系统的稳定性判别

系统的稳定性以及稳定性的几种定义1、系统研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。

在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。

由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。

从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。

但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。

人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。

描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。

中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。

2、系统的稳定性一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。

即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。

3、连续（时间）系统与离散(时间)系统连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。

系统的激励和响应均为连续信号。

离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。

系统的激励和响应均为离散信号。

4、因果系统因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。

也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。

即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。

判定方法对于连续时间系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。

判断系稳定性的方法一、 稳定性判据（时域）1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正； 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式； 当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即00031425313231211>∆>=∆>=∆>=∆-----------n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a则方程无正根，系统稳定。

赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。

例；若已知系统的特征方程为0516188234=++++s s s s试判断系统是否稳定。

解：系统特征方程的各项系数均为正数。

根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。

5181016800518100168=∆由△得各阶子行列式；8690017281685181016801281811680884321>=∆=∆>==∆>==∆>==∆各阶子行列式都大于零，故系统稳定。

2、 劳思判据（1）劳思判据充要条件：A 、系统特征方程的各项系数均大于零，即a i >0；B 、劳思计算表第一列各项符号皆相同。

满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。

（2）劳思计算表的求法：A 、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：111212432134321275311642w s v s u u s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s n n n n n n n n n n n n----------B 、计算劳思表176131541213211-------------=-=-=n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。

§ 5.3 稳定性判别方法1. 线性定常系统的稳定性判别 定理5.6 设()()x x =t A t . (5.11)则(i)平衡点稳定⇔ A 的所有特征值的实部非正, 且实部为零的特征值对应着一阶约当块； (ii)平衡点渐近稳定⇔ A 的所有特征值实部为负. 证 (i)因是线性系统,只需证明平衡点e x 0=的稳定性.设 11m J T AT J J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(注:与能控标准变换不同) 其中,1,2,i J i m =为约当块，则111000e ()e e e m J tAt Jt J t x t x T T x T T x --⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而ei J t的非零元素形如e i t λ或e i i k t t λi i i j λαβ=+−−−−→e i i t j tαβ+或ei i i k t j tt αβ+i k ≤约当块阶数减1.如10i J λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 则 1211111()e010i J ts s s s s λλλλλ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎛⎫--⎢⎥ ⎪==⎢⎥⎪-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦L L ee 0e tttt λλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若0i α<. 则lim e0i i i k t j tt t αβ+→+∞=→ei i i k t j tt αβ+有界；若0i α=且对应一阶约当块→e i j tβ也有界.故有K > 0， 使e,0AtK t ≤≥.其中ijija∑对0ε∀>，取/K δε=. 当00x δ-<时. 有00()e Atx t x K x ε=≤<,故稳定；(ii)若全为0i α<, 则全lim e0i i i k t j tt t αβ+→+∞=→渐近稳定.例5.1 设系统矩阵分别如下：010101(1);(2);(3)000212A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 试判别e x 0=的稳定性. 解(1) 由2()λλ∆=, 得0λ=(2重), e x 0=不稳定. (2) 由()(2)λλλ∆=+, 得120λ=-<和20λ=, 因20λ=对应一阶约当块→e x 0=是稳定的.(3) 由2()(1)λλ∆=+,得1,210λ=-< e x 0=渐近稳定.若3n ≥, 常用Hurwitz 判别法(介绍).定理5.7 常系数n 次代数方程101100,(0)n n n n a a a a a λλλ--++++=>的所有根的具有负实部⇔下列不等式同时成立：1101123321325430,0,0,a a a a a a a a a a a a a ∆∆∆=>=>=> 1031021222324000200n n n n nna a a a a a a a a a a ∆----=>.其中12210n n n a a a ++-====.例5.2 验证系统矩阵为211110111A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦时, e x 0=是渐近稳定的. 证 由320211||11453,111(10)I A a λλλλλλλ+--=-+=+++--+=>.得 00a > 及1140,a∆==>10 23241170, 35a aa a∆===>332510,a∆∆==>由Hurwitz判别法→所有特征值有负实部→渐近稳定. 对非线性系统, 常用李雅普诺夫判别法.2. 稳定性的李雅普诺夫判别法(介绍)(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似) 设n 维非线性系统为()()(),x t F x t t =, (,)0e F x t = (5.12)且n 维向量函数(),F x t 对x 有连续偏导. 将(),F x t 在e x 处展成泰勒级数, 得()[()]ee e Tx x F x x x R x x x=∂=-+-∂. (5.13)其中[]R ⋅为e x x -的高阶项, 而111122221212n n T nn n n f f f x x x f f f F x x x x f f f x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂⎢⎥∂∂∂=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦称为雅可比矩阵.令e x x x =-和eT x x F A x =∂=∂, 得线性化方程：x Ax =. (5.14)李雅普诺夫给出下述结论：(i) 若A 的所有特征值实部为负,则系统在平衡点e x 是渐近稳定的, 且与[]R ⋅无关；(ii) 若A 的特征值中有一个具有正实部,则系统在平衡点e x 是不稳定的；(iii)若A 的特征值中有一个实部为零,则系统在平衡点e x 的稳定性与[]R ⋅有关.例5.3 设非线性系统为11122212,,x x x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 试判平衡点[]00Te x =的稳定性.解 由0e x =处的雅可比矩阵为 21210110101x x x A x x =--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦, 得121,1λλ=-= 在0e x =处不稳定.(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)若系统能量随时而衰, 则稳定.如 ()()()my t ky t y t μ'''=--1,1,1m k μ===−−−−−→()()()0y t y t y t '''++= → 12(),(),x y x y ='=位置速度→11220111x x x x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这是一个在0e x =处稳定的系统.作一个”能量”函数221212((),())()()0V x t x t x t x t =+>,(正定)则 (势能, 动能) k yμm平衡线112222t V x x x x '''=+−−−−−→代入系统方程22()20V t x '=-<12(,)V x x 单调递减趋于0(因(0,0)0.V =且连续)这样的12(,)V x x 就称为李雅普诺夫函数.对一般系统, 设法构造如此标量函数()0V x >. 下面给出一般标量函数的正定、负定等概念. 设标量函数(),nV x x R ∈且(0)0V =.若对任意0x ≠, 有(i) ()0(0)V x >≥, 则称()V x 是正定的(半正定的)； (ii) ()0(0)V x <≤, 则称()V x 是负定的(半负定的)； (iii) 有()0V x >、也有()0V x <, 则称()V x 是不定的.()V x 根据系统方程, 常取为x 的二次型函数, 即()T V x x Px =.P 是实对称矩阵, 此时()V x 的正、负定性与P 一致. 而P 的正定性由其主子行列式为正负来判定 如 2112()()V x x x =-+是半负定的；222123()()V x x x x =++是半正定的.下面介绍主要结果.定理5.8 设系统为 ()0()(),,x t F x t t t t =≥. (5.15)0e x =是其平衡点.若存在标量函数()V x (具有连续的一阶偏导数), 满足 (i) ()V x 是正定的；(ii)沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的.则平衡点0e x =是稳定的.定理5.9 设系统为(5.15), 平衡点为0e x =. 若有标量函数()V x (具有连续的一阶偏导), 满足 (i) ()V x 是正定的；(ii) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是负定的；或者 (ii ’) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的,且对0()0x t ∀≠来说,()V x 不恒为零,则平衡点0e x =是渐近稳定的.进一步, 若当x →+∞时, 有()V x →+∞, 则平衡点0e x =是全局渐近稳定的.注 对(ii ’)的说明.由于()V x 为半负定, 所以在0x ≠时, 或许有()0V x =, 可能会出现下图5.5的两种情形：2x 0x 2x 0x定理 5.10系统方程、平衡点同定理 5.9中假设相同.若标量函数()V x(具有连续的一阶偏导).满足V x是正定的；(i) ()V x也是正定的；(ii)沿着状态方程(5.15)计算的()则平衡点0e x =是不稳定的.注 上述定理条件是充分的.例5.4 设非线性系统为22121122221212()()x x x x x x x x x x ⎧=-+⎪⎨=--+⎪⎩. 试分析稳定性.解 由(,)0F x t =, 得0e x =是其唯一的平衡点.构造2212()V x x x =+.是正定的. 对()V x 关于t 求导, 得12112212d d ()22d d x x V V V x x x x x x t x t∂∂=+=+∂∂. 代入状态方程得22212()2()V xx x =-+→负定→()V x 为一李雅普诺夫函数,且当x →+∞时, 有()V x →+∞→0x=为全局渐近稳定(而且是一致的).e对线性定常系统, 有定理5.11设线性定常系统为x t Ax t=,()()x=是渐近稳定的←→则平衡点0e对任意正定阵Q, 矩阵方程T+=-(李雅普诺夫方程) (5.16)A P PA Q有唯一正定阵解P.由于必要性证明涉及过多知识, 故只证充分性. 证(充分性)由0Q ∀>, 0P ∃>满足(5.16), 作()TV x x Px =.对t 求导且将系统方程代入, 得 ()()()()T T T T T T T V x x Px x Px Ax Px x P Ax x A P PA x x Qx =+=+=+=-，.→()V x 负定,且当x →+∞时,有()V x →+∞, →平衡点0e x =为全局渐近稳定(且一致).(注: 实用中, 渐近稳定为主要特性)例5.5 设系统为01()()23x t x t ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦. 试分析0e x =的稳定性.解 设1112212210,,01p p Q P p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 代入矩阵方程(5.16)式, 得1112111221222122020110132301p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 展开并令对应元素相等, 得唯一解511411P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 它的各主子式行列式12510,044∆=>∆=>. →P 正定→0e x =是渐近稳定.且系统是线性定常的 所有平衡点是一致全局渐近稳定. 注(1) 正定阵Q的选择尽可能简单.Q>, 矩阵方程(5.16)无解,(2) 若对某0x=不是渐近稳定的.则平衡点0e(3) 可以证明: 对线性定常系统,x=是渐近稳定的,则系统必为BIBO稳定. 若平衡点0e即()()x t Ax t =渐近稳定→()()()()()x t Ax t Bu t y t Cu t =+⎧⎨=⎩BIBO 稳定 反之不一定. 如[]101,,10010A B C -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→1()1G s s =+ 则()()()Y s G s U s =是BIBO 稳定, 但x Ax '=是不稳定的.。

1, 已知控制系统的特征方程，判别系统是否稳定性。

(1)0362=++s s (2)01006423=+++s s s (3)06176234=----s s s s解：(1)二阶系统特征方程的系数全为正，系统稳定。

(2)三阶系统特征方程的系数全为正，但中间两项系数乘积小于首末两项系数乘积，即100164⨯<⨯，系统不稳定。

(3)系统特征方程的系数有负号，系统不稳定。

2，已知系统的闭环传递函数表达式如下，试判断系统的稳定性。

(1)s s s s s M +++=235)4(10)( (2))9)(2(1)(2++-=s s s s M (3)65)7()(2+++=s s s k s M (4)1235)(23++-=s s s s M 解：(1)系统特征多项式s s s ++235，缺项（无常数项），系统不稳定。

(2)系统特征多项式)9)(2(2++s s ，特征方程有虚轴上的根，系统不稳定。

(3)系统特征多项式652++s s ，二阶系统的系数全为正，系统稳定。

(4)系统特征多项式12323++-s s s ，系数有负号，系统不稳定。

3，已知控制系统的特征方程如下，试用Routh 稳定判据判别系统的稳定性。

若系统不稳定，清指出位于右半s 平面的根的个数；如有对称于s 平面原点的根，清求其值。

(1)05432234=++++s s s s 解： Routh 表第一列符号改变两次，有两个根在右半平面，系统不稳定。

(2)03042257234=++++s s s s 解：Routh 表中第一列元素全部大于零，系统是稳定的。

(3)010114222345=+++++s s s s s 解：Routh 表第一列的+δ为很小正数，+-δ12是一个很大的负数。

第一列两次变号，有两个正根在右半平面，系统不稳定。

(4) 0478842345=+++++s s s s s解： Routh 表在Routh 表中1s 行全为零的情况，可由前一行2s 得到辅助多项式，然后对辅助多项式求导，得到的数据，构造新得行，代替全为零的行，将Routh 表继续计算下去。

系统的稳定性分析与判据在信息技术快速发展的背景下，系统的稳定性成为了一个重要的议题。

不论是计算机系统、电力系统还是金融系统，其稳定性都是保证其正常运行和可靠性的关键。

因此，对系统的稳定性进行分析和判据是非常必要的。

一、稳定性分析的概念与意义稳定性分析是指对系统的各个方面进行评估和分析，以确定系统是否能够在各种条件下保持稳定运行的能力。

系统的稳定性直接关系到系统的可靠性、可用性和性能，对于用户来说也是一个重要的参考因素。

稳定性分析可以帮助我们了解系统的薄弱环节和潜在问题，并采取相应的措施来加以改进和完善。

二、稳定性分析的方法与步骤稳定性分析是一个系统工程，需要综合考虑各个方面的因素。

下面将介绍稳定性分析的一般方法与步骤。

1. 收集数据稳定性分析需要收集系统的各种数据，包括系统的架构、硬件配置、软件版本、历史运行数据等。

这些数据将为后续的分析提供基础。

2. 确定评价指标根据系统的特点和要求，确定适用的评价指标，如系统响应时间、故障率、可用性等。

评价指标的选择应当与系统的功能和使用环境相匹配。

3. 进行问题分析通过对系统的运行数据和用户反馈进行分析，确定系统存在的问题和潜在的风险。

可以利用统计学方法、故障树分析等手段来找出系统的薄弱环节和关键问题。

4. 制定改进措施根据问题分析的结果，制定相应的改进措施。

这些措施可以包括改进软件算法、优化硬件配置、增加冗余容量等。

改进措施的制定应当综合考虑成本、可行性和效果。

5. 实施和监控将改进措施付诸实施，并进行监控和评估。

通过监控系统的运行数据，评估改进措施的效果，不断优化系统的稳定性和性能。

三、稳定性判据的依据与指标稳定性判据是对系统稳定性进行评判的依据和指标，通常包括以下方面：1. 故障率故障率是指系统在一定时间内出现故障的频率。

较低的故障率意味着系统具有更高的稳定性和可靠性。

2. 可用性可用性是指系统在一定时间内能够正常工作的概率。

高可用性表示系统具有更好的稳定性和可靠性。

判断系统稳定性的方法系统稳定性是指系统在一定条件下保持正常运行的能力，是衡量系统可靠性和安全性的重要指标。

在日常工作和生活中，我们经常需要对系统的稳定性进行评估和判断。

那么，如何判断系统的稳定性呢？下面我将介绍几种常用的方法。

首先，我们可以通过系统的运行时间来判断其稳定性。

通常情况下，系统运行时间越长，其稳定性就越高。

因此，我们可以通过查看系统的运行时间来初步评估其稳定性。

当然，这只是一个简单的参考指标，我们还需要结合其他方法来进行综合评估。

其次，我们可以通过系统的负载情况来判断其稳定性。

系统的负载情况反映了系统的运行状态和性能表现。

如果系统的负载长时间处于高水平，那么很可能会导致系统的不稳定。

因此，我们可以通过监控系统的负载情况，及时发现并解决潜在的稳定性问题。

另外，我们还可以通过系统的日志信息来判断其稳定性。

系统日志记录了系统的运行状态、错误信息、异常情况等重要信息，通过分析系统日志，我们可以及时发现系统的异常情况，进而采取相应的措施，确保系统的稳定性。

此外，我们还可以通过系统的性能指标来判断其稳定性。

系统的性能指标包括CPU利用率、内存使用率、磁盘IO等，通过监控这些性能指标，我们可以了解系统的运行状态和性能表现，及时发现并解决潜在的稳定性问题。

最后，我们还可以通过系统的故障率来判断其稳定性。

系统的故障率反映了系统的可靠性和稳定性，通过分析系统的故障率，我们可以对系统的稳定性进行评估，并采取相应的措施，提高系统的稳定性。

综上所述，判断系统的稳定性需要综合考虑系统的运行时间、负载情况、日志信息、性能指标和故障率等多个方面的因素。

只有综合考虑这些因素，我们才能全面准确地评估系统的稳定性，及时发现并解决潜在的稳定性问题，确保系统的正常运行。

判断系稳定性的方法一、稳定性判据（时域）1、赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即A = a >01 n -1a a >0A =n -n -3 2 a a n n -2a a an -n -3 n -5 A = a a a >0 3 n n -2 n -4a an -1 n -3A > 0n则方程无正根，系统稳定。

赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明 确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。

例；若已知系统的特征方程为S 4+8S 3+18S 2+16S +5=0试判断系统是否稳定。

解：系统特征方程的各项系数均为正数。

81600人11850an -1anan -3an -2an -5an -A= 0a a n• nn -20 00000 00 00 :00a 01aa20000实用标准1A二08160根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。

01185由△得各阶子行列式；A1 =8=8 >08 16=128 >0A2 —1 188 1 6 0A=1 18 5=1728>030 8 16A4=A=8690>0各阶子行列式都大于零，故系统稳定。

2、劳思判据（1）劳思判据充要条件：A、系统特征方程的各项系数均大于零，即a>0；iB、劳思计算表第一列各项符号皆相同。

满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。

（2）劳思计算表的求法：A、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：s n an anananS n-1 a a a an n—n—n S n— b b b b1 2 3 4 s n-3 c c c c1 2 3 4S2 u1 u 2S1 v1 S0 wB 、计算劳思表b = 1 aa —aa —n~1_n~2n_n~3- an -1b = 2 aa —aa —n~1~n_4n_n~5- an -1b = 3aa —aa—n~1_n~6n_n~7a系数b 的计算要一直进行到其余的b 值都等于零为止。