复 合 函 数 的 求 导 法 则

练习 求下列函数的导数
y = e3x (A)1.
3x 3x 3x 解：y ′ = ( e ) ′ = e ( 3 x ) ′ = 3 e
y = cos( x 3 ) (A)2.
2 3 3 3 3 解：y ′ = (cos x ) ′ = − sin x ( x ) ′ = − 3 x sin x
(B)3. y = e 解： y ′ = e
2x ′ 1 所以 yx = yu ⋅ ux = ⋅ (−2x) = 2 u x −1
′
′
(A) 例3 求函数 y = cos 2 x 的导 数 2 解：设 y = u 则 u = cos x
因为 所以
′ ′ yu = 2u, ux = −sinx
′ ′ ′ yx = yu ⋅ ux = 2u(−sin x) = −2cosx sin x = −sin2x
′ y u = 5u 4 , u ′ = 3, x
′ x y′ = yu ⋅ u′ = 5u4 ×3 = 5(3x + 2)4 ×3 =15(3x + 2)4 所以 x
2 (B) 例2 求函数 y = ln(1 − x ) 的导数
解：设 因为
y = ln u
则
u = 1− x2
′ 1 ′ yu = , u x = −2 x, u
x π (B) 例5 求 y = ln tan( + ) 的导数。 的导数。 2 4
x π 解： 设 y = ln u , u = tan v, v = + 2 4
由
y ′ = f ′ ( u ) ⋅ φ ′( v ) ⋅ ϕ ′( x ) 得
x π ′ = (lnu)′ ⋅ (tanv)′ ⋅ ( + )′ y 2 4
解：y′ = (sin 2 x + e 2 x )′= (sin 2 x)′ + (e 2 x )′
= cos 2 x ( 2 x )′ + e 2 x ( 2 x )′
= 2 cos 2 x + 2 e 2 x
(2). y = ln x 3 + (ln x) 3
1 3 解：y ′ = (ln x )′ + [(ln x ) ]′ = 3 ( x )′ + 3(ln x) 2 (ln x)′ x 3 3 3 1 2 2 1 2 = 3 3x + 3(ln x) = + (ln x) = [1 + (ln x) 2 ] x x x x x
1 1 ' = [sin(4x)] = cos(4x)(4x) ' sin 4 x sin 4 x 4 = sin 4 x cos(4x) = 4 cot 4 x
(C) 例10 求 y = cot
解：
x 2
的导数
1
x 1 x −2 x y′ = ( cot )′ = (cot ) ⋅ (cot )′ 2 2 2 2 1 1 −1 x = ⋅ ⋅ ( )′ 2 x sin 2 x 2 cot 2 2 x tan −1 1 1 2 = ⋅ ⋅ = − x 4 x x sin2 4 sin 2 cot 2 2 2
= 4( x + sin 2 x) 3 (1 + sin 2 x)
先化简再运用导数法则求导 (C) 例13 求下列函数的导数 （1） ）
y= 1 x − x2 −1
x + x2 −1 (x − x2 −1)(x + x2 −1)
先将已知函数分母有理化， 解 ：先将已知函数分母有理化，得
y=
= x + x2 −1
证： 设自变量 x 在点x 处取得改变量 x ，中间变量 u 则取得相应改变 ∆ 量 ∆u ，从而函数 y 取得改变量∆ y 。当∆u ≠ 0 时， 有
因为 u = φ (x) 在
∆y ∆y ∆u = ⋅ ∆x ∆u ∆x
x
处可导， 处必连续， 处可导，从而在 x 处必连续，
所以当 ∆x → 0 时， ∆u → 0 。因 此
1 1 1 1 1 1 = ⋅ ⋅ = ⋅ 2 ⋅ x π x π 2 u cos v 2 tan( + ) cos 2 ( + ) 2 4 2 4
=
1 x π x π 2 sin( + ) cos( + ) 2 4 2 4
=
1 sin(x + ) 2
π
= sec x.
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心， 熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心， 由外及里、逐层求导。 由外及里、逐层求导。 (A) 例6 求 y = (3 x + 2 ) 5 的导数 解：
= e 2 x (2 x)′ sin 3x + e 2 x cos 3x(3 x)′
= 2e 2 x sin 3 x + 3e 2 x cos 3 x
1 x
( A)2.y = e
−e
1 x
x2 x2
′ （ ′ 解： y ′ = e ） − e ） （ 1 1 x2 x ′ = e（ ） − e ( x 2 ) ′ x 1 1 2 −1 −1 x = e x 2 − 2 xe x = 2 e − 2 xe x x
求 y = sin2x 的导数
因为
y = sin u
u = 2x
于是
′ x y′ = yu ⋅u′ = (sin u )′ ⋅ (2 x)′x = cos u ⋅ 2 = 2 cos 2 x x u
二、举例
y = (3 x + 2) 5 的导数 (A) 例1 求函数
解：设 因为
y = u5
则 u = 3x + 2,
sin
1 x
1 x
sin 1 x
1 1 1 ′ = e cos ( )′ (sin ) x x x 1 1 sin 1 1 sin = e x (− 2 ) cos = − 1 e x cos 1 x x x x2
sin
（C）4. y = 3 1 + ln 2 x
−1 1 2 3 y′ = (1 + ln x) (1 + ln 2 x)′ 解： 3
∆y ∆y ∆u ∆y ∆u = lim ⋅ lim = lim ⋅ lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆u ∆x→0 ∆x ∆u→0 ∆u ∆x→0 ∆x dy dy du ′ x y′ = yu ⋅u′ 即 = ⋅ x 于是得 dx du dx lim
可证上式亦成立。 当 ∆u = 0 时，可证上式亦成立。
2 (B) 例4 求 y = tan
x 的导数 2
解： 设
2 由 y ′ = f ′(u ) ⋅ φ ′(v ) ⋅ ϕ ′( x )
y = u 2 , u = tan v, v = x
得
x ′ = (u 2 )′ ⋅ (tan v)′(v)′ = 2u ⋅ sec2 v ⋅ ( )′ y 2 1 x 2x 2 = 2 tan v ⋅ sec v ⋅ = tan sec 2 2 2
y'= [(3x+2)5]' =5(3x+2)4(3x+2)' =5(3x+2)4(3+0) =15(3x+2)4 y'=[(cosx)2]' =2cosx (cosx) ' =2cosx (-sinx)= − sin 2 x
y = cos 2 x 的导 (A) 例7 求
数 解：
y = sin 2 x 3 的导数 (B) 例8 求
− 1 2 = (1+ ln x) 3 [1′ + (ln2 x)′] 3 2 − 1 = (1+ ln2 x) 3 [0 + 2ln x(lnx)′] 3
− 1 1 2 3 = (1 + ln x) 2 ln x 3 x 2
1
2
− 2 2 = (1 + ln x) 3 ln x 3x
2
综合运用求导法则求导 (A) 例11 求下列函数的导数 (1). y = sin 2 x + e 2 x
解：Q y = ln u,
u = sin x
′ x ∴ y′ = yu ⋅ u′ = (lnu)′ ⋅ (sin x)′x x u
1 1 = ⋅ cosx = ⋅ cosx = cotx u sin x
复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。 复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。
如设 y = f (u ), u = φ (v ), v = ϕ ( x ), 那么对于复合函 我们有如下求导法则： 数 y = f {φ [ϕ ( x )]} ，我们有如下求导法则： ′ ′ ′ ′ y x = yu ⋅u v ⋅v x 即 y′ = f ′(u) ⋅ φ ′(v) ⋅ ϕ ′( x)
y ′ = 1+
1 2 x2 −1
(x −1)′ = 1 +
2
x x2 −1
（2）
sin 2 x y= 1 + cos x
sin 2 x 1 − cos 2 x y= = = 1 − cos x 1 + cos x 1 + cos x
解： 因为 所以
y′ = sin x
（3）
1+ x y = ln x −1
解： y'={[sin(x3)]2}' =2sin(x3)
[sin(x3)]'
=2sin(x3) cos(x3) (x3)' =2sin(x3) cos(x3) 3x2 =6x2sin(x3) cos(x3)
(B) 例9 求 y = ln sin 4 x 的导数 解：
y'={ln[sin(4x)]}'