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数字信号处理第三章4离散傅里叶变换的性质

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[数字信号处理]离散傅里叶变换及其性质

[数字信号处理]离散傅里叶变换及其性质

[数字信号处理]离散傅⾥叶变换及其性质DFT定义
离散傅⾥叶变换的公式如下
X(k)=N−1
∑
n=0x(n)W nk N
其中W n是单位根,定义如下
W N=e−j 2πN
逆变换如下
x(n)=1
N
N−1
∑
k=0X(k)W−nk
N
性质
线性
如果有x1(n)和x2(n)两个有限长序列,长度分别为N1和N2,且
y(n)=ax1(n)+bx2(n),(a,b为常数)取变换区间长度N=[N1,N2]max
X1(k)=DFT[x1(n)]N;X2(k)=DFT[x2(n)]N 则y(n)的N点DFT为
Y(k)=DFT[y(n)]N=aX1(k)+bX2(k)循环移位性质
设x(n)为有限长序列,长度为M,则x(n)的循环移位定义为
y(n)=x((n+m))N R N(n)
如果⼀个序列移位之后,⼀些样值被移到了起始点前⾯,那他实际上会在后⾯再补回来,实际的顺序并没有变.
频域循环移位定理
如果X(k)=DFT[x(n)]N
Y(k)=X((k+l))N R N(k)
则y(n)=IDFT[Y(k)]N=W nl N x(n)
循环卷积定理
如果x_1(n)和x_2(n)是两个有限长序列,长度分别为M1和M2,且取循环卷积区间长度L≥max[M1,M2]
X1(k)是x1(n)的L点DFT
X2(k)是x2(n)的L点DFT
如果y(n)=x1(n)∗x2(n)=[∑L−1
m=0
x1(m)x2((n−m))L]R L(n),
那么他的的DFT为Y(k)=X1(k)X2(k)
Processing math: 100%。

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换

第三章离散傅立叶变换(DFT)3．1 引言有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)。

离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。

为了更好地理解DFT，需要先讨论周期序列的离散傅里叶级数DFS。

而为了讨论离散傅里叶级数及离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。

(连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续时间信号。

)一、连续时间、连续频率——连续傅立叶变换（FT）设x(t)为连续时间非周期信号，傅里叶变换关系如下图所示：可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱。

二、连续时间，离散频率------傅 里 叶 级 数设f(t)代表一个周期为T 1的周期性连续时间函数，f(t)可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n F ，f(t)和n F 组成变换对，表示为:tjn n n e F t f 1)(Ω∞-∞=∑=（112Ω=πT ）dte tf T F TT t jn n ⎰-Ω-=221111)(1注意符号：如果是周期性的采样脉冲信号p(t)，周期用T 表示（采样间隔）。

采样脉冲信号的频率为Ts π2=Ω可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的周期造成频域是离散的谱三、离散时间，连续频率------序列的傅里叶变换正变换：DTFT[x(n)]=()()j nj n X e x n eωω∞-=-∞=∑反变换：DTFT-11[()]()()2j n j j X e x n X e e d πωωωπωπ-==⎰)(ωj e X 级数收敛条件为|()j nn x n eω∞-=-∞∑|=∞<∑∞-∞=n n x )(可以看出时域离散函数造成频域是周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱四、离散时间，离散频率------离散傅里叶变换上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域(时域或频域)中，函数是连续的。

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换

第三章离散傅里叶变换离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用讣算机处理。

但是，直至上个世纪六十年代，山于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的汁算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。

近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。

§ 3-1 引言一.DFT是重要的变换1•分析有限长序列的有用工具。

2.在信号处理的理论上有重要意义。

3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在讣算机上实现。

二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。

傅氏变换§ 3-2 傅氏变换的几种可能形式一•连续时间、连续频率的傅氏变换■傅氏变换X(yQ) = C x(t)e~jnt dtJ—co反:x(t) = —r X(jG)£4dG2/r J—8时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性:时域连续，则频域非周期。

反之亦然。

二•连续时间、离散频率傅里叶变换■傅氏级数8反：垃）=工XOKl 。

）』％k=^o*时域周期为Tp. 频域谱线间隔为2Ji/Tp三•离散时间、连续频率的傅氏变换-序列的傅氏变换x(nT)|x （购 o ）|\—< I —11—< I —( I —11—1Q2兀Co=〒正：X （购0）二4-T 0 T 2Too正：X0E)=工x(nT)戶GT反:x(nT)=丄p/2X(eQT)eJ叫。

Q v J-G$/2*时域抽样间隔为八频域的周期为2吕111上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。

时域信号 频域信号 离散的 周期的 周期的离散的*时域是周期为坊函数，频域的离散间隔为Q o =—； Tp时域的离散间隔为八频域的周期为2 =莘・0 T 2T 1 2NTN四•离散时间、离散频率的傅氏变换-DFTN(2 — 1)%(2 — 1)DFT的简单推演：在一个周期内，可进行加I下变换:X(/E)二^x(nT)e~j,^Tx(nT)=丄X(&G丁疋0$ J-。

数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)

数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)

Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］
(3.2.17)
X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) (3.2.18)
jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］
设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3.2.19)
如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点
数N≥M时， 才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时 域混叠现象。 这就是频域采样定理。
下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内
插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔 采样N点，N≥M，则有
的值。
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对 称分量和共轭反对称分量之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
0≤n≤N-1
(3.2.11)
(3.2.13) (3.2.14)

数字信号处理之离散傅里叶变换

数字信号处理之离散傅里叶变换

共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。

数字信号处理第三章chhy

数字信号处理第三章chhy
kn (1) 旋转因子 WN 的周期性(周期为N)
( K,m,N均为整数 WNk WNk mN ) , k , m, N
X ( k mN (2) X(k)隐含的周期性 (周期为N) )

n 0
N 1
( x ( n )WN k mN ) n
X ( k mN ) x ( n )W
kn x(n )W X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n )WN
X ( k ) DFT [ x ( n )]
M-1 N 1
N 1
kn N
0 k N-1
X (k ) X ( z )
2 j k z e N
, ,
0 X( k ) ((kX X ((zzj)) )22 ,, k N-1 X k)(3.1.3) j X ) ( z j X e
3.1 离散傅立叶变换的定义及物理意义 3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为M， 其Z变换和N点DFT分别为：
X ( z ) ZT [[x (( n )] xxnnz n n X ( z ) ZT x n )] ( () )z
N 1 n 0
X (k )e
k 0
N 1 ~
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期 延拓，因此离散傅里叶变换的时 域和频域都是离散的和周期的
引入
例1：连续时间、连续频率—傅里叶变换
例2：连续时间、离散频率—傅里叶级数
引入
例3：离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
例4： 离散时间、离散频率—序列的傅里叶级数
j
2π N
，将时域序列x(n)变换为频域序列X(k)；

数字信号处理第三版西科大课后答案第3和4章

生物医学信号处理
采用数字信号处理技术对生物医学信号进行分析与处理，如心电图、 脑电图等信号的处理与识别。
04
重点难点总结与复习指导
第三章重点难点总结
离散时间信号与系统的时域分析
掌握离散时间信号的定义、性质及分类，理解离散时间系统的描述方式，掌握卷积和的计 算方法。
离散时间信号的频域分析
理解周期信号的傅里叶级数展开，掌握离散时间信号的傅里叶变换及其性质，了解频域采 样理论。
内部奇点的留数和。这种方法适用于X(z)在复平面上有奇点的情况。
系统函数H(z)求解方法
直接法
根据系统差分方程，直接写出系统函 数H(z)的表达式。这种方法简单直接， 但需要注意差分方程的初始条件和边 界条件。
间接法
先求出系统的单位冲激响应h(n)，然 后根据h(n)求出H(z)。这种方法需要 先确定系统的单位冲激响应，计算量 相对较大。
课后习题解答与技巧
熟练掌握z变换的定义和性质，能够灵活运用这些 性质进行信号处理和系统分析。
理解系统函数H(z)的物理意义，掌握其求解方法 ，并能够根据H(z)分析系统的稳定性和频率响应 特性。
掌握z反变换的计算方法，能够根据具体情况选择 合适的方法进行求解。
在解答课后习题时，注意审题和理解题意，明确 题目要求和已知条件，选择合适的公式和方法进 行求解。同时，注意计算过程和结果的准确性， 避免出现计算错误或遗漏重要步骤的情况。
时不变性质
系统对输入信号的响应不随时间推移而改变，即 输入信号延迟或提前一定时间后，输出信号也相 应延迟或提前相同的时间。
稳定性判定
系统对任意有界输入信号的响应也是有界的，即 输出信号的幅度不会无限制地增长。
课后习题解答与技巧

第三章离散傅里叶变换(DFT)

西北大学信息科学与技术学院 2007年
3.1.1 有限长序列的离散频域表示
我们已学过三种傅里叶分析工具，它们 分别应用于不同性质的信号。
1. 应用于连续周期信号——傅里叶级数展开
j2 kt
xa t Cke T
k
Ck
1 T
T２ －T２
xα
(t
－ｊ２
)e T
kt
dt
其中，T是信号 xa t的周期，Ck 表示了xa (t)的
离散傅里叶变换定义为
X (k)
N 1
x nWNkn
n0
0
0 k N 1 其他
西北大学信息科学与技术学院 2007年
反变换公式为
x(n)
N 1
X
k
W kn N
0 n N 1
k 0
0
其他
DFT是借用了DFS，这样就假定了序 列的周期性，但定义式本身对区间作了强制 约束，以符合有限长特点，这种约束不改变 周期性的实质，或者说，DFT隐含了周期 性。
fc n xn yn
M 1 m0
x
m
y
n m
l
RL
n
M 1 m0
x
m
r
y
n
m
rL
RL
n
r
M 1 m0
x
m
y
n
rL
m
RL
n
r
f
n
rL
Rl
n
西北大学信息科学与技术学院 2007年
圆周卷积fc (n) 等于一个周期序列的主值 序列，该周期序列是线性卷积f (n)以L为周期 进行周期延拓的结果，因此，当L ≥ L1满足 时， fc (n)必然等于f (n)，但是，如果L < L1 ， 则fc (n)不等于f (n) 。

离散傅里叶变换(DFT)


X (k) X (e j ) 2 k , N
0 k N-1
(3.1.4)
序列x(n)的N点DFT是 x(n)的DTFT在[0，2π]上的N点等间隔采样
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
2 N
m
-1 单位圆
jIm(z)
j
z平面
2 N
0
1
Re(z)
2 ( N 1) N
-j
图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e jω)的关系
x((n))N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 7 9
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
n
0 ~x (n) N-1
...
...
n
0
N-1
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)从DFS到离散傅里叶变换
(4) 周期为N 的离散周期信号
DFS
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
k ~ n ~
时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
x(n)e

离散傅里叶变换及其快速算法


ak 也是以 N周期的周期序列，满足 ak
~ X (k ) Nak
ak 。令 ln
（3.5）
将式（3.4）代入，得
N 1 j kn ~ ~ N X ( k ) x ( n )e n 0 2
k
（3.6）
~ X (k ) 式中， 是以N为周期的周期序列，称为
~ x (n) 的离散傅里叶级数，用DFS表示。
~(k )， N 相位为 幅度为 X
~ arg[ X (k )]
。
基波分量的频率为 2 N ，幅度为
~ 为arg[ X (1)]
~ X (1) N
，相位
。
x ( n ) 以 N 8 为周期 n) 【例3-1】设 x(n) R4 (，将
进行周期延拓，得到周期序列 幅频特性。
~ x ( n)
2016-12-8
解：根据定义求解

14 12 e 8e
j
j
2 k 6
10e
j
j
2 2k 6 j 2 5k 6
2 3k 6
6e
2 4k 6
10e
X (0) 60 X (3) 0
X (1) 9 j 3 3 X (4) 3 j 3
X (2) 3 j 3 X (5) 9 j 3 3
x 3(n )
当k取奇数（ k=2m+1 ，m=0，1，…， N/4-1 ）时
N n(2 m 1) X 1(2m 1) x 1(n ) x 1 n 4 W N 2 n 0 N 4 1 N n mn x 1(n ) x 1 n W W N N 4 4 n 0 2
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[
X
((k
l ))
N
RN
(k
)]
WNnl
x(n)
e
j
2 N
nl
x(n)
证：IDFT[ X ((k l))N RN (k)] IDFT[ X%(k l)RN (k)] IDFS[ X%(k l)]RN (n) WNnl x%(n)RN (n) WNnl x(n)
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
其中：
X ep (k)
X
* ep
((
N
k))N RN (k)
1/ 2[ X ((k))N X *((N k))N ]RN (k)
X
op
(k
)
X
* op
((N
k
))N
RN
(k
)
1/ 2[ X ((k))N X *((N k))N ]RN (k)
2020/5/10
课件
16
共轭对称性
序列
2020/5/10
课件
10
定义：
圆周共轭对称序列： xep (n) x%e (n)RN (n) 1/ 2[x((n))N x*((N n))N ]RN (n)
圆周共轭反对称序列： xop (n) x%o (n)RN (n) 1/ 2[x((n))N x*((N n))N ]RN (n)
X 2 (k) DFT[x2 (n)]
则 DFT[ax1(n) bx2 (n)] aX1(k) bX 2 (k)
a, b为任意常数
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 相等，均为N，且 N max[N1, N2 ]
2020/5/10
课件
2
2、序列的圆周移位
X ep (k) X (k) Xop (k) 0
Re[X (k)] j Im[X (k)]
2020/5/10
课件
18
纯虚序列的共轭对称性
序列
Re[x(n)] 0 j Im[x(n)]
xep (n) xop (n)
幅度圆周偶对称 xep (n) xep ((N n))N RN (n) 幅角圆周奇对称 arg[xep (n)] arg[xep ((N n))N RN (n)]
2020/5/10
课件
12
2020/5/10
课件
13
2020/5/10
课件
14
圆周共轭反对称序列满足：
xop (n) xo*p ((N n))N RN (n)
其中：xe (n) xe*(n) 1/ 2[x(n) x*(n)]
xo (n) xo*(n) 1/ 2[x(n) x*(n)]
2020/5/10
课件
8
2020/5/10
xe
(n)
1 2
[x(n)
x* ( n )]
x((n))N
x%e (n)
1 2
[ x%(n)
x%* ( n )]
x*((N n))N
定义： xm (n) x((n m))N RN (n)
周期 移位
取主值
x(n)
x%(n)
延拓
x%(n m) x((n m))N 序列
xm (n)
2020/5/10
课件
3
2020/5/10
课件
4
X m (k) DFT[xm (n)] DFT[x((n m))N RN (n)]
W mk N
实部圆周奇对称 虚部圆周偶对称
Re[xop (n)] Re[xop ((N n))N RN (n)] Im[xop (n)] Im[xop ((N n))N RN (n)]
幅度圆周偶对称 幅角没有对称性
xop (n) xop ((N n))N RN (n)
2020/5/10
课件
15
同理： X (k) Xep (k) Xop (k)
则任意有限长序列：
x(n) xep (n) xop (n)
2020/5/10
课件
11
圆周共轭对称序列满足：
xep (n) xe*p ((N n))N RN (n)
实部圆周偶对称 Re[xep (n)] Re[xep ((N n))N RN (n)] 虚部圆周奇对称 Im[xep (n)] Im[xep ((N n))N RN (n)]
2020/5/10
课件
6
DFT
x(n) cos
2 nl
N
1 X ((k
2
l))N
X ((k
l ))) sin
2 nl
N
1 X
2j
((k
l))N
X
((k
l))N
RN
(k )
证：IDFT
1
2
j
X
((k
l )) N
X
((k
l )) N
RN
(k)
1 2j
课件
9
任意周期序列：x%(n) x%e (n) x%o (n)
其中： 共轭对称分量：
x%e (n) x%e*(n) 1/ 2[x%(n) x%*(n)] 1/ 2[x((n))N x*((N n))N ]
共轭反对称分量：
x%o (n) x%o*(n) 1/ 2[x%(n) x%*(n)] 1/ 2[x((n))N x*((N n))N ]
X
(k
)
证：DFT [x((n m))N RN (n)] DFT[x%(n m)RN (n)]
DFS[x%(n m)]RN (k )
WNmk X%(k)RN (k)
W mk N
X
(k
)
有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移， 而对频谱幅度无影响。
2020/5/10
课件
5
调制特性：
IDFT
WNnl
x(n)
WNnl
x(n)
j 2 nl
j 2 nl
e N e N x(n) x(n)sin 2 nl
2j
N
2020/5/10
课件
7
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到： 任意序列可表示成 xe (n) 和 xo (n) 之和:
x(n) xe (n) xo (n)
四、离散傅里叶变换的性质
DFT正变换和反变换：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk RN (k) n0
x(n)
IDFT[ X
(k )]
1 N
N 1
X (k )WNnk RN (n)
k 0
其中：
j 2
WN e N
2020/5/10
课件
1
1、线性：
若
X1(k) DFT[x1(n)]
x(n)
DFT
X (k)
Re[ x(n)] j Im[x(n)]
X ep (k) Xop (k)
xep (n) xop (n)
Re[X (k)] j Im[X (k)]
2020/5/10
课件
17
实数序列的共轭对称性
序列
Re[ x(n)] j Im[x(n)] 0
xep (n) xop (n)
DFT