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dy
x
x f X (x)dx
y
f (x, y)dy
fX (x)
y f (x, y) dy f X (x)
称
f (x, y) fX (x)
为条件{X=x}的条件下Y的条件概率密度。记为:
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
同理条件{Y=y}的条件下X的条件概率密度为
f (x, y)
布律定义为：
P Y yj | X xi
P
X xi ,Y y j
PX xi
pij , j 1, 2,L pi
2020年4月26日星期日
1
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例：已知(X, Y)的分布律如下:
X
求:(1).已知 Y=1的条件下X的
Y
0 1 p j 条件分布律。
0 0.4 0.1 0.5
第三节 条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
若(X, Y)是离散型随机变量，那么对一切使得PY yj 0
的 yj,我们把已知Y=yj的条件下X的条件分布律定义为：
P X xi | Y y j
P
X xi ,Y y j
P Y yj
pij ,i 1, 2,L p j
类似地，当 PX xi 0 时，已知X=xi的条件下Y的条件分
55
同理，已知 X=1的条件下Y的条件分布律为：
Y k
01
PY k | X 1 1 3
44
2020年4月26日星期日
3
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二、连续型随机变量的条件分布
来自百度文库
定义:对任意给定的正数 ，若 Px X x 0 ，
且对任意实数 y ，极限
lim
0
PY
y
|
x
X
x
lim
0
Px X x ,Y Px X x
x
e y y
,
0,
x 0, y 0, 其它.
因此
P
X 1Y y
1
x
e y dx
x
e y
1
ey
1y
1
2020年4月26日星期日
10
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1 0.2 0.3 0.5
(2).已知 X=1的条件下Y的
pi 0.6 0.4
条件分布律。
解：PX
0|Y
1
PX 0,Y PY 1
1
0.2 0.5
2 5
PX
1|
Y
1
PX 1,Y 1 PY 1
0.3 0.5
3 5
2020年4月26日星期日
2
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或用表格表示为
X k
01
PX k | Y 1 2 3
f (x, y) fX Y (x | y) fY ( y)
1
2
π
π, 1 y2
1 y2 x
1 y2 ,
0,
2020年4月26日星期日
7
其它.
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即
f
X
Y
(x
|
y)
2
1, 1 y2
0,
1 y2 x 1 y2 , 其它.
2020年4月26日星期日
8
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例：已知(X, Y)的概率密度为
fY ( y)
f (x, y)dx 0
当-1 ≤ y ≤ 1时， fY ( y) f (x, y)dx
1y2 1 dx 2 1 y2
π 1 y2
π
2020年4月26日星期日
6
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因此
2
fY
(
y)
π
1 y2 ,
0,
于是，当-1 ≤ y ≤ 1时，
1 y 1, 其它.
y
存在，则称此极限为条件{X=x}的条件下Y的条件分布函
数。记为 FY|X ( y | x)
由于
FY |X
(y
|
x)
lim
0
PY
y
|
x
X
x
Px X x ,Y y
lim 0
Px X x
2020年4月26日星期日
4
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lim 0
y
x x
f
(x,
y)dx
fX Y (x | y)
2020年4月26日星期日
fY ( y)
5
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例：已知(X, Y)的概率密度为
f
(x,
y)
1 π
,
0,
求 fX Y (x | y) .
x2 y2 1, 其它.
解：由fY ( y)
f (x, y)dx
可得. ：
当y<-1或y>1时，由于f(x,y)=0.故
x
f
(
x,
y)
e
y ey y
,
0,
求P{X>1|Y=y}，其中y>0.
x 0, y 0, 其它.
解：
x
e y ey
fX Y (x | y)
f
(x,
y)
fY ( y)
y
x
,
e y e y dx
0
y
2020年4月26日星期日
9 0,
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x 0, y 0,
其它.
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