千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第10炼 函数零点的个数问题

函数的零点班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备1、函数零点定义.对于函数()D x x f y ∈=,，把使()0=x f 成立的实数x 叫作函数()D x x f y ∈=,的零点。

2、函数的零点与相应方程的根，函数的图像与x 轴交点之间的关系.方程()0=x f 有实根⇔函数()x f y =的图像与x 轴交点⇔函数()x f y =有零点. 3、函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是一条连续曲线，并且有()()0<b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=x f ，这个c 就是方程()0=x f 的根。

例题精练1、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）x y A cos .= x y B s in .= x y C ln .= 1.2+=x y D2、函数()x x f x32+=的零点所在的一个区间是（ ） ()12.--，A ()01.，-B ()10.，C ()21.，D 3、若0x 是方程2lg =+x x 的解，则0x 属于区间（ ）()10.，A ()1.251.，B ()1.751.25.，C ()21.75.，D4、函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为____________.5、函数()()2,1≥∈-+=+n N n x x x f nn 在区间⎪⎭⎫⎝⎛121，内的零点个数为______.6、已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()()+∞∈∈,,10201x x x x ，则（ ） ()()0,0.21<<x f x f A ()()0,0.21><x f x f B ()()0,0.21<>x f x f C ()()0,0.21>>x f x f D7、已知a 是()x x f x21log 2-=的零点，若a x <<00，则()0x f 的值满足（ ）()0.0=x f A ()0.0<x f B ()0.0>x f C ()符号不确定0.x f D8、若函数()a xx x f -+=2log 3在区间()21，内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） ()2log 1.3--，A ()2l o g 0.3，B ()12l o g .3，C ()4l o g 1.3，D9、若432<<<<b a ，且函数()b x x x f a -+=l o g 的零点()()Z n n n x ∈+∈1,0则.________=n10、若函数()x f 的零点与()224-+=x x g x的零点之差的绝对值不超过0.25,则()x f 可以是（ ）()1.-=x e x f A ()14.-=x x f B ()()21.-=x x f C ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln .x x f D11、若函数()a x e x f x+-=2有零点，则a 的取值范围是_____________.12、若函数()()()1,ln ,2--=+=+=x x x h x x x g x x f x的零点分别为321,,x x x ，则321,,x x x 的大小关系是_____________.13、若定义在R 上的函数()x f 单调递增，且对任意()+∞∈,0x ，恒有()()1log 2=-x x f f ，则函数()x f 的零点为______________.14、若[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]x x g =为取整数，0x 是函数()xx x f 2ln -=的零点，则().________0=x g15、已知()x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)3,0∈x 时，()2122+-=x x x f ，若函数()a x f y -=在区间[]43，-上有10个零点（互不相同），则a 的取值范围是_____________.16、已知函数()()⎩⎨⎧>-≤-=2,22,22x x x x x f ，函数()(),2x f b x g --=其中R b ∈，若函数()()x g x f y -=恰有4个零点，则b 的取值范围是_____________.17、定义在R上的函数()x f 满足：()()()()()()()[]()()1log 1,03;22;1243+-=∈=+=-x xx f x x f x f x f x f 时，则函数()x x f y 3log -=的零点个数为___________.18、已知函数()(),log ,2121x x g x f x=⎪⎭⎫⎝⎛=记()()()()()()()⎩⎨⎧≥<=x g x f x f x g x f x g x h ,,，则函数()()5-+=x x h x F 的所有零点之和为___________.。

第25讲函数的零点问题知识梳理1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x 轴(或直线y k =)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.2、函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将()f x 整理变形成()()()f x g x h x =-的形式，通过()(),g x h x 两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.4、利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.必考题型全归纳题型一：零点问题之一个零点例1．（2024·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数()ln f x x =,()21212g x x x =-+.（1）求函数()()()3x g x f x ϕ=-的单调递减区间；（2）设()()()h x af x g x =-，a R ∈.①求证：函数()y h x =存在零点；②设0a <，若函数()y h x =的一个零点为m .问：是否存在a ，使得当()0,x m ∈时，函数()y h x =有且仅有一个零点，且总有()0h x ≥恒成立？如果存在，试确定a 的个数；如果不存在，请说明理由.例2．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知函数()e sin 1x f x a x =--，()()22cos sin 2e xx a g x a x x ++=-+-+，()f x 在()0,π上有且仅有一个零点0x .(1)求a 的取值范围；(2)证明：若12a <<，则()g x 在(),0π-上有且仅有一个零点1x ，且010x x +<.例3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()1ln e xx f x a x -=+.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)证明：当0a ≥时，()f x 有且只有一个零点；(3)若()f x 在区间()()0,1,1,+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围.变式1．（2024·广东茂名·高三统考阶段练习）已知0a >，函数()e xf x x a =-，()ln g x x x a =-.(1)证明：函数()f x ，()g x 都恰有一个零点；(2)设函数()f x 的零点为1x ，()g x 的零点为2x ，证明12x x a =.题型二：零点问题之二个零点例4．（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数2()e x f x x +=.(1)求()f x 的最小值；(2)设2()()(1)(0)F x f x a x a =++>.（ⅰ）证明：()F x 存在两个零点1x ，2x ；（ⅱ）证明：()F x 的两个零点1x ，2x 满足1220x x ++<.例5．（2024·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a =时，2()(1)()1g x x f x x =---，证明：函数()g x 有且仅有两个零点，两个零点互为倒数．例6．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考期中）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当0a =时，2()(1)()1g x x f x x =---，证明：函数()g x 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()ln x f x e x a =--.（1）若3a =.证明函数()f x 有且仅有两个零点；（2）若函数()f x 存在两个零点12,x x ，证明：121222x x x x e e e a >++-.变式3．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈在其定义域内有两个不同的零点．（1）求a 的取值范围；（2）记两个零点为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式()21ln 1ln 10λ-+->x x 恒成立，求λ的取值范围．变式4．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数()4212f x ax x =-，,()0x ∈+∞，()()()g x f x f x '=-．(1)若0a >，求证：（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；(2)若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．题型三：零点问题之三个零点例7．（2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数()21ln ln 1ex ax f x x a -=---有三个零点.(1)求a 的取值范围；(2)设函数()f x 的三个零点由小到大依次是123,,x x x .证明：13e e x x a >.例8．（2024·广东深圳·校考二模）已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)①当102a <<时，试证明函数()f x 恰有三个零点；②记①中的三个零点分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，试证明22131(1)(1)x x a x >--.例9．（2024·广西柳州·统考三模）已知()3()1ln f x x ax x =-+．（1）若函数()f x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为123,,x x x 且123x x x <<，当132x x +>时，求实数a 的取值范围．变式5．（2024·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测）已知函数()32113f x x ax bx =+++（a ，b ∈R ）.（1）若0b =，且()f x 在()0+∞，内有且只有一个零点，求a 的值；（2）若20a b +=，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.变式6．（2024·浙江·校联考二模）设e 2a <，已知函数()()()22e 22x f x x a x x =---+有3个不同零点.(1)当0a =时，求函数()f x 的最小值：(2)求实数a 的取值范围；(3)设函数()f x 的三个零点分别为1x 、2x 、3x ，且130x x ⋅<，证明：存在唯一的实数a ，使得1x 、2x 、3x 成等差数列.变式7．（2024·山东临沂·高三统考期中）已知函数ln ()xf x x=和()e x ax g x =有相同的最大值.(1)求a ，并说明函数()()()h x f x g x =-在（1，e ）上有且仅有一个零点；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型四：零点问题之max ，min 问题例10．（2024·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数()()2sin cos ,lnπxf x x x x axg x x =++=．(1)当0a =时，求函数()f x 在[]π,π-上的极值；(2)用{}max ,m n 表示,m n 中的最大值，记函数()()(){}max ,(0)h x f x g x x =>，讨论函数()h x 在()0,∞+上的零点个数．例11．（2024·四川南充·统考三模）已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，()ln πxg x x =．(1)当0a =时，求函数()f x 在[,]-ππ上的极值；(2)用max{,}m n 表示m ，n 中的最大值，记函数()max{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点个数．例12．（2024·四川南充·统考三模）已知函数()2e 2x ax x f x x =+-，()ln g x x =其中e 为自然对数的底数.(1)当1a =时，求函数()f x 的极值；(2)用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，记函数()()(){}max ,(0)h x f x g x x =>，当0a ≥时，讨论函数()h x 在()0,∞+上的零点个数.变式8．（2024·广东·高三专题练习）已知函数()ln f x x =-，31()4g x x ax =-+，R a ∈.(1)若函数()g x 存在极值点0x ，且()()10g x g x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=；(2)用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，记函数()min{()h x f x =，()}(0)g x x >，若函数()h x 有且仅有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()e (R)x f x ax a =-∈，()1g x x =-．(1)若直线()y g x =与曲线()y f x =相切，求a 的值；(2)用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小值，讨论函数()min{(),()}h x f x g x =的零点个数．变式10．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数()()31,1ln 4f x x axg x x x =++=--.(1)若过点()1,0可作()f x 的两条切线，求a 的值.(2)用{}min ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()(){}min ,(01)h x f x g x x =<<，讨论()h x 零点的个数.题型五：零点问题之同构法例13．已知函数1()()2(0)x axf x x ln ax a e -=+-->，若函数()f x 在区间(0,)+∞内存在零点，求实数a 的取值范围例14．已知2()12a f x xlnx x =++．（1）若函数()()cos sin 1g x f x x x x xlnx =+---在(0,]2π上有1个零点，求实数a 的取值范围．（2）若关于x 的方程2()12x a a xe f x x ax -=-+-有两个不同的实数解，求a 的取值范围．例15．已知函数()(1)1x f x ae ln x lna =-++-．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有且仅有两个零点，求a 的取值范围．题型六：零点问题之零点差问题例16．已知关于x 的函数()y f x =，()y g x =与()(h x kx b k =+，)b R ∈在区间D 上恒有()()()f x h x g x ．（1）若2()2f x x x =+，2()2g x x x =-+，(,)D =-∞+∞，求()h x 的表达式；（2）若2()1f x x x =-+，()g x klnx =，()h x kx k =-，(0,)D =+∞，求k 的取值范围；（3）若42()2f x x x =-，2()48g x x =-，342()4()32(0||h x t t x t t t =--+<，[D m =，][n ⊂，，求证：n m-例17．已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++．（1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(,)α-∞，(2,)β单调增加，在(,2)α，(,)β+∞单调减少，证明：6βα->．例18．已知函数221()2x f x ae x ax =--，a R ∈．（1）当1a =时，求函数2()()g x f x x =+的单调区间；（2）当4401a e <<-，时，函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，证明：212x x ->．题型七：零点问题之三角函数例19．（2024·山东·山东省实验中学校考一模）已知函数()()sin ln 1f x a x x =-+．(1)若对(]1,0x ∀∈-时，()0f x ≥，求正实数a 的最大值；(2)证明：221sinln2n k k =<∑；(3)若函数()()1e sin x g x f x a x +=+-的最小值为m ，试判断方程()1eln 10x m x +--+=实数根的个数，并说明理由．例20．（2024·全国·高三专题练习）设函数()πsin2x f x x =-.(1)证明：当[]0,1x ∈时，()0f x ≤；(2)记()()ln g x f x a x =-，若()g x 有且仅有2个零点，求a 的值.例21．（2024·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知1()sin (1)1f x a x x x x =-+>-+，且0为()f x 的一个极值点．(1)求实数a 的值；(2)证明：①函数()f x 在区间(1,)-+∞上存在唯一零点；②22111sin 121n k n k =-<<+∑，其中*N n ∈且2n ≥．变式11．（2024·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）已知()sin n f x x =，()ln e x g x x m =+（n 为正整数，m R ∈）．(1)当1n =时，设函数()()212h x x f x =--，()0,πx ∈，证明：()h x 有且仅有1个零点；(2)当2n =时，证明：()()()e 12x f x g x x m '+<+-．题型八：零点问题之取点技巧例22．已知函数()[2(1)]2(x x f x e e a ax e =-++为自然对数的底数，且1)a ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．例23．已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．例24．已知函数211()(()22x f x x e a x =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．变式12．已知函数1()()(1)2x x f x e a e a x =+-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围。

函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。

[例1] 求函数2223+--=x x x y 的零点.[解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根 [解析]令 32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---=∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴11x x x=-==或或 即函数2223+--=x x x y 的零点为-1，1，2。

[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型2：确定函数零点的个数。

[例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数.[解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数[解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ⋅<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。

方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y xy x =⎧⎨=-⎩的交点的个数。

画图可知只有一个。

[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=,解得372a -±=①当372a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。

高中数学专题练习-函数零点问题[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.常考题型精析题型一 零点个数与零点区间问题例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3}D.{－2－7，1,3}(2)(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法；(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4题型二 由函数零点求参数范围问题例2 (·天津)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________.点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.变式训练2 (·北京东城区模拟)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ).当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.高考题型精练1.已知x 1，x 2是函数f (x )＝e -x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e <x 1x 2<1 B.1<x 1x 2<e C.1<x 1x 2<10D.e<x 1x 2<102.(·天津)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 3.(·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2,0 C.12D.04.函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.75.设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A.[－4，－2] B.[－2,0] C.[0,2]D.[2,4]6.(·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A.(2，＋∞)B.(－∞，－2)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)7.定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x <1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( ) A.1－2a B.2a －1 C.1－2－aD.2－a －18.(·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.9.已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.10.方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________.11.(·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________.12.已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1 (k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是__________.答案精析函数零点问题 常考题型精析例1 (1)D (2)①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)解析 (1)令x <0，则－x >0， 所以f (－x )＝(－x )2＋3x ＝x 2＋3x . 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x ).所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}. (2)①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)， 当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2) ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.变式训练1 B [函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数可转化为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，作出函数f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…x ＋1，－1≤x <0，x ，0≤x <1，x －1，1≤x <2，…与函数g (x )＝log 4(x －1)的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.]例2 1<a <2解析 画出函数f (x )的图象如图所示.函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a >0).当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点.故a <2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎨⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1<a <2时，两个函数图象有4个交点. 故实数a 的取值范围是1<a <2. 变式训练2 25<a <23解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期是2. 由ax ＋2a －f (x )＝0得f (x )＝ax ＋2a ，设y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的图象，如图，要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根， 则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率满足k AH <a <k AG ， 由题意可知，G (1,2)，H (3,2)，A (－2,0)， 所以k AH ＝25，k AG ＝23， 所以25<a <23. 高考题型精练1. A [在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞).不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1,0)，于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e <x 1x 2<1.] 2.D [方法一 当x >2时，g (x )＝x ＋b －4，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝b －x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝b －x 2，f (x )＝2＋x . 由于函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点， 所以方程f (x )－g (x )＝0恰有4个根.当b ＝0时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋8＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x －(－x )＝0，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋2＝0，无解. 所以b ≠0，排除答案B.当b ＝2时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为(x －2)2＝x －2，得x ＝2(舍去)或x ＝3，有1解；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝2－x ，有无数个解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x 2＝x ＋2，得x ＝0(舍去)或x ＝－1，有1解. 所以b ≠2，排除答案A.当b ＝1时，当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋7＝0，无解； 当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为1－x ＝2－x ，无解； 当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x ＋1＝0，无解. 所以b ≠1，排除答案C.因此答案选D.方法二 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ′，y ＝(x －2)2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有两个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有4个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点.选D.]3.D [当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上，函数f (x )的零点只有0.]4.B [∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.]5.A [f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π， 所以sin 5<0，故f (2)<0，则函数在[0,2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点； 令x ＝5π－24∈[2,4]，则f (5π－24)＝4sin 5π2－5π－24＝4－5π－24＝18－5π4>0， 而f (2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点.选A.] 6.B [f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈(0，23)时，f ′(x )<0；x ∈(23，＋∞)时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f (23)＝59>0，则f (x )的大致图象如图1所示.图1不符合题意，排除A 、C.当a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈(－∞，－32)时，f ′(x )<0，当x ∈(－32，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f (－32)＝－54，则f (x )的大致图象如图2所示.图2不符合题意，排除D.] 7.A [当0≤x <1时，f (x )≤0.由F (x )＝f (x )－a ＝0，画出函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图.函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点. 当－1<x <0时，0<－x <1，所以f (－x )＝log 0.5(－x ＋1)＝－log 2(1－x )， 即f (x )＝log 2(1－x )，－1<x <0. 由f (x )＝log 2(1－x )＝a ， 解得x ＝1－2a ， 因为函数f (x )为奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为1－2a .] 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 解析 画出函数f (x )的图象如图.要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，则图易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.9.2解析 由于2<a <3<b <4， 故f (1)＝log a 1＋1－b ＝1－b <0， 而0<log a 2<1,2－b ∈(－2，－1)， 故f (2)＝log a 2＋2－b <0， 又log a 3∈(1,2)，3－b ∈(－1,0)， 故f (3)＝log a 3＋3－b >0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n ＝2. 10.2解析 方程变形为3－x 2＝2－x ＝(12)x ，令y 1＝3－x 2，y 2＝(12)x .如图所示，由图象可知有2个交点.11.4解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )， 则h (x )＝⎩⎨⎧－lnx ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2.当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x 2x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4. 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的图象如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1).记B (2,0)，由图象知，方程有四个根， 即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点， 故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.。

第12炼 复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =;()t g x =;且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集;那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数;称y 是x 的复合函数;记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序;一层层求出函数值..例如：已知()()22,x f x g x x x ==-;计算()2g f ⎡⎤⎣⎦解：()2224f == ()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解;则遵循“由外到内”的顺序;一层层拆解直到求出x 的值..例如：已知()2x f x =;()22g x x x =-;若()0g f x =⎡⎤⎣⎦;求x解：令()t f x =;则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =⇒=⇒=;则x ∈∅ 当()2222x t f x =⇒=⇒=;则1x = 综上所述：1x =由上例可得;要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根;则需要先将()f x 视为整体;先求出()f x 的值;再求对应x 的解;这种思路也用来解决复合函数零点问题;先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ;若存在0x D ∈;使得()00f x =;则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数;在解此类问题时;要分为两层来分析;第一层是解关于()f x 的方程;观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应;将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：1此类问题与函数图象结合较为紧密;在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像2若已知零点个数求参数的范围;则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数;再根据个数与()f x 的图像特点;分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应;从而确定()i f x 的取值范围;进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩;若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ;则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ;满足()0y f x =的x 的个数分别为2个000,1y y >≠和3个01y =;已知有3个解;从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根;而另一根为1或者是负数..所以()1i f x =;可解得：1230,1,2x x x ===;所以2221235x x x ++= 答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体;即()21t x x =-;则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =;则只需作出()21t x x =-的图像;然后统计与1t =与2t =的交点总数即可;共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x xx=+--;关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=,a b R ∈恰有6个不同实数解;则a 的取值范围是 ．思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=;故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩; 则()f x 的图像如图;由图像可知;若有6个不同实数解;则必有()()122,02f x f x =<<;所以()()()122,4a f x f x -=+∈;解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数;当0x >时;()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩;则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为A. 6B. 7C. 8D.9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解;得()()1211,23f x f x ==-;只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可..由奇函数可先做出0x >的图像;2x >时;()()122f x f x =-;则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩为一半即可..正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像..通过数形结合可得共有7个交点 答案：B小炼有话说：在作图的过程中;注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间..例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ;且()11f x x =;则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2320x ax b ++= ①的两根;观察到方程①与()()()2320f x af x b ++=结构完全相同;所以可得()()()2320f x af x b ++=的两根为()()1122,f x x f x x ==;其中()111f x x =;若12x x <;可判断出1x 是极大值点;2x 是极小值点..且()()2211f x x x f x =>=;所以()1y f x =与()f x 有两个交点;而()2f x 与()f x 有一个交点;共计3个；若12x x >;可判断出1x 是极小值点;2x 是极大值点..且()()2211f x x x f x =<=;所以()1y f x =与()f x 有两个交点;而()2f x 与()f x 有一个交点;共计3个..综上所述;共有3个交点 答案：A例6：已知函数()243f x x x =-+;若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根;则实数b 的取值范围是A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像如图;因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ;若要出七个根;则()()()121,0,1f x f x =∈;所以()()()121,2b f x f x -=+∈;解得：()2,1b ∈--答案：B例7：已知函数()xx f x e=;若关于x 的方程()()210f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根;则实数m 的取值范围是A. ()1,22,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,1e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭思路：(),0,0x xxx e f x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩;分析()f x 的图像以便于作图;0x ≥时;()()'1x f x x e -=-;从而()f x 在()0,1单调递增;在()1,+∞单调递减;()11f e=;且当,0x y →+∞→;所以x 正半轴为水平渐近线；当0x <时;()()'1x f x x e -=-;所以()f x 在(),0-∞单调递减..由此作图;从图像可得;若恰有4个不等实根;则关于()f x 的方程()()210f x mf x m -+-=中;()()12110,,,f x f x e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;从而将问题转化为根分布问题;设()t f x =;则210t mt m -+-=的两根12110,,,t t e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;设()21g t t mt m =-+-;则有()20010111100g m m m g e e e >⎧->⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫-⋅+-=< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩;解得11,1m e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目;其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图;在作图的过程中还要注意渐近线的细节;从而保证图像的准确.. 例8：已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩;则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确的是A. 当0a >时;有4个零点；当0a <时;有1个零点B. 当0a >时;有3个零点；当0a <时;有2个零点C. 无论a 为何值;均有2个零点D. 无论a 为何值;均有4个零点思路：所求函数的零点;即方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦的解的个数;先作出()f x 的图像;直线1y ax =+为过定点()0,1的一条直线;但需要对a 的符号进行分类讨论..当0a >时;图像如图所示;先拆外层可得()()12210,2f x f x a =-<=;而()1f x 有两个对应的x ;()2f x 也有两个对应的x ;共计4个；当0a <时;()f x 的图像如图所示;先拆外层可得()12f x =;且()12f x =只有一个满足的x ;所以共一个零点..结合选项;可判断出A 正确 答案：A例9：已知函数()()()232211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪-++≤⎩;则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦a 为正实数的实数根最多有___________个思路：先通过分析()(),f x g x 的性质以便于作图;()()'23632f x x x x x =-=-;从而()f x 在()(),0,2,-∞+∞单增;在()0,2单减;且()()01,23f f ==-;()g x 为分段函数;作出每段图像即可;如图所示;若要实数根最多;则要优先选取()f x 能对应x 较多的情况;由()f x 图像可得;当()()3,1f x ∈-时;每个()f x 可对应3个x ..只需判断()g f x a =⎡⎤⎣⎦中;()f x 能在()3,1-取得的值的个数即可;观察()g x 图像可得;当51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时;可以有2个()()3,1f x ∈-;从而能够找到6个根;即最多的根的个数 答案：6个例10：已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下;给出下列四个命题：1方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 2方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 3方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 4方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根 则正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层;找到内层函数能取得的值;从而统计出x 的总数..1中可得()()()()()1232,1,0,1,2g x g x g x ∈--=∈;进而()1g x 有2个对应的x ;()2g x 有3个;()3g x 有2个;总计7个;1错误；2中可得()()()()122,1,0,1f x f x ∈--∈;进而()1f x 有1个对应的x ;()2f x 有3个;总计4个;2错误；3中可得()()()()()1232,1,0,1,2f x f x f x ∈--=∈;进而()1f x 有1个对应的x ;()2f x 有3个;()3f x 有1个;总计5个;3正确；4中可得：()()()()122,1,0,1g x g x ∈--∈;进而()1g x 有2个对应的x ;()2g x 有2个;共计4个;4正确 则综上所述;正确的命题共有2个 答案：B。

专题一 “四招”判断函数零点个数函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.【典型例题】第一招 应用函数性质，判定函数零点个数 例1.已知偶函数()()4log ,04{8,48x x f x f x x <≤=-<<，且()()8f x f x -=，则函数()()12xF x f x =-在区间[]2018,2018-的零点个数为（ ）A. 2020B. 2016C. 1010D. 1008 【答案】A 【解析】当08x <<时，函数()f x 与函数12xy =图象有4个交点201825282=⨯+由()4211122242f log ==>=知， 当02x <<时函数()f x 与函数12xy =图象有2个交点故函数()F x 的零点个数为()2524222020⨯+⨯= 故选A .第二招 数形结合，判定函数零点个数例2.【2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x +=+，且[]0,1x ∈时， ()4xf x =； (]1,2x ∈时， ()()1f f x x=. 令()()[]24,6,2g x f x x x =--∈-，则函数()g x 的零点个数为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】B∵函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ）+1，即自变量x 每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位， 分别画出函数y=f （x ）在x ∈[﹣6，2]，y=12x+2的图象，∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=12x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个．故选：B．第三招应用零点存在性定理，判定函数零点个数例3.【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）讨论在上的零点个数.【答案】（1）见解析；（2）见解析∴当时，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）设，则由（1）知①当时，即，当时，，在单调递减，∴当，即，时，在上恒成立，∴当时，在内无零点.当，即，时，，根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，∵在内单调递减，∴此时，在有一个零点.②当时，即，当时，，在单调递增，，.∴当，即时，，根据零点存在性定理，此时，在内有零点. ∵在内单调递增，∴此时，在有一个零点.当时，，∴此时，在无零点.③当时，即，当时，；当时，；则在单调递减，在单调递增.∴在上恒成立，∴此时，在内无零点.∴综上所述：当时，在内有1个零点；当时，在有一个零点；当时，在无零点.第四招构造函数，判定函数零点个数例4．【山东省菏泽市2019届高三上学期期末】已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.【答案】（1）；（2）详见解析.f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.综上知.（2）∵函数，令g（x）＝0，得.设，，当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，φ（x）的最大值为.又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：①当时，函数g（x）无零点；②当时，函数g （x ）有且仅有一个零点；③当时，函数g （x ）有两个零点；④a≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点； 综上所述，当时，函数g （x ）无零点；当或a ≤0时，函数g （x ）有且仅有一个零点；当时，函数g （x ）有两个零点.【规律与方法】函数零点个数的求解与判断：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.【提升训练】1．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R 上的奇函数，满足当时，则关于x 的方程满足A ．对任意，恰有一解B ．对任意，恰有两个不同解C ．存在，有三个不同解D ．存在，无解【答案】A 【解析】 当时，，，时，；时，，在上递减，在上递增，，在上递增，又x 大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；x 趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．2．【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是( )A．函数在上为单调递增函数B．是函数的极小值点C．函数至多有两个零点D．时，不等式恒成立【答案】D若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，若，则函数没有零点，故正确；由在递减，则在递减，由，得时，，故，故，故错误,故选D．3.已知函数()y f x =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，则关于x 的函数()()1g x f x x=+的零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 【答案】A4．【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知函数.（Ⅰ）若的图像在点处的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）若，讨论的零点个数. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1个【解析】 （Ⅰ）函数， 导数为，， 图象在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得； （Ⅱ）若，可得，由，可得（舍去），即的零点个数为； 若，由，即为，可得，，设，， 当时，，递减；当时，，递增，可得处取得极大值，且为最大值，的图象如图：由，即，可得和的图象只有一个交点，即时，的零点个数为，综上可得在的零点个数为.5．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当a≤0时，曲线y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），设g（x）=2ax2-x+1（x＞0），（1）当0＜a＜时，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，在（，）上小于零，所以f（x）在（0，），（，+∞）上递增，在（，）上递减，（2）当a≥时，g（x）≥0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，（4）当a＜0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减；（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的曲线方程为：y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，曲线方程和y=f（x）联立可得：lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），h′（x）=，当a≤0时，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，故h（x）在（0，t）递增，在（t，+∞）递减，又h（t）=0，故h（x）只有唯一的零点t，即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t））．6．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数，. （Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】(Ⅰ)存在；(Ⅱ)详见解析.【解析】（Ⅰ），，，则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，因为，，，，，所以存在切线斜率，使得，，，，所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.（Ⅱ），当，有；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，，，所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知，，其中，为自然对数的底数．若函数的切线l经过点，求l的方程；Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析Ⅱ判断：函数的零点个数是0，下面证明恒成立，，故，若在递减，则，因此，要证明对恒成立，只需证明对恒成立，考虑等价于，记，，先看，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，，再看，.令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，.，且两个函数的极值点不在同一个x处，故对恒成立，综上，对恒成立，故函数函数零点是0个．8.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一)】已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：当且时，只有一个零点.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）．当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增．当时，由得，由得或，在单调递减，在和单调递增．令，，当时，，故在单调递增，所以，在单调递增，所以，因此．因为在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点.综上，当且时，只有一个零点．9．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数．求的单调区间和极值；当时，证明：对任意的，函数有且只有一个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：函数的定义域为，，当时，，在定义域上单调递增，无极值；当时，由，得，当时，，得的单调递增区间是；当时，，得的单调递减区间是，故的极大值为，无极小值．由，得，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以，于是，则在上单调递减．设，则，由，得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以，即当时，，所以当时，，对任意的，有当时，，有；当时，有，又在上单调递减，所以存在唯一的，有；当时，，有，当时，有，又在上单调递减，所以存在唯一的，有，综上所述，对任意的，方程有且只有一个正实数根，即函数有且只有一个零点．10．【2019届高三第一次全国大联考】已知函数（其中）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的极值点；（3）讨论函数零点的个数．【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减；（2）函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和；（3）详见解析.（2）先考虑时的情况，当时，则；所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增．又因为函数的图象关于直线对称，所以在和上单调递减，在和上单调递增．所以函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和．令，则．由，解得；由，解得，所以在上递增，在上递减，所以，当时，注意到，知此时在上单调递减，在上单调递增，且，这表明的图象与轴相切，所以此时函数在上只有1个零点，且为；当或时，，又当或时，，所以此时函数在上有2个零点，一个零点是，另一个零点在区间或内．又由函数的图象关于直线对称，综上可得，当或时，函数有2个零点；当或时，函数有4个零点．11．【2019年四川省达州市高考一诊】已知，函数，．求证：；讨论函数零点的个数．【答案】（1）见解析；（2）见解析解：，，，，，方程有两个不相等的实根，分别为，，且，，当时，，递减，当时，，递增，，，，即，．设，则，是减函数，当，即时，，函数只有一个零点，当，即时，，函数没有零点，当，即时，，且，由知，，若，则有，，函数有且只有一个大于的零点，又，即函数在区间有且只有一个零点，综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，当时，函数没有零点．12．【北京延庆区2019届高三一模】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）当时，求函数在上区间零点的个数.【答案】（1）（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减（3）见解析【解析】（1）当时，，，,，切点，所以切线方程是.（2），令，、及的变化情况如下增减所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（3）由（2）可知的最大值为,（1）当时，在区间单调递增，在区间上单调递减.由，故在区间上只有一个零点 .（2）当时，，，,且 .因为，所以，在区间上无零点.综上，当时，在区间上只有一个零点，当时，在区间上无零点.13．【广东省江门市2019届高考模拟（第一次模拟)】设函数，是自然对数的底数，是常数．（1）若，求的单调递增区间；（2）讨论曲线与公共点的个数．【答案】（1）的单调递增区间为（或）；（2）或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点 .（I）时，有一个零点 .(II)时，由解得，．当时，；当时，，在取最小值 ,①时，，有一个零点.②时，，无零点 .③时，，由知，在有一个零点，即在有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当且充分大时，，所以在有一个零点，即在有一个零点．从而有两个零点 .（III）时，，单调递减，，，所以在有一个零点，从而在定义域内有一个零点 .（IIII）时，无零点 .14．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由，得，令，所以，所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；即，所以单调递减；当时，，即，所以单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且，当时，函数有极小值，且.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.。

高中数学专题练习-函数零点问题[题型分析•高考展望]函数零点问题是高考常考题型,一般以选择题、填空题的形式考查,难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数;二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.常考题型精析题型一零点个数与零点区间问题例1 (1)(•湖北)Ax)是定义在R上的奇函数,当x20时.,夫x)=/一3x,那么函数g(x)=/W —x+3的零点的集合为()A.{1,3)B.{-3, -1,1,3)C.{2—" 1,3}D.{-2—6 1,3}2'—,(2)(206北京)设函数加0= ' 'I4(x—«)(x—2«),①假设a = 1,那么«r)的最小值为;②假设JU)恰有2个零点,那么实数a的取值范围是 ______ .点评确定函数零点的常用方法：⑴假设方程易求解时,用解方程判定法；(2)数形结合法,在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手时, 可以转化为某一易入手的等价问题求解,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.变式练习1 (•东营模拟)因表示不超过x的最大整数,例如[2.9] = 2, [―4.1] = —5.J(x)=x -M(xGR), g(x)=log4(x—1),那么函数力(x)=/m)—g(x)的零点个数是( )A.lB.2C.3D.4题型二由函数零点求参数范围问题fLv2+5x+4l, xWO,例2 (•天津)函数於)=j 假设函数y=/(x)—恰有4个零点,那么实数,2k—21, x>0.a的取值范围为.点评利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:〔1〕利用零点存在性定理构建不等式求解.〔2〕别离参数后转化为求函数的值域〔最值〕问题求解.⑶转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.变式练习2 〔•北京东城区模拟〕函数段〕是定义在R 上的偶函数,且满足於+2〕=%〕.当不引0川 时,於〕 = 2x.假设在区间[—2,3]上方程一外〕=0恰有四个不相等的实数根,那么实数.的取 值范围是 ___________ .高考题型精练1 .X],也是函数於尸e-r-llnxl 的两个零点,那么〔〕A."<A1X2<1BA<X\X2<C eC.1<AI X2<10D.e<xi%2<10[2-Lvl, A <2, 2 .〔•天津〕函数兀t 〕={ >函数g 〔x 〕=h —/〔2—x 〕,其中假设函数y=/〔x 〕 2〕、x>2,—g 〔x 〕恰有4个零点,那么8的取值范围是〔〕A© +8〕 Jc 〔o, 3 D.g, 2〕出一1 v < 13.〔•福州模拟〕函数,' ' ' 那么函数/〔x 〕的零点为〔〕11 +log2X, X>\,A.；, 0B. —2,0 4 .函数/U 〕=2sin4—x+1的零点个数为〔〕A.4B.5C.6D.7 5 .设函数/U 〕=4sin 〔2x+1〕—x,那么在以下区间中函数/U 〕不存在零点的是〔〕A.[-4, -2]B.[-2,0]C.[0,2]D.[2,4]6 .〔•课标全国I 〕函数於〕=加一3f+1,假设於〕存在唯一的零点如 且x 〔〕>0,那么.的取值 范围是〔〕1-2 ・A.〔2, +8〕B.〔—8, -2〕D.〔-8, -1〕C.〔l, +8〕log〔〕,5〔x+ 1〕, OWxvl,7.定义在R上的奇函数"r〕,当xNOH寸,J 那么关于x的函数F〔x〕11 —lx—31, xNl,=/a〕—a〔o<〃vi〕的所有零点之和为〔〕A.l—2"B.2a~\CA-2~a曾"x>28.〔.北京朝阳区模拟〕函数f〔x〕=y V4'"' 假设函数以幻=/〔幻—攵有两个不同的零「Og2X, 0<x<2. 点,那么实数攵的取值范围是__________ .9.函数"〕=logox+x-b〔a>0,且aWl〕,当2v"3v/x4时,函数段〕的零点冲£〔小〃+1〕, 〃WN*,那么〃=.10.方程2「+r=3的实数解的个数为.fo, OVxWl,11.〔・江苏〕函数於〕 = llnxl, g〔x〕=J ?,一那么方程！/〔x〕+g〔x〕l=l实根的个数为心―一41 —2, x>\912.大刈是以2为周期的偶函数,当x£［0』］时,兀t〕=x,且在［-1,3］内,关于x的方程=Ax+k+l 〔A£R, ZW - 1〕有四个根,那么A的取值范围是_____________________ .答案精析函数零点问题常考题型精析例 1 (1)D (2)©-1 1)U[2, +8)解析⑴令xvO,贝1x>0,所以 /(= (—x)2+3x=x1+3x.由于Ax)是定义在R上的奇函数,所以人一x)=-/U).所以当xvO 时,J(x) = -x1-3x.所以当xNO时,g(x)=『一4x+3.令g(x)=O,即/一4工+3=0,解得x=l或x=3.当xvO时, g(x)=-f—4%+3.令g(x)=O,即『+4工一3 = 0,解得工=-2+小>0(舍去)或工二一2一巾.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2—6,1,3}.2A— 1 XV1⑵①当4=1 时,J(X)= * ' ；、I4(x— l)(x—2),当x<l 时,/(x) = 2A-lG(-l,l),当时,兀0=4(广一3工+2)〞(•LA/-I,* *f(.x)min = - L②由于J(x)恰有2个零点,分两种情况讨论：当兀6二2、一〞,x<l没有零点时,或.W0.当心2时,«r)=4(x—〃)(x—20, QI时,有2个零点；当“Wo 时,J(x)=4(x—a)(x—2a'), 时无零点.因此满足题意.当f(x) = 2x~a, xv 1 有一个零点时,0<«<2.f(x)=4(x-a)(x— 2a), 有一个零点,此时“<1,24力1,因此gw4Vl.综上知实数.的取值范围是%或二L )变式练习1 B ［函数Mr 〕=/a 〕—g 〔x 〕的零点个数可转化为函数/U 〕与g 〔x 〕图象的交点个数,作x+1, - lWx<0, 出函数 f(x)=x —[x]=<X, OWxvl, x — 1, lWx<2, 可知两函数图象的交点个数为2,即函数力〔幻=/〔幻一以外的零点个数是21例 2 1V"<2解析 画出函数人工〕的图象如下图.函数〕,=/W —.改1有4个零点,即函数?=.1%1的图象与函数7U 〕的图象有4个交点〔根据图象知 需 «>0〕.当a=2时,函数兀¥〕的图象与函数?=4国的图象有3个交点.故a<2.当y=akl 〔xWO 〕与〉=酎+5犬+41相切时,在整个定义域内,凡0的图象与V=〃kl 的图象有5个 交点,由1=0得〔5—4〕2—16 = 0,解得4=1,或4 = 9〔舍去〕, 那么当lva<2时,两个函数图象有4个交点.故实数,的取值范围是\<a<2.2 2变式练习2 解析由/(x+2)=/H ・)得函数的周期是2. 由 6u+ lei —f[x) = 0 得兀1)= 44+2«, 设)'=於),y=〃x+2a,作出函数y=/(x),y=ax+2a 的图象,如图,与函数g 〔X 〕= log4〔X —l 〕的大致图象如图,由图y= 此时,由< b=—ax. —x 2 —5x —4 得『+(5—a)x+4 = 0.要使方程ca+2a—人工)=0恰有四个不相等的实数根,那么直线),=内+ 2〃 = 4(工+ 2)的斜率满足kAH<U<kAG,由题意可知,G(l,2), H(3,2), A(-2,0), 2 2所以心〃=q, kAG=y2 2所以'VYQ.高考题型精练1. A [在同一坐标系中画出函数),=e「与),=llnxl的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0』),另一个交点的横坐标属于区间(1, +8),即在修,初中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1, +8).不妨设X]£(0』),犯£(1, +°°), 那么有e—xi =llnxil = —Injq £住一「1), e ~X2 = lln X2I=In X2 (0, e 1), e—必一e一修二Inxz+lnxi = lnxiX2^(—1,0),于是有e*l<x-iX2<e°,即‘UixzvL] e2.D [方法一当x>2 时,g(x)=x+〃-4,凡?二.一2产；当04W2 时,g(x)=b-x9 f(x)=2-x;当xvO 时,g(x)=b~x2t f(x)=2+x.由于函数y=/U)—g.)恰有4个零点,所以方程/U)—g(x)=O恰有4个根.当〃=0时,留神>2时,方程次此一g(x)=O可化为『一5x+8 = 0,无解；当0WxW2时,方程凡¥)—g(x)=O可化为2—x—(―x)=0,无解；当xvO时,方程兀0—g(x) = O可化为f+x+2 = 0,无解.所以AWO,排除答案B.当b=2时,当x>2时,方程f(x)-g(x)=O可化为(x—2)2=x—2,得x=2(舍去)或x=3,有1 解；当0WxW2时,方程共幻一gQ)=O可化为2—x=2—x,有无数个解；当xvO时,方程火x)—g(x) = O可化为2—f=x+2,得x=O(舍去)或x= -1,有1解.所以8W2,排除答案A.当b=1时,留神＞2时,方程兀0—g(x) = O可化为/一5工+7 = 0,无解；当0WxW2时,方程共幻一g(x)=O可化为1—x=2—x,无解；当XV.时,方程/U)—g(x) =.可化为f+x+luO,无解.所以8W1,排除答案C.因此答案选D.方法二记/?(工)=一八2一工)在同一坐标系中作出於)与力(x)的图象如图,直线AB：y=x-4,当fv=A-+Z?Z ,直线/〃48且与凡独的图象相切时,由£ ,.U'=(L2)-,9 9 7解得沙=一0 一Z一(一4)=不7所以曲线力(X)向上平移;个单位后,所得图象与Ax)的图象有两个公共点,平移2个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当(＜人＜2时,兀0与g(x)的图象有4个不同的交点,即),=/5) 一g(x)恰有4个零点.选D.]3.D [当xWl时,由力＞)=2]- 1=0,解得x=0;留神＞1时,由兀t)=l+log2X=0,解得x=J, 又由于Q1,所以此时方程无解.综上,函数/⑴的零点只有014.B 「••2sin7LLx+l=O,,2sin心・=x—1,图象如下图,由图象看出y=2sin7L¥ 与y=x—1有5个交点,•\Ax)=2sin7LY—x+1 的零点个数为 5.]5.A ［/(0)=4sin 1＞0, /(2)=4sin 5 —2,由于兀v5V2兀, 所以sin5vO,故/(2)v0,那么函数在［0,2］上存在零点；由于/(—l)=4sin(—1)+1<0,故函数在［—1⑼上存在零点,也在［—2⑼上存在零点;5 兀 5 兀-2 5 K —2 18 —5 兀 了一F-=4—丁=1^>0,而4)V0,所以函数在[2,4]上存在零点.选A.]6.B [f (x) = 3ax 2~6x f 当.=3 时,f (x)=9/一6x=3x(3x —2),那么当 x£( —8, 0)时,,Q ?0；x£(0, |)时,/ (x)v0;x£(|,十8)时,/ (x)>0,注意/(0)=1, 式|)=|>0,那么於)的大致图象如图1所示.不符合题意,排除A 、C.,/ (x)<0,当 x£(一* 3 5不符合题意,排除DJ7.A ［当 0<xvl 时,Ax)WO.由F(x)=/a)—.=0,画出函数y=/(x)与y=a 的图象如图.令x= 5兀一 2引2月, 5兀一2那么/Cy-)=4sin .)时,r .)>.,当x£(o, +8)时,.a)〈o,注意式0)=1,八一：)=—1,那么於)的大致图象 如图2所示.当.=一,时,r W = -4X 2-6x= -2x(2v+ 3),那么当 日一8, 一当时函数F(x)=/*)—.有5个零点.当一l<y0 时,0<-%<1,所以 /( —X)= log().5( —x+ 1)=—log2(l —A),即f(x) = log2(l —x), — 1 <x<0.由八T)= log2(l解得X=l—2.,由于函数J(x)为奇函数,所以函数F(x)=/U)—.(0<〃<1)的所有零点之和为1—2〞解析画出函数/(、)的图象如图.要使函数g(x)=/U)—k有两个不同零点,只需),=/*)与y=k 的图象有两个不同交点,那么图易知攵£停,1).9.2解析由于2v“v女〃<4,故y(i)=iogfli +1 —b= i —/?<o,而Ovlogn2V1,2—/?£( —2, — 1),故J(2)=loga2+2—b<0,又lo劭3£(1,2), 3—6£(—1,0),故/(3)—logn3 + 3—b>0,因此函数必在区间(2,3)内存在零点,故〃=2.10.2解析方程变形为3—炉=2七=(；/,令yi=3_f, j2=(2)r-如下图,由图象可知有2个交点.11.4解析令/心・)=/m)+g(x),I — In x, 0W1, 那么/?Q) = < —A^+lnx+2, l<x<2,Lx2 + ln x—6, xN2.i ] —当1V X V2时,h f (x)=-2x+-=- .X<0,故当1VXV2时/z(x)单调递减,在同一坐标系中画出),=1/©)1和)=1的图象如下图.由图象可知!/U)+g(x)l=l的实根个数为4.12.(一；, 0)解析由题意作出/(x)在［-1用上的图象如图,记丁=攵.+1)+1,•••函数丁=k(x+l)+l的图象过定点4(—1,1) .记8(20),由图象知,方程有四个根, 即函数y =洲>)与y=kx+k+l的图象有四个交点,L(0— 1 1 1故kAB<k<0,抬8=._(_ ])= _',<一Q<kvO.。

高中数学函数的零点练习及答案题型一：函数的零点【例1】 若1()x f x x-=，则方程(4)f x x =的根是( ) A ．12B ．－12C ．2D ．－2【考点】函数的零点 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例2】 若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）.A. 1a >-B. 1a <-C. 1a >D. 1a < 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B【例3】 已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 . 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 ∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤，∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得23m ≤-.所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-.点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式【答案】2(,]3-∞-典例分析【例4】 函数()23x f x =-的零点所在区间为（ ）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】C【例5】 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5) 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>.∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B.【答案】B【例6】 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D.(1,2)【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，泉州市，高考模拟 【解析】 【答案】 C【例7】 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（ ）.A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】【答案】B【例8】 若函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【考点】函数的零点【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，山东文，高考【解析】 设函数(0,xy a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a=+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .【答案】}1|{>a a【例9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）3()21f x x x =--+； （2）1()32x f x e x +=++.【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）易知函数3()21f x x x =--+在定义域R 上是减函数.用计算器或计算机作出,()x f x 的对应值表或图象.x-3-2 -1 0 1 2 3 ()f x 34 13 4 1 -2 -11 -32由列表或图象可知，(0)0f >，(1)0f <，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(0,1). （2）易知函数1()32x f x e x +=++在定义域R 上是增函数.用图形计算器或计算机作出图象.由图象可知，(2)0f -<，(1)0f ->，即(2)(1)0f f --<，说明函数()f x 在区间(2,1)--内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(2,1)--.【答案】（1）(0,1)（2）(2,1)--【例10】 已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ()f x －3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点【例11】 画出函数3()231f x x x =-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】通过作出x、()f x的对应值表(如下).x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5()f x-1.25 2 2.25 1 -0.25 0 3.25所以图象为由上表和上图可知，()f f-⋅-<，说明这个函数在区间1.510f-<，()10f->，即()()1.50()f=，所以1也是它的零1.5,1--内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外，()10点.由于函数()-∞-和(1，+∞)内是增函数，所以它共有3个零点.．f x在定义域(), 1.5【答案】共有3个零点【例12】求函数32=--+的零点，并画出它的图象.y x x x22【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】因为322=--+=---=--+22(2)(2)(2)(1)(1)y x x x x x x x x x所以函数的零点为-1，1，23个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞).在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5y-4.38 0 1.88 2 1.13 2 -0.63 0 2.63在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.【答案】零点为-1，1，2【例13】 函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）.A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数为偶数D. 零点个数为k ，k N ∈【考点】函数的零点 【难度】3星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】D【例14】 已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2009年，北京市石景山，高考一模 【解析】 【答案】①③④【例15】 若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. ()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2009年，福建文，高考【解析】 ()41f x x =-的零点为14x =,()2(1)f x x =-的零点为1x =, ()1x f x e =-的零点为0x =,()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为32x =.现在我们来估算()422xg x x =+-的零点，因为()01g =-,112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。

2023 届高考数学专项（函数零点问题）答题模板与练习【重要性分析】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【同类习题1】方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【同类习题2】【山西省运城市2021届高三上学期9月调研数学（理）】已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【同类习题3】函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【出处】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）类型二 零点的个数的确定方法1：定义法万能模板内 容()2e xf x =()15g x x=+()0,1()1,2()2,3()3,4使用场景 一般函数类型解题模板第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其 零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【同类习题4】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【出处】吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三下学期三模考试数学试题 【同类习题5】方程3sin x x =的根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【同类习题6】（多选）若函数f (x )＝恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ） A ．1B ．2C ．15D ．16【出处】山东省济南市章丘区2021届高三5月份模拟数学试题方法2：数形结合法万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像； 第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出()f x R ()()2f x f x +=[]0,1x ∈()πcos 2f x x =()y f x x =-4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩结论.例3. 方程31()|log |3xx =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【同类习题7】【上海市徐汇区2021届高三上学期一模】方程8cos log x x =的实数解的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【同类习题8】己知函数，若存在两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【出处】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二）数学试题【同类习题9】知关于x 的方程有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ． B ． C ．D ．【出处】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题【高考再现】1．【2021年北京市高考数学试题】已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ①，使得有一个零点； ①，使得有三个零点； ①，使得有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．2.【2021年天津高考数学试题】设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．()()()1,1,ln ,1x e x f x g x f x a x x -⎧≤==+⎨>⎩()g x [)1,0-()1,0-()0,1(]0,122xxaa -=()0,2()2,4()2,+∞()4,+∞()lg 2f x x kx =--0k =()f x 0k ∃<()f x 0k ∃<()f x 0k ∃>()f x a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭3.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞4.【2020年高考上海卷11】已知a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件，①对任意0x R ∈，0()f x 的值为0x 或02x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解；则a 的取值范围为 ．5. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知λ①R ，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________①7.【2017江苏】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）】已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【专项练习】1．函数的图象与函数的图象交点横坐标所在的区间可能为（ ） A ．B ．C ．D ．【出处】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题2．已知函数在上有唯一零点，若，，则（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5()()=x f x e ()2ln g x x =-()0,1()1,2()2,3()3,4()ln (1)f x x x x k x =+--(1,)+∞(,1)k n n ∈+n Z ∈n =【出处】全国名校2021届高三高考数学（文）冲刺试题（二） 3．函数和存在公共点，则的范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【出处】陕西省西安中学2021届高三下学期第二次仿真考试理科数学试题4．已知函数，，若的图象与的图象在上恰有个交点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【出处】“超级全能生”2021届高三全国卷地区4月联考试题（乙卷）数学（理）试题5．函数的零点，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【出处】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（文）试题6．（多选）【2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】已知函数()ln(1)f x x x =+，则（ ）A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数7．【四川省成都市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性检测数学（文）】已知函数()ln f x x x =+，()ln g x x x =，若()1ln f x t =，()2g x t =，则12ln x x t 的最小值为（ ）．A ．21eB ．2eC ．1e-D ．21e-8．已知函数()f x kx =，21x e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，()121x g x e +-=+，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ､N ，使得M ､N 关于直线1y x =+对称，则实数k 的取值范围是（ ）3y x =212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭()00,P x y 0x ()0,1()1,2()2,3()3,4()f x x a =+()ln g x x =()f x ()g x ()2020,20211a ()ln 20202020,ln 20212021--()ln 20202021,ln 20212020--()ln 20212020,ln 20202021--()ln 20212021,ln 20202020--()1542x f x x =+-[]01,x a a ∈-*a ∈N a =1234A ．1,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．24,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科】对于函数()y f x =与()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称()()00,M x f x ，0(,N x -()0)g x -是函数()f x 与()g x 图象的一对“隐对称点”.已知函数()()1f x m x =+，()ln xg x x=，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,0-B ．(),1-∞-C ．()()0,11,+∞ D ．()(),11,0-∞--10.【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】已知函数()1ln 1x f x x ae-=++的图象与函数()11ln12x g x ae x-=---的图象有唯一公共点，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．1-11.【山东省枣庄市滕州一中2020-2021学年高三10月月考】定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()()'1f b f a f x b a -=-，()()()'2f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是（ ） A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫⎪⎝⎭C ．23,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭12.【广西南宁三中2020届高三数学（理科）】方程2221,(0)x x a a -=+>的解的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．【天津市耀华中学2021届高三（上）】已知函数21,1()ln ,1x x f x x x x⎧-⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程212[()]2()02f x tf x t ++-=有5个不同的实数根，则实数t 的取值范围是（ ） A ．111,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．111,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．113,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．113,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭14.【河南省信阳市2021届高三（10月份）第一次质检数学（理科）】已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()22120f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______. 15．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________. 【出处】全国2021届高三高考数学（文）信息试题（一）16．已知函数有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________. 【出处】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题17．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩. （1）求斜率为12的曲线()y f x =的切线方程； （2）设()()f x g x m x=-，若()g x 有2个零点，求m 的取值范围.()()212f x x k x =--k ()()112 ()1421x x f x k -=-+-参考答案分析【重要性分析】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【参考答案】B【分析】第一步，直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0：函数()43xf x e x =+-单调递增,只有一个零点,而0231414141<-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛e e f ,0121>-=⎪⎭⎫⎝⎛e f ； 第二步，若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可：由02141<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ,可知函数的零点在11,42⎛⎫⎪⎝⎭．故选B ． 考点：零点存在定理．【同类习题1】方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【参考答案】B【分析】试题分析：由题意得，设函数()22xf x x =+-，则()()0102021,12121f f =+-=-=+-=，所以()()010f f <，所以方程220xx +-=的解所在的区间为(0,1)，故选B.考点：函数的零点.【同类习题2】【山西省运城市2021届高三上学期9月调研数学（理）】已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【参考答案】A 【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，337782log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=+->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A【同类习题3】函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（ ） ()2e xf x =()15g x x=+A ．B ．C ．D ．【出处】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一） 【参考答案】B 【分析】构造函数，由零点存在定理判断． 【详解】设，是上的增函数，在和上都是减函数，，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形，，，所以在上有零点．所以函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为 故选：B ．类型二 零点的个数的确定方法1：定义法例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【参考答案】B【分析】第一步，判断函数的单调性:由已知得03)(>+='x e x f ，所以)(x f 在R 上单调递增；第二步，根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0， 则该区间即为存在唯一的零点区间：()0,1()1,2()2,3()3,41()2e 5xh x x=--e x y =R 1y x =(0,)+∞(,0)-∞()h x (,0)-∞(0,)+∞(0,)+∞(1)215260h e e =--=-<22111(2)252022h e e =--=->()h x (1,2)()2e xf x =()15g x x=+又因为03)1(1<-=--ef ，03)1(>+=e f ，所以0)1-()1(<•f f第三步，得出结论：所以)(x f 的零点个数是1，故选B ． 考点：函数的零点．【同类习题4】已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【出处】吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三下学期三模考试数学试题 【参考答案】A 【分析】函数的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数周期，当时，，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可. 【详解】①，则函数是周期的周期函数． 又①函数是定义在上的偶函数，且时，， ①当时，，令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数， 分别作出函数和的图象，如下图，显然与在上有1个交点，在上有一个交点，当时，，而，()f x R ()()2f x f x +=[]0,1x ∈()πcos 2f x x =()y f x x =-()y f x x =-()f x 2T =[]0,1x ∈()πcos 2f x x =()()2f x f x +=()f x 2T =()f x R []0,1x ∈()πcos 2f x x =[)1,0x ∈-()()ππcos cos 22f x f x x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭()0f x x -=()y f x x =-()y f x =()g x x =()y f x =()g x x =()f x ()g x [)1,0-0,11x >()1g x >()1f x ≤所以或时，与无交点．综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2． 故选：A【同类习题5】方程3sin x x =的根的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【参考答案】C 【分析】试题分析：大致图形如图所示,接下来比较x x f =)(与x x g sin 3)(=在0=x 处的切线斜率,xx f 21)(=',0→x 时,+∞→')(x f ,即)(x f 在0=x 处的切线方程为y 轴,又x x g cos 3)(=',在3)0(='=g k ,因此在y 轴右侧)(x g 图象较缓,由图象可知,共有5个交点,故选C ．考点：图象的交点．【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过)0,0(点,而y 轴右侧的高低情况需要比较两个函数在0=x 处的切线斜率得到,为本题的易错点．【同类习题6】（多选）若函数f (x )＝恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ） A ．1B ．2C ．15D ．161x >1x <-()f x ()g x ()y f x =()g x x =()y f x x =-4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩【出处】山东省济南市章丘区2021届高三5月份模拟数学试题 【参考答案】AD 【分析】函数零点转化为方程解，每个选项验证即可解决此题． 【详解】函数f (x )的零点即为方程f (x )＝0的解．当m ＝1时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣1＝0，解得：x ＝0； 当x ≥2时，2021（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x ＝1或3，只取x ＝3． ①函数有两个零点0或3．①A 对；当m ＝2时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣2＝0，解得：x ＝； 当x ≥2时，2021（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，解得：x ＝2或6． ①函数有三个零点或2或6．①B 错；当m ＝15时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣15＝0，解得：x ＝log 415＜2； 当x ≥2时，2021（x ﹣15）（x ﹣45）＝0，解得：x ＝15或45． ①函数有三个零点log 415或15或45．①C 错；当m ＝16时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣16＝0，解得：x ＝2不成立； 当x ≥2时，2021（x ﹣16）（x ﹣48）＝0，解得：x ＝16或48． ①函数有两个零点16或48．①D 对； 故选：AD ．方法2：数形结合法第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像； 第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.1212例3. 方程31()|log |3xx =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【参考答案】B【分析】第一步，在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像：第二步，观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数 ： 由图象可知，函数1()3xy =与函数3log y x =有2个交点；第三步，由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论： 所以方程有2个解。

高三小专题二：函数的零点（例、练及答案）1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（） A ．()2,0- B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2专项练习一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()221ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（） A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()101x x xf x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数λ 的值是（ ）A ．14 B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞C ．[23,+)∞D ．[3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________．14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象； （2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值； （3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围．参考答案1．【答案】见解析 【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一． 2．【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393xx f x xx ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x a x =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea <<3．【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。