人教版高中数学必修3课件第二章众数、中位数、平均数

∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2 ＝0.3，
∴前三个小矩形面积的和为 0.3，而第四个小矩形面积 为 0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内． 设其底边为 x，高为 0.03，令 0.03x＝0.2 得 x≈6.7，故 中位数约为 70＋6.7＝76.7.
2．下列说法中，不正确的是( ) A．数据 2,4,6,8 的中位数是 4,6 B．数据 1,2,2,3,4,4 的众数是 2,4 C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个 数据 D．8 个数据的平均数为 5，另 3 个数据的平均数为 7， 则这 11 个数据的平均数是8×5＋117×3
解 在 17 个数据中，1.75 出现了 4 次，出现的次数最
多，即这组数据的众数是 1.75.上面表里的 17 个数据可看成
是按从小到大的顺序排列的，其中第 9 个数据 1.70 是最中
间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平
均数是－x
＝117×(1.50×2＋
1.60×3
＋…＋
(1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩．(答案精确到 0.1)
解 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的 数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即 为所求，所以由频率分布直方图得众数应为 75.
由于中位数是所有数据中的中间值， 故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频 数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等． 因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小 矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
(3) 一 个 样 本 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 10,12,13 ， x,17,19,21,24，其中中位数为 16，则 x＝____1_5___.
解析 由题意知x＋217＝16，即 x＝15.
课堂互动探究
探究 1 众数、中位数、平均数的计算 例 1 某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)如下 表：
2．做一做 (1)10 名 工 人 某 天 生 产 同 一 零 件 ， 生 产 的 件 数 是
15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为 a，中位数为 b，
众数为 c，则有( )
A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a
解析
将数据从小到大排列为
10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则平均数 a＝110(10＋12＋ 14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数 b＝15，众数 c ＝17，显然 a<b<c.故选 D.
众数、中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情 况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺 点，而平均数与每一个样本数据都有关系，可反映出更多的 关于样本数据的全体信息，但受数据中的极端值的影响较 大，妨碍了对总体估计的可靠性，因此用平均数估计总体有 时不可靠．
【跟踪训练 3】 (1)16 位参加百米半决赛同学的成绩 各不相同，按成绩取前 8 位进入决赛．如果小刘知道了自己 的成绩后，要判断能否进入决赛，其他 15 位同学成绩的下 列数据中，能使他得出结论的是( )
5.在实际问题中众数、中位数、平均数都有单位．
随堂达标自测
1．已知一组数据按从小到大的顺序排列为 14,19， x,23,27，其中中位数是 22，则 x 的值为( )
A．24 B．23 C．22 D．21
解析 一组数据按从小到大的顺序排列为 14,19， x,23,27，则中位数是 x.因为中位数是 22，所以 x＝22.故选 C.
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所 有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩 形的面积即可．
∴ 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) ＋ 55×(0.006×10) ＋ 65×(0.02×10) ＋ 75×(0.03×10) ＋ 85×(0.021×10) ＋ 95×(0.016×10)≈73.7.
[解] (1)平均数是－x ＝1500＋
4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20 33
≈1500＋591＝2091(元)， 中位数是 1500 元，众数是 1500 元．
(2)新的平均数是 x ′＝1500＋
28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20 33
[解] (1)这 7 个人的 8 月份平均工资是 x 1＝17×(30000 ＋4500＋3500＋4000＋3200＋3200＋4100)＝7500(元)．
(2)计算出的平均工资不能反映打工人员的当月收入的 一般水平，可以看出，打工人员的工资都低于平均工资，因 为这 7 个值中有一个极端值——李某的工资特别高，所以他 的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员．
(2)(教材改编 P74 练习)奥运会体操比赛的计分规则为： 当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分， 再计算剩下分数的平均值，这是因为( )
A．减少计算量 B．避免故障 C．剔除异常值 D．活跃赛场气氛
解析 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记 分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方 法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的 分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量 公平．
1.90×1)
＝
28.75 17
≈1.69(m)．
答：17 名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为
1.75 m，1.70 m,1.69 m.
探究 2 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的 关系
例 2 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的 成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方 图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率 分别是 0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从 5000 元提升到 20000 元，董 事长的工资从 5500 元提升到 30000 元，那么新的平均数、 中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水 平？结合此问题谈一谈你的看法．
3.平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离群”的 数据，对平均数的影响也越大．与众数和中位数相比，平均 数代表了数据更多的信息．当样本数据质量比较差时，使用 平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误 差．
4.如果样本平均数远大于样本中位数，说明数据中存在 许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端 值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数， 可以使我们了解样本数据中极端数据的信息．
解析 (1)判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前 8 名，所以只要知道其他 15 位同学的成绩中是不是有 8 位高 于他，也就是把其他 15 位同学的成绩排列后看第 8 位的成 绩即可，其成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成 绩就不能进入决赛，这个第 8 位的成绩就是这 15 位同学成 绩的中位数．
(3)去掉李某的工资后的平均工资 x 2＝16×(4500＋3500 ＋4000＋3200＋3200＋4100)＝3750(元)，该平均工资能代表 打工人员的当月收入的一般水平．
(4)从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很 大的影响，因此在选择样本时，样本中尽量不用特殊数据．
拓展提升 各种数字特征的优缺点
(2)鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大，由表 可知，型号为 37 的鞋销量最大，共销售了 16 双，并且这 组数据的众数为 37.
1.众数通常用来表示分类变量的中心值，容易计算．但 是它只能表达样本数据中很少的一部分信息，通常用于描述 变量的中心位置．
2.中位数不受几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据) 的影响，容易计算．它仅利用了数据中排在中间数据的信 息．当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据时，应该 用抗极端性很强的中位数表示数据的中心值．
(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势 的量．
(2) 平 均 数 的 大 小 与 一 组 数 据 里 每 个 数 的 大 小 均 有 关 系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．
(3)众数考查各数出现的频率，其大小与这组数据中部 分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数 往往更能反映问题．
第二章 统计
2．2 用样本估计总体 2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数
字特征 第1课时 众数、中位数、平均数
课前自主预习
□ 1．众数的定义
一组数据中 01 出现次数最多
的数称为这组数
的众数．
2．中位数的定义
□ 把一组数据按 02 从小到大(或从大到小) 的顺序排 □ 列，处在 03 最中间 位置的数(或中间两个数的
≈1500＋1788＝3288(元)，新的中位数是 1500 元，新的众 数是 1500 元．
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工 的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资 额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均 数不能反映这个公司员工的工资水平．
拓展提升 众数、中位数、平均数的特点
拓展提升 利用直方图求数字特征
(1)众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标． (2)中位数左右两边直方图的面积应相等． (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和．
【跟踪训练 2】 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛， 由成绩得到如图的频率分布直方图．试利用频率分布直方图 求：