第二节角平分线定理
【知识点拨】
1、三角形内角平分线的性质定理：
三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。（试证明）
2、三角形外角平分线性质定理：
三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
3、常见问题
对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。
【赛题精选】
例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。
求CD的长。
例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。
求A D·DC的值。（2001年全国竞赛题）
【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。计算时要注意对应关系，正确书写比例式。
对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。 例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。
求证：BC
AC AB ID AI +=。
例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分
∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。
试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀
请赛题）
【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2
211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。 本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。
例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。求证：AC ∥DF 。
【说明】三角形角平分线的性质为比例关系的转化提供了新的方法，从而开阔了解题思路，另外在证明几何题时，还应注意合比、等比性质的应用。
本题是由线段成比例证明两条直线平行的，这是证两条直线平行的新方法，对于题设中有平行、角平分线条件证平行的题目，常用此方法证明。
例6、在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，AS 、AS ’为∠A 的平分线与外角的平分线，BT 、BT ’为∠B 的平分线与外角平分线，CU 、CU ’为∠C 的平分线及外角平分线。
求证：
T T U U S S '='+'111。（1990年上海市竞赛题）
【说明】通过本题的求解，我们得到
c
b a 111=+型几何题的又一种解法，即分别计算出a 、b 、
c 的值，再验证等式两边相等。
【针对训练】
