2019年吉林高考数学(理科)试题

绝密 ★ 启用前理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数2i1i z =+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+2．[2019·哈六中]03x <<是12x -<成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．32C ．34D ．645．[2019·郑州一中]已知函数()2log ,11,11x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，则不等式()1f x ≤的解集为（ ）A ．(],2-∞B ．(](],01,2-∞UC ．[]0,2D ．(][],01,2-∞U6．[2019·烟台一模]将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng ），下广三丈，袤（mào ）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（ ）A ．5.5B ．5C ．6D ．6.58．[2019·哈六中]实数x ，y 满足不等式组()20200x y x y y y m -⎧≤+≥-≤⎪⎨⎪⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为（ ）A ．2B ．12C ．10D ．1109．[2019·镇海中学]已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．32B ．114 C ．83D ．10310．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）ABCD11．[2019·天津毕业]已知双曲线()222210,0x ya b a b -=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC △的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．y = B．y = C．y x = D．y =12．[2019·上高二中]定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有()1n n a a d d ++=为常数，则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和” ．已知“绝对和数列”{}n a 中，12a =，绝对公和为3， 则其前2019项的和2019S 的最小值为（ ） A ．2019- B ．3010-C ．3025-D ．3027-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·呼和浩特质检]在52x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为______．14．[2019·衡水二中]已知函数()22sin tan ,,0e xx x x f x x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则25π4f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____． 15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形ABC 中，2BC BD =u u u r u u u r ，则向量BA u u u r 在AD u u u r上的投影为______．16．[2019·德州一模]已知函数()22f x x ax =+，()24ln g x a x b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·甘肃联考]在ABC △中，3sin 2sin A B =，tan C = （1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求ABC △的周长．18．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()n n ∈*N 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415． （1）求n 的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1BC ==，1B C 的中点为O ，若线段11A C 上存在点P 使得PO ⊥平面1AB C ．（1）求AB ；（2）求二面角11A B C A --的余弦值．20．（12分）[2019·烟台一模]已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数()()2ln 12a f x x x x a x =-+-，其导函数()f x '的最大值 为0．（1）求实数a 的值；（2）若()()()12121f x f x x x +=-≠，证明：122x x +>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·宝鸡模拟]点P 是曲线()22124C x y -+=:上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，设定点()2,0M ，求M AB △的面积．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·上饶二模]已知函数()()10f x ax a =->．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，且()2,2A ⊆-，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()1232f x f x aa ⎛⎫++> ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．绝密 ★ 启用前理科数学答案一、选择题． 1．【答案】B【解析】Q 复数()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-，∴复数的共轭复数是1i -， 就是复数2i1i z =+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数，故选B ．2．【答案】A【解析】解12x -<得到13x -<<，假设03x <<，一定有13x -<<，反之不一定，故03x <<是12x -<成立的充分不必要条件．故答案为A ． 3．【答案】C【解析】对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3， 所以该命题是假命题；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5， 所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题； 对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为()154354346+++++=，因为2346<，所以选项C 正确； 对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C ． 4．【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a =， 所以离心率12c e a ==，故选A ． 5．【答案】D【解析】当1x ≥时，()1f x ≤，即为2log 1x ≤，解得12x ≤≤； 当1x <时，()1f x ≤，即为111x≤-，解得0x ≤， 综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⎦U ，故选D ．6．【答案】C【解析】将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，可得πsin 6y x ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象， ∵所得图象关于y 轴对称，∴πππ62k ωϕ-+=+，k ∈Z ． ∵()1sin πsin 2πf ϕϕω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2ϕ=，则当ω取最小值时，π6ϕ=，∴ππ63πk ω-=+，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C ．7．【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为111231423115232V V V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯==-三棱柱三棱锥（立方丈）． 8．【答案】A【解析】先由2020x y x y -≤+≥⎧⎨⎩画可行域，发现0y ≥，所以()0y y m -≤可得到y m ≤，且m 为正数． 画出可行域为AOB △（含边界）区域．3z x y =+，转化为3y x z =-+，是斜率为3-的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，解2y x y m ==⎧⎨⎩，得2m x y m ==⎧⎪⎨⎪⎩，即,2m A m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时max 352mz m =+=，解得2m =，故选A 项． 9．【答案】B【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >， 由7652a a a =+，得6662q a a a q=+， 化简得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去）， 因为2116m n a a a =，所以()()11211116m n a qa q a--=，则216m n q+-=，解得6m n +=，所以()19119191810106663n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n =+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得3292m n ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩， 因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>，验证可得，当2m =，4n =时，19m n +取最小值为114，故选B ．10．【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，90EHA ∠=︒，设2AB =，则1BH HE ==，AHAE ， 连接ED，ED =因为BC AD ∥，所以异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠， 在EAD △中，cos EAD ∠==，故选D ． 11．【答案】B【解析】Q 以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，∴以AB 为直径的圆的方程为222x y c +=，由对称性知ABC △的面积212222OBC S S ch ch a ==⨯==△，即22a h c =，即B 点的纵坐标为22a y c=，则由22222a x c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得224222224a a x c c c c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为点B 在双曲线上，则4422222441a a c c c a b --=， 即()22422222441c a a a c c c a --=-，即2222222411c a a a c c a ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭，即222222241c a c a c c a -⋅=-，即2222241c a a c a -=-， 即2222222241c a c a a c a a --==-，得()24224a c a =-， 即2222a c a =-，得223a c =，得c =，b =．则双曲线的渐近线方程为by x a =±=，故选B ．12．【答案】C【解析】依题意，要使其前2019项的和2019S 的最小值只需每一项的值都取最小值即可， ∵12a =，绝对公和3d =，∴21a =-或21a =（舍）， ∴32a =-或32a =（舍），∴41a =-或41a =（舍），L ，∴满足条件的数列{}n a 的通项公式2,12,11,n n a n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩为大于的奇数为偶数， ∴所求值为()()()2345201801912a a a a a a a +++++++L()2019121230252-=+--⨯=-，故选C ．二、填空题． 13．【答案】80【解析】52x ⎛ ⎝的展开式中，通项公式()()35552155C 22C 1rr r r r r r r T x x ---+⎛ ⎝==-，令3522r -=，解得2r =．2x ∴的系数325C 280==，故答案为80． 14．【答案】31e 【解析】因为225π25π25π13sin tan 144422f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3232331ee 2ef -⨯-⎛⎫===⎪⎝⎭．故答案为31e． 15．【答案】【解析】2BC BD =u Q u u r u u u r ，D ∴为BC 的中点，()12AD AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r，111222cos1203222BA AD AB BA AC BA ∴⋅=⋅+⋅=-+⨯⨯⨯︒=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，AD ==u u u r则向量BA u u u r 在AD u u u r上的投影为BA AD AD⋅==u u u r u u u r u u u r16．【答案】【解析】设()00,P x y ，()22f x x a '=+，()24a g x x'=．由题意知，()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，即2200024ln x ax a x b +=+，① 200422ax a x +=，② 解②得：0x a =或02x a =-（舍）， 代入①得：2234ln b a a a =-，()0,a ∈+∞，()68ln 4214ln b a a a a a a '=--=-，当140,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0b '>；当14e ,a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0b '<．∴实数b的最大值是1144e e b ⎛⎫== ⎪⎝⎭三、解答题．17．【答案】（1）1718-；（2）5+． 【解析】（1）∵tan C =1cos 6C =，∴2117cos 221618C ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． ∵3sin 2sin A B =，∴32a b =，∵1AC BC b a -=-=，∴2a =，3b =．由余弦定理可得2222cos 13211c a b ab C =+-=-=，则c =ABC △的周长为5．18．【答案】（1）7n =；（2）37；（3）详见解析．【解析】（1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28C n +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是()()282856487C C 15n n n +==++， 整理得到()()78210n n ++=，即2151540n n +-=，解得7n =．（2）若2个全是大集团，共有27C 21=种情况； 若2个全是小集团，共有28C 28=种情况， 故全为大集团的概率为21321287=+．（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，计算()0487415C C 10C 39P X ===；()1387415C C 81C 39P X ===；()2287415C C 282C 65P X ===；()3187415C C 563C 195P X ===；()4087415C C 24C 39P X ===，故X 的分布列为：数学期望为()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．【答案】（1（2． 【解析】（1）方法一：设AB 的长为t ，依题意可知BA ，BC ，1BB 两两垂直，分别以BC u u u r ，1BB uuu r ，BA u u u r的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则()0,0,A t，)C ，()10,1,0B，)1C，1,02O ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,A t ，因此)11,0B C =-u u u u r，)AC t =-u u u r，)11AC t =-u u u u r．设)111,0,A P AC t λλ==-u u u r u u u u r ，易求得点P的坐标为),1,t t λ-，所以1,2OP t t λ⎫=-⎪⎪⎭u u u r ． 因为OP ⊥平面1AB C，所以()1110221102OP B C OP AC t t λλλ⎧⎪⎫⋅=--=⎪⎭⎫⋅=--⋅-=⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r ．解之得23t λ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩，所以AB方法二：如图，在平面11BCC B 内过点O 作1B C 的垂线分别交BC 和11B C 于M ，N ，连接PN ， 在平面ABC 内过点M 作BC 的垂线交AC 于R ，连接OR ．依题意易得，11RM A B PN R ⇒∥∥，M ，N ，P ，O 五点共面． 因为PO ⊥平面1AB C ，所以RM ONPO RO RMO ONP MO PN⊥⇒~⇒=△△．① 在1B ON △中，1tan30ON B O =⋅︒=，11cos30OB B N =︒N 为线段11B C 靠近1C 的三等分点． 由对称性知，M 为线段BC 靠近B 的三等分点，因此23RM AB =，13PN AB =．代入①，得AB ==． （2）由（1）方法一可知，12OP =⎝⎭u u u r 是平面1AB C的一个法向量且)11,0B C =-u u u u r，11B A ⎛= ⎝⎭u u u u r ． 设平面11A B C 的法向量为n ，则1110B C B A ⋅=⇒⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u u r u u u u rn n n可以为()．cos ,OP OP OP ⋅〈〉===u u u ru u u r u u u rn n n． 因为二面角11A B C A --为锐角，故所求二面角11A B C A --20．【答案】（1）24y x =；（2）()1,2P ±．【解析】（1）因为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±．于是当直线与x 轴垂直时，24AB p ==，解得2p =． 所以抛物线的方程为24y x =．（2）因为抛物线24y x =的准线方程为1x =-，所以()1,2M --． 设直线AB 的方程为1y x =-，联立241y xy x ==-⎧⎨⎩消去x ，得2440y y --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y =-． 若点()00,P x y 满足条件，则2PM PA PB k k k =+， 即0010200102221y y y y y x x x x x +--⋅=++--， 因为点P ，A ，B 均在抛物线上，所以2004y x =，2114y x =，2224y x =．代入化简可得()()00122200120122224y y y y y y y y y y y +++=++++，将124y y +=，124y y =-代入，解得02y =±． 将02y =±代入抛物线方程，可得01x =．于是点()1,2P ±为满足题意的点． 21．【答案】（1）1a =；（2）见解析．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导函数()()ln 1f x x a x '=--， 记()()h x f x ='，则()1axh x x='-． 当0a ≤时，()10axh x x-'=≥恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =． 所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x ='>，故0a ≤时不成立；当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10ax h x x -'=<．所以()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减．所以()max1ln 10h x h a a a ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭． 令()ln 1g a a a =-+-，则()111a g a a a'-=-=． 当01a <<时，()0g a '<；当1a >时，()0g a '>． 所以()g a 在()0,1的单减，在()1,+∞单增． 所以()()10g a g ≥=，故1a =．（2）当1a =时，()21ln 2f x x x x =-，则()1ln f x x x =+-'．由（1）知()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立，所以()21ln 2f x x x x =-在()0,+∞上单调递减，且()112f =-，()()()12121f x f x f +=-=，不妨设120x x <<，则1201x x <<<， 欲证122x x +>，只需证212x x >-，因为()f x 在()0,+∞上单调递减，则只需证()()212f x f x <-，又因为()()121f x f x +=-，则只需证()()1112f x f x --<-，即()()1121f x f x -+>-． 令()()()2F x f x f x =+-（其中()0,1x ∈），且()11F =-． 所以欲证()()1121f x f x -+>-，只需证()()1F x F >，()0,1x ∈，由()()()()()21ln 1ln 22F x f x f x x x x x =--=+--+-'-'+'， 整理得()()()()ln ln 2210,1F x x x x x -'=--+∈，， ()()()22102x F x x x -=-'>'，()0,1x ∈，所以()()()ln ln 221F x x x x =--+-'在区间()0,1上单调递增， 所以()0,1x ∀∈，()()()()ln ln 22110F x x x x F =--+-<'='， 所以函数()()()2F x f x f x =+-在区间()0,1上单调递减， 所以有()()1F x F >，()0,1x ∈， 故122x x +>．22．【答案】（1）1:4cos C ρθ=，2:4sin C ρθ=；（2）3．【解析】（1）曲线1C 的圆心为()2,0，半径为2，把互化公式代入可得：曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2πP ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin π2ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （2）M 到射线π3θ=的距离为2sin 3πd ==)4sin cos ππ2133B A AB ρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯= 23．【答案】（1）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）12ax -≤，212ax -≤-≤，13x a a -≤≤，13,A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． ()2,2A ⊆-Q ，1232aa⎧->-⎪⎪∴⎨⎪<⎪⎩，32a >，a ∴的取值范围3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意3112ax x -++>恒成立，设()11h x ax x =-++，()()()()()1,1112,111,a x x h x a x x a a x x a ⎧⎪-+<-⎪⎪⎛⎫=-+-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，①01a <≤时，由函数单调性()()min 11h x h a =-=+，312a +>，112a ∴<≤， ②1a >时，()min 11a h x h a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，132a a +>，12a ∴<<，综上所述，a 的取值范围1,22⎛⎫⎪⎝⎭．。

D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值（全国 2卷）吉林省 2019年高考理数最新信息卷4．[2019·西安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心 注意事项：率 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将 自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

为（）2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

133 6 A ．B ．C ．D ．22 44log x , x 12 5．[2019·郑州一中]已知函数，则不等式 fx 1的解集为（ ）f x1, x 11 x第Ⅰ卷A ．,2B ．,0 1, 2C ．0, 2D ．,01, 2 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．f x x π π 6．[2019·烟台一模]将函数 sin 0, 的图象向右平移 个单位长度后，2 62i 1．[2019·吉林实验中学]在复平面内与复数 所对应的点关于实轴对称的点为 A ，则 A 对z 1 i1 π所得图象关于 y 轴对称，且 f ，则当 取最小值时，函数 的解析式为（ ）f x2 应的复数为（ ）A ．1iB ．1iC ． 1iD ． 1if xxπA ．sin 2B ．6 f x xπsin 262．[2019·哈六中]0 x 3 是 x 1 2 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件f xxπC ．sin 4 D ．6f xxπsin 46C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．[2019·聊城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng ），下广三丈，袤 3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为 5分，分 （mào ）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊 值高者为优），绘制了如图 1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为 4，乙的数状的楔体，下底面宽 3丈，长 4丈；上棱长 2丈，高 1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体 学抽象指标值为 5，则下面叙述正确的是（）的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.5A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值2x y 08．[2019·哈六中]实数x，y满足不等式组2x y 0 ，若的最大值为5，则正数z 3x ymy y m 0C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平1的值为（）1 1A．2 B．C．10 D．2 102sin x tan x, x 025π14．[2019·衡水二中]已知函数，则_____．f x f fe x2 4, x 09．[2019·镇海中学]已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得a7 6 2 5 a aa a an m n15．[2019·福建联考]在边长为2的等边三角形ABC中，BC 2BD，则向量BA在AD上的投a a a 1 916 ，则的最小值为（）216 ，则的最小值为（）m n 1m n影为______．3 11 8 10A．B．C．D．2 43 316．[2019·德州一模]已知函数，，设两曲线，f x x 2 2ax 4 lng x a2 x b y fx10．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD，E为弧B A C的中点，则异面直线AEy g x P P a 0,b有公共点，且在点处的切线相同，当时，实数的最大值是______．与BC所成角的余弦值为（）三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·甘肃联考]在△ABC中，3sin A 2sin B，tan C 35 ．（1）求cos 2C；3 5 30A．B．C．D．3 5 666（2）若AC BC 1，求△ABC的周长．x y2 211．[2019·天津毕业]已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于，两2 2 1 a 0,b0 A Ba b点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2 ，则双曲线的渐近线方程为（）2 3A．B．C．D．yx y2x yx y3x2 312．[2019·上高二中]定义：若数列a 对任意的正整数n，都有aa d d 为常数，则称n n 1 nad为“绝对和数列”，叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”a中， 1 2 ，绝对公和n na为3，则其前2019项的和S的最小值为（）2019A．2019 B．3010 C．3025 D．302718．（12分）[2019·保山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．集团用户进行调查，准备从本市n n 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的N*5113．[2019·呼和浩特质检]在2x的展开式中，x的系数为______．2x4小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为．15（1）求n的值；2（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望．20．（12分）[2019·烟台一模]已知F为抛物线的焦点，过的动直线交抛物C: y 2px p0 F2线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，AB 4 ．ABC A B C AA ABC19．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱中，平面，1 1 1 1（1）求抛物线C的方程；AB BC ，BC 3BB 3 ，B C的中点为O，若线段AC上存在点P使得PO 平面AB C．1 1 1 1 1（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，（1）求AB；PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．A B C A（2）求二面角的余弦值．1 13a21．（12分）[2019·济南模拟]已知函数 fxx xxax ，其导函数 fx 的最大值ln 122为 0．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． （1）求实数 a 的值； （2）若，证明：． f x 1f x 21 x 1x 2122x x22．（10分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 [2019·宝鸡模拟]点 P 是曲线C :xy 上的动点，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴22124为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点 P 逆时针旋转90 得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C ．2（1）求曲线 ， 的极坐标方程；C C12π（2）射线0 与曲线 ，C 分别交于 A ， B 两点，设定点 M2,0，求 △MAB 的面积．C123423．（10分）【选修 4-5：不等式选讲】[2019·上饶二模]已知函数 f x ax 1 a 0．（1）若不等式 fx 2的解集为 A ，且 A 2, 2，求实数 a 的取值范围；12 3（2）若不等式对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围．xa f xfxaa 25绝密★启用前综上可得，原不等式的解集为,01,2，故选D．6．【答案】C理科数学答案f x xππ【解析】将函数sin 0,的图象向右平移个单位长度后，26一、选择题．1．【答案】B π可得y sin x的图象，62i 1i2i【解析】复数z1i，复数的共轭复数是，1i1i 1i 1iππ∵所得图象关于y轴对称，∴kπ，k Z．622i就是复数所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数，故选B．z1iπ11π∵sinπsin，即sin，则当取最小值时，，f2262．【答案】A【解析】解x 12得到1x 3，假设0x 3，一定有1x 3，反之不一定，ππ∴kπ，取k 1，可得4，63故0x 3是x 12成立的充分不必要条件．故答案为A．f x x π∴函数f x的解析式为sin4，故选C．63．【答案】C 7．【答案】B【解析】对于选项A，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：所以该命题是假命题；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；123对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的43453466结合图中数据，计算该几何体的体积为1234平均值为5435434，因为，所以选项C正确；66111V V 2V 31423115三棱柱三棱锥（立方丈）．232对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，8．【答案】A所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C．4．【答案】Ax y20【解析】先由画可行域，2x y 0【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a，c1所以离心率e，故选A．a25．【答案】D【解析】当x 1时，f x1，即为log x 1，解得1x 2；2当x 1时，f x1，即为11，解得，x 01x 发现y 0，所以y y m0可得到y m，且m 为正数．画出可行域为△AOB（含边界）区域．因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为EAD，z 3x y y 3x zy3z，转化为，是斜率为的一簇平行线，表示在轴的截距，由图可知在A点时截距最大，6466在△EAD中，EAD，故选D．cos2266my2x A mx m解，得，即，2,y m2y m11．【答案】B【解析】以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C，3m此时z m 5，解得m 2，故选A项．max29．【答案】BAB x2y2c2以为直径的圆的方程为，1由对称性知△ABC的面积S 2S 2ch ch 2a2，△OBC2【解析】设正项等比数列的公比为，且，a q q 0n2a2a22即h，即点的纵坐标为，B yc c2a276566由，得a q a，a a a 6q化简得q2q 20，解得q 2或q 1（舍去），因为2，所以，则，解得，a a a16a q m1a q n1a2q m n216m n 611161m n1222242a2a4a22则由x c x cc，得，222c c c24a4ac244c c22因为点B在双曲线上，则，1a b22 191191n9m 1n9m8所以，m n10102m n m n m n m n6663c4a4a c4a a224222即1，即11，a2c2c2c2a22222a c c a3mn9mn9m2当且仅当时取等号，此时，解得，m nm n9m n 6n2c4a c c4a22222即，即，11 a2c2c2a2222a c ac4a c a22222即，得，14a4c2a2a c a a2222198因为m，n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，m n3即2a2c2a2，得3a2c2，得c 3a，b 2a．验证可得，当m 2，n 4时，19取最小值为11，故选B．m n4b则双曲线的渐近线方程为y x 2x，故选B．a10．【答案】D 12．【答案】C【解析】取BC的中点H，连接EH，AH，EHA 90，【解析】依题意，要使其前2019项的和S的最小值只需每一项的值都取最小值即可，2019ad 312a21a21∵，绝对公和，∴或（舍），aaa32324141a∴或（舍），∴或（舍），，设AB 2，则BH HE 1，AH 5，所以AE 6，2,1n∴满足条件的数列的通项公式，a为大于的奇数a 2,n1n n1,n为偶数连接ED，ED 6，∴所求值为aa1a a a a a2234520180192019 12 1 2 3025 ，故选 C ．2代入 ① 得：b 3a 2 4a 2 ln a ， a 0,， b a a a a a a 6 8 ln 4 2 1 4ln ， 二、填空题．13．【答案】80 1 1 当 4 时， ；当 时， ． b a 0, e 0 a e 4 , b b 0 5 r1 13 5 r 5r r 5 2 【解析】 2x 的展开式中，通项公式T C 2x 1 2 C x ， rr r r 1 55 x x3令5 r 2 ，解得 r 2．x 2 的系数 23 C 2 80 ，故答案为 80．52 1 1 b b 2 e 实数 的最大值是 ．故答案为 ． e 43 e4 e ln e 4 2 e 1 14．【答案】e 3【解析】因为 f 25π sin 2 25π tan 25π 1 1 3 ， 4 4 4 22 3 131 22 3所以 f e e ．故答案为 ．2 e e3 3三、解答题． 17 17．【答案】（1） ；（2） ． 5 11 18 2 【解析】（1）∵ tan C 35 ，∴ cos 1 ，∴ ． C cos 2 2 1 C 1 17 6 6 18 （2）设 △ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ． ∵3sin A 2sin B ，∴3a 2b ， 15．【答案】 31 【解析】BC 2BD ，D 为 BC 的中点， ，AD AB AC2 ∵ AC BC b a 1，∴ a 2 ，b 3． 由余弦定理可得 c 2 a 2 b 2 2ab cos C 13 2 11，111BA AD AB BA AC BA 222cos1203，222则c 11，△ABC的周长为511．111 22AD AB AC2AB AC 442 223222，18．【答案】（1）n 7；（2）3；（3）详见解析．7BA AD3则向量BA 在AD上的投影为3，故答案为3．AD316．【答案】2e 【解析】（1）由题意知共有n8个集团，取出2个集团的方法总数是C2，n8C5642其中全是小集团的情况有C2，故全是小集团的概率是8，8287C15n n n84a2【解析】设P x y ，f x 2x 2a，．0,0g xx 整理得到n7n 8210，即n n ，解得n 7．2151540由题意知，f x g x，f x g x，0000（2）若2个全是大集团，共有C221种情况；7即x2ax a2x b，①0204ln0若2个全是小集团，共有C228种情况，84a22x2a②，x213故全为大集团的概率为．21287（3）由题意知，随机变量푋的可能取值为0，1，2，3，4，x a02x a解②得：或（舍），C C1C C 8C C28041322计算P X0；P X87；P X；128787C39C39C65444151515C C 56 C C 2 3 1 4 0 P X3 8 74 ； ，P X8 7C 195 C 394 415 15方法二：如图，在平面 内过点 作 的垂线分别交 和 于 ， ，连接 ， BCC B O B C BC B C M N PN 1 1 1 1 1 在平面 ABC 内过点 M 作 BC 的垂线交 AC 于 R ，连接OR ． 故 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 1 39 8 39 28 65 56 195 2391 828562 32E X0 1 2 3 439 39 65 195 39 15 数学期望为．6 6 19．【答案】（1） ；（2） ．2 3【解析】（1）方法一：设 AB 的长为t ，依题意可知 BA ， BC ， BB 两两垂直，分别以 BC ，1RM ∥A B ∥PN R M N P O 依题意易得， ， ， ， ， 五点共面． 1 1BB BA x y z ， 的方向为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 1RM ON 因为 PO 平面 AB C ，所以 PO RO △RMO △ONP ．① 1 MO PN 3 OB 2 3 在△ 中， ， ，因此 为线段 靠近 的三等 B ON ON B Otan30B N1N B C C 1 1 1 1 1 1 3cos30 3 分点． 由对称性知， M 为线段 BC 靠近 B 的三等分点，因此 ， PNAB ． RM 2 AB 1 3 3 3 3 3 6 AB OM ON 代入①，得 ． 2 2 3 23 1则 A 0, 0,t ，C 3,0,0， ， ， ， ，B1 0,1, 0 , ,0 A tC 1 0,1,1 3,1, 0 O2 2 A C 3,0,t3 1 6 （2）由（1）方法一可知， 是平面 的一个法向量且 ， OP B C , , AB C 1 3, 1,0 1 6 2 6因此，，．B1C 3,1,0113,0,A C tB A1160,0,2．设，易求得点P的坐标为3,1,tt，A P AC 3,0,t11131所以．OP 3,,t t2211OP B C330122因为OP 平面AB C，所以．11OP AC t t331026t62解之得，所以的长为．AB223n B C 0n1,3,0A B C n 1设平面的法向量为，则可以为．11n B A01123OP n3cos OP,n OP n22263．A B C A A B C A6因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为．1111320．【答案】（1）y24x；（2）P 1,2．F p py22px x yp【解析】（1）因为,0，在抛物线方程中，令，可得．22于是当直线与x轴垂直时，AB 2p 4，解得p 2．1所以．h x h ln a a10max a所以抛物线的方程为y24x．（2）因为抛物线y24x的准线方程为x 1，所以M 1,2．令g a ln a a 1，则g a11a 1．a a当0a 1时，ga0；当a 1时，ga0．设直线AB的方程为y x 1，所以g a 在0,1的单减，在1,单增．24y x联立消去，得．x y24y 40 y x 1所以g a g 10，故a 1．设，，则，．A x y 2,2y1y241,1B x y124y y1241（2）当a 1时，f x x x x，则f x 1ln x x．ln222若点满足条件，则，P x y2k k k0,0P x y2k k kPM PA PB 由（1）知f x 1ln x x 0恒成立，y 2y y y y即200102，x 1x x x x00102y y y222x 0x x12因为点P，A，B均在抛物线上，所以，，．0414242y22y y y0012代入化简可得，y24y2y y y y y400120121ln所以f x x x x 在0,上单调递减，221且，f x f xf，f11212 120x x0x1x不妨设，则，1212 x1x22221x x 欲证，只需证，将124，代入，解得．y y y02y1y24因为f x 在0,上单调递减，则只需证f xf x ，221将02代入抛物线方程，可得．y 01x 又因为，则只需证，即．f x f x 1f x f 2x f 2x f x 11211111于是点P 1,2为满足题意的点．令F x f x f 2x（其中x 0,1），且F 11．21．【答案】（1）a 1；（2）见解析．所以欲证f x f x ，只需证F x F1，x 0,1，2111【解析】（1）由题意，函数f x 的定义域为0,，其导函数f x ln x a x 1，由F x f x f 2x 1ln x x1ln2x2x，记h x f x，则h x 1ax．x 整理得F x ln x ln2x 21 x，x 0,1，1ax当a 0时，恒成立，所以h x 在0,上单调递增，且h 10．h x0x所以x 1,，有h x f x 0，故a 0时不成立；x221F x 0x 0,1，，x2x111ax1ax当a 0时，若x，则；若，则．0,h x,h x 00xa x ax 所以F x ln x ln2x 21x 在区间0,1上单调递增，所以x 0,1，F x ln x ln2x21x F 10，11所以h x在单调递增，在单调递减．0,,a a 所以函数F x f x f 2x 在区间0,1上单调递减，所以有F x F 1，x 0,1，x1x22故．1a1131a2a②a 1时，，，，h x hmina aa2 C1:4cos2:4sinC 3322．【答案】（1），；（2）．1综上所述，a的取值范围,2．2C 2,【解析】（1）曲线的圆心为，半径为2，把互化公式代入可得：曲线C的极坐标方程为114cos．Pππ4cos4sin设Q,，则,，则有．22C4sin所以曲线的极坐标方程为．2ππ（2）M 到射线的距离为d 2sin 3，33AB4sin cos231ππ，B A331则S AB d 33．23123．【答案】（1）,；（2）,2．22【解析】（1）ax 12，2ax 12，1x3，．A,13a aaa1233a，，，的取值范围．A2,2a a,3222a3（2）由题意11恒成立，设，ax x h x ax1x12a1x,x11h x1a x2,1x，a1a1x,xa①0a1时，由函数单调性，，，h x h a a1311min11a22。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学一、选择题1．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N等于()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}答案 C解析∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故选C.2．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1答案 C解析∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a答案 B解析∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是()A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm答案 B 解析若头顶至咽喉的长度为26 cm，则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，此人头顶至脖子下端的长度为26 cm，即头顶至咽喉的长度小于26 cm，所以其身高小于178 cm，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B.5．函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为()A. B.C. D.答案 D解析∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；∵f(π)＝＝>0，∴排除C；∵f(1)＝，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B. C. D.答案 A解析由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选A.7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案 B解析设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.8．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入()A．A＝B．A＝2＋C．A＝D．A＝1＋答案 A解析A＝，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.故选A.9．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10C．S n＝2n2－8n D．S n＝n2－2n答案 A解析设等差数列{a n}的公差为d，∵∴解得∴a n＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，S n＝na1＋d＝n2－4n.故选A.10．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③答案 C解析f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.12．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．8π B．4π C．2π D.π答案 D解析因为点E，F分别为P A，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面P AC，所以PB⊥平面P AC，所以PB⊥P A，PB⊥PC，因为P A＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以P A⊥PC，即P A，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π3＝π，故选D.二、填空题13．曲线y＝3(x2＋x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．答案y＝3x解析因为y′＝3(2x＋1)e x＋3(x2＋x)e x＝3(x2＋3x＋1)e x，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.14．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝，＝a6，则S5＝________.答案解析设等比数列{a n}的公比为q，因为＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．答案0.18解析记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.16．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．答案 2解析因为F1B·F2B＝0，所以F1B⊥F2B，如图．因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sin C.解(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝，因为0°<A<180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.18．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．(1)证明连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.由题设知A1B1∥DC且A1B1＝DC，可得B1C∥A1D且B1C＝A1D，故ME∥ND且ME＝ND，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．设m＝(x，y，z)为平面A1MA的一个法向量，则所以可得m＝(，1,0)．设n＝(p，q，r)为平面A1MN的一个法向量，则所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角A－MA1－N的正弦值为.19．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ>0，得t<，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2，由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝. 20．已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：(1)f′(x)的区间上存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点．证明(1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋.当x∈时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0，g′<0，可得g′(x)在有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0.所以g(x)在(－1，α)上单调递增，在上单调递减，故g(x)在上存在唯一极大值点，即f′(x)在上存在唯一极大值点．(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增．而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零点；②当x∈时，由(1)知，f′(x)在(0，α)上单调递增，在上单调递减，而f′(0)＝0，f′<0，所以存在β∈，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上单调递增，在上单调递减．又f(0)＝0，f＝1－ln>0，所以当x∈时，f(x)>0.从而，f(x)在上没有零点；③当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减．而f>0，f(π)<0，所以f(x)在上有唯一零点；④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)证明：{p i＋1－p i}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．(1)解X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为(2)(ⅰ)证明由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此p i＝0.4p i－1＋0.5p i＋0.1p i＋1，故0.1(p i＋1－p i)＝0.4(p i－p i－1)，即p i＋1－p i＝4(p i－p i－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{p i＋1－p i}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．(ⅱ)解由(ⅰ)可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1.由于p8＝1，故p1＝，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝p1＝.p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解(1)因为－1<≤1，且x2＋2＝2＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为 (α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为＝. 当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.23．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.祝福语祝你考试成功!。

2019年吉林高考数学理试卷为方便考生即时估分，###高考频道将在2019年6月7日17：00考后陆续公布2019年吉林高考数学理试卷信息。

考生可点击进入吉林高考频道《》查看吉林高考数学理试卷信息。

高考时间全国统考于6月7日开始举行，具体科目考试时间安排为：6月7日9：00至11：30语文；15：00至17：00数学。

6月8日9：00至11：30文科综合/理科综合;15：00至17：00外语,有外语听力测试内容的应安排在外语笔试考试开始前实行。

各省(区、市)考试科目名称与全国统考科目名称相同的必须与全国统考时间安排一致。

具体考试科目时间安排报教育部考试中心备案后发布。

全国统考科目中的外语分英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语等6个语种，由考生任选其中一个语种参加考试。

答题规范选择题：必须用2B铅笔按填涂示例将答题卡上对应的选项涂满、涂黑；修改答题时，应使用橡皮轻擦干净并不留痕迹，注意不要擦破答题卡。

非选择题：必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在各题规定的答题区域内答题，切不可答题错位、答题题号顺序颠倒、超出本题答题区域（超出答题卡黑色边框线）作答，否则答案无效。

如修改答案，就用笔将废弃内容划去，然后在划去内容上方或下方写出新的答案；或使用橡皮擦掉废弃内容后，再书写新的内容。

作图：须用2B铅笔绘、写清楚，线条及符号等须加黑、加粗。

选考题：先用2B铅笔将所选考试题的题号涂黑，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔在该题规定的答题区域内对应作答，切不可选涂题号与所答内容不一致，或不填涂、多填涂题号。

特别提醒：考生不要将答题卡折叠、弄破；严禁在答题卡的条形码和图像定位点（黑方块）周围做任何涂写和标记，禁止涂划条形码；不得在答题卡上任意涂画或作标记。

试题答案###为了能让广大考生即时方便获取吉林高考数学理试题答案信息，特别整理了《吉林高考数学理试题及答案发布入口》供广大考生查阅。

考生也可点击进入《###2019年全国各地高考试题及答案解析专题》查询2019年吉林高考数学理试卷信息！【CTRL+D收藏】历年真题以下是###为大家整理的2018年高考真题及答案word压缩文件，其中报考【全国卷I、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ及自命题地区卷】，大家可点击下载。

12B-SX-0000020-绝密★启用前__2019 年普通高等学校招生全国统一考试_ -__-理科数学 全国 II 卷__- 本试卷共 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟：号 -(适用地区：内蒙古 / 黑龙江 /辽宁 /吉林 /重庆 /陕西 / 甘肃 /宁夏 /青海 /新疆 / 西藏 /海南 )学 -注意事项：_-__1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

_-__2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

__ -如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在___答题卡上。

写在本试卷上无效。

_ 线__ 封_ 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

_密__ -__12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每个小题给出的四个选： -一、 选择题：本题共 名 - 项中，只有一项是符合题目要求的。

姓 -2- 1．设集合 A={ x|x -5x+6>0} ， B={ x|x-1<0} ，则 A ∩B=班-A ． (-∞， 1)B ． (-2， 1)C ．(-3 ， -1)D ． (3， +∞)___ -_ 2 ．设 z=-3+2i ，则在复平面内 z 对应的点位于_-__A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限年-____ 线 3 ．已知 AB =(2,3) ， AC =(3 ，t)， BC =1，则 AB BC= _ _ 封_A ． -3B ． -2C ． 2D ． 3_密_-__4． 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，_- ___ -我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键___-_ 技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中__ -___ -继星 “鹊桥 ”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 2 点的轨道运行． L 2 点是平衡点，__ -_M １，月球质量为 M ２ ，地月距离为： - 位于地月连线的延长线上．设地球质量为校 学 -R ， L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延长线上．设地球质量为M １ ，月球质量为 M ２ ，地月距离为R， L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1M 2M 1(R r) 2r 2(R r ) 3 .R设r ，由于 的值很小，因此在近似计算中3 33453 3，则R(1 ) 2r 的近似值为A ．M2RB ．M2RC ．33M2RD ．3M2RM 12M 1M 13M 15．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分， 得到 7 个有效评分 .7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．若 a>b ，则A ． ln(a- b)>0B ．3a<3bC ． a 3- b 3>0D ． │a │ >│b │7．设 α， β为两个平面，则α∥ β的充要条件是A ． α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ． α， β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面2x2y2p=8．若抛物线 y =2px(p>0) 的焦点是椭圆1 的一个焦点，则3p p- 1 -- 2 -12B-SX-0000020A ．2B ． 3C ． 4D ． 89．下列函数中，以为周期且在区间 ( ， )单调递增的是242A ．f(x)= │ cos x2│B ． f(x)= │ sin 2x │C ．f(x)=cos │x │D ． f(x)= sin x │10．已知 α∈ (0， )， 2sin 2α=cos 2α+1，则 sin α=21B ．5A ．55C ．3D ．2535x 2y 21(a 0,b 0) 的右焦点， O 为坐标原点， 以 OF11．设 F 为双曲线 C ：b2a2为直径的圆与圆 x2y 2a 2交于 P ，Q 两点 .若 PQ OF ，则 C 的离心率为A ． 2B ． 3C ． 2D ．512．设函数 f ( x) 的定义域为 R ，满足 f (x 1)2 f ( x) ，且当 x (0,1] 时，f (x )x(x 1) .若对任意 x (, m] ，都有 f ( x)8 ，则 m 的9取值范围是A ．9 B ．7,,43C ．5 D ．8,,23二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

学校：___________________________年_______班姓名：____________________学号：________---------密封线---------密封线---------绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国II 卷本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟(适用地区：内蒙古/黑龙江/辽宁/吉林/重庆/陕西/甘肃/宁夏/青海/新疆/西藏/海南)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x|x 2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A ∩B=A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞）2．设z=-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知AB uuu r=(2,3)，AC uuu r =(3，t)，BC uuu r =1，则AB BC uu u r uuu r =A ．-3B ．-2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r rR.设r R，由于的值很小，因此在近似计算中34532333(1)，则r 的近似值为A ．21M RM B ．212M RM C ．2313M RM D ．2313M RM 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．若a>b ，则A ．ln(a-b)>0B ．3a<3bC ．a 3-b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px(p>0)的焦点是椭圆2231xypp的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A ．f(x)=│cos 2x │B ．f(x)=│sin 2x │C ．f(x)=cos │x │D ．f(x)= sin │x │10．已知α∈(0，2)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B ．55C ．33D ．25511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x ya b ab的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222xy a交于P ，Q 两点.若PQ OF，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2 ()f xf x ，且当(0,1]x时，()(1)f x x x .若对任意(,]x m ，都有8()9f x ，则m的取值范围是A ．9,4B ．7,3C ．5,2D ．8,3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

-- 12B-SX-0000020- 绝密★启用前__2019 年普通高等学校招生全国统一考试_-__ - 理科数学全国 II 卷___- 本试卷共 23 小题，满分150 分，考试用时120 分钟：号 - (适用地区：内蒙古 / 黑龙江 /辽宁 /吉林 /重庆 /陕西 / 甘肃 /宁夏 /青海 /新疆 / 西藏 /海南 )学-注意事项：_-__1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

_-__2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

__- 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在___ 答题卡上。

写在本试卷上无效。

_线__封_ 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

_密__-__12 小题，每小题5 分，共 60 分。

在每个小题给出的四个选：-一、选择题：本题共名- 项中，只有一项是符合题目要求的。

姓- 2- 1．设集合 A={ x|x -5x+6>0} ， B={ x|x-1<0} ，则A∩B=班- A ． (-∞， 1) B ． (-2， 1) C．(-3 ， -1) D． (3， +∞)_ _ _-_2．设 z=-3+2i，则在复平面内 z对应的点位于_-__A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限年-____线3．已知 AB =(2,3) ， AC =(3 ，t)， BC =1，则 ABBC =__封_A．-3 B．-2 C． 2 D． 3_密_-__ 4． 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，_-___- 我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键___-_技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中__-___-继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2 点的轨道运行． L2 点是平衡点，__-_ M１，月球质量为 M２，地月距离为：-位于地月连线的延长线上．设地球质量为校学--- R， L2点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R， L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M1M 2M1(R r)2r2 (R r )3 .R设r ，由于的值很小，因此在近似计算中 3 33 45 3 3，则R (1 ) 2r的近似值为A ．M 2 RB ．M 2 R C．33M2R D ．3M 2RM 12M 1M 13M 15．演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分，得到 7 个有效评分 .7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C．方差D．极差6．若 a>b，则A ． ln(a- b)>0B ．3a<3 b C． a3- b3>0 D ．│a│ >│b│7．设α，β为两个平面，则α∥ β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面2 x2y2p=8．若抛物线 y =2px(p>0) 的焦点是椭圆 1 的一个焦点，则3p p-1- -2---12B-SX-0000020A ．2B ． 3C ． 4D ． 8 9．下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是 2 4 2A ．f(x)= │ cosx2│ B ． f(x)= │ sin 2x │C ．f(x)=cos│x │ D ． f(x)= sin x │10．已知 α∈(0， )， 2sin 2α=cos 2α+1，则 sin α=21B ．5 A ．5 5C ．3 D ． 2535x 2y 21(a 0,b 0) 的右焦点， O 为坐标原点， 以 OF11．设 F 为双曲线 C ： b 2a 2为直径的圆与圆 x 2y 2a 2交于 P ，Q 两点 .若 PQOF ，则 C 的离心率 为A ． 2B． 3C ． 2 D． 512．设函数 f ( x) 的定义域为 R ，满足 f (x1) 2 f ( x) ，且当 x (0,1] 时， f (x ) x(x 1) .若对任意 x ( , m] ，都有 f ( x) 8，则 m 的9取值范围是A ． 9B ．7 , , 43 C ．5 D ．8 ,,2 3-- 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

绝密★启用前2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A = {-1, 0,1, 2}，B = {x x2≤1} ，则AA．{-1,0,1} B．{0,1} C．{-1,1} D．{0,1, 2}2.若z(1+ i) = 2i ，则z=A.-1- iB.-1+iC.1- iD.1+i3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.84．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12 B．16 C．20 D．245.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4 项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=A．16 B．8 C．4 D．26.已知曲线y =a e x+x ln x 在点（1，a e）处的切线方程为y=2x+b，则A. a = e，b =-1 b =-1B.a=e，b=1 C．a = e-1，b = 1 D ．a = e-1，B =7.函数y =2x32x + 2-x在[-6, 6]的图象大致为A．B．C．D．8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED 的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于yA. 2 - 124B. 2 - 125C. 2 - 126D. 2 - 12710. 双曲线 C ：x2- =1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若 4 2PO = PF ，则△PFO 的面积为A. 3 24B. 3 22C. 2D. 311. 设 f( x ) 是定义域为 R 的偶函数，且在(0, ∞) 单调递减，则A. f （log1 ）＞ f （- 3）＞f （ - 2 ）B. f （log 34 1）＞ f （ 2 2- 2）＞ f （ 2 3- 3 ）3 4 2 3 2 2C. f （ - 3）＞ f （ -2）＞ f （log1）2 22 334D. f （ - 2）＞ f （ -3）＞ f （log1 ）2 32 23412. 设函数 f( x ) =sin （ω x + π）( ω ＞0)，已知 f (x ) 在[0, 2π]有且仅有 5 个零点，下述 5四个结论：① f (x ) 在（ 0, 2π ）有且仅有 3 个极大值点 2 22， xy ② f (x ) 在（ 0, 2π ）有且仅有 2 个极小值点③ f (x ) 在（ 0, π）单调递增10④ ω 的取值范围是[12 29) 5 10其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。