若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8πD ．4π解析：选 D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π.把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2 倍 B ．22倍 C.2倍D.32倍解析：选 B ．设原球的半径为 R ，表面积扩大 2 倍，则半径扩大2倍，体积扩大 22倍．如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．解析：设小球半径为 1，则大球的表面积 S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.答案：95球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【解析】 (1)设球的半径为R ，则由已知得V ＝43πR 3＝32π3，解得R ＝2.所以球的表面积S ＝4πR 2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ， 故78×43πr 3＝283π， 所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A.【答案】 (1)B (2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 解析：设此球的半径为 R ，则 4πR 2＝43πR 3，R ＝3.答案：32．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积和为 43πR 3＋43πr 3＝364π3.答案：364π3球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)．【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π解析：选B.如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. 所以OM ＝（2）2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. 所以V ＝43π(3)3＝43π.与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3B.2π3C.3π2 D.π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二 球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14， 所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】 14π角度三 球的内接正四面体问题若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积． 【解】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意 2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， 所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四 球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】 ①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r ，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r 2－⎝⎛⎭⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为 13×π×⎝⎛⎭⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332. 【答案】932或332角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R ＝62a .一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内接于⊙O ，而⊙O 1内切于△SAB .设⊙O 的半径为R ， 则有43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9. 所以SE ＝2R ＝18.因为SD ＝16，所以ED ＝2. 连接AE ，又因为SE 是直径，所以SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288， 所以SA ＝12 2. 因为AB ⊥SD ，所以AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝4 2.所以S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，因为△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322， 所以12r ×322＝12×82×16.所以r ＝4.所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36πD ．144π，144π解析：选 B ．球的半径为 3，表面积 S ＝4π·32＝36π，体积 V ＝43π·33＝36π.2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.6π6 B.π2C.2π2D.3π2π解析：选 A ．设正方体棱长为 a ，球半径为 R ，由 6a 2＝4πR 2 得aR ＝2π3，所以V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝ ⎛⎭⎪⎫2π33＝6π6. 3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________． 解析：设球 O 的半径为 r ，则43πr 3＝23，解得 r ＝36π.答案：36π5．已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为 O ，连接 O ′A ，OA ，OO ′， 设球的半径为 R .因为O ′A ＝23×32×2＝233.在 Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2， 所以 R 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋14R 2，所以 R ＝43，所以 S 球＝4πR 2＝649π.[A 基础达标]1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ， 则⎝⎛⎭⎫43πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S 的值是( ) A ．4π B ．32 C ．24D ．12π解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a ，由题意知球的半径为2，则3a 2＝16，所以a 2＝163，正方体的表面积S ＝6a 2＝6×163＝32. 3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3B.8π3 C ．82πD.82π3解析：选D.设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1， 由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2， 所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D.4．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A.r h2B.r 2h 4C. 3r 2h 4D.r 2h 2解析：选C.设铁球的半径为 R ，因为13πr 2h ＝43πR 3，所以R ＝ 3r 2h4.5．已知A ，B 是球O 的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．当三棱锥O -ABC 的体积取得最大值时，则过A ，B ，C 三点的截面的面积为 ( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．36π解析：选A.因为O 为球心，∠AOB ＝90°，所以截面AOB 为球大圆，所以当动点C 满足OC ⊥平面OAB 时， 三棱锥O -ABC 的体积最大， 此时，OA ＝OB ＝OC ＝R ＝3， 则AB ＝AC ＝BC ＝32，所以截面ABC 的圆心O ′为△ABC 的中心，所以圆O ′的半径r ＝O ′C ＝32×33＝6， 所以截面ABC 的面积为π×(6)2＝6π，故选A.6．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．解析：球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为32＋42＋52＝52，外接球的半径为522.外接球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫5222＝50π.答案：50π7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1S 2＝________．解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S 1＝6π，S 2＝4π.所以S 1S 2＝6π4π＝32.答案：328.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．解：如图，在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE ，AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，所以BE ＝6，在Rt △BEE 1中，BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23，所以2R ＝23，则R ＝3，所以球的体积V 球＝43πR 3＝43π， 球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.[B 能力提升]11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球＜S 圆柱＜S 正方体B ．S 正方体＜S 球＜S 圆柱C ．S 圆柱＜S 球＜S 正方体D ．S 球＜S 正方体＜S 圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r ，球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝⎛⎭⎫R r 3＝32，⎝⎛⎭⎫a r 3＝2π， S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝⎛⎭⎫R r 2＝ 323＜1， S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝⎛⎭⎫a r 2＝ 34π＞1.故选A. 12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3 解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43πr 3＝323π，得r ＝2.由S 柱底＝12a ×r ×3＝34a 2，得a ＝23r ＝43，所以V 柱＝S 柱底·2r ＝48 3.13．如图，ABCD 是正方形，BD ︵是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB为轴旋转一周，则图中 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积之比为________．解析：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球．设正方形的边长为 a ，则Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积分别为 V Ⅰ、V Ⅱ、V Ⅲ，则 V Ⅰ＝13πa 3，V Ⅱ＝43πa 3÷2－13πa 3＝13πa 3，V Ⅲ＝πa 3－43πa 3÷2＝13πa 3. 所以三部分所得旋转体的体积之比为 1∶1∶1.答案： 1∶1∶114．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x ，对角线长为2，截面的面积为A .(1)求面积A 以x 为自变量的函数关系式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值．解：(1)横截面如图长方形所示，由题意得A ＝x ·4－x 2(0<x <2)．(2)V ＝1·x 4－x 2＝－（x 2－2）2＋4，由上述知0<x <2，所以当x ＝2时，V max ＝2.即截得棱柱的体积的最大值为2.[C 拓展探究] 15．如图是某几何体的三视图．(1)求该几何体外接球的体积；(2)求该几何体内切球的半径．解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，以DC ，DB ，DA 为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R ＝1222＋22＋12＝32， 所以该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝92π. (2)设内切球的球心为O ，半径为r ，则V A ­BCD ＝V O ­ADB ＋V O ­ADC ＋V O ­DCB ＋V O ­ABC .即13×12×2×2×1 ＝13×12×2×2r ＋13×12×2×r ＋13×12×2×r ＋13×12×22×3r ， 得r ＝24＋6＝4－65. 所以该几何体内切球的半径为4－65.。

第2课时 利用基本不等式求最值1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x 、y >0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64.( ) (2)若ab ＝2，则a ＋b 的最小值为2 2.( ) (3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( )(4)若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一利用基本不等式求最值【典例1】 (1)若x >0，求y ＝4x ＋9x的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0， ∴由基本不等式得y ＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12，当且仅当4x ＝9x ，即x ＝32时，y ＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2 ≥2(x －2)·4x －2＋2＝6. 当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6. (4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y＝1时等号成立， 即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.[变式] (1)本例(3)中，把“x >2”改为“x <2”，则x ＋4x －2的最值又如何？ (2)本例(3)中，条件不变，改为求x 2－2x ＋4x －2的最小值．[解] (1)∵x <2，∴2－x >0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2≤－2 (2－x )·42－x＋2＝－2.当且仅当2－x ＝42－x，即x ＝0时，x ＋4x －2取最大值－2. (2)x 2－2x ＋4x －2＝(x －2)2＋2(x －2)＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 (x －2)·4x －2＋2＝6 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，原式有最小值6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同． [针对训练]1．已知x ，y >0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．[解析] ∵x ，y >0， ∴x 3＋y 4＝1≥2 xy12， 得xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4即x ＝32，y ＝2时，取“＝”号，∴xy 的最大值为3.[答案] 32．已知x ，y >0，且x ＋y ＝4，则1x ＋3y的最小值为________．[解析] ∵x ，y >0，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋23，当且仅当y x ＝3xy， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号， 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. [答案] 1＋323．若x <3，则实数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为________． [解析] ∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取“＝”号．∴f (x )的最大值为－1. [答案] －1题型二利用基本不等式解决实际问题【典例2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[思路导引] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则问题是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值．[解] (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二：∵2x ＋3y ＝18，∴S ＝xy ＝16·(2x )·(3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝816＝272.(以下同解法一)(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．[针对训练]4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000 m 2的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000 x ＝10800x .于是每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10800x＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x (x ≥10)，当x ＋225x取最小时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x≥2x ·225x＝30，当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．课堂归纳小结1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意： (1)x ，y 一定要都是正数；(2)求积xy 最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 最小值时，应看积xy 是否为定值；(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．3．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( )A.13B.12C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．课后作业(十二)复习巩固一、选择题1．当x >0时，y ＝12x＋4x 的最小值为( )A ．4B ．8C ．8 3D ．16 [解析] ∵x >0，∴12x >0,4x >0.∴y ＝12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，y 的最小值为8 3.[答案] C2．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．15[解析] (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝x ·1x ＋4x y ＋y x ＋y ·4y ＝1＋4＋4x y ＋y x ≥5＋24x y ·yx＝9.[答案] B3．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64[解析] 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.[答案] D4．已知p >0，q >0，p ＋q ＝1，且x ＝p ＋1p ，y ＝q ＋1q，则x ＋y 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由p ＋q ＝1，∴x ＋y ＝p ＋1p ＋q ＋1q ＝1＋1p ＋1q＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋1q (p ＋q )＝1＋2＋q p ＋p q ≥3＋2q p ·pq＝5，当且仅当q p ＝p q 即p ＝q ＝12时取等号，所以B 选项是正确的． [答案] B 5．若a <1，则a ＋1a －1有最________(填“大”或“小”)值，为________． [解析] ∵a <1， ∴a －1<0， ∴－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2， ∴a －1＋1a －1≤－2， ∴a ＋1a －1≤－1. 当且仅当a ＝0时取等号． [答案] 大 －1 二、填空题6．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．[答案] 127．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．[解析] ∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1， ∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2.[答案] 3＋2 28．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．[解析] 每年购买次数为400x次．∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．[答案] 20 三、解答题9．已知a ，b ，x ，y >0，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .[解] x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 故(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18，① 又a ＋b ＝10，②由①②可得{ a ＝2，b ＝8或{ a ＝8，b ＝2. 10．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x ，∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8 ＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2(x －8)×16x －8＋10 ＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.解法二：由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2x y ＋10≥2 8y x ·2x y＋10 ＝18.当且仅当8y x ＝2x y，即x ＝2y ＝12时等号成立， ∴x ＋y 的最小值是18.综合运用11．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 [解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. [答案] C12．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． [答案] C13．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． [解析] 因为x >0，所以x ＋1x≥2， 当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 14．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________． [解析] ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1， ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.[答案] 915．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解] 设矩形温室的一边长为x m ，则另一边长为800xm(2<x <200)．依题意得种植面积：S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －4＝800－1600x －4x ＋8 ＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x ＋4x ≤808－21600x ·4x ＝648， 当且仅当1600x ＝4x ，即x ＝20时，等号成立．即当矩形温室的一边长为20 m ，另一边长为40 m 时种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.。

§2.2.4 平面与平面平行的性质学习目标1. 掌握两个平面平行的性质定理；2. 灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.60~ P 61，找出疑惑之处）复习1：直线与平面平行的性质定理是_____________________________________________.复习2：平面与平面平行的判定定理是_____________________________________________.讨论：如果平面α和平面β平行,那么平面α内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系?二、新课导学※ 探索新知探究：平面与平面平行的性质定理问题1：如图8-1，平面α和平面β平行，a α⊂.请在图中的平面β内画一条直线b 和a 平行.问题2：在图8-1中，把平行直线,a b 所确定的平面作出来，并且表示为γ.问题3：在你所画的图中，平面γ和平面α、β是相交平面，直线,a b 分别是γ和α、β的交线，并且它们是平行的.根据以上的论述，你能得出什么结论？请把它用符号语言写在下面.问题4：在图8-2中，任意再作一个平面与,αβ都相交，得到的两条交线平行吗？和你上面得出的结论相符吗？你能从理论上证明吗？图8-2新知：两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.反思：定理的实质是什么?※ 典型例题例1 如图8-3，α∥β，AB ∥CD ，且A α∈，C α∈，B β∈，D β∈.求证：AB CD =.图8-3例 2 已知平面α∥平面β,,AB CD 夹在,αβ之间，,A C α∈，,B D β∈，,E F 分别为,AB CD 的中点，求证：EF ∥α，EF ∥β.(提示：注意,AB CD 的关系)小结：应用两个平面平行的性质定理关键要找到和这两个面相交的平面.※ 动手试试练. 已知平面α∥平面β,,A C α∈，,B D β∈，直线AB 与CD 交于点S ，且8AS =,9BS =，34CD =,⑴当S 在,αβ之间时，CS 长多少？⑵当S 不在,αβ之间时，CS 长又是多少？三、总结提升※ 学习小结1. 平面与平面平行的性质定理及应用；2. 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的相互转换.※ 知识拓展两个平面平行，还有如下结论：⑴如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面；⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面. ⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交. 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题错误的是（ ）.A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交B.平行于同一个平面的两个平面平行C.平行于同一条直线的两条直线平行D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交2. ,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：①m α⊂，n ∥α，则m ∥n②m α⊂，m ∥β，则α∥β③n αβ=，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β上面结论正确的有（ ）.A.0个B.1个C.2个D.3个3. 3个平面把空间分成6个部分，则（ ）.A.三平面共线B.三平面两两相交C.有两平面平行且都与第三平面相交D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交4. 直线与两个平行平面中的一个平行，则它与另一平面_______________.5. 一个平面上有两点到另一个平面的距离相等，则这两个平面________________. 课后作业1. 如图8-4：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN ， 求证：//MN 平面SDC图8-42. 设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111A B C D 的中心，如图8-5证明：⑴PQ ∥平面11AA B B ；⑵面1D PQ ∥面1C DB .图8-5C。

2.4 向量的应用
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1．向量在平面几何中的应用
自主思考用向量处理问题时，选择向量的基底应遵循哪些基本原则？提示：选择适当的基向量的基本原则是：
(1)不共线；
(2)基向量的长度最好是确定的；
(3)基向量的夹角最好是明确的(直角最合适)；
(4)尽量使基向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形．2．向量在解析几何中的应用
(1)若直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a＝(m，n)平行于l，则k＝tan α＝n
m
；
反之，若直线l的斜率k＝n
m
，则向量(m，n)一定与该直线平行；
(2)向量(1，k)与直线l：y＝kx＋b平行；
(3)与a＝(m，n)平行且过点P(x0，y0)的直线方程为n(x－x0)－m(y－y0)＝0；
(4) 过点P(x0，y0)，且与向量a＝(m，n)垂直的直线方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＝0．3．向量在物理中的应用。

第2课时 双曲线、抛物线的参数方程[核心必知]1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ，规定参数φ的取值X 围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sec φ．2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈R ．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．[问题思考]1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？提示：参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在x 轴上； 如果y 对应的参数形式是a sec φ，那么焦点在y 轴上．3．假设抛物线的参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M ，以射线OM 为终边的角．在双曲线x 2－y 2＝1上求一点P ，使P 到直线y ＝x 的距离为 2.[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P 点的坐标，建立方程求解．设P 的坐标为(sec φ，tan φ)，由P 到直线x －y ＝0的距离为2得|sec φ－tan φ|2＝2得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| 平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得sin φ＝1或sin φ＝－35.sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45.∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．——————————————————参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点． 证明：设双曲线为x 2－y 2＝a 2，取顶点A (a ，0)，弦B ′B ∥Ox ，B (a sec α，a tan α)，那么B ′(－a sec α，a tan α)．∵k B ′A ＝a tan α－a sec α－a ，k BA ＝a tan αa sec α－a，∴k B ′A ·k BA ＝－1.∴以BB ′为直径的圆过双曲线的顶点．连接原点O 和抛物线2y ＝x 2上的动点M ，延长OM 到P 点，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线．[精讲详析] 此题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解答此题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M 、P 的坐标，然后借助中点坐标公式求解．设M (x 、y )为抛物线上的动点，P (x 0，y 0)在抛物线的延长线上，且M 为线段OP 的中点，抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2， 变形为y 0＝14x 20，即x 2＝4y .表示的为抛物线．——————————————————在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x ，y 表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标2．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t (t 为参数)，设O 为坐标原点，点M 在抛物线C 上，且点M 的纵坐标为2，求点M 到抛物线焦点的距离．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t得y 2＝2x ，即抛物线的标准方程为y 2＝2x . 又∵M 点的纵坐标为2， ∴M 点的横坐标也为2. 即M (2，2)．又∵抛物线的准线方程为x ＝－12.∴由抛物线的定义知|MF |＝2－(－12)＝2＋12＝52.即点M 到抛物线焦点的距离为52.如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离．[精讲详析] 此题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答此题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据条件求出椭圆的参数方程求解即可．∵x 216－y 29＝1，∴右焦点(5，0)，右顶点(4，0)．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a ＝5，c ＝4，b ＝3.∴方程为x 225＋y 29＝1.设椭圆上一点P (5cos θ，3sin θ)， 双曲线一渐近线为3x －4y ＝0，∴点P 到直线的距离d ＝|3×5cos θ－12sin θ|5＝3|41sin 〔θ－φ〕|5(tan φ＝54)．∴d max ＝3415.——————————————————对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同，当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要．3．(某某高考)两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为______________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得x ＝54y 2.联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，x ＝54y2那么5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2＝－4(舍去)，那么x ＝54y 2＝1.又y ≥0，所以其交点坐标为(1，255)．答案：(1，255)本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互化．某某高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义的应用，属低档题．[考题印证](某某高考)抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .假设|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，那么p ＝________．[命题立意] 此题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化及抛物线定义的应用． [解析] 由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在Rt △EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2一、选择题1．以下参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：选D 注意参数X 围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.2．以下双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B 由x ＝3sec θ得，x 2＝3cos 2θ＝3〔sin 2θ＋cos 2θ〕cos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适．3．过点M (2，4)且与抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝4t 只有一个公共点的直线有( )条( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2y ＝4t 得y 2＝8x .∴点M (2，4)在抛物线上．∴过点M (2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条．4．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－t，y ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的上支 C ．双曲线下支 D ．圆解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t>0，2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，即y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支．二、填空题5．(某某高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．解析：代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y 2＝4x ，那么焦点坐标为(1，0)． 答案：(1，0)6．抛物线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，P (x ，y )是线段OM 的中点，那么点P 的轨迹普通方程为________．解析：抛物线的普通方程为y 2＝2x ，设点P (x ，y )，点M 为(x 1，y 1)(x 1≠0)，那么x 1＝2x ，y 1＝2y .∵点M 在抛物线上，且点M 与O 不重合， ∴4y 2＝4x ⇒y 2＝x .(x ≠0) 答案：y 2＝x (x ≠0)7．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的两焦点坐标是________．解析：双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α(α为参数)的标准方程为y 236－x 212＝1，焦点在y 轴上，c 2＝a 2＋b 2＝48. ∴焦点坐标为(0，±43)． 答案：(0，±43)8．(某某高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，那么曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1) 三、解答题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 、B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P (x 0，0)，求证：|x 0|>a 2＋b 2a.证明：设A 、B 坐标分别为(a sec α，b tan α)，(a sec β，b tan β)，那么中点为M (a2(sec α＋sec β)，b2(tan α＋tan β))，于是线段AB 中垂线方程为y －b2(tan α＋tan β)＝－a 〔sec α－sec β〕b 〔tan α－tan β〕[x －a2(sec α＋sec β)]．将P (x 0，0)代入上式，∴x 0＝a 2＋b 22a(sec α＋sec β)．∵A 、B 是双曲线同支上的不同两点， ∴|sec α＋sec β|>2.∴|x 0|>a 2＋b 2a.10．过点A (1，0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M 、N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 22，8t 2)， 那么k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2. 又设MN 的中点为P (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴kAP＝4〔t 1＋t 2〕4〔t 21＋t 22〕－1. 由k MN ＝k AP 知t 1·t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4〔t 21＋t 22〕，y ＝4〔t 1＋t 2〕， 那么y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16(x 4－14)＝4(x －1)．∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．11．圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P 、Q 两点距离的最小值．解：设Q (sec θ，tan θ)，|O 1P |＝1， 又|O 1Q |2＝sec 2θ＋(tan θ－2)2＝(tan 2θ＋1)＋(tan 2θ－4tan θ＋4) ＝2tan 2θ－4tan θ＋5 ＝2(tan θ－1)2＋3.当tan θ＝1，即θ＝π4时，|O 1Q |2取最小值3，此时有|O 1Q |min ＝ 3. 又|PQ |≥|O 1Q |－|O 1P | ∴|PQ |min ＝3－1.。

2.4 向量的应用
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1．向量在平面几何中的应用
自主思考 用向量处理问题时，选择向量的基底应遵循哪些基本原则？
提示：选择适当的基向量的基本原则是：
(1)不共线；
(2)基向量的长度最好是确定的；
(3)基向量的夹角最好是明确的(直角最合适)；
(4)尽量使基向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形．
2．向量在解析几何中的应用
(1)若直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝tan α＝n m
；反之，若直线l 的斜
率k＝n
m
，则向量(m，n)一定与该直线平行；
(2)向量(1，k)与直线l：y＝kx＋b平行；
(3)与a＝(m，n)平行且过点P(x0，y0)的直线方程为n(x－x0)－m(y－y0)＝0；
(4) 过点P(x0，y0)，且与向量a＝(m，n)垂直的直线方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＝0．3．向量在物理中的应用。

8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系8．4.1 平 面问题导学预习教材P124－P127的内容，思考以下问题： 1．教材中是如何定义平面的？ 2．平面的表示方法有哪些？3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？ 4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？1．平面 (1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．(2)平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．(3)平面的表示方法我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD 、平面AC 或者平面BD ．■名师点拨(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．2．点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．平面的性质在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：4．平面性质的三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．( ) (2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些．( ) (3)直线a 与直线b 相交于点A ，可用符号表示为a ∩b ＝A .( ) (4)平面ABCD 的面积为100 m 2.( ) (5)过三点A ，B ，C 有且只有一个平面．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×若一直线a在平面α内，则正确的图形是()解析：选A.选项B，C，D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α解析：选A.观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是()A．因为A∈α，B∈α，所以AB∈αB．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝aC．因为A∈a，a⊂α，所以A∈αD．因为A∉a，a⊂α，所以A∉α解析：选C.对于A，直线AB在平面α内，应为AB⊂α，故A错误；对于B，直线a在平面α，β内，应为a⊂α，a⊂β，故B错误；对于C，因为A∈a，a⊂α，所以A∈α，故C正确；对于D，A∉a，a⊂α，有可能A∈α，故D错误．故选C.已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：(1)点C与平面β：____________．(2)点A与平面α：____________．(3)直线AB与平面α：__________．(4)直线CD与平面α：__________．(5)平面α与平面β：____________．答案：(1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α＝B(4)CD⊂α(5)α∩β＝BD图形、文字、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.【解】(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解：(1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.2．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝直线AB，直线a⊂α，直线b⊂β，a∥AB，b∥AB. 解：图形如图所示．点、线共面问题证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一：(纳入平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.所以直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：(辅助平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．所以平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内．证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．已知直线a ∥b ，直线l 与a ，b 都相交，求证：过a ，b ，l 有且只有一个平面．证明：如图所示．由已知a ∥b ，所以过a ，b 有且只有一个平面α. 设a ∩l ＝A ，b ∩l ＝B ，所以A ∈α，B ∈α，且A ∈l ，B ∈l ， 所以l ⊂α.即过a ，b ，l 有且只有一个平面．三点共线、三线共点问题如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、AA 1的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．【证明】 连接EF ，D 1C ，A 1B ， 因为E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，所以EF ═∥12A 1B . 又因为A 1B ═∥D 1C ， 所以EF ═∥12D 1C ， 所以E ，F ，D 1，C 四点共面， 可设D 1F ∩CE ＝P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ， 所以点P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点．又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以据基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．证明：因为D1F∩CE＝M，且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．1．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点，如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，且M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．1．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．2．经过同一条直线上的3个点的平面()A．有且只有一个B．有且只有3个C．有无数个D．不存在解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点．3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A.因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．5．说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．解：直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．[A基础达标]1．下列说法中正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点解析：选C.不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B 不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确，故选C.2．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合解析：选C.选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：选B.由题意知GH⊂平面ADC，GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由基本事实3可知点P一定在直线AC上．5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()解析：选D.在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.答案：∈7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．答案：1或4 8．看图填空：(1)平面AB 1∩平面A 1C 1＝________； (2)平面A 1C 1CA ∩平面AC ＝________．答案：A 1B 1 AC9．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB 分别是两个平面的交线．解：以AB 为其中一边，分别画出来表示平面的平行四边形．如图．10．已知空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)直线FH ，EG ，AC 共点．证明：(1)连接EF ，GH .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ═∥12BD ，因为G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .所以GH ═∥13BD ， 所以EF ∥GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ═∥12BD ，因为G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .所以GH ═∥13BD ， 所以EF ∥GH ，且EF ≠GH ，所以四边形EFHG 是梯形， 设两腰EG ，FH 相交于一点T . 因为EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ，所以T ∈平面ABC ，且T ∈平面ACD ，又平面ABC ∩平面ACD ＝AC ， 所以T ∈AC ，即直线EG ，FH ，AC 相交于一点T .[B 能力提升]11．空间四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，那么这四点中( ) A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线解析：选B.若AB ∥CD ，则AB ，CD 共面，但A ，B ，C ，D 任何三点都不共线，故排除A ，C ；若直线l 与直线外一点A 在同一平面内，且B ，C ，D 三点在直线l 上，所以排除D.故选B.12．如图，平面α∩平面β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AB ∩l＝D ，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )A ．点AB ．点BC ．点C ，但不过点DD ．点C 和点D解析：选D.根据基本事实判定点C 和点D 既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB＝13BB 1，那么正方体过点M ，N ，C 1的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：选C.在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1.如图，延长C 1M 交CD 的延长线于点P ，延长C 1N 交CB 的延长线于点Q ，连接PQ 交AD于点E ，AB 于点F ，连接NF ，ME ，则正方体过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形，故选C.14.如图所示，AB ∩α＝P ，CD ∩α＝P ，A ，D 与B ，C 分别在平面α的两侧，AC ∩α＝Q ，BD ∩α＝R .求证：P ，Q ，R 三点共线．证明：因为AB ∩α＝P ，CD ∩α＝P ， 所以AB ∩CD ＝P .所以AB ，CD 可确定一个平面，设为β. 因为A ∈AB ，C ∈CD ，B ∈AB ，D ∈CD ， 所以A ∈β，C ∈β，B ∈β，D ∈β. 所以AC ⊂β，BD ⊂β，平面α，β相交． 因为AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，BD ∩α＝R ， 所以P ，Q ，R 三点是平面α与平面β的公共点．所以P ，Q ，R 都在α与β的交线上，故P ，Q ，R 三点共线．[C 拓展探究]15．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设线段A 1C 与平面ABC 1D 1交于点Q ，求证：B ，Q ，D 1三点共线．证明：如图，连接A 1B ，CD 1，显然B ∈平面A 1BCD 1，D 1∈平面A 1BCD 1.所以BD 1⊂平面A 1BCD 1. 同理BD 1⊂平面ABC 1D 1所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1.又因为A1C⊂平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1.所以Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，所以B，Q，D1三点共线．。

2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面平行的判定2．2.2平面与平面平行的判定[学习目标]1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．[知识链接]1．直线与平面的位置关系有平行、相交、直线在平面内．2．直线a 与平面α平行的定义：直线与平面无公共点．[预习导引]a ∥β，b ∥β要点一线面平行判定定理的应用例1如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：(1)EH ∥平面BCD ；(2)BD ∥平面EFGH .证明(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.规律方法 1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．跟踪演练1如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.证明连接AC交BD于点O，连接OM.∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA.∵OM⊂平面MDB，SA⊄平面MDB，∴SA∥平面MDB.要点二面面平行判定定理的应用例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.规律方法 1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．跟踪演练2如图，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明平面GFE∥平面PCB.证明因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB.所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.要点三线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC 上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．解如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G 作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC.又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC，∴平面BGF与平面AEC无公共点，∴BF与平面AEC无公共点．∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．而GF∥CE，∴F 为PC 的中点．因此，当点F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC .规律方法要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→面面平行的判定面面平行跟踪演练3如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB .求证：MN ∥平面SBC .解连接AN 并延长交BC 于P ，连接SP ，因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNP，又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝ANNP ，所以MN ∥SP .又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .1．过直线l 外两点，作与l 平行的平面，则这样的平面()A ．不可能作出B ．只能作出一个C ．能作出无数个D ．上述三种情况都存在答案D解析设直线外两点为A 、B ，若直线AB ∥l ，则过A 、B 可作无数个平面与l 平行；若直线AB 与l 异面，则只能作一个平面与l 平行；若直线AB 与l 相交，则过A 、B 没有平面与l 平行．2．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b答案D解析A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确．3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案B解析直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交，故选B.4．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H 1E ∥平面E 1FG 1，又H 1E ∩EG ＝E ，∴平面E 1FG 1∥平面EGH 1.5．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α的位置关系是________．答案CD ∥α解析因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD ∥α.1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．一、基础达标1．已知三个平面α，β，γ，一条直线l ，要得到α∥β，必须满足下列条件中的()A ．l ∥α，l ∥β，且l ∥γB ．l ⊂γ，且l ∥α，l ∥βC ．α∥γ，且β∥γD ．l 与α，β所成的角相等答案C解析α∥γ⇒α与γβ∥γ⇒β与γα与β无公共点⇒α∥β.2．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β”的是()答案D解析A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行答案B解析如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.4．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为() A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．5．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．答案平行或相交解析三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．7．如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点，求证：DF ∥平面ABC .证明如图所示，取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别是BE ，AB 的中点，∴FG ∥AE ，FG ＝12AE .又∵AE ＝2a ，CD ＝a ，∴CD ＝12AE .又AE ∥CD ，∴CD ∥FG ，CD ＝FG ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴DF ∥CG .又CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .二、能力提升8．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是()A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC ．l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β⇒α∥βD ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝M ⇒α∥β答案D解析如图所示，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B 错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．9．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．答案平行解析如图，延长AG交BC于F，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.10．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．11．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.证明连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O 是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.三、探究与创新12.如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点．求证：平面CEM∥平面BFN.证明因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1B，易知FN∥CD1.同理，ME∥A1B.易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.连接MD1，同理可得MD1∥BF.又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，故平面CEM∥平面BFN.13．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.证明因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，所以△ABC ∽△EFG ，∠EGF ＝90°，由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .如图，连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ，因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .。

第2课时 对数的运算 学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重点).2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重点)．预习教材P64－P65，完成下面问题：知识点1 对数的运算性质 若a >0且a ≠1，M >0，N >0，则有：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N .(2)log a M N＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( )(3)log a (－2)3＝3log a (－2)．( )提示 (1)√ 根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)× 根据对数的运算性质可知log a (xy )＝log a x ＋log a y ；(3)× 公式log a M n ＝n log a M (n ∈R )中的M 应为大于0的数．知识点2 换底公式log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)． 【预习评价】(1)log 35·log 56·log 69＝________.(2)若log 34×log 48×log 8m ＝log 416，则m ＝________.解析 (1)原式＝lg 5lg 3·lg 6lg 5·lg 9lg 6＝lg 9lg 3＝2lg 3lg 3＝2. (2)原方程可化为lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9. 答案 (1)2 (2)9题型一 利用对数的运算性质化简、求值【例1】 计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解 (1)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10 ＝12. 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.规律方法 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．【训练1】 计算下列各式的值：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27. 解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12 lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.题型二 利用换底公式化简、求值 【例2】 (1)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. (2)已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645的值．(1)解析 原式＝⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝5lg 36lg 2×3lg 22lg 3＝54. 答案 54 (2)解 法一 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 法二 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 法三 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a . 规律方法 利用换底公式化简与求值的思路【训练2】 (1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值．解 (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ， ∴lg 2＝3－a 2alg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . (2)法一 原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二 原式＝⎝⎛⎭⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎫13lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫3lg 2lg 5＝13.法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13. 题型三 利用对数式与指数式的互化解题【例3】 (1)设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b的值； (2)已知2x ＝3y ＝5z ，且1x ＋1y ＋1z＝1，求x ，y ，z . 解 (1)法一 由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436，由换底公式得1a ＝log 363，1b＝log 364， ∴2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1. 法二 由3a ＝4b ＝36，两边取以6为底数的对数，得a log 63＝b log 64＝log 636＝2，∴2a ＝log 63，1b ＝12log 64＝log 62， ∴2a ＋1b＝log 63＋log 62＝log 66＝1. (2)令2x ＝3y ＝5z ＝k (k >0)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 5， 由1x ＋1y ＋1z＝1，得log k 2＋log k 3＋log k 5＝log k 30＝1， ∴k ＝30，∴x ＝log 230＝1＋log 215，y ＝log 330＝1＋log 310，z ＝log 530＝1＋log 56.规律方法 利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k (k >0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．【训练3】 已知3a ＝5b ＝M ，且1a ＋1b＝2，则M ＝________. 解析 由3a ＝5b ＝M ，得a ＝log 3M ，b ＝log 5M ，故1a ＋1b＝log M 3＋log M 5＝log M 15＝2， ∴M ＝15.答案 15课堂达标1．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 5 解析 lg2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝⎛⎭⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A ． 答案 A 2．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2解析 原式＝log 323－2log 32－2log 33＝log 32－2＝a －2.答案 A3．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．解析 log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg b lg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81. 答案 814．已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n＝________. 解析 因为m ＝log 210，n ＝log 510，所以1m ＋1n＝log 102＋log 105＝lg 10＝1. 答案 15．求下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2. 解 (1)法一 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二 原式＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 32(lg 2＋lg 3)＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12. 课堂小结1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ，③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．。