K1.18 连续系统稳定性判别

§ 5.3 稳定性判别方法1. 线性定常系统的稳定性判别 定理5.6 设()()x x =t A t . (5.11)则(i)平衡点稳定⇔ A 的所有特征值的实部非正, 且实部为零的特征值对应着一阶约当块； (ii)平衡点渐近稳定⇔ A 的所有特征值实部为负. 证 (i)因是线性系统,只需证明平衡点e x 0=的稳定性.设 11m J T AT J J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(注:与能控标准变换不同) 其中,1,2,i J i m =为约当块，则111000e ()e e e m J tAt Jt J t x t x T T x T T x --⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而ei J t的非零元素形如e i t λ或e i i k t t λi i i j λαβ=+−−−−→e i i t j tαβ+或ei i i k t j tt αβ+i k ≤约当块阶数减1.如10i J λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 则 1211111()e010i J ts s s s s λλλλλ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎛⎫--⎢⎥ ⎪==⎢⎥⎪-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦L L ee 0e tttt λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若0i α<. 则lim e0i i i k t j tt t αβ+→+∞=→ei i i k t j tt αβ+有界；若0i α=且对应一阶约当块→e i j tβ也有界.故有K > 0， 使e,0AtK t ≤≥.其中ijija∑对0ε∀>，取/K δε=. 当00x δ-<时. 有00()e Atx t x K x ε=≤<,故稳定；(ii)若全为0i α<, 则全lim e0i i i k t j tt t αβ+→+∞=→渐近稳定.例5.1 设系统矩阵分别如下：010101(1);(2);(3)000212A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 试判别e x 0=的稳定性. 解(1) 由2()λλ∆=, 得0λ=(2重), e x 0=不稳定. (2) 由()(2)λλλ∆=+, 得120λ=-<和20λ=, 因20λ=对应一阶约当块→e x 0=是稳定的.(3) 由2()(1)λλ∆=+,得1,210λ=-< e x 0=渐近稳定.若3n ≥, 常用Hurwitz 判别法(介绍).定理5.7 常系数n 次代数方程101100,(0)n n n n a a a a a λλλ--++++=>的所有根的具有负实部⇔下列不等式同时成立：1101123321325430,0,0,a a a a a a a a a a a a a ∆∆∆=>=>=> 1031021222324000200n n n n nna a a a a a a a a a a ∆----=>.其中12210n n n a a a ++-====.例5.2 验证系统矩阵为211110111A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦时, e x 0=是渐近稳定的. 证 由320211||11453,111(10)I A a λλλλλλλ+--=-+=+++--+=>.得 00a > 及1140,a∆==>10 23241170, 35a aa a∆===>332510,a∆∆==>由Hurwitz判别法→所有特征值有负实部→渐近稳定. 对非线性系统, 常用李雅普诺夫判别法.2. 稳定性的李雅普诺夫判别法(介绍)(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似) 设n 维非线性系统为()()(),x t F x t t =, (,)0e F x t = (5.12)且n 维向量函数(),F x t 对x 有连续偏导. 将(),F x t 在e x 处展成泰勒级数, 得()[()]ee e Tx x F x x x R x x x=∂=-+-∂. (5.13)其中[]R ⋅为e x x -的高阶项, 而111122221212n n T nn n n f f f x x x f f f F x x x x f f f x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂⎢⎥∂∂∂=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦称为雅可比矩阵.令e x x x =-和eT x x F A x =∂=∂, 得线性化方程：x Ax =. (5.14)李雅普诺夫给出下述结论：(i) 若A 的所有特征值实部为负,则系统在平衡点e x 是渐近稳定的, 且与[]R ⋅无关；(ii) 若A 的特征值中有一个具有正实部,则系统在平衡点e x 是不稳定的；(iii)若A 的特征值中有一个实部为零,则系统在平衡点e x 的稳定性与[]R ⋅有关.例5.3 设非线性系统为11122212,,x x x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 试判平衡点[]00Te x =的稳定性.解 由0e x =处的雅可比矩阵为 21210110101x x x A x x =--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦, 得121,1λλ=-= 在0e x =处不稳定.(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)若系统能量随时而衰, 则稳定.如 ()()()my t ky t y t μ'''=--1,1,1m k μ===−−−−−→()()()0y t y t y t '''++= → 12(),(),x y x y ='=位置速度→11220111x x x x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这是一个在0e x =处稳定的系统.作一个”能量”函数221212((),())()()0V x t x t x t x t =+>,(正定)则 (势能, 动能) k yμm平衡线112222t V x x x x '''=+−−−−−→代入系统方程22()20V t x '=-<12(,)V x x 单调递减趋于0(因(0,0)0.V =且连续)这样的12(,)V x x 就称为李雅普诺夫函数.对一般系统, 设法构造如此标量函数()0V x >. 下面给出一般标量函数的正定、负定等概念. 设标量函数(),nV x x R ∈且(0)0V =.若对任意0x ≠, 有(i) ()0(0)V x >≥, 则称()V x 是正定的(半正定的)； (ii) ()0(0)V x <≤, 则称()V x 是负定的(半负定的)； (iii) 有()0V x >、也有()0V x <, 则称()V x 是不定的.()V x 根据系统方程, 常取为x 的二次型函数, 即()T V x x Px =.P 是实对称矩阵, 此时()V x 的正、负定性与P 一致. 而P 的正定性由其主子行列式为正负来判定 如 2112()()V x x x =-+是半负定的；222123()()V x x x x =++是半正定的.下面介绍主要结果.定理5.8 设系统为 ()0()(),,x t F x t t t t =≥. (5.15)0e x =是其平衡点.若存在标量函数()V x (具有连续的一阶偏导数), 满足 (i) ()V x 是正定的；(ii)沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的.则平衡点0e x =是稳定的.定理5.9 设系统为(5.15), 平衡点为0e x =. 若有标量函数()V x (具有连续的一阶偏导), 满足 (i) ()V x 是正定的；(ii) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是负定的；或者 (ii ’) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的,且对0()0x t ∀≠来说,()V x 不恒为零,则平衡点0e x =是渐近稳定的.进一步, 若当x →+∞时, 有()V x →+∞, 则平衡点0e x =是全局渐近稳定的.注 对(ii ’)的说明.由于()V x 为半负定, 所以在0x ≠时, 或许有()0V x =, 可能会出现下图5.5的两种情形：2x 0x 2x 0x定理 5.10系统方程、平衡点同定理 5.9中假设相同.若标量函数()V x(具有连续的一阶偏导).满足V x是正定的；(i) ()V x也是正定的；(ii)沿着状态方程(5.15)计算的()则平衡点0e x =是不稳定的.注 上述定理条件是充分的.例5.4 设非线性系统为22121122221212()()x x x x x x x x x x ⎧=-+⎪⎨=--+⎪⎩. 试分析稳定性.解 由(,)0F x t =, 得0e x =是其唯一的平衡点.构造2212()V x x x =+.是正定的. 对()V x 关于t 求导, 得12112212d d ()22d d x x V V V x x x x x x t x t∂∂=+=+∂∂. 代入状态方程得22212()2()V xx x =-+→负定→()V x 为一李雅普诺夫函数,且当x →+∞时, 有()V x →+∞→0x=为全局渐近稳定(而且是一致的).e对线性定常系统, 有定理5.11设线性定常系统为x t Ax t=,()()x=是渐近稳定的←→则平衡点0e对任意正定阵Q, 矩阵方程T+=-(李雅普诺夫方程) (5.16)A P PA Q有唯一正定阵解P.由于必要性证明涉及过多知识, 故只证充分性. 证(充分性)由0Q ∀>, 0P ∃>满足(5.16), 作()TV x x Px =.对t 求导且将系统方程代入, 得 ()()()()T T T T T T T V x x Px x Px Ax Px x P Ax x A P PA x x Qx =+=+=+=-，.→()V x 负定,且当x →+∞时,有()V x →+∞, →平衡点0e x =为全局渐近稳定(且一致).(注: 实用中, 渐近稳定为主要特性)例5.5 设系统为01()()23x t x t ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦. 试分析0e x =的稳定性.解 设1112212210,,01p p Q P p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 代入矩阵方程(5.16)式, 得1112111221222122020110132301p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 展开并令对应元素相等, 得唯一解511411P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 它的各主子式行列式12510,044∆=>∆=>. →P 正定→0e x =是渐近稳定.且系统是线性定常的 所有平衡点是一致全局渐近稳定. 注(1) 正定阵Q的选择尽可能简单.Q>, 矩阵方程(5.16)无解,(2) 若对某0x=不是渐近稳定的.则平衡点0e(3) 可以证明: 对线性定常系统,x=是渐近稳定的,则系统必为BIBO稳定. 若平衡点0e即()()x t Ax t =渐近稳定→()()()()()x t Ax t Bu t y t Cu t =+⎧⎨=⎩BIBO 稳定 反之不一定. 如[]101,,10010A B C -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→1()1G s s =+ 则()()()Y s G s U s =是BIBO 稳定, 但x Ax '=是不稳定的.。

如何判断系统的稳定性
系统的四个性质即线性、时不变性、因果性和稳定性都很重要，上次王英吉同学问到系统稳定性的判断问题，下面进行进一步的介绍。

对于连续系统和离散系统的判断，教材中的叙述如下：如果连续系统H(s)的极点都在s平面的左半开平面，离散系统H(z)的极点均在z平面的单位圆内，则该系统是稳定的因果系统。

如果系统函数是已知的，那么根据上面的方法，先求出系统函数的极点，然后根据极点的位置，就可以判断系统的稳定性，于是，问题最后归结为求解一元多次方程的根，即解方程。

吴大正的教材举出一些简单的例子，说明如何判断系统的稳定性，以及当满足系统的稳定性时，一些系统参数应该满足什么条件。

但是，当方程是高次的，比如3次、4次等，如果不能进行因式分解而求出方程的根，那么应该怎么办呢？教材没有交代。

另一本教材，也是我第一次自学这门课程时所采用的教材，即西电陈生潭等编著的《信号与系统》(第二版，西安电子科技大学出版社，2001年)则介绍了两个重要的准则，即罗斯-霍尔维茨(Routh-Hurwitz)准则和朱里(July)准则。

罗斯-霍尔维茨准则在传统的控制理论课程中都要讲授，它是判别代数方程根的实部特征的一种方法，可以不用解方程就知道方程包含多少个负实部的根。

由于计算机技术的发展，现在用计算机求解高次方程已经很成熟了，因而罗斯-霍尔维茨准则和朱里准则的重要性逐渐降低，很多教材已经不讲这两个准则了。

但是，这两个准则曾在历史上有着不可磨灭的功绩，而且难度不大，易于掌握，同学们应该对这两个准则有所了解。

在百度文库中搜索关键词“罗斯-霍尔维茨准则”或“朱里准则”，很容易找到这两个准则，也可以在QQ上留言向我索取。

判断系稳定性的方法一、 稳定性判据（时域）1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正； 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；21231425310000000000000000a a a a a a a a a a a a a n nn n n n n n n n n--------=∆当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即00031425313231211>∆>=∆>=∆>=∆-----------n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a则方程无正根，系统稳定。

赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少使用。

例；若已知系统的特征方程为0516188234=++++s s s s试判断系统是否稳定。

解：系统特征方程的各项系数均为正数。

根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。

5181016800518100168=∆由△得各阶子行列式；8690017281685181016801281811680884321>=∆=∆>==∆>==∆>==∆各阶子行列式都大于零，故系统稳定。

2、 劳思判据（1）劳思判据充要条件：A 、系统特征方程的各项系数均大于零，即a i >0；B 、劳思计算表第一列各项符号皆相同。

满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。

（2）劳思计算表的求法：A 、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：111212432134321275311642w s v s u u s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s n n n n n n n n n n n n----------B 、计算劳思表176131541213211-------------=-=-=n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。

知识点K1.18连续系统稳定性判别主要内容：连续系统的稳定判据基本要求：1.掌握连续系统稳定的充要条件2.连续系统的稳定性判据方法K1.18 连续系统稳定性判别1.连续系统稳定的充分必要条件是|()|h t dt M-∞-∞≤⎰若H (s )的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。

2.连续因果系统稳定的充分必要条件是|()|h t dt M -∞≤⎰系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数，故，若H (s )的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的3. 稳定系统的 S 域判别方法：)()()(s A s B s H =111)(a s a sa s a s A n n n n +++=-- 若系统稳定，则，，，，，，＞n i a i 2100=(1) 必要条件：(2) 充分必要条件：罗斯阵列：0111a s a sa sa A n n nn n ++++=-- ( R—H 排列 )42--n n na a a 1.531---n n n a a a 2.531---n n n c c c 3. 531---n n n d d d 5.n+1行n+2行第3行及以后各行计算公式：，，514133121111-----------=-=n n n n n n n n n n n n a a a a a c a a a a a c，，51511331311111-------------=-=n n n n n n n n n n n n c c a a c d c c a a c d罗斯——霍尔维茨准则 ( R—H 准则 )：若罗斯阵列的第一列元素 ( 第一行至n+1行 ) 的符号相同 ( 全为 “+”号或全为 “-”号 )，则 H (s ) 的极点全部在左半平面，系统稳定。

例1 25412)(23++++=s s s s s H 判别系统稳定性。

解：罗斯阵列：.3210041，，，，＞，==+i a n i 245141-40141-05.4245.41-5.4045.41-5124512405.4020第一列元素全为正，故系统稳定。

判断系稳定性的方法一、 稳定性判据（时域）1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正； 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；21231425310000000000000000a a a a a a a a a a a a a n nn n n n n n n n n当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即00031425313231211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a则方程无正根，系统稳定。

赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。

例；若已知系统的特征方程为0516188234 s s s s试判断系统是否稳定。

解：系统特征方程的各项系数均为正数。

根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。

5181016800518100168由△得各阶子行列式；8690017281685181016801281811680884321各阶子行列式都大于零，故系统稳定。

2、 劳思判据（1）劳思判据充要条件：A 、系统特征方程的各项系数均大于零，即a i >0；B 、劳思计算表第一列各项符号皆相同。

满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。

（2）劳思计算表的求法：A 、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：111212432134321275311642w s v s u u s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s n n n n n n n n n n n nB 、计算劳思表176131541213211 n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。

6-6 系统的稳定性及其判定所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性，所以对系统稳定性的研究十分重要。

本节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。

、系统稳定性的意义若系统对有界激励f(t) 产生的零状态响应也是有界的，即当时，若有(式中和均为有界的正实常数) ，则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时，“稳定”的定义不尽相同。

这里的定义是“有界输入、有界输出”意义下的稳定。

，否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。

可以证明，系统具有稳定性的必要与充分条件，在时域中是系统的单位冲激响应h(t) 绝对可积，即< ∞( 6-36)证明设激励f(t) 为有界，即式中，为有界的正实常数。

又因有故有-37)由此式看出，若满足则一定有(6 <∞毕即也一定有界。

式中为有界的正实常数。

由式(6-36) 还可看出，系统具有稳定性的必要条件是(6-38)式(6-36) 和式(6-38) 都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性，它只取决于系统的结构与参数，与系统的激励和初始状态均无关。

若系统为因果系统，则式(6-36) 和式(6-38) 可写为∞6-39)(6-40)二、系统稳定性的判定判断系统是否稳定，可以在时域中进行，也可以在s 域中进行。

在时域中就是按式(6- 36)和式(6-38) 判断，已如上所述。

下面研究如何从s 域中判断。

1. 从H(s) 的极点［即D(s)=0 的根］分布来判定若系统函数H(s) 的所有极点均位于s 平面的左半开平面，则系统是稳定的。

若H(s) 在j ω轴上有单阶极点分布，而其余的极点都位于s 平面的左半开平面，则系统是临界稳定的。

若H(s) 的极点中至少有一个极点位于s 平面的右半开平面，则系统就是不稳定的；若在j ω轴上有重阶极点分布，则系统也是不稳定的。

2. 用罗斯准则判定用上述方法判定系统的稳定与否，必须先要求出H(s) 的极点值。

但当H(s) 分母多项式D(s)的幂次较高时，此时要具体求得H(s) 的极点就困难了。

自动控制原理总结之判断系统稳定性方法判断系统稳定性是控制理论研究中的重要内容，正确判断系统的稳定性对于设计和实施控制策略非常关键。

在自动控制原理中，常见的判断系统稳定性的方法主要包括根轨迹法、频率响应法和状态空间法等。

根轨迹法是一种基于系统传递函数的方式来判断系统稳定性的方法。

通过分析系统传递函数的极点和零点的分布，在复平面上绘制出根轨迹图来描述系统特性。

根轨迹图上的点表示系统传递函数的闭环极点位置随控制参数变化的轨迹，通过观察根轨迹图，可以判断系统的稳定性。

一般来说，当根轨迹图上所有的闭环极点都位于左半平面时，系统是稳定的；而如果存在闭环极点位于右半平面，系统就是不稳定的。

此外，根轨迹法还可以通过分析根轨迹图的形状、离散角和角度条件等来进一步评估系统的稳定性。

频率响应法是一种基于系统的频率特性来判断稳定性的方法。

通过分析系统的频率响应曲线，可以得到系统的增益和相位信息，进而判断系统的稳定性。

在频率响应法中，常见的评估指标有增益裕度和相位裕度。

增益裕度表示系统增益与临界增益之间的差距，而相位裕度则表示系统相位与临界相位之间的差距。

一般来说，增益裕度和相位裕度越大，系统的稳定性就越好。

根据增益裕度和相位裕度的要求，可以设计合适的控制器来保证系统的稳定性。

状态空间法是一种基于系统状态方程来判断稳定性的方法。

在状态空间表示中，系统的动态特性由一组一阶微分方程组表示。

通过求解状态方程的特征值，可以得到系统的特征根。

一般来说，当系统的特征根都位于左半平面时，系统是稳定的；而如果存在特征根位于右半平面，系统就是不稳定的。

此外，状态空间法可以通过观察系统的可控和可观测性来进一步判断系统稳定性。

当系统可控和可观测时，系统往往是稳定的。

除了以上几种常见的判断系统稳定性的方法外，还有一些其他的方法，如Nyquist稳定性判据、Bode稳定性判据、李雅普诺夫稳定性判据等。

这些方法各有特点，常常根据具体的系统和问题选择合适的方法来判断稳定性。