随机信号分析题目及答案完整版

随机信号分析题目及答

案

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数：

（1）

122X X X =+ （2）12536X X X =++

解：（1）

()121222()jv X X jvX jv X jvX

X v E e E e E e e φ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2）

()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣⎦

2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问：

（1） 信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦；

（2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+；

（3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦

(2) 当,t t τ+在同一个时隙时：

当,t t τ+不在同一个时隙时：

（3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++

3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0

ω为常数，Θ为在

[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 （1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；

（2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。

解：

（1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量

θ，因此非独立。 根据题意有12f ()θπ=。

[]001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π

πωθθπ

-=+Θ=

+=⎰，

由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。

除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。

（2） 由于0E[X(t )]E[Y(t )]==，X (t )和Y(t )

均值平稳。

同理可得1212Y X R (t ,t )R (t ,t )=，因此X (t )和Y(t )均广义平稳。 由于

121201201122

XY XY R (t ,t )C (t ,t )sin[w (t t )]sin(w )τ==-=，因此X (t )和Y(t )联合广义平稳。

4. （10分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中c ω均为常数）？如果不能，请写出理由。

（1）cos() ||4() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩

其它 （2）cos() ||2() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩

其它 （3）10cos() ||() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩

其它 （4）()=cos() ||c R τωττ≤∞ 解：（1）不能，因为零点连续，而4/π点

不连续。

（2）能。

（3）不能，因为20c R()R()π

ω=，而R()τ又

不是2c /πω的周期函数。

（4）能。

5. （10分）线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的双边功率谱密度0 1 W/Hz 2N =，求系统输出噪声的功率谱密度函数和自相关函数，以及输出噪声总功率。

解：系统的传递函数为

()11R H j R j L j ωωω==++，

则系统输出功率谱密度为

()()()222112121Y X S S H j ωωωωω=⨯==⋅++。

输出噪声的自相关函数为()12

Y R e ττ-= 输出噪声总功率为102

N Y P R ()(W )== 6. （10分）设随机信号

()()()()()sin Z t X t t Y t t ωω=-00cos ，其中ω0为

常数，()()X t Y t 和均为零均值的平稳随机过程，并且相互正交。问：

（1）

()()X t Y t 和是否联合广义平稳？ （2） 假如()()X Y R R ττ=，()Z t 是否为广义平稳的随机信号？

证明：

（1） 由于()()X t Y t 和相互正交，所以(,)(,)0XY YX R t t R t t ττ+=+≡，与t 无关 ，又因为()()X t Y t 和均为零均值的平稳随机过程，所以()()X t Y t 和是联合广义平稳随机信号。

（2） 假如()()X Y R R ττ=，

由于()()X t Y t 和相互正交，所以

()()X Y R R τωττωτ==00cos cos ，与t 无关

所以()Z t 是广义平稳的随机信号。

7. （10分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是，求该信号的平均功率；若不是，请说明原因。

（1） 229()69S ωωωω+++= （2）

2424()109S ωωωω+++=

（3） 210()010S ωωω⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ （4）

()()2S ωπδω=

解：

（1） 不可以。不是偶函数。

（2） 可以。

()()42224111()109219S ωωωωω⎡⎤⎢⎥=-++++⎢⎥⎣⎦

=，所以 3()R e e τττ--+11=412，所以1(0)3

P R =+=11=412 （3） 可以。

10

101120()222P S d d ωωωπππ∞-∞-===⎰⎰

（4） 可以。

11()2()122P S d d ωωπδωωππ∞∞

-∞-∞===⎰⎰

8. （10分）某语音随机信号()X t 满足广义各态历经性，现将该信号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声()N t 。讨论：