08高考文科试题分类 立体几何

1.（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME .ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点.∵M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB . 又∵ME ⊂平面ACM ， -------------------------------3分 又SB ⊄平面ACM ，∴SB //平面ACM . --------------------------------4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . -------------------------------------5分 ∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影. ∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC .∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角. 7分 设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,2224a MF SA FQ DE a ====，∴tan aFQM ==∴ 二面角D AC M --的大小为. ------------------------------------------------------------9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ ---------------------------------------10分 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.SDC----------------------------------------11分 ∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN又SC ⊂平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN 方法二：解：（Ⅱ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， ---------------------------------------------5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M SA ⊥底面ABCD ，∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=． 设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==,---------------------------------7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩ 令1x =,则(1,1,1)=--n .∴cos ,3||||AS AS AS ⋅<>===-⋅n n n , ∴二面角D ACM --的大小为．9分 （III ）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1,1CS =--，11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS ∴⊥ 12分又SC AN ⊥且AN AM A =SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC ⊥平面AMN . 14分 2．2.（Ⅰ）证明：连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结DE . D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1 //.DE AC ∴ ………….. 3分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄平面， 平面， 11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 4分（Ⅱ）解： 设点B 到1CDB 平面的距离为.h 在三棱锥1B BCD -中，11 B BCD B B CD V V --=，且1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅.易求得1111 2BCD B CD S S CD B D ∆∆==⋅=，，11 BCD B CD S B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面….. 9分 （Ⅲ）解：在平面ABC 内作DF BC ⊥于点F ， 过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.DG 易证明 11DF BCC B ⊥平面，从而GF 是DG 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得1.B C GD ⊥DGF ∴∠是二面角1B B C D --的平面角 易求得112DF AC ==，12GF BE ==在Rt DFG ∆中， tan DFDGF GF==，∴ 二面角1B B C D --的大小是-------------------------------------------14分解法二： 在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===， AC BC ⊥，1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，(1 1 0).D ，， （Ⅰ）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，，1111(1 0 1)(2 0 2) //.2DE AC DE AC DE AC =-=-∴=∴，，， ，，， ， ABCDA 1B 1C 1EF G111 DE CDB AC CDB ⊂⊄平面， 平面，11 //.AC CDB ∴平面（Ⅱ）解：设点B 到1CDB 平面的距离为.h 在三棱锥1B BCD -中，11 B BCD B B CD V V --=，且 1 B B BCD ⊥平面，11 BCD B CD S B B S h ∆∆∴⋅=⋅易求得1111 2BCD B CDS S CD B D ∆∆==⋅=， ，11 BCD B CD S B B h S ∆∆⋅∴==即点B 到1CDB 平面…….. 9分 （Ⅲ）解：在平面ABC 内作DF BC ⊥于点F ， 过点F 作1FG B C ⊥于点G ，连结.DG 易证明 11DF BCC B ⊥平面， 从而GF 是DG 在平面11BCC B 内的射影，根据三垂线定理得 1.B C GD ⊥DGF ∴∠是二面角1B B C D --的平面角.易知11(0 1 0)0 22F G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，11 2222GF GD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110，，-，1，，-， cos GF GDGF GD GF GD∴〈〉==，3∴ 二面角1B B C D --的大小是arccos 33． 解法一：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥，又PB BC ⊥，∴⊥BC 平面PAB ， ∴PA BC ⊥. ………………2分 同理PA CD ⊥， ………………4分∴⊥PA 平面ABCD ． ………5分（Ⅱ）解：设M 为AD 中点，连结EM ，又E 为PD 中点，可得PA EM //，从而⊥EM 底面ABCD ．过 M 作AC 的垂线MN ，垂足为N ,连结EN ．由三垂线定理有AC EN ⊥，∴E N M ∠为二面角D AC E --的平面角.………………7分 在EMN Rt ∆中，可求得,22,1==MN EM ∴2tan ==MNEMENM ．………………9分 ∴ 二面角D AC E --的大小为2arctan ．（Ⅲ）解：由E 为PD 中点可知,要使得点E 到平面PAF 的距离为552，即要点D 到平面PAF 的距离为554. 过 D 作AF 的垂线DG ，垂足为G ,∵⊥PA 平面ABCD ，∴平面⊥PAF 平面ABCD ，∴⊥DG 平面PAF ，即DG 为点D 到平面PAF 的距离. ∴554=DG ， ∴552=AG ．……12分 设x BF =，由ABF ∆与DGA ∆相似可得GA DG BF AB =，∴22=x，即1=x ． ∴在线段BC 上存在点F ，且F 为BC 中点，使得点E 到平面PAF 的距离为552． 解法二：（Ⅰ）证明：同解法一．（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标xyz A -， 则，，，)000(A ，，，)022(C )110(，，E . 设m ),,(z y x =为平面AEC 的一个法向量，则m ⊥，m ⊥．又),1,1,0(=AE ),0,2,2(=AC ⎩⎨⎧=+=+∴.022,0y x z y 令,1=x 则,1,1=-=z y得m )1,1,1(-=．………………8分又)2,0,0(=是平面ACD 的一个法向量，设二面角D AC E --的大小为 θ，则33232,cos cos =⋅=>=<=m θ． ∴ 二面角D AC E --的大小为33arccos． （Ⅲ）解：设),20()02(≤≤t t F ，，n ),,(c b a =为平面PAF 的一个法向量，则n ⊥，n ⊥．又)2,0,0(=，),0,,2(t =⎩⎨⎧=+=∴.02,02tb a c 令,t a =则,0,2=-=c b 得n )0,2,(-=t ． …………12分又),1,1,0(=∴点E 到平面PAF的距离422+==t ，∴=+422t 552， 解得1=t ，即 )012(，，F .∴在线段BC 上存在点F ，使得点E 到平面PAF 的距离为552，且F 为BC 中点． 4． 解法1：（Ⅰ）取A 1D ，则A 1D//B 1C 知，B 1C 与DE 所成角即为A 1D 与DE 所成角，连结A 1E.由正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ，分则3.5102cos ,25,2121221111 =⋅⋅-+=∠∴===DE D A E A DE D A DE A a DE E A a D A（Ⅱ）取B1C 的中点F ，B1D 的中点G ，连结BF ，EG ，GF..,,.,1111111CD B BF C C B CD C B BF BF DC B BCC BF B BCC CD 平面又平面且平面⊥∴=⋂⊥⊥∴⊂⊥∵GF CD 21，BE 21CD ， ∴BEGF ，∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF//GE..,.1111CD B D EB D EB GE CD B GE 平面平面平面平面⊥∴⊂⊥∴（Ⅲ）连结EF.分的余弦值为二面角中则在设正方体的棱长为的平面角是二面角平面又13.33.33cos ,23,21,,..,.,//,111111 D C B E EF GF EFG a EF a GF EFG a D C B E EFG C B EF CD B EG C B GF CD GF C B CD --∴==∠∴==∆--∠∴⊥∴⊥⊥∴⊥ 解法2：如图建立空间直角坐标系A —xyz .则A （0，0，0），B （2a ，0，0）,C(0，2a ，0) A 1（0，0，2a ），B （2a ，2，2a ），C 1（0，2a ，2a ） （Ⅰ）取AB 的中点H ，连结CH. )0,0,(),,0,(),,2,0(a H a a D a a EABCDE ABC DE ABC CH DE CH a a a a 面分平面而平面//4.,.//),0,2,(),0,2,(∴⊄⊂∴-=-=∴)8(.,.,,00)2()(,0)()2()()().0,,(),,,(),2,,().0,,(),0,2,0(),0,0,2()1(111111分平面 AEF F B F AF EF AF F B EF F B a a a a a AF F E a a a a a a B a a a a a a a a B a a F a C a B ⊥∴=⋂⊥⊥∴=⋅-+⋅+⋅-=⋅=-⋅-+-⋅+⋅-=⋅∴=--=--=∴（Ⅲ）设平面AB 1E 的一个法向量为),,(z y x m =,02,022),,2,0(),2,0,2(11=+=⋅=+=⋅==az ay m az ax AB m a a a a AB ).,21,(,.21.a a a m a z z y z x --==⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴则令由于平面AEF 的一个法向量为),2,,(1a a a F B --= 故设B 1与m 所成角为θ..61236221cos 2221-=⋅--==∴a a a a a θ由于平面AB 1E 与平面AEF 所成的二面角为锐二面角，F AE B --∴1二面角的平面角的余弦值.6151的正切值为二面角F AE B --∴.5． 解法一:（Ⅰ） 连结BD ．在ABC ∆中，90B ︒∠=.∵AB BC =，点D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥． ∵,PB ABC ⊥面即BD 为PD 在平面ABC 内的射影， ∴PD AC ⊥．…………………………2分 ∵E F 、分别为AB BC 、的中点,∴//EF AC , ∴EF PD ⊥．…………4分（Ⅱ）∵,PB ABC ⊥平面∴EF PB ⊥．连结BD 交EF 于点O ，∵EF PB ⊥，EF PD ⊥ ∴PBD EF ⊥平面，∴FPO ∠为直线PF 与平面PBD 所成的EF PO ⊥.……………6分 ∵,PB ABC ⊥面∴PB AB ⊥，PB BC ⊥，又∵45PAB ︒∠=，∴2==AB PB .∵2241==AC OF ，∴522=+=BF PB PF ，∴在Rt △FPO 中，1010sin ==∠PF OF FPO ，∴1010arcsin =∠FPO ．……… 8分（Ⅲ）过点B 作BM PF ⊥于点F ，连结EM ，∵,,AB PB AB BC ⊥⊥∴,AB PBC ⊥平面即BM 为EM 在平面PBC 内的射影， ∴EM PF ⊥，∴EMB ∠为二面角E PF B --的平面角．………11分 ∵Rt P F B ∆中，PB BFPF BM ⋅==,∴tan 2EB EMB BM ∠==13分 解法二：建立空间直角坐标系B −xyz,如图，则(),0,0,0B (),0,0,2A ()0,2,0C ，()0,1,1D ，()0,0,1E ，()0,1,0F ，()2,0,0P .（Ⅰ）∵()0,1,1-=，()2,1,1-=， ∴110EF PD ⋅=-+= ∴EF PD ⊥.………4分（Ⅱ）由已知可得，()0,1,1-=为平面PBD 的法向量，()2,1,0-=,∴ cos ,10PF EF PF EF PF EF⋅<>===⋅，∴直线PF 与面PBD ∴直线PF 与面PBD 所成的角为1010arcsin. （Ⅲ）设平面PEF 的一个法向量为a (),,x y z =，∵()0,1,1-=，()2,1,0-=∴ a 0EF x y =-+=，a 20PF y z =-=，令1=z，∴ a ()2,2,1=由已知可得，向量()0,0,2=BA 为平面PBF 的一个法向量，∴ cos < a 42,323a BA BA a BA⋅>===⨯⋅， ∴tan < a 5,BA >=.∴ 二面角E PF B --的正切值为25.………14分 6．（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BC ⊥．又AB ⊥BC ，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ．又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB ．（Ⅱ）∵PA ⊥底面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 内的射影．又∵PC ⊥AD ，∴AC ⊥AD ．在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB =BC ，得4BAC π∠=，∴4DCA BAC π∠=∠=．又AC ⊥AD ，故DAC ∆为等腰直角三角形．∴)2DC AB ==．连接BD ，交AC 于点M ，则 2.DM DCMB AB==在BPD ∆中，2PE DMEB MB==，∴//PD EM又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．（Ⅲ）在等腰直角PAB ∆中，取PB 中点N ，连结AN ，则AN PB ⊥．∵平面PAB ⊥平面PCB ，且平面PAB平面PCB =PB ，∴AN PBC ⊥平面．在平面PBC 内，过N 作NH ⊥直线CE 于H ，连结AH ，由于NH 是AH 在平面CEB 内的射影，故AH CE ⊥．∴AHN ∠就是二面角A —CE —P 的平面角---------------------12分 在Rt PBC ∆中，设CB a =，则PB ==，13BE PB ==，16NE PB ==，CE ==，由NH CE ⊥，EB CB ⊥可知：NEH ∆∽CEB ∆， ∴.NH CBNE CE =代入解得：NH =．在Rt AHN ∆中，AN =，∴tan AN AHN NH== 即二面角A —CE —P的大小为 解法二：（Ⅱ）以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系． 设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，(),,0C a a ()0,0,P a ，20,,33a a E ⎛⎫⎪⎝⎭.设(),,0D a y ，则()(),,,,,0CP a a a AD a y =--=，CP AD ⊥，∴20CP AD a ay ⋅=--=，解得：y a =-．2DC AB ∴=．连结BD ，交AC 于点M ， 则2DM DCMB AB==.---------------7分在BPD ∆中，2PE DMEB MB ==， ∴//PD EM ．又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．（Ⅲ）设()1,,1x y =n 为平面EAC 的一个法向量，则11,AC AE ⊥⊥n n ，∴0,20.33ax ay ay a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：11,22x y ==-，∴111(,,1)22=-n ． 设()2',',1x y =n 为平面EBC 的一个法向量，则22,BC BE ⊥⊥n n ，又(),0,0BC a =，(0,,)33a a BE =-，∴'0,'0,33ax ay a =⎧⎪-⎨+=⎪⎩HACBD1A1C1BEF解得：'0,'1x y ==，∴()20,1,1=n ． 121212cos ,6⋅==n n n n n n ．13分 ∴二面角A —CE —P 的大小为arccos 6．14分7．解法一：（Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -中,11A B //AB .∴BAC ∠是11A B 与AC 所成的角. 2分 在Rt ABC ∆中，,90AB BC ABC =∠=︒，45BAC ∴∠=︒. ∴11A B 与AC 所成角为45︒. （Ⅱ）取AC 中点E ，连结,DE BE ，D 是1A C 的中点，则1//DE AA .1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC . 则BE 是BD 在平面ABC 内的射影.AB BC =,BE AC ∴⊥.∴BD AC ⊥.同理可证1BD B C ⊥. 8分又1AC B C C =，BD ∴⊥平面1AB C .（III ）取1AB 中点F ，连结,CF BF ，1AB BB =,1BF AB ∴⊥1AC BC ==1.CF AB ∴⊥ 则BFC∠为二面角1C AB B --的平面角. 12分 在Rt BFC ∆中，1,902BF BC FBC ==∠=︒，则tan BFC =∴BFC ∠=. 14分即二面角1C AB B --的大小为arctan . 解法二： （Ⅰ）同法一.（Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,1,0),C 1(0,0,1)B ，1(1,0,1)A ， D （111,,)222.------------------6分则111(,,)222BD =，1(1,1,0),(1,0,1)AC AB =-=-.10,0BD AC BD AB ∴⋅=⋅=. ---------------8分1,BD AC BD AB ∴⊥⊥，且1ACAB A =. BD ∴⊥平面1AB C .---------------9分 （III ）11,,BC BB BC AB ABBB B ⊥⊥=,BC ∴⊥平面1ABB .(0,1,0)BC ∴=是平面1ABB 的法向量.由（Ⅱ）可知111(,,)222BD =是平面1AB C 的法向量.12cos ,3||||3BC BD BC BD BC BD ⋅<>===. 即二面角1C AB B --的大小为arccos 38．解法一：（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB平面ABC AB =，且BC AB ⊥，BC PAB ∴⊥平面 .PA ⊂平面 PAB ， PA BC ∴⊥.又PA PB ⊥，∴ PA PBC ⊥平面 .（Ⅱ）解：作PO AB ⊥于点O ，OM AC ⊥于点M ，连结PM . ∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ABC ∴⊥平面 ，根据三垂线定理得 PM AC⊥，PMO ∴∠是二面角P AC B --的平面角.………….. 6分设PA PB ==PA PB ⊥，AB PO BO AO ∴====， 30OM AM MAO ⊥∠=︒，，sin 302AOOM AO ∴=⋅︒=，tan 2PO AOPMO OM OM∴===，即二面角P AC B --的大小是arctan 2.（Ⅲ）解：在底面ABC 内分别过A C 、作BC AB 、的平行线，交于点D ，连结OC OD PD ，，.则PCD ∠是异面直线AB 和PC 所成的角或其补角.30AB BC BAC ⊥∠=︒，，tan302BC AB ∴=⋅︒=， OCPC ∴=.易知底面ABCD 为矩形，从而OC OD =，.PC PD =在PCD ∆中，12cos CDPCD PC =∴异面直线AB 和PC 所成角的大小为. 解法二：作PO AB ⊥于点O ， 平面PAB ⊥平面ABC ， PO ∴⊥平面ABC .过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D .如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 . ………….. 2分PA PB ==设.PA PB ⊥，AB PO BO AO ∴====， 30AB BC BAC ⊥∠=︒，， tan302BC AB ∴=⋅︒=.(0 0 0)(0 (0(2O A B C ∴，，，，，，，(0 0P ，(1 0 0).D ，，----------------------------------------------4分 （Ⅰ）证明：(0 33)(2 00)PA BC =--=，，， ，，， 0PA BC ∴=，PA BC ∴⊥. 又 PA PB ⊥，∴PA PBC ⊥平面 .（Ⅱ）解：作OM AC ⊥于点M ，连结PM .PO ⊥平面ABC ， 根据三垂线定理得 PM AC ⊥， PMO ∴∠是二面角P AC B --的平面角. 在Rt AMO ∆中， sin 3022AO OM AO =⋅︒==，3 04M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，从而333044MO MP ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝，，， ，5cos 5MO MP MOMP MO MP∴〈〉==，， 即二面角PAC B --的大小是arccos 5. （Ⅲ）解：()( 023023AB PC ==，，， ，，，30cos 10AB PCAB PC AB PC∴〈〉==，， ∴异面直线AB 和PC 所成角的大小为arccos10.9． 解法一：（Ⅰ）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AC ，又BA ⊥AC ，B 1B ∩BA=B ， ∴AC ⊥平面 ABB 1A 1，又AC ⊂平面B 1AC ， ∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1. …………4分 （Ⅱ）解：过A 1做A 1M ⊥B 1A 1，垂足为M ，连结CM ，∵平面B 1AC ⊥平面ABB 1A ，且平面B 1AC ∩平面ABB 1A 1=B 1A ，∴A 1M ⊥平面B 1AC. ∴∠A 1CM 为直线A 1C 与平面B 1AC 所成的角， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角，∴∠B 1CB=30°. 设AB=BB 1=a ，可得B 1C=2a ，BC=a AC a 2,3=，.66sin ,22,311111====C A M A CM A a M A a C A 又从而∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66…………9分 （III ）解：过A 做AN ⊥BC ，垂足为N ，过N做NO ⊥B 1C ，垂足为O ，连结AO ， 由AN ⊥BC ，可得AN ⊥平面BCC 1B 1，由三垂线定理，可知AO ⊥B 1C ，∴∠AON 为二面角B —B 1C —A 的平面角，.36sin ,,3611==∴=⋅==⋅=AO AN AON a C B AC AB AO a BC AC AB AN ∴二面角B —B 1C —A 的大小为.36arcsin …………14分 解法二：（Ⅰ）证明：同解法一. …………4分（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ， ∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°. 设AB=B 1B=1，).1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.2,311B A C B A AC BC 则则==,6661||||,cos ),1,0,2(),1,1,0(,,11111111111==⋅>=<∴=-=C A B A A A A A AC B A B A 又的一个法向量易知连结∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66…………9分 （III ）解：设),,(z y x n =为平面BCC 1B 1的一个法向量， .33232,cos cos ,,).0,2,1(,0,2,1,02,0),0,1,2(),1,0,0(,,1111111=⋅==<=--====⎩⎨⎧=-=∴-==⊥⊥B A n A C B B AC B A n z y x y x z BC BB n BB n θθ则的大小为设二面角的一个法向量是平面又得则令又则∴二面角B —B 1C —A 的大小为.33arccos …………14分ABCDPE FA BC DPxyz10． 解法一：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABC ，⊂AB 平面ABC ， ∴PC ⊥AB ．…………………………2分 ∵CD ⊥平面PAB ，⊂AB 平面PAB ， ∴CD ⊥AB ．…………………………4分 又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ． …………………………5分（Ⅱ）过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．则 PA F ∠为异面直线PA 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ， ∴CF ⊥AF ．由三垂线定理，得PF ⊥AF ．则AF=CF=2，PF=6 CF PC 22=+， 在PFA Rt ∆中，tan ∠PAF=26AFPF==3，∴异面直线PA 与BC 所成的角为3π． （III ）取AP 的中点E ，连结CE 、DE ．∵PC=AC=2，∴CE ⊥PA ，CE=2． ∵CD ⊥平面PAB ，由三垂线定理的逆定理，得 DE ⊥PA ． ∴CED ∠为二面角C-PA-B 的平面角．由（Ⅰ）AB ⊥平面PCB ，又∵AB=BC ，可求得BC=2．在PCB Rt ∆中， PB=6B C PC 22=+，32622PB BC PC CD =⨯=⋅=． 在CDE Rt ∆中，sin ∠CED=36232CECD==． ∴二面角C-PA-B 的大小为arcsin 36． 解法二： （Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由(I) AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2，又∵AB=BC ，可求得BC=2．以B 为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0），C （2，０，0），P （2，０，2）．),22,2(AP -=，)0,0,2(B C =．则22⨯=⋅+0+0=2．,cos >=<=2222⨯=21．∴异面直线AP 与BC 所成的角为3π． （III ）设平面PAB 的法向量为m = (x ，y ，z)．)0,2,0(AB -=，),22,2(AP -=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0.m ,0m 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.02z y 2x 2,0y 2解得⎩⎨⎧-==z2x ,0y 令z = -1, 得 m = (2，0，-1)．设平面PAC 的法向量为n =('''z ,y ,x )．)0,-2,0(=，),02,2(-=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0.n ,0n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-.0y 2x 2,02z ''' 解得⎪⎩⎪⎨⎧=='''yx ,0z 令'x =1, 得 n = (1，1，0)．…………………12分n m n m n ,m cos ⋅>=<=33232=⨯． ∴二面角C-PA-B 的大小为arccos 33．………14分 11．ABCA B 1CEF 方法1：（Ⅰ）证明：依条件有CB ∥C 1B 1，又C 1B 1⊂平面A B 1C 1，CB ⊄平面A B 1C 1， 所以CB ∥平面A B 1C 1.…………………3分（Ⅱ）解：因为D 为AB 的中点，依条件可知C 1D ⊥A 1B 1. 所以111B C AD V -=111C D AB V -=13×C 1D 1×(12×A 1A×D 1B 1)= 13×12×(12×1×2)=24.……………7分（Ⅲ）解：因为D 1是A 1B 1上一动点， 所以当D 1与A 1重合时，二面角D 1-AC 1-C 的大小为π；当D 1与B 1重合时，如图，分别延长A 1C 1和AC 1，过B 1作B 1E ⊥A 1C 1延长于E ，依条件可知平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， 所以B 1E ⊥平面ACC 1A 1.过点E 作EF ⊥A 1C 1，垂直为F. 连结FB 1，所以FB 1⊥A 1C 1.所以∠B 1FE 是所求二面角的平面角.容易求出B 1E=2，FE=4. 所以tan ∠B 1FE=1B EFE.所以∠B 1.（或arccos7）所以二面角D 1-AC 1-C 的取值范围是，π]（或[arccos 7，π]）.……13分 方法2：（Ⅰ），（Ⅱ）略（Ⅲ）解：如图建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B 1(-12，1)，C 1(0，0，1).因为D 1是A 1B 1上一动点，所以当D 1与A 1重合时，二面角D 1-AC 1-C 的大小为π；当D 1与B 1重合时， 显然向量n 1=(0，1，1(D 1)0)是平面ACC 1A 1的一个法向量.因为1C A =(1，0，-1)， 11C B =(-121)，设平面C 1AB 1的法向量是n 2=(x ，y ，z )，由1C A ·n 2=0，11C B ·n 2=0，解得平面C 1AB 1的一个法向量n 2=(13，1).因为n 1·n 2=3，| n 1|=1，| n 2B 1-AC 1-C 的大小为β，所以cos β.即β.所以二面角D 1-AC 1-C 的取值范围是π]（或，π]）---------13分 12． 解法一:（Ⅰ）证明：∵ P A ⊥底面ABCD,BC ⊂平面ABCD,PA BC ∴⊥，∠ACB =90︒，BC AC ∴⊥.又PA AC A ⋂=，∴ BC ⊥平面PAC .4分（Ⅱ）∵AB // CD , 0120DAB ∴∠=. ∠ADC=600, 又AD =CD=1,ADC ∴∆为等边三角形,且 AC=1.取AC 的中点O ，则DO AC ⊥，∵P A ⊥底面ABCD ，,PA DO DO ∴⊥∴⊥面PAC过O 作OH PC ⊥，垂足为H ，连DH ，由三垂线定理知DH PC ⊥.DHO ∴∠为二面角D PC A --的平面角.由OH DO ==tan 2,arctan 2DODHO DHO OH∴==∴∠=. ∴二面角D PC A --的大小为arctan 2.（Ⅲ）设点B 到平面PCD 的距离的距离为d .∵AB //CD ,AB ⊄平面,PCD CD ⊂面PCD ,//AB ∴平面PCD .∴点B 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离., A PCD P ACD V V --==分,5d ∴=. 解法二:（Ⅰ）同解法一 -----------4分（Ⅱ）取CD 的中点E ，则,AE CD AE AB ⊥∴⊥.又P A ⊥底面ABCD,AE ⊂面ABCD ,PA AE ∴⊥ --------------5分建立空间直角坐标系，如图. 则()(110,0,0,,,0,,022A P C D ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()31310,0,3,,,0,,,0,22AP AC PD ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭设()1111,,nx y z =为平面PAC 的一个法向量，()2222,,n x y z =为平面PDC 的一个法向量，则111111111002000n AC x y y z n AP ⎧⎧⋅=+==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎪⎩=⎩ 可取()13,3,0n =-；22122222200012002y n DC y x z x y n DP =⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩，可取()22,0,1n =. ------------ 9分121212cos , 10n n n n n n ⋅∴=⋅==分故所求二面角的大小为arccos 5.（Ⅲ）又()(0,2,0,0,2,B PB =.由（Ⅱ）取平面PCD 的一个法向量()22,0,1n =,∴点B 到平面PCD 的距离的距离为2213n PB d n ⋅=分.==分13．（Ⅰ）解： AB ∥平面DEF . 在△ABC 中，∵ E 、F 分别是AC 、BC 上的点，且满足CE CF k CA CB ==，∴ AB ∥EF .∵ AB ⊄平面DEF ，EF ≠⊂平面DEF ，∴ AB ∥平面DEF . …………… 3分 （Ⅱ）过D 点作DG ⊥AC 于G ，连结BG ， ∵ AD ⊥CD , BD ⊥CD ,∴ ∠ADB 是二面角A -CD -B 的平面角. ∴ ∠ADB=90, 即BD ⊥AD . ∴ BD ⊥平面ADC . ∴ BD ⊥AC . ∴ AC ⊥平面BGD . ∴ BG ⊥AC .∴ ∠BGD 是二面角B -AC -D 的平面角. ……5分 在ADC 中，AD =a , , AC=2a ,∴3AD DC a DG AC ===.在Rt △BDG 中，tanBD BGD DG ∠==∴ BGD∠=.即二面角B -AC -D 的大小为…… 8分（Ⅲ）∵ AB ∥EF , ∴ ∠DEF (或其补角)是异面直线AB 与DE 所成的角.… 9分 ∵AB =，∴EF =.又, 2CE kCA ak ==， ∴DF DE =GABCD EF===∴222cos 22DE EF DF EF DEF DE EF DE +-∠===∴234a k +解得 12k =.…………………… 13分 14．（Ⅰ）解：∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥面ABC ，∴B 1B ⊥AB . 又∵AB ⊥BC ， ∴AB ⊥面BCC 1B 1. 连结BC 1，则∠AC 1B 为AC 1与平面B 1BCC 1所成角. 依题设知，BC 1=22，在Rt △ABC 1中，.22222tan 11===∠BC AB B AC …………5分 （Ⅱ）如图，连结DF ，在△ABC 1中， ∵D 、F 分别为AB 、BC 1的中点，∴DF ∥AC 1， 又∵DF ⊂平面B 1DC ，AC 1⊄平面B 1DC ， ∴AC 1∥平面B 1DC .……10分 （Ⅲ）PB 1=x ，.21=∆BCC S当点P 从E 点出发到A 1点，即]2,1[∈x 时， 由（Ⅰ）同理可证PB 1⊥面BB 1C 1C ，.3231111xPB s V BCC BCC P =⨯=∴∆- 当点P 从A 1点运动到A 点，即]22,2[∈x 时，343111=⨯=∆-AB S V BCC BCC P . ∴三棱锥P —BCC 1的体积表达式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=].22,2[34]2,1[32)(x x xx V…………14分15．（Ⅰ）证明： E 是AB 的中点，AB 21BE =∴，又EB //DC ,AB 21DC ,AB //CD ∴= 且EB DC =∴四边形DCBE 是平行四边形，BC //ED ∴ ⊄DE 面PBC ，⊂BC 面PBC ，//DE ∴平面PBC 。

高考卷,08,普通高等学校招生全国统一考试数学（湖北卷·文科）（附答案，完全word版）2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★注间事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效. 3.填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效. 4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设A. B.0 C.-3 D.-11 2. 的展开式中常数项是 A.210 B. C.D.-105 3.若集合 A. “”是“”的充分条件但不是必要条件 B. “”是“”的必要条件但不是充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 4.用与球必距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为 A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的 6.已知在R上是奇函数，且 A.-2 B.2 C.-98 D.98 7.将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 A. B. C. D. 8. 函数的定义域为 A. B. C. D. 9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A.100 B.110 C.120 D.180 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①②③④其中正确式子的序号是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上. 11.一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 . 12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则 A＝ . 13.方程的实数解的个数为 . 14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 15.圆的圆心坐标为，和圆C关于直线对称的圆C′的普通方程是 . 三、解答题：本大题共6分小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满12分）已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值 17.（本小题满分12分）已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9. （Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程. 18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面（Ⅰ）求证：（Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角 19.（本不题满分12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 20（本小题满分13分）已知双曲线的两个焦点为的曲线C上. （Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程 21.（本小题满分14分）已知数列,其中为实数，为正整数. （Ⅰ）证明：当（Ⅱ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.第小题5分，满分50分. 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题5分，满分25分. 11.1012.30°（或）13.2 14.0.98 15.（3，－2），（x＋2）2＋（y－3）2＝16（或x2＋y2＋4x－6y－3＝0）三、解答题：本题共6小题，共75分. 16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力. （满分12分）解：(Ⅰ)f(x)=sinx+. 故f(x)的周期为2kπ｛k∈Z且k≠0｝. (Ⅱ)由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数. 故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，所以当x=π时，f(x)有最大值－2. 17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.（满分12分）解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m, 当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：x (－∞,－m) －m (－m,) (,+∞) f’(x) + 0 － 0 + f (x) 极大值极小值从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1, 依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－. 又f(－1)＝6，f(－)＝，所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，即5x＋y－1＝0，或135x＋27y －23＝0. 18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分）(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC ⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面 A1BC.又BC平面A1BC 所以AD⊥BC. 因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱, 则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC. 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1, 又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC. (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=j. 于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝, ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D. 又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋j ＝∠AA1B＋j＝，故θ＋j＝. 证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(), A1(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）, ,=(0,c,a) 设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z), 则由可取n＝（0，－a，c），于是 n·=ac＞0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角. sinq=cosb=, cosj= 所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=. 19.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力.（满分12分）解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000. ①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0. 广告的面积S＝(a+20)(2b+25) ＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b ≥18500+2=18500+ 当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=,代入①式得a=120，从而b=75. 即当a=120，b=75时,S取得最小值24500. 故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小. 解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x ＞20，y＞25 两栏面积之和为2(x－20),由此得y= 广告的面积S=xy=x()＝x, 整理得S= 因为x－20＞0，所以S≥2 当且仅当时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小. 20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力. （满分13分）(Ⅰ)解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4＝，将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，故所求双曲线方程为解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2. 2a=|PF1|－|PF2|= ∴a2=2，b2=c2－a2=2. ∴双曲线C的方程为 (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6=0. ∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F, ∴∴k∈(－)∪(1,). 设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=于是 |EF|= = 而原点O到直线l的距离d＝, ∴SΔOEF= 若SΔOEF＝，即解得k=±, 满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx －6＝0. ①∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，∴∴k∈(－)∪(1,). ②设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得 |x1－x2|＝. ③当E、F 在同一支上时（如图1所示）， SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=；当E、F在不同支上时（如图2所示）， SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝综上得SΔOEF＝，于是由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝. 若SΔOEF＝2，即,解得k=±,满足②. 故满足条件的直线l有两条，基方程分别为y=和y= 21.本小题主要考查等比数列的定义、数列示和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.（满分14分）(Ⅰ)证明：假设存在一个实数l，使｛an｝是等比数列，则有,即（）2=2矛盾. 所以｛an｝不是等比数列. （Ⅱ）证明：∵又由上式知故当数列｛bn｝是以为首项，为公比的等比数列. （Ⅲ）当由（Ⅱ）得于是当时，，从而上式仍成立. 要使对任意正整数n , 都有即令当n为正奇数时，当n为正偶数时，于是可得综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有的取值范围为高考卷,全国统一高考生物试卷（大纲版）（含解析版）高考卷,全国统一高考生物试卷（新课标Ⅰ）2018年北京市高考数学试卷（理科）「附答案解析」2018高考全国3卷理科数学带答案高考卷,05高考文科数学全国卷Ⅱ试题及答案（黑龙江、吉林、广西、内蒙古、新疆等地区用）。

2008年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解．【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；所以C U（A∩B）={1，2，4，5}，故选D【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）（2008•四川）函数的反函数是（）A．B．y=e2x﹣1（x∈R）C．D．【考点】指数式与对数式的互化；反函数．【分析】反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰【解答】解：∵由y=ln（2x+1）反解得∴从而淘汰B、D、又∵原函数定义域为∴反函数值域为故选C．【点评】此题重点考查求反函数的方法，考查原函数与反函数的定义域与值域的互换性3．（5分）（2008•四川）设平面向量，则=（）A．（7，3）B．（7，7）C．（1，7）D．（1，3）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的坐标运算法则即可解题．【解答】解：∵∴故选A．【点评】此题重点考查向量加减、数乘的坐标运算；应用向量的坐标运算公式是解题的关键；4．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cos2x=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简．【解答】解：∵=故选D；【点评】将不同的角化为同角；将不同名的函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化弦”．5．（5分）（2008•四川）不等式|x2﹣x|＜2的解集为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，2）【考点】其他不等式的解法．【分析】可由绝对值的意义去绝对值，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法【解答】解：∵|x2﹣x|＜2∴﹣2＜x2﹣x＜2即，，∴x∈（﹣1，2）故选A【点评】此题重点考查绝对值不等式和二次不等式的解法，属基本题．准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键6．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A．B．C．y=3x﹣3 D．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．【解答】解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°∴两直线互相垂直则该直线为，那么将向右平移1个单位得，即故选A．【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．7．（5分）（2008•四川）△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．【解答】解：∵△ABC中，，∴根据正弦定理得∴故选B．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．8．（5分）（2008•四川）设M是球心O的半径OP的中点，分别过M，O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：（）A．B．C．D．【考点】球面距离及相关计算．【分析】可通过数形结合的方法，画出图形，再利用勾股定理进行求解．【解答】解：设分别过M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1，r2，球半径为R，则：∴∴这两个圆的面积比值为：故选D【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系．9．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A．13 B．2 C．D．【考点】函数的值．【专题】压轴题．【分析】根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案．【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2∴，，，，∴，∴故选C．【点评】此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解．10．（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．【解答】解：如图，和α成300角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件故选B．【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；11．（5分）（2008•四川）已知双曲线C：=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（）A．24 B．36 C．48 D．96【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的额性质求得||PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．【解答】解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为故选C．【点评】此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．12．（5分）（2008•四川）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）A．B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】先求侧棱与底面所成角的余弦，然后求出棱柱的高，再求棱柱的体积．【解答】解：如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设∠AA1B1=∠AA1C1=60°，由条件有∠C1A1B1=60°，作AO⊥面A1B1C1于点O，则∴∴∴故选B．【点评】此题重点考查立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考查空间想象能力；具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•四川）（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2的系数为﹣6．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用乘法原理找展开式中的含x2项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x2的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展开式的x项的乘积、第一个展开式的x2的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案．【解答】解：∵（1+2x）3（1﹣x）4展开式中x2项为C3013（2x）0•C4212（﹣x）2+C3112（2x）1•C4113（﹣x）1+C3212（2x）2•C4014（﹣x）0∴所求系数为C30•C42+C31•2•C41（﹣1）+C32•22•C4014=6﹣24+12=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来源．14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【专题】数形结合．【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，则AD为所求；求AD的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值．【解答】解：如图可知：过圆心作直线l：x﹣y+4=0的垂线，则AD长即为所求；∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的圆心为C（1，1），半径为，点C到直线l：x﹣y+4=0的距离为，∴AD=CD﹣AC=2﹣=，故C上各点到l的距离的最小值为．故答案为：【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C到直线l的距离距离公式．15．（4分）（2008•四川）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有140种．【考点】组合及组合数公式．【专题】计算题；压轴题．【分析】要求甲、乙中至少有1人参加的对立事件是甲和乙都不参加，所以从事件的反面入手来解，从10个同学中挑选4名参加某项公益活动的结果数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动的结果数．【解答】解：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C104种不同挑选方法，从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C84种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C104﹣C84=210﹣70=140种不同挑选方法故答案为：140．【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，由题目中的“至少”知道从反面排除易于解决，这和概率中的对立事件考虑方法一样，正难则反原则．16．（4分）（2008•四川）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，则通项a n=．【考点】数列递推式．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而各式相加即可求得答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1∴a n=a n﹣1+（n﹣1）+1，a n﹣1=a n﹣2+（n﹣2）+1，a n﹣2=a n﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1将以上各式相加得：a n=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+2+1]+n+1=故答案为；【点评】此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后，再利用配方法把y变为完全平方式即y=（1﹣sin2x）2+6，可设z═（u﹣1）2+6，u=sin2x，因为sin2x的范围为[﹣1，1]，根据u属于[﹣1，1]时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x=7﹣2sin2x+4cos2x（1﹣cos2x）=7﹣2sin2x+4cos2xsin2x=7﹣2sin2x+sin22x=（1﹣sin2x）2+6由于函数z=（u﹣1）2+6在[﹣1，1]中的最大值为z max=（﹣1﹣1）2+6=10最小值为z min=（1﹣1）2+6=6故当sin2x=﹣1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．18．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率．【考点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．设出事件，知事件之间是相互独立的和互斥的，根据概率公式得到结果．（2）进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品包括进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品和进入商场的2位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品．根据事件之间的关系，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，A与B 是相互独立的，且A与B是互斥的，∵C=A+ B∴===0.5×0.4+0.5×0.6=0.5（Ⅱ）记A2表示事件：进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；D表示事件：进入商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选购买乙种商品；E表示事件：进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选选购乙种商品；∵=，∴P（）=P（）•P（）=0.5×0.4=0.2P（A1）=C32×0.22×0.8=0.096P（A2）=0.23=0.008P（E）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=0.096+0.008=0.104【点评】此题重点考查相互独立事件有一个发生的概率，分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用；19．（12分）（2008•四川）如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE，G，H分别为FA，FD的中点（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C，D，F，E四点是否共面？为什么？（Ⅲ）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．【考点】平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；向量语言表述面面的垂直、平行关系．【专题】综合题；转化思想．【分析】解法1：（Ⅰ）直接证明GH BC推出四边形BCHG是平行四边形．（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．推出EF∥CH，就是EC，FH共面．又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．（Ⅲ）连接EC，证明BG⊥EA．BG⊥ED，ED∩EA=E，推出BG⊥平面ADE，然后证明平面ADE⊥平面CDE．解法2：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz（Ⅰ）通过，又点G不在直线BC上，说明四边形BCHG是平行四边形．（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．利用，又C∉EF，H∈FD，证明C，D，E，F四点共面．（Ⅲ）通过，即CH⊥AE，CH⊥AD，说明平面ADE⊥平面CDE 【解答】解法1：（Ⅰ）由题意知，FG=GA，FH=HD所以GH又BC，故GH BC所以四边形BCHG是平行四边形．（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE，G是FA的中点知，BE GF，所以EF∥BG由（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．（Ⅲ）连接EG，由AB=BE，BE AG及∠BAG=90°知ABEG是正方形故BG⊥EA．由题设知FA，AD，AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BG⊥ED又ED∩EA=E，所以BG⊥平面ADE由（Ⅰ）知CH∥BG，所以CH⊥平面ADE．由（Ⅱ）知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE解法2：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A﹣xyz（Ⅰ）设AB=a，BC=b，BE=c，则由题设得A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，b，0），D（0，2b，0），E（a，0，c），G（0，0，c），H（0，b，c）所以于是又点G不在直线BC上所以四边形BCHG是平行四边形．（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．理由如下：由题设知F（0，0，2c），所以又C∉EF，H∈FD，故C，D，E，F四点共面．（Ⅲ）由AB=BE得，所以又，因此即CH⊥AE，CH⊥AD又AD∩AE=A，所以CH⊥平面ADE故由CH⊂平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE【点评】此题重点考查立体几何中直线与直线的位置关系，四点共面问题，面面垂直问题，考查了空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；熟悉几何公理化体系，准确推理，注意逻辑性是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键．20．（12分）（2008•四川）设x=1和x=2是函数f（x）=x5+ax3+bx+1的两个极值点．（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（I）利用函数的导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．（Ⅱ）将a，b的值代入导函数，令导函数大于0求出解集为递增区间；令导函数小于0，求出解集为递减区间．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=5x4+3ax2+b由假设知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=24×5+22×3a+b=0解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x4+3ax2+b=5（x2﹣1）（x4﹣4）=5（x+1）（x+2）（x﹣1）（x﹣2）当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0当x∈（﹣2，﹣1）∪（1，2）时，f′（x）＜0因此f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣1，1），（2，+∞）f（x）的单调减区间是（﹣2，﹣1），（1，2）【点评】本题考查函数的极值点处的导数值为0、考查函数的单调性与导函数的符号有关：导函数大于0时，函数递增；导函数小于0时，函数递减．21．（12分）（2008•四川）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{a n+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n}的通项公式．【考点】等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（Ⅰ）令n=1得到s1=a1=2并推出a n，令n=2求出a2，s2得到a3推出a4即可；（Ⅱ）由已知得a n+1﹣2a n=（S n+2n+1）﹣（S n+2n）=2n+1﹣2n=2n即为等比数列；（Ⅲ）a n=（a n﹣2a n﹣1）+2（a n﹣1﹣2a n﹣2）+…+2n﹣2（a2﹣2a1）+2n﹣1a1=（n+1）•2n﹣1即可．【解答】解：（Ⅰ）因为a1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2，由2a n=S n+2n知：2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n+2n+1，得a n+1=s n+2n+1①，则a2=S1+22=2+22=6，S2=8；a3=S2+23=8+23=16，S2=24，a4=S3+24=40；（Ⅱ）由题设和①式知a n+1﹣2a n=（S n+2n+1）﹣（S n+2n）=2n+1﹣2n=2n所以{a n+1﹣2a n}是首项为2，公比为2的等比数列．（Ⅲ）a n=（a n﹣2a n﹣1）+2（a n﹣1﹣2a n﹣2）+…+2n﹣2（a2﹣2a1）+2n﹣1a1=（n+1）•2n﹣1【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力．22．（14分）（2008•四川）设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率，点F2到右准线为l的距离为（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设M，N是l上的两个动点，，证明：当|MN|取最小值时，．【考点】椭圆的简单性质．【专题】证明题；综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）先根据离心率求得a和c的关系，进而根据F2到右准线为l的距离求得a和c的另一关系式，联立求得a和c，进而根据a，b和c的关系气的b．（Ⅱ）根据（1）中的椭圆方程求得可知椭圆的焦点坐标，则l的方程可得，设出M，N的坐标，根据求得得y1y2的值，代入到|MN|的表达式中，根据均值不等式求得|MN|的最小值，根据等号成立的条件求得y1和y2的值，进而求得，证明原式．【解答】解：（Ⅰ）因为，F2到l的距离，所以由题设得解得由b2=a2﹣c2=2，得（Ⅱ）由得，l的方程为故可设由知知得y1y2=﹣6，所以当且仅当时，上式取等号，此时y2=﹣y1所以，=（0，y1+y2）=【点评】此题重点考查椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量与椭圆的综合应用；要熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的应灵活应用．。

高考卷,08,普通高等学校招生全国统一考试数学（广东卷·文科）（附答案，完全word版）2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(文科)全解析广东佛山南海区南海中学钱耀周一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A.ABB.BCC.A∩B=CD.B∪C=A 【解析】送分题呀!答案为 D. 2.已知0＜a＜2，复数(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 A.(1,) B. (1,) C.(1,3) D.(1,5) 【解析】，而，即，,选B. 3.已知平面向量，，且//，则＝（）A、 B、 C、 D、【解析】排除法:横坐标为,选B. 4.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（）A、2B、3C、6D、7 【解析】,选B. 5.已知函数，则是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数【解析】,选D. 6.经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（）A、 B、 C、 D、【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为,选C.(或由图形快速排除得正确答案.) 7.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A. 8. 命题“若函数在其定义域内是减函数，则”的逆否命题是（）A、若，则函数在其定义域内不是减函数B、若，则函数在其定义域内不是减函数C、若，则函数在其定义域内是减函数D、若，则函数在其定义域内是减函数【解析】考查逆否命题,易得答案A. 9、设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A、 B、 C、 D、【解析】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A. 10、设，若，则下列不等式中正确的是（）A、 B、 C、 D、【解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D. 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11-13题）11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是. 【解析】,故答案为13. 12.若变量x，y满足则z=3x+2y的最大值是________。

POAa高考数学专题复习 立体几何题型与方法（文科）一、 考点回顾1．平面（1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

（2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。

（3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。

（4）证共面问题一般用落入法或重合法。

（5）经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。

（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（5）两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA . ● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）（文科） 测试题 2019.91,将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为2,若变量满足则的最大值是（ ）A ．90B ．80C ．70D ．403,设，若，则下列不等式中正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、4,已知函数，则是（ ） A 、最小正周期为的奇函数 B 、最小正周期为的奇函数C 、最小正周期为的偶函数D 、最小正周期为的偶函数 5,经过圆的圆心C ，且与直线垂直的直线方程是（ ）A 、B 、C 、D 、 GHI∆x y ，24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥32z x y =+,a b R ∈||0a b ->0b a ->330a b +<220a b -<0b a +>2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈()f x π2ππ2π2220x x y ++=0x y +=10x y ++=10x y +-=10x y -+=10x y --=6,记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）A 、2B 、3C 、6D 、77,已知0＜a ＜2，复数(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是) C.(1,3) D.(1,5)8,已知平面向量，，且//，则＝（ ）A 、B 、C 、D 、9,第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A.A BB.B CC.A ∩B=CD.B ∪C=A10,设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．测试题答案1, 【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A. 2, C 【解析】画出可行域（如图），在点取最大值n n S 244,20S S ==d =z a i =+(1,2)a =(2,)b m =-a b 23a b +(5,10)--(4,8)--(3,6)--(2,4)--⊆⊆0b >222212x y b b +=28()x y b =-(02)F b +，x G G 1F A B ，P ABP △(10,20)B3, 【解析】利用赋值法：令排除A,B,C,选D.4, 【解析】,选D.5, 【解析】点C ，与直线垂直，可设待求的直线方程为，将点C 的坐标代入求出，故所求直线方程为,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)6, 【解析】,选B.7, 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z ,选B.8, 【解析】排除法:横坐标为,选B.9, 【解析】送分题!答案为D. 10, 【解析】（1）由得，当得，G 点的坐标为， ，，过点G 的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个；若以为直角，则点在以为直径的圆上，而以为直径的圆与抛物线有两个交点。

A浙江高考历年真题之立体几何大题（教师版）1、（2005年）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)求证OD ∥平面PAB(Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的大小；解析： 方法一：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点，O D P A ∴ ∥PA PAB ⊂又平面，OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)A B B C O A O C ⊥= ，，O A O B O C ∴== ，O P ABC ⊥ 又 平面，.PA PB PC ∴== E PE BC PO E ⊥取BC 中点，连结，则平面OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角.sin 30O F R t O D F O D F O D∆∠==在中， arcsin30O D P B C ∴ 与平面所成的角为方法二：O P ABC O A O C AB BC ⊥== 平面，，，.O A O B O A O P O B O P ∴⊥⊥⊥ ，，()O O Pz O xyz -以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，,0,0,,0,,0,0222AB a A B C⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设，则 ()0,0,.OP h P h =设，则()D PC 为的中点，Ⅰ1,0,,,0,422O D h PA ⎛⎫⎛∴=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 又1 (2)O D PA O D PA O D PAB ∴=-∴∴平面∥∥()2,PA a = Ⅱ,h ∴=,,44O D ⎛⎫∴=-⎪⎪⎝⎭,PBC n ⎛=- ⎝ 可求得平面的法向量cos ,30OD nOD n OD n⋅∴〈〉==⋅OD PBC θ设与平面所成的角为，sin cos ,30O D n θ=〈〉=则arcsin30O D P B C ∴ 与平面所成的角为2、（2006年）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90° ,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点. (Ⅰ)求证：PB ⊥DM;(Ⅱ)求BD 与平面ADMN 所成的角。

08 立体几何一、选择题1．（某某3）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是省（ B ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖2．（8）如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ B ）3．(某某6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ D ） A.223 B.23C.24D.134．（某某7）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A ，B ，C 分别是△CHI 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）5．（某某12）已知平面α⊥平面β，l αβ=，点A α∈，A l ∉，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m m αβ∥，∥，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ D ） ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxA ．OyxB ．OyxC ．Oyx D ．OA ．AB m ∥ B ．AC m ⊥ C ．AB β∥D ．AC β⊥6．（某某5）已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则 ( D ).A n β⊥,//.βn B 或β⊂n α⊥n C .,//.αn D 或α⊂n7．（某某9）长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是( B )A ．42π B ．22πC ．π2D ．2π2 8．（某某9）．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是（ B ） A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直 9．（某某12）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ D ） A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条10．（全国Ⅰ11）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ B ）A ．13B．3C．3D ．2311．（全国Ⅱ8）正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ B ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．1812．（全国Ⅱ12）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．213．(某某6) 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ D ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π14．（某某13）给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ C ）俯视图 正(主)视图 侧(左)视图Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件15．（某某８）设M 是球心O 的半径OP 的中点，分别过,M O 作垂直于OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( D ) （Ａ）41 （Ｂ）12 （Ｃ）23 （Ｄ）3416．（某某10）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( B )（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条17．（某某12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的菱形，则该棱柱的体积等于( B ) 222324218．(某某5) 设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ C ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥， B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥ C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，19．（某某9）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得 ( B )（A ）,a b αα⊂⊂ （B ）,//a b αα⊂ （C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥20．(某某11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为 ( A )(A)模块①，②，⑤ (B)模块①，③，⑤ (C)模块②，④，⑥ (D)模块③，④，⑤21．(某某4).用与球必距离为1的平面去截面面积为π，则球的体积为 ( D ) A.323πB.83πC.82πD.823π22．(某某8)长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为1的球面上,其中1::3AB AD AA =则两,A B 点的球面距离为( C )A ．4πB ．3π C ．2π D ．23π 23．(某某10) 如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ D ） A ．m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，二、填空题1．（某某16）已知点,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =13,AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是43π 2．（某某15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 9π3．（某某15）（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切点，切点为A ，A Babl αβPA ＝2.AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R4．（某某14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在，底面周长为3，则这个球的体积为．43π 5．（某某15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB CD 、的长度分别等于、每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为．56．（某某14）在体积为的球的表面上有A 、B，C 三点，AB =1，BCA ，C 两点的球面距离为3，则球心到平面ABC 的距离为_________．327．（全国Ⅰ16）已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD △所在平面的距离等于．28．（全国Ⅱ16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①； 充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．9．（某某15）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于。

2008高考试卷分类汇编07----立体几何1一、选择题1.（安徽理4文3）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖解：垂直于一个平面的两条直线互相平行，故选D 。

2.(北京理8文8)如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）解：取1AA 的中点E, 1CC 的中点F,连EF,则MN 在平面1BFD E 内平行移动且//,MN EF 当P 移动到1BD 的中心时，MN 有唯一的最大值，排除答案A 、C ；当P 点移动时，由于总保持//,MN EF 所以x 与y 的关系是线性的(例如: 取11,AA =当x ∈时,2,y x =⇒=同理,当2x ∈时,2=2.y x ⇒=)排除答案D,故选B.3. (福建理6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的 正弦值为A.3B.5C. 5D.5解：连11A C 与11B D 交与O 点,再连BO,则1OBC ∠为BC 1与平面BB 1D 1D 所成角.AB CD M NP A 1B 1C 1D 1111OC COS OBC BC ∠=，1OC=1BC15COS OBC ∴∠== 4.(福建文6)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1AC AC 1与平面1111A B CD 所成角的正弦值为A.3B.23C.4D.13解：连11A C ,则11AC A ∠为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角. 112AB BC AC AC ==⇒==11AA =1111113sin 3AA AC AC A AC =⇒∠==∴ 5.(广东理5文7)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）解：解题时在图2的右边放扇墙,可得答案A.6.(海南宁夏理12)．，在该几何体的正视图中，的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b的最大值为（ ） A ．B ．C ．4D．解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。