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概率论3-2、3

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概率论3

概率论3

P AB PB | AP A
5.3
例3 已知 P( A) 0.5, P( B) 0.6, P( B / A) 0.8.
求 P( AB)与P( A B )
例4 设袋中有r只红求,t只白球.每次自袋中任 取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只 与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取 球四次,试求第一、二次取到红球且求第三、 四次取到白球的概率.
PBi | A PA | Bi PBi
j j
5.6
5 .7
PA | B PB
j 1
n
i 1,2,,n
P A P A | B 1 P B 1 P A | B 2 P B 2 P A | B n P B n
P( A) P( B) P( A / B) P( B ) P( A / B )
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件 制造厂提供的.根据以往的记录有以下数据:
元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的, 且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件, 求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是次品,分析此次品出自何厂,需求出 由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.
二 乘法定理
乘法定理 其意义是… (5.3)式容易推广到多个事件的情况.
P A1 A2 An PAn A1 A2 An 1 PAn 1 A1 A2 An 2 PA2 A1 P A1 其 中 P A1 A2 An 1 0
设P(A)>0，则有
注 对 任 一 事 件 A, A与 A 构 成 样 本 空 间 Ω 的一个分划。

《概率论与数理统计》3-3 边缘分布

《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
解 F x lim F x, y 1 arctan x X 2 y
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,


f x, y d 1.

y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以


f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布

概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布
回顾： 随机变量的分类 随机变量
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk

Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X

概率论3

概率论3
(3)求至少有2人反映为阳性的概率：
P(X 2) 1 P(X 1) 1 P(X 0) P(X 1) 1 C50 0.4500.555 C510.4510.554 1 0.555 5 0.45 0.554 0.744
例3-1 已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯 敌机的概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚 导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0.999? 解 设需要发射n枚导弹，则击中敌机的导弹数是随机 变量X~B(n,0.96),则
0
1
k
n
X ~ Cn0 p0qn
Cn1 p1qn1
Cnk pk qnk
Cnn
p
n
q0
n
( px q)n
C
k n
pk
q
nk
xk
k 0
n
n
所以， b(k; n, p) Cnk p k q nk ( p 1 q)n 1n 1
k 0
k 0
特别地，n=1时，二项分布为二值分布，其分布列
射手甲在一次射击中得分X的概率分布为：
0 1 2
e1
X ~ 0 0.2 0.8
e2
射手乙在一次射击中得分Y的概率分布为：
Y
~
0 0.6
1 0.3
2 0.1
Y的概率分布(律)为：
0 Y ~ 0.6
1 0.3
2 0.1
计算Y的分布函数F(x)=P(Y<x):
当x≤0时， F(x)=P(Y<x)=P()=0
X=X (w) w
X=X(w0)=0, X=X(w1)=1, X=X(w2)=2, …, X=X(w100)=100 事件“废品数少于50”={w : X (w) <50}

《概率论与数理统计》课件3-2 二维离散型随机变量

《概率论与数理统计》课件3-2 二维离散型随机变量

++
(2)规范性
pij = 1
i =1 j =1
边缘分布律
+
P X = xi } = P X = xi ,Y < + } = P{X = xi , Y = yj }
j= 1
+
= pij = pi •
j= 1
(i = 1，2， )
+
} } P Y = yj = P X < + ,Y = yj = P{X = xi , Y = yj } i= 1
+
}=
j=1 P{X = xi , Y = yj } =
pij = pi • (i = 1，2，)
j= 1
+
+
P Y = yi } = P X + ,Y = yi } =
P{X = xi , Y = yj }=
pij =
p •j
(j
=
1，2， )
i =1
i =1
3.2- P63— 1 2 3
A
C
B
D
提交
P
XY
( X, Y)X xi }=P{X xi Y
},
j1
pj
pij P{Y yj } P{X
i1
i 1, 2, ,
j 1, 2, ,
Y yi },
pi p j (X,Y)
X
Y
.
Y X
y1
y2
yj
x1
p 11 p 12
x2
p 21 p 22
p1j
p2 j
xi
pp
i1
且满足P{X1X2 = 0} = 1，则 P X1 = X2 } = ( )。

概率论第三章3-2


P( 2) 1 P( 0) P( 1)
广
1 (1 0.45)5 50.45(1 0.45)4
东 工 业
1
大
0.744
学
上页 下页 返回
例10 有 一 大 批 已 知 次 品 率 为0.05的 产 品 ， 现 从 中 随 机 地抽 出10件 来 ， 求 其 中 至 多 只 有 一 件 次品 的 概 率 。
N
注：在同样的条件下，若作“不放回抽样”，即检验过的
产品不放回而抽下一件检验，这样接连抽取 n 件的检验
就不能视作为 n 重贝努利试验。但是，当总量N 很大时，
抽出小数几件不致影响次品率，故而也可将不放回地接连
广 东
抽取n 件（n 远小于 N ）的检验看成是 n 重贝努利试验。
工 业
大
学
上页 下页 返回
人反应为阳性的概率。
解: 设A =“观察一个人对该接种疫苗试验的反应呈阳性”
则A “观察一个人对该种疫苗的反应呈“阴性”，有
~ B(5,0.45) 于是 (1)的 分 布 律 为
P(

k)

5 k
0.45
k
(1

0.45)
5
k
，其
中k

0,1,2,3,4,5;
（3）至少有2人反应为阳性
解 设同时使用外线的分机数为，则 ~ B(99,0.05) .
（1） 由 定 理2， 又(n 1) p (99 1) 0.05 5为 整 数 ， 故 有4个 或5个 分 机 同 时 使 用 外 线 的 概 率 最大 ， 有
b(4;99,0.05)

b(5;99,0.05)

概率论第三章


若二维随机变量（ 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 ） 1 1 x − µ1 2 f (x, y) = exp{− ) 2 [( 2 2(1− ρ ) σ1 2πσ1σ2 1− ρ x − µ1 y − µ2 y − µ2 2 )( ) +( ) ]} − 2ρ( 其中
µ1, µ2,σ1,σ2, ρ
3.1.2、二维随机变量的联合分布函数 、 维随机变量的联合 联合分布函数
二维随机变量（ 二维随机变量（X,Y） ） ( X , Y )的联合分布函数 )的联合分布函数
一维随机变量X 一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
F(x, y) = P(X≤ x,Y ≤ y) − ∞ < x, y < ∞
xi ≤3yj ≤2
求：F(3,2) = P(X≤ 3,Y ≤ 2) = ∑∑pij
1 1 1 1 = + 0+ 0+ + + 0 = 4 8 8 2
例２ 设随机变量 Y ~ E (1) ，随机变量
0 , 若Y ≤ k ( k = 1，） 2 Xk = 1 , 若Y > k 的联合概率分布列。 求 X 1 和 X 2 的联合概率分布列。
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止， 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来 描述还不够， 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述 在打靶时, 在打靶时,命中点的位置是由一 对随机变量(两个坐标)来确定的. 对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空 中的位置是由三个随 机变量(三个坐标） 机变量(三个坐标）来 确定的等等. 确定的等等.
1/ 4 x 1 1 解: (3)P( X < ,Y < ) = ∫0 [∫0 3xdy]dx 4 2

概率论C和A计算公式

概率论C和A计算公式
C表示组合方法的数量，A表示排列方法的数量。

如果该题中选出的个体没有先后顺序就用组合，如果有先后顺序就用排列。

C表示组合方法的数量
比如：C（3，2），表示从3个物体中选出2个，总共的方法是3种，分别是甲乙、甲丙、乙丙（3个物体是不相同的情况下）。

A表示排列方法的数量。

比如：n个不同的物体，要取出m个（m<=n）进行排列，方法就是A（n，m）种。

也可以这样想，排列放第一个有n种选择，,第二个有n-1种选择，,第三个有n-2种选择，·····，第m个有n+1-m种选择，所以总共的排列方法是n（n-1）（n-2）···（n+1-m），也等于A（n,m）。

注：在具体题目中，看题目需要排列还是组合，也就是单体是否需要顺序，需要就用A，不需要就用C。

贝叶斯定理机率论或概率论是研究随机性或不确定性等现象的数学。

更精确地说，机率论是用来模拟实验在同一环境下会产生不同结果的情状。

典型的随机实验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌概率论以及轮盘游戏等。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

概率论与数理统计课件3-2边际分布和条件分布


解
由上述分布律的表格可得
P{ X 1,Y 0} 0.030 , P{Y 0 X 1} 0.045 P{ X 1} P{ X 1,Y 1} 0.010 , P{Y 1 X 1} 0.045 P{ X 1} P{ X 1,Y 2} 0.005 , P{Y 2 X 1} 0.045 P{ X 1}
Y 的条件概率密度为 1 , 0 x y 1, fY X ( y x ) 1 x 0, 其它.
因此 X 和 Y 的联合概率密度为 f ( x , y ) fY X ( y x ) f X ( x )
1 , 0 x y 1, 1 x 0, 其它. 际 故得Y 的边缘概率密度
P { X xi , Y y j } P {Y y j }

pij p j
, i 1, 2,
为在给定Y y j 条件下 X 的条件分布列.
同理，对于一切使P{ X xi } pij pi 0的 xi , 则称
j 1

p j i P{Y y j X xi }
边际分布 联合分布 条件分布 联合分布
设( X , Y ) 在圆域 x 2 y 2 1 上服从均匀分布, 求条 例3 件概率密度 f X Y ( x y ).
解 由题意知随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 y 2 1, f ( x, y) 0, 其它,
二
1.边际分布
边际分布和条件分布
问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 X 和 Y 各自的分布？
边际分布函数
已知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
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…
pi P{X xi} pij
关于Y的边缘分布
j
第i列之和
Y
y1
y2
y3
…
概率 P.1
P.2
P.3
…
p j P{Y y j} pij
i
第j行之和
二维离散型R.v.的边缘分布
例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
X
Y
0
1
1/3
-1
0
1/3 1/12
0
1/6
0
0
2 5/12 0
——边缘分布问题
边缘分布 marginal distribution
设二维随机变量 (X ,Y ) 的分布函数为 F(x, y) ，
FX (x) P{X x} P{X x,Y } F (x, )
FY ( y) P{Y y} P{X ,Y y} F (, y)
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
F X
(x)
F
(x,
)
pij
xi x j1
与一维离散型随机变量X的分布函数FX (x)
P{X xi}比较，得X的分布律
xi x
记为
P{X xi} pij pi
j 1
记为
同样，Y的分布律P{Y y j} pij p j
i 1
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P22
p32
…
P.2
Y3
P13
p23
p33
…
P.3
…………… …
pi. p1. p2. p3. …
关于X的边缘分布 关于Y的边缘分布
pi P{X xi} pij
j
p j P{Y y j} pij
i
二维离散型R.v.的边缘分布律
关于X的边缘分布XBiblioteka x1x2x3
…
概率 P1.
P2.
P3.
1 / 10 7 /10 2 /10
1
二维连续型随机变量的边缘分布
关于 X的边缘分布函数为
x
FX
(x)
F ( x,
)
f
(x,
y)dydx
与一维连续型随机变量X的分布函数
x
FX (x) F (x, ) fX (x)dx
比较，得X的概率密度为
fX (x) f (x, y)dy
关于 Y 的边缘分布函数为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
即
X
Y
X1 X2 X3 …
Y1 p11 p21 p31 … Y2 p12 p22 p32 … Y3 p13 p23 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
X
Y
X1
X2
X3
…
P.j
Y1
p11
P21
p31
…
P.1
Y2
P12
及边缘分布律为
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 122 3 2 4 2 4 34 F 011 1 1 2 1 1 12
D
F
1
0 1/10
1
0
2
0
P{D=i} 1/10
2
0 4 /10
0 2 /10
3
0 2 /10
0 3 /10
4 P{F=j}
0
1 / 10 2 /10 4 /10
为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数。
例3.设(X,Y)的概率密度为
c x2 y x f (x, y)
0 others
（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6 0 x2
0 x 0 or x 1
(2)
fX (x) f (x, y)dy
所以，关于X的边缘分布密度为
e x
fX
(x)
0
关于Y的边缘分布密度为
y
fY ( y)
f ( x, y)dx
当y≤0时
fY ( y) 0
当y>0时
fY ( y)
y e ydx
0
O
ye y
ye y
所以，关于Y的边缘分布密度为
fY ( y)
0
x0 x0
x
y0 y0
二维正态分布
若r.v.( X ,Y ) 的联合为
的边缘分布函数．
FX ( x) F ( x, ) FY ( y) F (, y)
边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分 量的分布。
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
对于二维离散型随机变量(X,Y)，有
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D 1 22 3 2 4 2 4 34 F 0 111 1 2 1 1 12
所以D的所有可能的取值为1,2,3,4，F的所有可能的取值为
0,1,2，容易得到(D,F)取(i,j)的概率(i=1,2,3,4,j=0,1,2)例如，
P{D=1,F=0}=1/10, P{D=2,F=1}=4/10,可得D和F的联合分布律
0
求关于X、Y的边缘分布
解 关于Y的边缘分布为
Y -1 0 2 概率 5/12 1/6 5/12
关于X的边缘分布
X 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
X
Y
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
例1 设一个整数N等可能在1,2…10这10个值中取1个值。 设D=D(N)是能整除N的正整数的个数，F=F(N)是能整除 N的素数的个数（注意1不是素数）。试写出D和F的联合 分布律，并求边缘分布律。 解 先将试验的样本点及D,F的取值情况列出，如下表
f (x, y)
3.2 边缘分布 marginal distribution
二维随机变量 (X ,Y ) ,是两个随机变量视为 一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布 函数来描述其取值规律。
F(x, y) P{X x,Y y}
问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个 一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？
x
6dy 6(x x2 )
0 x 1
x2
例 设（X, Y）的联合概率密度为
e y 0 x y
f (x, y) 0
其它
y
求X，Y的边缘概率密度函数
解
关于X的边缘分布密度为
O
x
fX ( x) f ( x, y)dy
当x>0时
fX (x)
e ydy e x
x
当x≤0时
fX (x) 0
y
FY
(x)
F (,
y)
f
(x,
y)dxdy
与一维连续型随机变量Y的分布函数
y
FX ( y) F (, y) fY ( y)dy
比较，得Y的概率密度为
fY ( y) f (x, y)dx
定义：分别称
fX (x) f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx