2007年广东省韶关市五月份模拟数学试题与答案(理科)

广东省韶关市2007届高三第二次调研考试数学试题(理科)本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。

答在试题卷上不得分；3． 考试结束，考生只需将答题案交回。

参考公式：锥体体积 13V sh =s 表示底面积，h 表示棱体锥高第一部分 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}，，，，，，，7654321=U ，{}16A x x x N *=≤≤∈，，则UCA=（ ）A ．φB ． {}7C ．{}654321，，，，，D ．{}7654321，，，，，，2.某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本进行某项调查，则应抽取的高二年级的学生数为（ ）A .90B ．120C ．240D ．3603. 已知命题P ：[)+∞∈∀,0b ，c bx x x f ++=2)(在[)+∞,0上为增函数,命题Q ：{},|0Z x x x ∈∈∃ 使 0log 02>x ，则下列结论成立的是（ ）A ．﹁P ∨﹁QB ．﹁P ∧﹁Q Ｃ．Ｐ∨﹁Q Ｄ．Ｐ∧﹁Q4. 已知非负实数x 、y 同时满足240x y +-≤,10x y +-≥, 则目标函数z =x 2+(y+2)2的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75. 已知双曲线的中心在原点,离心率为3,若它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合,则该双曲线的方程是( )A ．22163x y -= B ．22163y x -= C ．22136x y -= PD ．22136y x -=6.如图1，四棱锥P-ABCD 的的底面是正方形，PD ⊥面ABCD ，PD AD =， E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于 A.32B.22C.32D.337. 已知21[1,0)()1[0,1]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩，，，则下列函数的图象错误．．的是8. 一批产品，有2件次品，5件正品，每次抽一件测试，直到2件次品全部找出为止. 假定抽后不放回，则第5次测试后停止的概率是（ ）A ．1421B ．1021C ．2021D ．742第二部分 非选择题(共110分)二.填空题(每小题5分,共30分)9. 若复数21(1)z a a i =-++是纯虚数，则z = _________.10. 如下图2，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为__________ 11．如下图3，是计算1111 (3599)++++的程序框图，判断框应填的内容是________________,处理框应填的内容是__________________.12. 圆2220x y x +-=被直线3y =x 所截得的弦所对的劣弧长____________.第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分13.已知222436,x y kz ++=(其中0)k >且t x y z =++的最大值是7,则k = 14． 将极坐标方程cos()4πρθ=-化为直角坐标方程是______________.15．如下图4，⊙'O 和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙'O 于Q开始:0s = 1i =图1OO 'MQP N BA和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3,NQ ＝15，则 PN ＝__________．16.(本题满分12分) 已知(2,cos ),(sin(),2)6a xb x π==+-，函数()f x a b =⋅.(Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；; (Ⅱ)若6()5f x =, 求cos(2)3x π-的值.17.(本题满分14分)1111D C B A ABCD -是长方体，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面11A D E ； (Ⅱ) 求二面角11A AD E --的正切值；(Ⅲ) 求三棱锥E D C A 11-的体积.18. (本题满分12分)已16. (本题满分14分)已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程;D 1C 1B 1A 1EDCBA 图2图3图4(Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程.19. (本题满分14分)某大学为了发展需要,准备兴建新校区. 新校区规划分南北两个校区,北区拟建,,A B C 三个不同功能的教学小区, 南区拟建,,D E F 三个不同功能的生活小区. 南北校区用一条中心主干道MN 相连,各功能小区与中心主干道用支道相连,并且各功能小区到中心干道的端点的距离相等,,,,A C D F 在边长为2公里的正方形顶点位置,,B E 分别在MN 的延长线上. 已知中心主干道的造价为每公里30万元,支道造价为每公里20万元.问当中心主干道约为多少公里时,才能使道路总造价最低? 道路总造价最低为多少万元?( 参考数据3 1.732=,结果保留三位有效数字)20. (本题满分14分) 已知数列{}n b 中，1117b =, 12n n n b b b +=+.数列{}n a 满足:1()2n n a n N b *=∈-(Ⅰ)求证: 1210n n a a +++=； (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 求证：2*12(1)(1)(1)1()n n b b b n N -+-++-<∈ENM FD CBA21．(本题满分14分)已知函数f (x )=21ln ,[,2]2a x x a R x x-⎛⎫+∈∈ ⎪⎝⎭(Ⅰ)当1[2,)4a ∈-时, 求()f x 的最大值;(Ⅱ) 设2()[()ln ]g x f x x x =-⋅, k 是()g x 图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a ，使得1k <恒成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.2007届高三第二次调研考试数学试题(理科)答案及评分标准一、选择题答案 BACBC ADB 二、填空题题号 9 10 11 12 13 14 15答案212π99i > :2i i =+ 13π 922221()()444x y -+-= 35三、解答题16.(本题满分12分)解(Ⅰ): ()2sin()2cos 2sin cos2cos sin2cos 666f x a b x x x x x πππ=⋅=+-=+-…2分3sin cos 2sin()6x x x π=-=-.…………………………………………5分由22262k x k πππππ-+≤-≤+ 得 22263k x k ππππ-+≤≤+ …………………………………………7分2[2,2]63x k k ππππ∈-++ k Z ∈ ()f x 增函数………………………………8分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()2sin()6f x x π=-,即3sin()65x π-=,.……………………………10分∴27cos(2)12sin ()3625x x ππ-=--=-..……………………………………………12分17.(本题满分14分)（Ⅰ）证明：1111D C B A ABCD - 为长方体，AE D A ⊥∴11 ………………………1分 又 E 是1BB 的中点，且11===AB EB BE ，21==∴AE E A又AE E A AA E A AE EA A AA ⊥∴=+∆=222,,,2中在……………..3分又E D A E A D A A E A D A 111111111,平面且⊄=⋂E D A AE 11平面⊥∴……………………………………………………..5分 (Ⅱ)解：D D AA A EA 111平面平面⊥ ，取A A 1的中点F ，连EF ，则11D AA EF 平面⊥ 作1AD FG ⊥交1AD 于点G ，连EG ，则………………………………….7分由三垂线定理知EGF ∠为所求二面角的平面角……………………….8分易知1,51==EF FG ，则5511tan ==∠EGF 故所求二面角的正切值为5. ………………………………………10分(Ⅲ)解：连1BC ，由于1111B BCC D EC 平面平面⊥，交线为1BC 过E 作1BC EH ⊥于H 点，则51=EH ，且为E 到平面11D AC 的距离…12分又25152********=⨯⨯=⋅=∆D C AD S D AC 则6151253131111111=⨯⨯=⋅==∆--h S V V D AC D AC E E D C A 故所求的三棱锥的体积为61……………………………………………14分18．(本题满分12分)解: (Ⅰ)设(,)M x y ……………………………………………………………………………1分 因为2AM BM k k ⋅=-,所以()2111y y x x x ⋅=-≠±+-……………………………………..3分 化简得:()22221x y x +=≠±. ……………………………………………………………..4分 (Ⅱ) 设1122(,),(,)C x y D x y 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则1616(,),(,)2222C D -,其中点不是N ,不合题意…………………………………………6分 设直线l 的方程为11()2y k x -=-将1122(,),(,)C x y D x y 代入()22221x y x +=≠±得221122x y +=…………(1) 222222x y +=…………(2) ……………………………….8分(1)-(2)整理得:12121212122()12()212y y x x k x x y y ⨯-+==-=-=--+⨯ ……………………………11分 直线l 的方程为111()22y x -=-- 即所求直线l 的方程为230x y +-=……………………………………………12.分解法二: 当直线l ⊥x 轴时,直线l 的方程为12x =,则1616(,),(,)2222C D -,其中点不是N ,不合题意.故设直线l 的方程为11()2y k x -=-,将其代入()22221x y x +=≠±化简得222(2)2(1)(1)2022k kk x k x ++-+--=由韦达定理得222212221224(1)4(2)[(1)2]0(1)222(1)2(2)2(1)22(3)2k k k k k k x x k k x x k ⎧--+-->⎪⎪⎪-⎪+=-⎨+⎪⎪--⎪⋅=⎪+⎩,又由已知N 为线段CD 的中点,得122(1)222kk x x k -+=-+12=,解得12k =-, 将1k =-代入(1)式中可知满足条件.此时直线l 的方程为111()22y x -=--,即所求直线l 的方程为230x y +-=.19. (本题满分14分)解法一:设2,MN x O =为正方形的中心,总造价为y 万元……………………………………….1分 过M 作M P AF ⊥,垂足为P ,则2221,1,1(1)22MP AP x AM x x x ==-=+-=-+ ……………………………….3分故2620301202260y AM MN x x x =⋅+⋅=-++…………………………………….6分2120(1)'6022x y x x -=+-+…………………………………………………………………….8分令2'02(1)22y x x x =⇒-=-+ 2123336201,1133x x x x ∴-+=∴=-=+>(舍去)………………………………………………………………………………………….10分当33(0,1),'0;(1,1),'033x y x y ∈-<∈->…………………………………………12分 故当313x =-0.423()km ≈时, min 60(13)164y =+≈(万元) 答: 当中心主干道约为0.423()km 公里时,才能使道路总造价最低. 道路总造价最低约为164万元………………………………………………………………………………………….14分 解法二: (三角法)设2,MN x O =为正方形的中心,((0,))2FAM πθθ∠=∈过M 作//MQ AC 交AF 于Q , 在Rt AQM ∆中,1QM =1,cot 1cot ,1cot sin AM AQ x x θθθθ∴==∴-==- 1202cos 6203060(1cot )6060sin sin y AM MN θθθθ-=⋅+⋅=+-=⋅+令22cos 2cos sin 2sin()sin 1t t tθθθθφθ-=⇒+=⇒+=+ 又sin()1,3t θφ+≤∴≥ 故60(13)y ≥+,故min 60(13)164y =+≈ 此时: 3πθ=,故313x =-0.423()km ≈ 答: 当中心主干道约为0.423()km 公里时,才能使道路总造价最低. 道路总造价最低约为164万元20. (本题满分14分) (Ⅰ)证明: 1111212222n n n n n nnb a a b b b b ++====--+---1210n n a a +++=……………………………………………………………... 3分(Ⅱ)121n n a a +=-- ∴ 111233n n a a ++=-+（）……………………….………..5分 又 11203a +=-≠ ∴ 1{}3n a +为等比数列………………………………………….6分∴ 13n n a +=（-2）∴ 13nn a =-（-2） ……………………………………………………8分(Ⅲ)11221(2)3n n n b a =+=+-- ∴ 1(1)2(1)12(1)3n n n n nb -=⋅-+-⋅-…………………. 10分当n 为奇数时11(1)(1)nn n n b b ++-+-111112233n n +=++-11111222211112222(2)(2)33n n n n n n n n n n +++++++=<=+⋅+- … 12分 ①当n 为偶数时，212(1)(1)(1)n n b b b -+-++-2111112222n n -<++++121112<=- ……………………13分②当n 为奇数时，212(1)(1)(1)n n b b b -+-++-2211111121222223n n n--<++++-++1122111223n<-+-+111123n =-<+ 综上所述，212(1)(1)(1)1n n b b b -+-++-<……………………………………………..14分21. (本题满分14分) (Ⅰ)当-2≤a <41时，由'()f x =0得x 1=2114114,.22a a x --+-= ………………..3分 显然-1≤x 1<21,21<x 2≤2，1211,2,,2.22x x ⎡⎤⎡⎤∴∉∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又'()f x =－()()122x x x x x --当21≤x ≤x 2时，'()f x ≥0，()f x 单调递增； 当x 2<x ≤2时，'()f x <0，()f x 单调递减，………………………………..5分 ∴()f x max =f (x 2)=2114114ln 22114a a aa+-+--++- =-11414ln.2aa +--+………………………………………………………..7分 (Ⅱ)答: 存在(,13)a ∈-∞符合条件……………………………………………………..8分解: 因为2()[()ln ]g x f x x x =-⋅=3ax x -不妨设任意不同两点111222(,),(,)p x y p x y ，其中12x x <则332212122111221212()()()y y a x x x x k a x x x x x x x x --+-===-++--……………………11分由 1k <知:a < 1+221122()x x x x ++<1223x +…………………12分 又22144x ≤≤ 故74a < 故存在(,13)a ∈-∞符合条件.………………………14分解法二:据题意在()y g x =图象上总可以在找一点00(,)P x y 使以P 为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在2120012()()'()31g x g x k g x a x x x -===-<-207134a x ∴<+≤故存在7(,)4a ∈-∞符合条件。

2007届广东省韶关市高三摸底考试理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分150分.考试用时间120分钟.注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上；2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。

答在第Ⅰ卷上不得分；3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回。

参考公式： 1=3V sh 锥体 , 其中s 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第Ⅰ卷(选择题、填空题共70分)一、选择题 (每小题5分,共40分)1．下列各组两个集合P 和Q ,表示同一集合的是（ ）()A P ={}π,3,1,Q ={}3,1,-π ()B P ={}π,Q ={}14159.3()C P ={}3,2,Q ={})32(，()D P ={}N x x x ∈≤<-,11,Q ={}1 2．已知复数12z i =+，21z i =-，则12z z z =⋅在复平面上对应的点位于（ ）()A 第一象限 ()B 第二象限 ()C 第三象限 ()D 第四象限3. 函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是 ( )4.有关命题的说法错误．．的是 ( ) ()A 命题“若0232=+-x x 则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”. ()B “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.()C 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.()D 对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥. 5. 已知3sin ,5αα=为第二象限角，且ββαtan ,1)tan(则=+的值是 ( ) ()A 7- ()B 7 ()C 43-()D 436．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性？（ ） ()A 甲 ()B 乙 ()C 丙 ()D 丁 7．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这 个几何体的体积为 ( ) ()A 1 ()B 12()C 13 ()D 168． 已知公差不为零的等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足：573311,,b a b a b a ===，那么 ( )()A =11b 13a ()B =11b 31a ()C =11b 63a ()D 1163a b =二.填空题(每小题5分,共30分)9.已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，且//a b ，则x= __________． 10．函数x x x x f cos sin 322cos )(⋅-=的最小正周期是 .11．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤>012210y x y x 下，目标函数S =2x y +的最大值为 .12．.已知{}{}2(),|()()()6,()246,()(),|()()g x x x f x g x f x x g x x x h x f x x x f x g x ⎧∈≥⎪=-+=-++=⎨∈<⎪⎩, 则()h x 的最大值为 .13．利用柯西不等式判断下面两个数的大小: 已知22221(0)x y a b a b +=>>, 则22a b +与2()x y +的大小关系, 22a b + 2()x y + (用“,,,,≤≥=><”符号填写).14．在如下程序框图中，输入0()f x cosx =，则输出的是__________2007届广东省韶关市高三摸底考试理科数学试题左视图主视图学校______________ 学号____________ 姓名_______________ 得分_________一．选择题答卷：9．________________________．10．__________________________． 11．________________________．12．__________________________．13．________________________. 14. ___________________________第Ⅱ解答题(共80分)15． (本题满分12分)在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长,且222.b c a bc +-= （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小.16. (本题满分12分)如图所示, 有两个独立的转盘()A 、()B .两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60︒、120︒、180︒.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘()A指针对的数为x，转盘()B指针对的数为y.设yx+的值为ξ,每转动一次则得到奖励分ξ分.（Ⅰ）求x<2且y>1的概率；(Ⅱ) 某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？17．(本题满分14分)如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC,PD=1,PC.(Ⅰ)求证:PD⊥面ABCD；(Ⅱ)求二面角A－PB－D的大小.18．(本题满分14分)PA BC D已知椭圆方程为22128x y+=，射线2(0)y x x=≤与椭圆的交点为,M过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于BA、两点（异于M）．（I）求证: 直线AB的斜率2ABk=;（II）求△AMB面积的最大值．19．(本题满分14分)在数列{}n a 中，前n 项和为n S .已知123,22a a == 且012311=++--+n n n S S S (n N +∈ , 且n 2≥).（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求数列{}n a n ⋅的前n 项和n T .20. (本题满分14分)已知二次函数2()f x ax bx c =++, 满足(0)(1)0,f f ==且()f x 的最小值是14-. （Ⅰ）求()f x 的解析式;（Ⅱ）设直线21:(0,)2l y t t t t =-<<其中为常数,若直线l 与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是1()S t , 直线l 与()f x 的图象所围成封闭图形的面积是2()S t , 设121()()()2g t S t S t =+,当()g t 取最小值时,求t 的值.（Ⅲ）已知0,0m n ≥≥, 求证: 211()()24m n m n +++≥.2007届广东省韶关市高三摸底考试理科数学试题答案及评分标准一、选择题答案ADDCB DDC 二、填空题三、解答题15解：（Ⅰ）在△ABC 中，bc a c b Abc a c b +=+=-+222222cos 2又3,21cos π==∴A A…………6分（Ⅱ）由正弦定理,又222sin sin sin A B C +=,故222222444a b c R R R +=…………8分 即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形……………10分 又,36A B ππ=∴=…………………………………………………………12分16．解：（Ⅰ）由几何概率模型可知：P （x =1）=61、P （x =2）=31、P （x =3）=21； P （y =1）=31、P （y =2）=21、P （y =3）=61…………………………………………….2分 则P （x <2）= P （x =1）=61，P （y >1）= P （y =2）+ P （y =3）=21+61=32所以P （x <2且y >1）= P （x <2）⋅P （y>1）=91…………………………………….6分（Ⅱ）由条件可知ξ的取值为：2、3、4、5、6. 则ξ的分布列为：他平均一次得到的钱即为ξ的期望值：6251216361153613436731812=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 所以给他玩12次，平均可以得到5012=⋅ξE 分..……………………………………………………..12分17. (Ⅰ)证明:1,PD DC PC ===,PDC PD CD ∴∆⊥是直角三角形即.……2分P又,PD BC BC CD C ⊥=,……4分∴ PD ⊥面ABCD ………6分(Ⅱ)解:连结BD ,设BD 交AC 于点O , 过O 作OE ⊥PB 于点E ,连结AE , ∵PD ⊥面ABCD , ∴AO PD ⊥, 又∵AO ⊥BD , ∴AO ⊥面PDB. ∴AO ⊥PB , ∵,AE PB AEAO A ⊥=,∴PB AEO ⊥平面,从而PB EO ⊥,故AEO ∠就是二面角A －PB －D 的平面角.……………………10分 ∵ PD ⊥面ABCD , ∴PD ⊥BD , ∴在Rt △PDB 中, PB ===又∵OE OBPD PB=,∴OE =,………………………………………12分tan 6ADAEO OE ∴∠=== ∴ 60AEO ∠=.…………………14分故二面角A －PB －D 的大小为60°.18.本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、直线与方程的位置关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考察推理及运算能力。

2007年广东高考数学测试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共150分．考试时间120分钟．（考试时间：2006年8月26日）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率k n k knn P P C k P --=)1()(第 I 卷 （选择题 共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A ．［0,2］B ．［1,2］C ．［0,4］D ．［1,4］ 2．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 A ．1+2i B ． 1–2i C ．2+i D ．2–i 3．已知0＜a ＜1，log log 0a a m n <<，则A ．1＜n ＜mB ． 1＜m ＜nC ．m ＜n ＜1D ．n ＜m ＜14．若α是第二象限的角，且2sin 3α=，则=αcosA ．13B ． 13- C ． 3． 3-5．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 A ． 12 B ． 24 C ．16 D ． 486．三棱锥D —ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角A —BC —D 的大小为A ． 300B ． 450C ．600D ．900 7． 已知变量a ，b 已被赋值，要交换a 、b 的值，采用的算法是A ．a=b, b=aB ．a=c, b=a, c=bC ．a=c, b=a, c=aD ．c=a, a=b, b=c 8．已知点M （－3，0），N （3，0），B （1，0），圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．)1(1822>=-x y x C ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=>第 Ⅱ 卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1221,ni i i ni i x y n x ybay b x x n x==-==--∑∑. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1x x >-B.{}1x x <C.{}11x x -<<D.φ2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝A.2B.21 C.21-D.2-3.若函数21()s in (),()2f x x x R f x =-∈则是A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60 km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是A B C D5.已知数|a n |的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k =A. 9B. 8C. 7D. 66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A. i<6B. i<7C. i<8D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A. 15B. 16C. 17D. 188.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的,a b S ∈，对于有序元素对(,)a b ,在S 中有唯一确定的元素a ﹡b 与之对应）.若对任意的,a b S ∈,有a﹡(b ﹡)a b =,则对任意的,a b S ∈,下列等式中不．恒成立的是 A. (a ﹡b )﹡a a = B. [a ﹡(b ﹡)a ]﹡(a ﹡b )a =C. b ﹡(b ﹡b )b =D. (a ﹡b )﹡[b ﹡(a ﹡b )b =二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10.若向量,a b满足1,a b a == 与b 的夹角为120°，则a a a b ⋅+⋅= .11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22 (0)y p x p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ 图4 ; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩，(参数t R ∈),圆C 的参数方程为2c o s 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(参数[]02θπ∈，)，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 .图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围. 17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =ax b +;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系x O y 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O .椭圆9222yax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程.（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点E 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记B E x = V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？(3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数2()223.f x a x x a =+--如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围. 21.（本小题满分14分）已知函数2()1, f x x x αβ=+-、是方程()0f x =的两个根()αβ>,()f x '是()f x 的导数.设11()1,(1,2,)()n n n n f a a a a n f a +==-=' ,(1)求αβ、的值；(2)证明：对任意的正整数n ，都有n a α>;(3)记ln (1,2,)n n n a b n a βα-==- ,求数列{}n b 的前n 项和n S .参考答案一. CADBB CBA 二. 9.1910.1211. 54x =-12.22n n + ,12 ,(1)(2)2n n n --13. (0,2), 14. 6, [1, 1]- 15. 30, 3三.解答题16.(1)解:A C =设AC 中点为M,则c o s s in 55A M A A A B===(2)解:(3,4),(3,4)A C c A B =--=--,若A ∠是钝角,则253(3)1603A C AB c c ⋅=--+<∴> . 17. 解: (1) 散点图略(2) 4166.5i i i X Y ==∑ 4222221345686i i X ==+++=∑ 4.5X = 3.5Y =266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯- ; ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y b X =-=-⨯= 所求的回归方程为 0.70.35y x =+(3) 100x =, 1000.70.3570.35y =⨯+=吨,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨) 18. 解:(1) 设圆C 的圆心为 (,)m n则,0,0m n m n =-⎧⎪<>⎪= 解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=(2) 由已知可得 210a = 5a = 椭圆的方程为221259xy+= , 右焦点为 (4,0)F .设存在点(,)Q x y C ∈满足条件,则2222(2)(2)8(4)16x y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩解得412(,)55Q故存在符合要求的点412(,)55Q .19.解: (1)11) (032V x x x =-⋅<<即336V x =-(0x <<;(2)226)1212V xx '=-=-,(0,6)x ∴∈时,0;V '>(6,x ∴∈时,0;V '<6x ∴=时()V x 取得最大值.(3)以E 为空间坐标原点,直线EF 为x 轴,直线EB 为y 轴,直线EP 为z 轴建立空间直角坐标系,则(0,60),(3,60),(3,0)A C A C --=;(0,0,6)6,0,0)(6,0,6)P F P F ∴=- ,设异面直线AC 与PF 夹角是θ1c o s 7θ∴==20.解:若0a =,则()23f x x =-有唯一零点为3[1,1]2∉-,故0a =不符合要求;由2()2230f x a x x a =+--=2232(21)32(21)x a x x a x -∴-=-∴=-, [1,1]x ∈-且2x ≠±.由2222(261)(21)xx x a x -+'=-当22610x x -+=时,13[1,1],2x -=∈-2312x +=>,当1[1,(,)22x x ∈---时,0a '>,a 在两个区间上分别递增;当1(,),(22x x ∈时, 0a '<,a 在两个区间上分别递减;A由1x =-时,5,a =1x =时,1a =,12x =时,2a =-3(,[1,)2a +∴∈-∞-+∞分析如图:解法二: 若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有 零点, 所以 0a ≠令 ()248382440a a a a ∆=++=++=得2a =当32a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;当 ()()()()11150f f a a -⋅=--≤即 15a << 时, ()y f x =也恰有一个零点在[]1,1-上;当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩ 解得5a ≥或32a --<因此a 的取值范围是2a ≤或 ; 1a ≥21解:(1) 由 210x x +-=得12x -±=12α-+∴=12β--=(2)(数学归纳法)①当1n =时,112a =>命题成立;②假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立,即2k a >21511118221212222k k k k k a a a a a α+++∴==+-≥⋅=++,又等号成立时2k a =2k a ∴>时,1k a β+>1n k ∴=+时命题成立;由①②知对任意*n N ∈均有n a α>.(3) ()21f x x '=+ 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+∴=-=++1n a β+∴-=22221()(1)()212121n n n n n n a a a a a a βββββ+--+---==+++同理 1n a α+∴-=2()21n n a a α-+21111()ln2lnn n n n n n n n a a a a a a a a ββββαααα++++----∴=∴=----∴ 12n n b b += 又111lnln4ln2a b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为4ln2公比为2的等比数列;∴()()14ln122421ln122nnn S +-==--。

绝密★启用前 试卷类型：B2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =．用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆay bx =-. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（本题8小题，每题5分，满分40分） 1．已知函数()f x =M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅答案：C ；2．若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b= (A) -2 (B) -12 (C) 12(D) 2答案：B ； 解析：（1+bi ）(2+i)=（2-b ）+(2b+1)i ，故2b+1=0，故选B ； 3．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则f(x)是（A ）最小正周期为2π的奇函数； （B ）最小正周期为π的奇函数； （C ）最小正周期为2π的偶函数； （D ）最小正周期为π的偶函数； 答案：D ；4．客车从甲地以60km/h 的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间的关系图象中，正确的是答案：C ； 解析：5．已知数列｛n a ｝的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足５＜k a ＜８，则k= （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 答案：B ；解析：此数列为等差数列，1210n n n a S S n -=-=-，由5<2k-10<8得到k=8。

2007年高考理科数学摸拟试题解析样本5本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合A ={x |x =2k ,k ∈Z },B ={x |x =2k +1,k ∈Z },C ={x |x =4k +1,k ∈Z },又a ∈A ,b ∈B ,则有 A.a +b ∈A B.a +b ∈B C.a +b ∈CD.a +b 不属于A ，B ，C 中的任意一个2.已知f (x )=sin(x +2π,g (x )=cos(x －2π),则f (x )的图象 A.与g (x )的图象相同B.与g (x )的图象关于y 轴对称C.向左平移2π个单位，得到g (x )的图象 D.向右平移2π个单位，得到g (x )的图象3.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 A.y =3xB.y =－3xC.y =33x D.y =－33x 4.函数y =1－11-x , 则下列说法正确的是 A.y 在(－1,+∞)内单调递增 B.y 在(－1,+∞)内单调递减 C.y 在(1,+∞)内单调递增 D.y 在(1,+∞)内单调递减 5.已知直线m ,n 和平面α，那么m ∥n 的一个必要但非充分条件是 A.m ∥α,n ∥α B.m ⊥α,n ⊥α C.m ∥α且n ⊂α D.m ,n 与α成等角6.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51 B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51，③并非如此 C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是51，②并非如此D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同 7.曲线y =x 3在点P 处的切线斜率为k ，当k =3时的P 点坐标为A.(－2,－8)B.(－1,－1),(1,1)C.(2,8)D.(－21,－81) 8.已知y =log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞)9.已知lg3,lg(sin x －21),lg(1－y )顺次成等差数列，则 A.y 有最小值1211，无最大值 B.y 有最大值1，无最小值 C.y 有最小值1211，最大值1D.y 有最小值－1，最大值110.若=a ，=b ，则∠AOB 平分线上的向量OM 为 A.||||b b a a +B.λ(||||b b a a +)，λ由OM 决定 C.||b a ba ++D.||||||||b a ba ab ++11.一对共轭双曲线的离心率分别是e 1和e 2,则e 1+e 2的最小值为 A.2 B.2 C.22D.412.式子2n2322222C C C 321lim +++++++∞→ n n 的值为A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.从A ={a 1,a 2,a 3,a 4}到B ={b 1,b 2,b 3,b 4}的一一映射中，限定a 1的象不能是b 1，且b 4的原象不能是a 4的映射有___________个.14.椭圆5x 2－ky 2=5的一个焦点是(0，2)，那么k =___________.15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围为___________.16.已知a n 是(1+x )n 的展开式中x 2的系数，则)111(lim 32nn a a a +++∞→ =___________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=x-22，记数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=f (1),当n ≥2时，S n －21)(2=n a f (n 2+5n －2).(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4;(2)求出数列{a n }的通项公式，并给予证明. 18.(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，满足sin C =BA BA cos cos sin sin ++.(1)判断△ABC 的形状；(2)设三边a ,b ,c 成等差数列且S △ABC =6 cm 2，求△ABC 三边的长. 19.(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设AB =1，P A =h ，AD =y .(1)试求y 关于h 的函数解析式；(2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径. 20.(本小题满分12分)某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时(4≤v ≤20)从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 、y 小时.(1)作图表示满足上述条件x 、y 的范围；(2)如果已知所需的经费p =100+3(5－x )+2(8－y )(元)，那么v 、w 分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？21.(本小题满分12分) 已知f (x )=log a (x +1)，点P 是函数y =f (x )图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数y =g (x )的图象，当a ＞1,x ∈［0,1)时，总有2f (x )+g (x )≥m 恒成立.(1)求出g (x )的表达式； (2)求m 的取值范围. 22.(本小题满分14分)直线l :ax －y －1=0与曲线C ：x 2－2y 2=1交于P 、Q 两点， (1)当实数a 为何值时，|PQ |=221a +?(2)是否存在a 的值，使得以PQ 为直径的圆经过原点？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.解析：由已知得a 是偶数，b 是奇数，则a +b 是奇数，又b ∈B ，B ⊃C ，∴a +b ∈B ,选B. 答案：B2.解析：f (x )的图象向右平移2π个单位，得sin ［(x －2π)+2π］=sin x ，又g (x )=cos(x －2π=cos(2π－x )=sin x ,故选D.答案：D3.解析：设直线为y =kx .由⎩⎨⎧==+++kxy x y x 03422消去y ，得 (1+k 2)x 2+4x +3=0,由Δ=16－4×3(1+k 2)=0,k =±33. 又知切点在第三象限，∴k =33，选C. 答案：C4.解析：令x －1=X ,y －1=Y ,则Y =－X1. X ∈(0,+∞)是单调增函数，由X =x －1,得x ∈(1,+∞)，y =1－11-x 为单调增函数,故选C. 答案：C5.解析：若m ∥n ,则m ,n 与平面α成相等的角，反之 ，若m ,n 与平面α成等角，不一定有m ∥n ,故选D.答案：D6.解析：将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是51，故选A. 答案：A7.解析：由y =x 3，得y ′=3x 2.由已知得3x 2=3，x =±1. 当x =1时，y =1,当x =－1时，y =－1，故P 点的坐标为(1，1)或(－1，－1)，选B. 答案：B8.解析：由已知log a (2－a ·0)＞log a (2－a )，即log a 2＞log a (2－a )，当0＜a ＜1时，有⎩⎨⎧>--<0222a a无解，当a ＞1时，有⎩⎨⎧>-->0222a a，得1＜a ＜2,选B.答案：B9.解析：由已知得2lg(sin x －21)=lg3+lg(1－y )，且⎪⎩⎪⎨⎧<>121sin y x ,得(sin x －21)2=3(1－y ) 得y =1－3)21(sin 2-x , 当sin x =1时，y min =1211，无最大值，选A.答案：A 10.答案：B11.解析：设双曲线2222b y a x -=1的离心率e 1=a b a 22+，则共轭双曲线2222a x b y -=1的离心率e 2=b b a 22+.e 1+e 2=bb a a b a 2222+++ ≥2·abb a b a 2222+⋅+ (a =b 时取等号)=2·abb a 22+≥2·2 (a =b 时取等号).∴e 1+e 2的最小值为22，选C. 答案：C12.解析：原式=31C )12)(1(61lim +∞→++n n n n n=6)1()1()12)(1(61lim -⋅+++∞→n n n n n n n =2,选C. 答案：C二、填空题(每小题4分，共16分) 13.解析：A 44－2A 33+A 22=14. 答案：1414.解析：由已知得x 2+ky 52-=1,k ＜0,由焦点坐标(0，2)知长轴在y 轴上， 得(－k5)－1=4,得k =－1. 答案：－115.解析：由题意得S =q-12,－1＜q ＜0. 由q =S S 2-得－1＜SS 2-＜0,解不等式得1＜S ＜2. 答案：1＜S ＜216.解析：由已知得x 2的系数为C 2n ，即a n =C 2n =2)1(-n n , ∴a 2=1,21a =1=122⨯,23213⨯=a ,…,)1(21-=n n a n ,∴)]111()3121()211[(2lim )111(lim 32nn a a a n n n --++-+-=+++∞→∞→=2)11(2lim =-∞→nn .答案：2三、解答题(17、18、19、20、21题，每题12分，22题14分，共74分) 17.解：(1)由已知，当n ≥2时，f (a n )=na -22, ∵S n －)25(21)(22-+=n n a f n ， ∴S n －21222=-na (n 2+5n －2), 即S n +a n =21(n 2+5n +2). 又a 1=f (1)=2, 由S 2+a 2=a 1+2a 2=21(22+5×2+2), 得a 2=3;由S 3+a 3=a 1+a 2+2a 3=21(32+5×3+2), 解得a 3=4;由S 4+a 4=a 1+a 2+a 3+2a 4=21(42+5×4+2),解得a 4=5. 6分 (2)则a 1=2,a 2=3,a 3=4,a 4=5,于是猜想：a n =n +1(n ∈N ).8分以下用数学归纳法证明： (a )当n =1时命题成立.(b )设n =k 时，a k =k +1(k ∈N ).由S k +1+a k +1=21［(k +1)2+5(k +1)+2］, a 1+a 2+…+a k +2a k +1=21(k 2+7k +8),2a k +1=21(k 2+7k +8)－(2+3+…+k +1)=21(k 2+7k +8)－2)3(+k k =21(k 2+7k +8－k 2－3k ) =2k +4.a k +1=(k +1)+1,即当n =k +1时命题也成立.故由(a )、(b )知对一切n ∈N 均有a n =n +1.12分18.(1)解法一：sin C =2cos2cos 22cos 2sin2B A B A BA B A -+-+ =tan2BA +=C CB A B A cos 1sin )cos(1)sin(-=+++.∵sin C ≠0,∴cos C =0,0°＜C ＜180°,∴C =90°,∴△ABC 为直角三角形.6分解法二：∵cos A +cos B =CBA sin sin sin +,∴cba acb ac bc a c b +=-++-+22222222.化简整理得：(a +b )(c 2－a 2－b 2)=0,∴a 2+b 2=c 2,∴△ABC 为直角三角形.6分(2)解：由已知得：a 2+b 2=c 2,a +c =2b ,21ab =6, 解得：a =3 cm,b =4 cm,c =5 cm.12分19.解：(1)显然h ＞1，连接AQ ，∵平面ABCD ⊥平面ADQP ,P A ⊥AD ， ∴P A ⊥平面ABCD ，由已知PQ ⊥DQ , ∴AQ ⊥DQ ,AQ =y 2－h 2.∵Rt △ABQ ∽Rt △QCD ,CQ =12-h ,∴ABCQAQ DQ =,即11222-=-h hy h . ∴y =122-h h (h ＞1).4分(2)y =122-h h =11)1(22-+-h h=12-h +112-h ≥2,6分当且仅当11122-=-h h ,即h =2时，等号成立.此时CQ =1,即Q 为BC 的中点，于是由DQ ⊥平面P AQ ，知平面PDQ ⊥平面P AQ ,PQ 是其交线，则过A 作AE ⊥平面PDQ ,∴∠ADE 就是AD 与平面PDQ 所成的角，由已知得AQ =2,PQ =AD =2,∴AE =1,sin ADE =21=AD AE ,∠ADE =30°. 8分(3)设三棱锥P －ADQ 的内切球半径为r , 则31(S △P AD +S △P AQ +S △PDQ +S △ADQ )·r =V P －ADQ . ∵V P －ADQ =31S △ADQ ·P A =32,S △P AQ =1,S △P AD =2,S △QAD =1,S △PDQ =2, ∴r =2222222-=+. 12分20.解：(1)由题意得：v =y 50,w =x300,4≤v ≤20,30≤w ≤100, 3分∴3≤x ≤10,25≤y ≤225.① 由于汽车、摩托艇所要的时间和x +y 应在9至14小时之间，即9≤x +y ≤14,②因此满足①②的点(x ,y )的存在范围是图中阴影部分(包括边界). 6分 (2)因为p =100+3(5－x )+2(8－y ),所以3x +2y =131－p ,设131－p =k ,那么当k 最大时，p 最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点(10,4)，即当y =4时，p 最小，此时x =10,v =12.5,w =30,p 的最小值为93元. 12分21.解：(1)设Q (x ,y )⇒P (－x ,－y ),代入f (x )方程得，g (x )=－log a (－x +1).4分(2)2f (x )+g (x )≥m 恒成立⇔2log a (x +1)－log a (1－x )≥m 恒成立⇔log ax x -+1)1(2≥m 恒成立,即m 小于等于log a x x -+1)1(2的最小值. 令h (x )=xxx x x -+-=-+14)1(1)1(22=414)1(14)1(4)1(2--+-=-+---xx x x x .8分易证h (x )在x ∈［0,1)上单调递增，∴h (x )min =h (0)=1,又∵a ＞1,∴log a x x -+1)1(2≥log a 1=0,即log a xx -+1)1(2的最小值为0，∴m 的取值范围是m ≤0.12分22.解：(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),⎩⎨⎧=-=--120122y x y ax , ∴(1－2a 2)x 2+4ax －3=0. 若1－2a 2=0,即a =±22时，l 与C 的渐近线平行，l 与C 只有一个交点，与题意不合， ∴1－2a 2≠0,Δ=(4a )2－4(1－2a 2)(－3)＞0, ∴－26＜a ＜26. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅--=+221221213,214a x x aa x x (*) ∴｜PQ ｜=21a +｜x 1－x 2｜=221a +. ∴(x 1－x 2)2=4,∴(x 1+x 2)2－4x 1x 2=4.∴(－2214a a -)2－4221)3(a--=4. ∴a =±1∈(－26,26). ∴所求的实数a 的值为a =±1. 5分(2)假设存在实数a ,使得以PQ 为直径的圆经过原点O ，则由OP ⊥OQ ，得y 1·y 2=－x 1·x 2. ∴(ax 1－1)·(ax 2－1)=－x 1·x 2, ∴(1+a 2)x 1·x 2－a (x 1+x 2)+1=0. 9分 把(*)式代入得：a 2=－2与a 为实数矛盾，∴不存在实数a 使得以PQ 为直径的圆经过原点. 14分。

2007年广东省韶关市高考数学理科5月模拟考试卷第一部分 选择题 (共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数(1)(1)i i +-= A . 2 B . 2-C . 2iD . 2i -2.220(3)10,x k dx k +==⎰则A .1B .2C .3D .43. 在二项式6(1)x -的展开式中，含3x 的项的系数是A . 15-B . 15C .20-D .20 4. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有A .30辆B . 40辆C .60辆D .80辆5．某市在一次降雨过程中,降雨量()y mm 与时间(min)t 的函数关系可近似地表示为2()100t f t =,则在时刻10min t =的降雨强度为A. 1/min 5mmB. 1/min 4mmC. 1/min 2mm D. 1/min mm6. 已知函数2()2cos 2sin cos 1f x x x x =+-的图象与()1g x =-的图象在y 轴的右侧交点按从横坐标由小到大的顺序记为123,,,D D D ，则57D D ＝A . πB .32π C .2π D .52π7. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程22xx =的一个根位于下列区间的A .(0.6,1.0)B . (1.4,1.8)C .(1.8,2.2)D .(2.6,3.0)8. 若定义在R 上的减函数()y f x =,对于任意的,x y R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立.且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,则当 14x ≤≤时,yx的取值范围 A .1[,1)4- B . 1[,1]4- C .1(,1]2- D .1[,1]2-第二部分 非选择题(共110分) 二.填空题：每小题5分, 共30分.9. 22416x y +=的离心率等于__________,与该椭圆有 共同焦点，且一条渐近线是0x =的双曲线方程是 ___________________.10. 运行右边算法流程，若x 输入3时，输出y 的值为11. 下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸， 它的体积为 .12. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和, 对于等比数列{}n a,有命题:p若396,,S S S 成等差数列,则285,,a a a 成等差数列成立；对于命题q ：若,,m n l S S S 成等差数列, 则____成等差数列.请将命题q 补充完整,使它也是真命题.(只要一个符合要求的答案即可) 选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分. 13. 不等式125x x ++-≥的解集为 .14.在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________________.15. 已知：如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点左视图俯视图主视图222BAD ，CD ＝2，AD ＝3， BD ＝6，则PB ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)如图,在ABC ∆中,,45B AC C π===(Ⅰ)求sin A ;(Ⅱ) 记BC 的中点为D ,求中线AD 的长.17.(本题满分12)在一次数学考试中, 第14题和第15题为选做题。

2007年普通高等学校全国招生统一考试(广东卷)数学(理科) 参考答案及试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求的。

1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ,)1ln()(x x g +=的定义域为N ,则=⋂N MA.{}1 x xB.{}1 x xC.{}11 x x -D.φ【命题意图】考查函数的定义域和集合的基本运算【参考答案】C【原题解析】由解不等式1-x>0求得M=(-∞,1),由解不等式1+x>0求得N=(-1,+∞),因而M ⋂N=(-1,1),故选C 。

【备考锦囊】在备考中应把握好对基本概念的理解,尤其要把握好集合的交并补等基本运算。

2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数)则b ＝A.2B.21C.21-D.-2【命题意图】考查复数的运算和相关基本概念的理解 【参考答案】A【原题解析】(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i,而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数,那么由2-b=0且1+2b ≠0得b=2,故选A 。

3.若函数是则)(R),(21sin )(2x f x x x f ∈-=A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数 【命题意图】考查三角变换和三角函数的性质 【参考答案】D【原题解析】通过二倍角公式可将f(x)等价转化为f(x)=21cos2x,有余弦函数的性质知f(x)为最小正周期为π的偶函数,选D 。

【备考锦囊】运用二倍角公式来降幂是常用的技巧,备考中学生应该熟练的掌握这种方法4.客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发.经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中,正确的是【命题意图】考查分段函数 【参考答案】B【原题解析】由题意可知客车在整个过程中的路程函数S(t)的表达式为0≤t ≤1 S(t)= 1≤t ≤3/23/2≤t ≤5/2对比各选项的曲线知应选D 。

2007届广东省韶关市高三摸底考试理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分150分.考试用时间120分钟.注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上；2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。

答在第Ⅰ卷上不得分；3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回。

参考公式： 1=3V sh 锥体 , 其中s 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第Ⅰ卷(选择题、填空题共70分)一、选择题 (每小题5分,共40分)1．下列各组两个集合P 和Q ,表示同一集合的是（ ）()A P ={}π,3,1,Q ={}3,1,-π ()B P ={}π,Q ={}14159.3()C P ={}3,2,Q ={})32(，()D P ={}N x x x ∈≤<-,11,Q ={}1 2．已知复数12z i =+，21z i =-，则12z z z =⋅在复平面上对应的点位于（ ）()A 第一象限 ()B 第二象限 ()C 第三象限 ()D 第四象限3. 函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是 ( )4.有关命题的说法错误．．的是 ( ) ()A 命题“若0232=+-x x 则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”. ()B “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.()C 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.()D 对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥. 5. 已知3sin ,5αα=为第二象限角，且ββαtan ,1)tan(则=+的值是 ( ) ()A 7- ()B 7 ()C 43-()D 436．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性？（ ） ()A 甲 ()B 乙 ()C 丙 ()D 丁 7．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这 个几何体的体积为 ( ) ()A 1 ()B 12()C 13 ()D 168． 已知公差不为零的等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足：573311,,b a b a b a ===，那么 ( )()A =11b 13a ()B =11b 31a ()C =11b 63a ()D 1163a b =二.填空题(每小题5分,共30分)9.已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，且//a b ，则x= __________． 10．函数x x x x f cos sin 322cos )(⋅-=的最小正周期是 .11．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤>012210y x y x 下，目标函数S =2x y +的最大值为 .12．.已知{}{}2(),|()()()6,()246,()(),|()()g x x x f x g x f x x g x x x h x f x x x f x g x ⎧∈≥⎪=-+=-++=⎨∈<⎪⎩, 则()h x 的最大值为 .13．利用柯西不等式判断下面两个数的大小: 已知22221(0)x y a b a b +=>>, 则22a b +与2()x y +的大小关系, 22a b + 2()x y + (用“,,,,≤≥=><”符号填写).14．在如下程序框图中，输入0()f x cosx =，则输出的是__________2007届广东省韶关市高三摸底考试理科数学试题左视图主视图学校______________ 学号____________ 姓名_______________ 得分_________一．选择题答卷：9．________________________．10．__________________________． 11．________________________．12．__________________________．13．________________________. 14. ___________________________第Ⅱ解答题(共80分)15． (本题满分12分)在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长,且222.b c a bc +-= （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小.16. (本题满分12分)如图所示, 有两个独立的转盘()A 、()B .两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60︒、120︒、180︒.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘()A指针对的数为x，转盘()B指针对的数为y.设yx+的值为ξ,每转动一次则得到奖励分ξ分.（Ⅰ）求x<2且y>1的概率；(Ⅱ) 某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？17．(本题满分14分)如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC,PD=1,PC.(Ⅰ)求证:PD⊥面ABCD；(Ⅱ)求二面角A－PB－D的大小.18．(本题满分14分)PA BC D已知椭圆方程为22128x y+=，射线2(0)y x x=≤与椭圆的交点为,M过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于BA、两点（异于M）．（I）求证: 直线AB的斜率2ABk=;（II）求△AMB面积的最大值．19．(本题满分14分)在数列{}n a 中，前n 项和为n S .已知123,22a a == 且012311=++--+n n n S S S (n N +∈ , 且n 2≥).（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求数列{}n a n ⋅的前n 项和n T .20. (本题满分14分)已知二次函数2()f x ax bx c =++, 满足(0)(1)0,f f ==且()f x 的最小值是14-. （Ⅰ）求()f x 的解析式;（Ⅱ）设直线21:(0,)2l y t t t t =-<<其中为常数,若直线l 与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是1()S t , 直线l 与()f x 的图象所围成封闭图形的面积是2()S t , 设121()()()2g t S t S t =+,当()g t 取最小值时,求t 的值.（Ⅲ）已知0,0m n ≥≥, 求证: 211()()24m n m n +++≥.2007届广东省韶关市高三摸底考试理科数学试题答案及评分标准一、选择题答案ADDCB DDC 二、填空题三、解答题15解：（Ⅰ）在△ABC 中，bc a c b Abc a c b +=+=-+222222cos 2又3,21cos π==∴A A…………6分（Ⅱ）由正弦定理,又222sin sin sin A B C +=,故222222444a b c R R R +=…………8分 即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形……………10分 又,36A B ππ=∴=…………………………………………………………12分16．解：（Ⅰ）由几何概率模型可知：P （x =1）=61、P （x =2）=31、P （x =3）=21； P （y =1）=31、P （y =2）=21、P （y =3）=61…………………………………………….2分 则P （x <2）= P （x =1）=61，P （y >1）= P （y =2）+ P （y =3）=21+61=32所以P （x <2且y >1）= P （x <2）⋅P （y>1）=91…………………………………….6分（Ⅱ）由条件可知ξ的取值为：2、3、4、5、6. 则ξ的分布列为：他平均一次得到的钱即为ξ的期望值：6251216361153613436731812=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 所以给他玩12次，平均可以得到5012=⋅ξE 分..……………………………………………………..12分17. (Ⅰ)证明:1,PD DC PC ===,PDC PD CD ∴∆⊥是直角三角形即.……2分P又,PD BC BC CD C ⊥=,……4分∴ PD ⊥面ABCD ………6分(Ⅱ)解:连结BD ,设BD 交AC 于点O , 过O 作OE ⊥PB 于点E ,连结AE , ∵PD ⊥面ABCD , ∴AO PD ⊥, 又∵AO ⊥BD , ∴AO ⊥面PDB. ∴AO ⊥PB , ∵,AE PB AEAO A ⊥=,∴PB AEO ⊥平面,从而PB EO ⊥,故AEO ∠就是二面角A －PB －D 的平面角.……………………10分 ∵ PD ⊥面ABCD , ∴PD ⊥BD , ∴在Rt △PDB 中, PB ===又∵OE OBPD PB=,∴OE =,………………………………………12分tan 6ADAEO OE ∴∠=== ∴ 60AEO ∠=.…………………14分故二面角A －PB －D 的大小为60°.18.本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、直线与方程的位置关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考察推理及运算能力。

绝密★启用前试卷类型：A2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）【预测卷】数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上．用2B铅笔将答题卡上试卷类型（A）涂黑．在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号”列表内填写座位号，并用2B铅笔将相应的信息点涂黑．不按要求填涂的，答卷无效．2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考试必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．数集元素的“交替和”是指按照递减的次序重新排列集合的元素，然后从最大的数开始交替地减或加后继数所得的结果。

例如数集{1，2，3}的“交替和”是3-2+1=0，对于数集{2,3,5,7},其所有三元子集的“交替和”所组成的数集与其自身的交集是（）A.ΦB.{5}C.{2,5}D.{3,7}2．][x表示不超过x的最大整数(或称为x的整数部分)，则方程||([])0-=在x x x ]1,1[-上的根有（）A.1个B.2个C.3 个D.无穷多个3．n 个连续的自然数按规律排成下表：0 3 4 7 8 11 121 2 5 6 9 10根椐规律，从2002到2004，箭头的方向依次是A. B.C. D.4．若函数f(x)满足f （ ）=log 2 ，则f(x)的解析式是（ ）A.log 2xB.-log 2xC.2-xD.x -25．半径为R 的圆柱，被与轴成45°角平面相截得“三角”圆柱ABC,则此“三角”圆柱的展开图为（ ）6．若抛物线y 2=2x 上的两个点A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称，且y 1y 2=-1，则实数b 的值为（ ） A.- B. C.- D. 7．现定义：i cos isin e θθθ=+，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底，θ∈R ，且实数指数幂的运算性质对i e θ都适用。