第三讲层次分析法建模

只准用标度为1 ～9打分制
续—层次单排序与一致性检验
当CR=0时，判断矩阵有完全随机一致性；当CR<0.10时，认为判断矩阵的一 致性是可以接受的（满意），否则应对判断矩阵作适当调整。 应用举例 应用MATLAB计算判断矩阵排序权重向量、最大特征值，并进行一致性检验。 此例前面我们已算得最大特征值 ，于是有： max 3.1190
件的广泛使用，因此现在一般用特征根法来解决此类问题。详见应用举例。
续—层次单排序与一致性检验

为什么要进行一致性检验？ 在判断矩阵的构造中，由于客观事物的复杂性与人的认识的多样性，因
此并不要求一致性定义中的等式aijajk=aik成立，但要求判断有大体上
的一致是应该的，出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要而丙又比甲极 端重要的判断，一般是违反常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵
选择权值最大的为最佳方案。（详见示例）
第二种决策方法：请有关人员进行多人或全体人员的公投方式，产生方 案Sk与指标（措施）Ci的评判数值（仍然用1～9打分制），再进行加权 求平均值。 （详见示例）
四、残缺判断处理
什么是残缺判断？ 应用AHP进行决策时，人们对于每个准则都要填写一个判断矩阵，每个 判断矩阵需进行n(n-1)/2次两两比较。当层次很多，因素复杂时，总的 判断量很大，很可能出现某个参与决策的专家对某些判断缺少把握、不 感兴趣或不想发表意见的情形，这种情形应当允许，否则勉为其难反而 可能掩盖事物本质，这时得到的是带有空缺的判断矩阵，称为残缺判断 残缺判断的处理 ★显然，判断矩阵残缺程度越高，对排序的正确性影响越大，因此有必要 研究什么样的残缺矩阵是“可接受的”。 ★ 残缺判断可接受的条件 定义1 一个残缺判断矩阵称为是可接受的，如果它的任一残缺元素都可 通过已给出的元素间接获得，否则就是不可接受的。 （注：残缺元素的间接获得，如元素aij可以通过aikakj获得，也可以通过 aikakmamg…axj获得。如果这种间接渠道较多，那么就有可能对残缺元素 作出比较正确的估计。）
排序权值，这一过程即求层次单排序。（相关理解见注解）



max
，再利用它对
最大特征值和特征向量的计算 由于判断矩阵中的元素
a
ij 的给出是比较粗糙的，当n很大时，计算

max
和W很麻烦，因此，在计算判断矩阵的最大特征值和特征向量时可以采取
近似计算。常用的方法有：方根法、和法、特征根法。由于MATLAB软

判断矩阵元素量化标度

根据心理学家的研究认为，人们区分信息等级的极限能 力为7±2的大致幅度。因此Saaty提出判断矩阵标度应取 1～9之间的数值，详见表五。

显然判断矩阵A=（bij)n×n是正互反阵，因为bii=1,
bij=1/ bji
另外，n×n阶判断矩阵只需给出n(n-1)/2个判断数。
续—判断矩阵
CI
max
max
n
n 1
当

n 时，CI=0，表示判断矩阵具有完全的一致性。CI>0时，
CI RI
需要用CR检验后才有结论。
（2）CR称为判断矩阵随机一致性指标： CR
式中RI为平均随机一致性指标，见下表
表十一 平均随机一致性指标RI(1～9阶正互反阵取样1000得到的平均值）
矩阵阶数 RI 使用条件 1 0 2 0 3 0.58 4 0.96 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45
有可能导致决策失误，而且上述各种计算排序权重的方法当判断矩阵过
于偏离一致性时，其可靠性也就值得怀疑。因此，需要对判断矩阵的一 致性进行检验。

检验一致性的指标
检验判断矩阵是否有一致性，用两种指标进行检验：CI与CR（Saaty首 先提出），步骤为：
续—层次单排序与一致性检验
（1）CI称为判断矩阵偏离一致性指标：
CI
max
n
n 1

3.1190 3 0.0595 3 1
2 5 1 A 1 2 1 7 1 5 1 7 1
CI 0.0595 CR 0.1026 RI 0.58
可见此判断矩阵具有较好的一致性。
（四）层次总排序与一致性检验

层次总排序的概念 层次单排序后，还需要进行层次总排序，即计算同一层次所有元素对于最高层（总目标）相对 重要性的排序权值，称为层次总排序。这一过程是由最高层到最底层逐层进行的。
则层）、最底层（方案层），各层可以根据问题的需要细分为若干子层。最 高层只有一个元素 ，用于分析预定目标或结果，中间层可由若干准则、子准 则层组成。最底层则由为实现目标而提供选择的各种措施与决策方案组成， 也称方案层。 2.每一层次中各元素所支配的元素一般不超过9个。


续—层次结构图

特点 1.元素按从上到下的顺序进行支配，同一层次元素之间不存在支 配关系； 2.目标层只有一个元素，每个元素所支配的元素不超过9个，否 则需要进一步分组。（图例说明）
一、层次分析法概述
问题的提出:日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时,需 要依据一定的标准选择某一种方案。 例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因 素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。 例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去 山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选 择去哪个地方。 例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一 般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。 面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。 这个过程主观因素占有相当的比重，给用数学方法解决问题带来不便。

产生判断矩阵的判断数（bij)的方法

判断矩阵的判断数不应该由个别人主观估计，而应该请有责任感且
是内行的多位专家参与估计。一般来讲，方案（措施）层的判断矩
阵估计关系到决策质量，因此人员结构与专家数目wenku.baidu.com特别慎重。

专家估计判断矩阵元素的方法

有静态法和动态法两种。所谓动态法，就是给定一个n×n阶方阵， 按表五要求，估计出n(n-1)/2个判断数。此法简单扼要，应用较广。 但要让专家直接在判断矩阵上标出1～9数值一般不太容易，所以常 用一种称为静态法的方法，即不去比较同一层面各元素之间谁轻谁 重，孰优孰劣，而是进行单个元素与上个层面的目标（准则）对比。 示例见表六。显然专家填列此表不会感到困难。

层次总排序的计算 设准则层C包含m个元素C1、C2、…、Cm，它的层次总排序权值为a1、a2、…、am;方案层P包含 n个元素P1、P2、…、Pn，它们对于Cj的层次单排序权值分别记为b1j、b2j、…、bnj(j=1,2, …,m)， 则P层次总排序权值如表十二所示。 层次总排序的一致性检验 检验是从最高层到最底层逐层进行的。设P层中的元素对Cj的单排序的一致性指标为（CI）j， 随机一致性指标是(RI)j，则P层总排序随机一致性指标为：

CR
当CR<0.1时，认为层次总排序具有满意的一致性。
a a
j 1 j 1 m
m
j
(CI ) j ( RI ) j
j
（五）决策过程

构造AHP模型，主要是产生各项指标（准则）的总排序权值。有了总排 序后，再输入方案（措施）层的有关信息，便可以进行决策了。

AHP决策有两种方法： 第一种决策方法是对方案层构造判断矩阵，最终产生方案层的总排序，
A2
0 A4
形式，则A称为可约
2 1 0 0 0 1
wi wi wk wj wk w j
即
a ik a kj a ij i, j 1,2,, n
在正互反矩阵A中，若 a ik a kj a ij , 则称A为一致阵。
（三）层次单排序与一致性检验

层次单排序 ☆ 在构造判断矩阵之后，解出判断矩阵的最大特征值
应的特征方程 AW W ，解出对应的特征向量W， W经过标准 max 化后，即为同一层次中相应元素对于上一层次中的某个因素相对重要性的
量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次
分析法是系统分析的数学工具之一。
1.什么是层次分析法？
2.层次分析法适用范围 3.层次分析法的优点
二、层次分析法建模的基本步骤
层次分析法的基本思路： 选择钢笔 质量、颜色、价格、外形、实用 钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4 质量、颜色、价格、外形、实用进行排序

实例 1.择校问题 2.合理使用企业利润问题
（二）判断矩阵

判断矩阵的概念

判断矩阵是指层次结构图上某一层面各个元素之间关于上一层次中
某一准则的相互重要性给以量化判断所构成的方阵。构造判断矩阵
是进行层次分析的关键。

判断矩阵的框架结构(我们用图1所示的层次结构图分析说明)

包括面向紧上层面的目标（准则），与之相关联元素组成的方阵，
层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。 用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。 例如 一块石头重量记为1，打碎分成 n个小块，各块的重量 分别记为： w1 , w 2 , , w n 则可得成对比较矩阵 可以看出
1 w 2 A w1 wn w 1 w1 w2 1 wn w2 w1 wn w2 wn 1
续—判断矩阵

静态判断值转化为动态判断值的方法
如何将专家静态法产生的判断数，转化为n×n阶判断矩
阵元素bij，是静态法是否有使用价值的关键——
1.静态法与动态法数值转化对应表（见表七）
2.应用举例 试将表六中静态判断值转化为动态判断值（见表八～十）
（三）层次单排序与一致性检验

层次单排序、判断矩阵一致性的概念
4.层次总排序及其一致性检验 计算各元素对于系统目标的总排序权重，
并进行排序。
三、层次分析法各步骤的实现过程
（一）层次结构图（层次结构模型） 概念 由目标层、准则层（指标层）、方案层等组成的多层次树状或网
状图，称为层次结构图。不论多指标决策是复杂或简单，都可以 画出层次结构图。 分类 根据自上而下的支配关系的不同，层次结构图又分为树状图和网 状图。 示例如图 说明 1.对于一般的决策层次分析模型可分为三层：最高层（目标层）、中间层（准
一、层次分析法概述
T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理上述这类问题 的实用方法——层次分析法（Analytic Hierarchy Process,简称AHP) 层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。 过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者 用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大
即A=（bij)n×n。如图1，第二层面有三个元素，即B1、B2、B3，针对 上一层面A目标的Bj之间重要性判断矩阵的框架结构如表一。

第三层面有六个元素，针对第二层面Bj目标，可以写出Cj之间的重
要性判断矩阵有三个，见表2～4。

依此类推，可以写出第四面Sj之间的重要性判断矩阵六个。
续—判断矩阵
将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序
经综合分析决定买哪支钢笔 与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。
二、层次分析法建模的基本步骤
运用层次分析建模，大体上可按下面四个步骤进行： 1.建立层次结构模型 分析系统中各因素间的关系，建立系统的递阶层 次结构； 2.构造判断矩阵 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵； 3.层次单排序与一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的 相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验；

续残缺判断处理
定理1 一个残缺判断矩阵A可接受的必要条件是除对角元素外，每行每列 至少有一个给定元素。
为讨论残缺矩阵的可接受性，我们用“θ”表示残缺元素，若把θ看成0元素
时，就有： 定理2 一个残缺判断矩阵A可接受的充分必要条件是A是不可约矩阵。
（注：方阵A若能用行列同时调换化为 A1

1 矩阵，否则A称为不可约矩阵。这里A1、A4都是方阵。如 1 / 2 0