下载文档原格式
我们要找出一个指数型复合函数的零点。
首先，我们需要理解什么是零点。
一个函数的零点是指函数值为0的x值。
例如，函数f(x) = x^2 - 4 的零点是x = ±2，因为f(2) = 0 和f(-2) = 0。
对于指数型复合函数，例如f(x) = a^x + b^x，我们可以通过令它等于0来找到零点。
即：a^x + b^x = 0但是，请注意，对于非线性指数函数，我们通常不能直接找到所有零点。
这是因为指数函数是非线性的，所以它的解可能不是简单的x值。
为了找到这个函数的零点，我们可以使用数值方法，例如二分法或牛顿法。
这些方法可以帮助我们在一定的精度范围内找到函数的零点。
为了找到指数型复合函数的零点，我们可以使用二分法或牛顿法等数值方法。
这些方法可以帮助我们在一定的精度范围内找到函数的零点。
例如，对于函数f(x) = a^x + b^x，我们可以使用二分法来找到它的零点。
首先，我们需要选择一个初始区间[a, b]，然后反复将区间一分为二，并检查中间点的函数值。
如果中间点的函数值为负，则说明零点在右半部分；如果中间点的函数值为正，则说明零点在左半部分。
通过不断缩小区间，我们可以找到函数的零点。
另一种方法是使用牛顿法。
牛顿法是一种迭代方法，它基于函数的泰勒级数展开来逼近函数的零点。
对于函数f(x) = a^x + b^x，我们可以将其泰勒级数展开并保留前几项，然后将其等于0来求解x。
通过不断迭代，我们可以找到函数的零点。
需要注意的是，对于非线性指数函数，我们可能无法找到所有的零点。
因此，在使用数值方法时，我们需要合理选择初始区间或迭代初值，以确保找到的零点具有一定的精度和可靠性。
学之导教育中心教案学生: 康洋 授课时间: 8.15 课时: 4 年级: 高二 教师： 廖课 题 复合函数、零点问题教学构架一、 知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、 知识回顾1、必修1函数知识梳理二、错题再现1、已知实数a,b 满足等式11()()23a b ，下列5个关系式正确的有：（1）0<a<b;(2)a<b<0;(3)0<a<b;(4)b<a<0;(5)a=b2、如果函数y=a 2x+2ax-1(a>0,且a ≠1)[-1,1]上的最大值为14，求a 值3、求值（1）（log 43+log 83）（log 32+log 92） （2）本次内容掌握情况 总结教 师 签 字学 生 签 字三、知识新授（一）对数函数的定义:（二）对数函数图象及性质：在同一坐标中画出下列函数的图像：（1）y=log 2x （2）y=log 3x （3）y=log 21x （4）y=log 31x练习：1 求下列函数的定义域（1）y=log 5(1-x) (2)y=log 7x311a>10<a<1 图 像性质 （1）定义域： 值域:（2）过定点： （3）奇偶性：(4)单调性：（4）单调性：（5）当x>0时，y>1;当x<0时，0<y<1 (5)(3)y=)34(lo 5.0-x g (4)y=)31(log 2x -(5)y=log x+1(16-4x) (6) y=)32lg(422---x x x2、比较下列各值的大小（1）log 1.51.6,log 1.51.4 (2) log 1.12.3和log 1.22.2 (3) log 0.30.7和log 2.12.9 (4) 8.2log 7.2log 2121和3、已知集合A={2≤x ≤π},定义在集合A 上的函数y=log a x 的最大值比最小值大1，求a 值4、求211221(log )log 52y x x =-+在区间[2,4]上的最大值和最小值5.求函数y=log a (2-ax-a 2x )的值域。
速解复合函数中的零点个数问题作者：徐靖婷来源：《科教导刊·电子版》2017年第24期摘要函数问题中涉及复合函数的题目向来是高中数学考试乃至高考的热点、重点、难点，这种问题考察了学生的逻辑思维能力以及综合理解能力，需要学生冷静的分析，理清层次，熟悉基本题型并能随机应变，复合函数的理解本身就是一个难点，而复合函数中零点个数问题，更是直接反映了学生对该类题的掌握能力，要求较高。
关键词复合函数零点个数问题中图分类号：G632 文献标识码：A基本解题思路如下：（1）辨认复合方程，如：当复合函数F（x）=f2（x）+af（x）+b=0时的这个式子f2（x）+af（x）+b=0就是“复合方程”，而复合函数中零点个数就是这里复合方程的根。
当没有明确指出有中间变量时，需要观察，幷设出。
（2）理解并简化，映射x→f（x）→f2（x）+af（x）+b，设中间变量f（x）=u，最终变量f（x）=y，y=u2+au+b=0即。
（3）画图并解出y=u2+au+b=0，解出u1，u2，又u1=f（x1），u2=f（x2）分别解得x1，x2而在具体问题中，想要一点不出错，也并不是一件易事，下面，就让我们以几个题目为例来探讨一下如何才能对这类题做到“快、准、狠”。
例1、（2005年上海考题）设定义域为R的函数，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c有7个不同实数解的充要条件是。
分析：由题意得，函数f（x）是具体的，应先画出，根据图像分析方程f2（x）+bf（x）+c=0的解的情况，讨论两同根或两异根，根据图像写范围，得解画出图像如下：f2（x）+bf（x）+c=0，设f（x）=u，则u2+bu+c=0I当u1=u2=u0，不可能有7个x满足，舍II当有两解u1，u2时，u1=0，u2>0即，u1 u2=c=0，u1+u2=-b>0，故c=0，b综上可知：充要条件是c=0，b评注：解决本题关键是图像要画对，几十分类讨论，利用根与系数关系得出最后答案，掌握了方法，此题很简单，也就是说，本题是——画图，观察。
复合函数零点个数问题的求解策略摘要：复合函数的零点个数问题的求解一直以来作为数学学习的重要课题与问题，也是数学教学中的一个重要的知识点。
复合函数的零点个数问题常作为学生考试的内容，属于考试范围中的重点与难点。
因此，如何通过巧妙的策略与思想帮助学者能够更快的理清思路，辩证的看待问题，找到解决问题的方法成为了当前数学教学中亟需解决的问题。
因此，本文主要通过论述复合函数零点个数问题求解的教学策略与目标，列举相关复合函数类型与例子，对如何进行复合函数零点求解提供解决策略，为日后数学教学的发展以及帮助学生提升数学解题能力提供借鉴，为国家人才的培养建设贡献自身的一份力量。
关键词：复合函数；零点；个数；求解策略；方法引言：在所有的学科门类中，数学是一门对学生考察抽象思维能力要求度极高的学科，经常需要学生能够辩证的看待数学问题，抽象的转化为其他问题进行论证，复合函数的零点个数求解问题更是如此，坐标法、图像法等无不要求学生能够充分的实现数形结合，将抽象的问题具体化，降低解题的难度。
同时，对于复合函数零点个数求解不仅需要能够让学生学会做该类题，更是为了让学生领悟解题的思想与方法，面对类似的问题能够触类旁通，真正掌握解题的思想，这对于我国数学教学事业的发展来说具有重要的建设性意义。
一、基础预备知识不同的版本对于函数f（x）的零点定义不同，但是本质是相同的。
在人教版的教材中，其中对于方程f（x）的零点定义如下：一般是在函数y=f（x）中，将f（x）=0，解出此方程获得的实数根X就是函数y=f（x）的零点。
这个零点也是f（x）=0的实数根。
在图像上的表现是，当函数y=f（x）在直角坐标系中与横轴x有交点，那么就证明函数y=f（x）有零点，并且这个交点的x值就是方程f（x）=0的实数根。
从人教版的定义来看，这个定义是具有概括性的。
同时课程中还有两个命题，这两个命题对于帮助找到复合函数的零点有重要意义，命题如下：命题一：如果开始让方程f（x）=0，假设这个时候方程有m个不同的实数根，分别可以定义为X1、X2……Xm，并且令f（x）等于任意的Xi，i是在1到m的范围内，这个时候假设方程有Ni个不一样的实数根，这个时候则可以得出，函数f[f （x）]的零点个数为（N保留下标：1+N保留下标：2+……N保留下标：m）个。
数形结合解复合函数的零点个数的常见解法
在学习数学的过程中，复合函数是学习者必须要掌握的重要知识之一。
然而，
求解复合函数的零点个数往往是极为复杂的，尤其对初学者来说，可能会困扰很长时间。
本文就简单介绍一种求解复合函数零点个数的常见解法——参数形式结合法。
首先，看到复合函数时，要分析此函数是由哪些函数叠加而成的，并找出复合
函数中有几个部分函数。
其次，把复合函数进行拆分，把每个部分函数的参数构造成一组参数形式，便于进行函数的乘法和分解。
最后，通过用参数形式结合在一起，用一定 means 来分解复合函数的零点个数，主要是根据复合函数中的参数的关系，分析各部分函数的零点；之后再综合考虑其他因素，如在此前讨论的参数构造，从而可以从不同角度求出复合函数的零点个数。
通过以上步骤，学习者就可以很好地通过参数形式结合解决复合函数零点个数
的问题，从而减少数学学习过程中的困惑和困难，达成更高的预期效果。
复合函数零点个数的探究
《复合函数零点个数的探究》
复合函数是指由两个或两个以上函数组合而成的函数，它在函数分析学中占有重要地位。
其中，复合函数的零点个数是研究复合函数的重要组成部分，也是比较重要的研究内容。
首先，要求复合函数的零点个数，就必须先确定复合函数的组成函数，然后求出每个函数的零点个数，最后把每个函数的零点个数相加，得到复合函数的零点个数。
其次，复合函数的零点个数受到组成函数的影响，如果组成函数中有多项式函数，则可以用多项式的零点公式求出零点个数；如果组成函数中有指数函数，则可以用指数函数的零点公式求出零点个数；如果组成函数中有对数函数，则可以用对数函数的零点公式求出零点个数。
最后，复合函数的零点个数也受到复合函数的结构影响，如果复合函数是由两个函数相乘组成的，则其零点个数等于两个函数零点个数的乘积；如果复合函数是由两个函数相加组成的，则其零点个数等于两个函数零点个数的和。
研究复合函数的零点个数是一项复杂的工作，必须充分考虑复合函数的结构、组成函数的性质和零点公式等因素，才能准确求出复合函数的零点个数。
复合函数、分段函数零点个数问题1.已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,412-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点2、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的【 】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3 、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++= 有5个不同的实数解，则m =【 】A 2B 6C 2或6D 4或64.已知函数1+(0)()0(=0)x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪⎩则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个不同的实数解 的充要条件是【 】A b<-2且c>0B b>-2且c<0C b<-2且c=0D b 2c=0≥-且5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】A ．13B ．16C ．18D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 67． 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。
则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】（A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点（B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点（C ）无论a 为何值，均有2个零点（D ）无论a 为何值，均有4个零点8、设R 上的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为【 】． A 2 B 3 C 5 D 79、已知函数()x x f x e=∈ (x R),若关于x 方程2()()10f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根， 则实数m 的取值范围【 】A 1(,2)(2,e)e B 1(,1)eC 1(1,1)e +D 1(,)e e 10．已知函数),0()0,()(+∞⋃-∞是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为【 】A ．4B ．6C ．8D ．1011．已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32x f f x =；③(1)2()f x f x -=-．则11()()38f f +=【 】 (A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 52 12．函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-．当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递减区间是【 】A ．[2,21]()k k k Z +∈B ．[21,2]()k k k Z -∈C ．[2,22]()k k k Z +∈D ．[22,2]()k k k Z -∈ 13．函数f （x ）=23420122013123420122013x x x x x x ⎛⎫+-+-+-+ ⎪⎝⎭ cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为【 】 A ．3 B ．4 C ．5 D ．614．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342013()12342013x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-， 设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内， 则-b a 的最小值为【 】A ．8B ．9C ． 10D ． 1115．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表．()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题：① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；③如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点．其中真命题的个数是 【 】A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个17．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有()())1(xyy x f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题：①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；③函数()f x 只有一个零点；④)41()31()21(f f f <+．其中正确命题的个数是【 】A ．1B ．2C ．3D ．418.已知函数),4()0,(,,()(23+∞⋃-∞∈+++=k d c b d cx bx x x f 为常数），当时，0)(=-k x f只有一个实根；当k ∈（0，4）时，0)(=-k x f 只有3个相异实根，现给出下列4个命题： 中正确命题的序号是①04)(=-x f 和0)(='x f 有一个相同的实根；②0)(0)('==x f x f 和有一个相同的实根；③03)(=-x f 的任一实根大于01)1(=-f 的任一实根；④05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 任一实根.19、已知定义R 的函数()||1f x x =-，关于x 的方程2()()0f x f x k --=，给出下列四个命题中 真命题的序号有①存在K 值使方程恰有2个不同的实根 ②存在K 值使方程恰有4个不同的实根③存在K 值使方程恰有5个不同的实根 ④存在K 值使方程恰有8个不同的实根20．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式cb a 111++ cb a m ++≥恒成立，则实数m 的最大值是_ _ __ 复合函数、分段函数零点个数问题1、 已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是【 D 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,412-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点2、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的【 C 】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3 、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++= 有5个不同的实数解，则m =【A 】A 2B 6C 2或6D 4或64、 已知函数1+(0)()0(=0)x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪⎩则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个不同的实数解的充要条件是【 C 】 A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【A 】A ．13B ．16C ．18D ．226 、已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【A 】 A 3 B 4 C 5 D 67． 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。
则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 A 】（A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点（B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点（C ）无论a 为何值，均有2个零点（D ）无论a 为何值，均有4个零点8、设R 上的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为【D 】． A 2 B 3 C 5 D 79、已知函数()x x f x e=∈ (x R),若关于x 方程2()()10f x mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根， 则实数m 的取值范围【 C 】A 1(,2)(2,e)e B 1(,1)eC 1(1,1)e +D 1(,)e e 10．已知函数),0()0,()(+∞⋃-∞是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为【 D 】A ．4B ．6C ．8D ．1011．已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32x f f x =；③(1)2()f x f x -=-．则11()()38f f +=【B 】 (A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 52 12．函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-．当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递减区间是【 A 】A ．[2,21]()k k k Z +∈B ．[21,2]()k k k Z -∈C ．[2,22]()k k k Z +∈D ．[22,2]()k k k Z -∈ 13．函数f （x ）=23420122013123420122013x x x x x x ⎛⎫+-+-+-+ ⎪⎝⎭ cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为【 C 】 A ．3 B ．4 C ．5 D ．614．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342013()12342013x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-， 设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内， 则-b a 的最小值为【 C 】A ．8B ．9C ． 10D ． 1115．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表．()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题：① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点．其中真命题的个数是 【 D 】A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是D ，E ，F ，给出下列命题： ①0OA OB OC ++=； ②0OD OE OF ++=；③||OD ：||OE ：||OF =cosA ：cosB ：cosC;④R λ∃∈，使得()||||AB AC AD AB SINB AC SINCλ=+。
