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层次分析法建模课件层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。
吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。
传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。
基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步骤（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。
参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社一、问题举例：A．大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。
就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉-Reputation ）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升（promote, promotion ）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。
问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？Ｂ.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。
高考志愿选取的层次分析一.引言大学是广大中学生心目中神圣的知识殿堂，对于每个拥有“大学梦”的中学毕业生来说，填报高考志愿是他们通向高等学府关键的一步。
在填报高考志愿时，学生和家长往往要考虑各种因素来权衡利弊以做出最优决策，但面对错综复杂的情况在紧迫的时间里又很难做出正确的选择，而如果他们填报志愿不得当，又势必会对今后的发展有所影响，甚至于终生遗憾。
因此在这里，我将综合学生在报考时最关心的几个因素，帮助他们进行定量分析，以便更合理地填报高考志愿。
二.问题的分析对于填报高考志愿这一事件，要想做出最优决策，需要考虑的因素很多，而在这些因素中有些可以定量化，有些只有定性关系。
为将半定性、半定量问题转化为定量问题，可以采用层次分析法。
这种方法可以将各种有关因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为决策提供可比较的定量依据，所以针对填报高考志愿这一事件，我们将采取层次分析法。
首先，我们确定目标为：填报高考志愿（A），这里考虑的主要因素有：学校声誉（B1）、教学水平（B2）、学校环境（B3）、兴趣爱好（B4）、报考风险（B5）、毕业后出路（B6）、地理位置（B7），同时在教学水平（B2）中我们还要同时考虑教师水平（C1）、学生水平（C2）、教学设备（C3）这三个子因素。
最后我们将从学生提出的八个志愿中，选择出最佳的四个。
为了形象地表示出它们的关系，我们列出了它们之间的关系，如图三. 建立模型（一）构造成对比较阵面临的决策问题是：要比较n 个因素x 1，x 2…，x n ，对目标A 的影响，我们要确定它们在A 中所占的比重，即这n 个因素对目标A 的相对重要性。
我们用两两比较的方法将各因素重要性的定性部分数量化。
设有因素x 1，x 2…，x n 每次取两个因素x i x j ，用正数a ij 表示x i 与x j 的重要性之比。
由全部比较结果得到矩阵A=（a ij ），称作成对比较阵A 。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nm n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,212,2221112,11 显然有n j i a a a ij ijij ≤≤>=,1,0,1。
层次分析法实例与步骤结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。
【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。
除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。
1. 建立递阶层次结构应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。
AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：●目标层（最高层）：指问题的预定目标；●准则层（中间层）：指影响目标实现的准则；●措施层（最低层）：指促使目标实现的措施；通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。
然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次1元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配），不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。
在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是明显的。
最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层）。
明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。
【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：广东金融学院参赛队员(打印并签名) ：1. 曾彬2. 曾庆达3. 陈佳玲指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2013 年8 月 22日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：高校学生评教系统改进的研究摘要本文是研究关于高等学校学生评价教师的评价系统问题，用层次分析法确定了十项指标的权值,并给出了一个新的评教分数的计分模型-模糊综合评价模型。
本文亮点在于采用基于层次分析法的模糊数学模型。
首先，建立层次分析模型，充分考虑每个指标对综合评价的贡献，并把贡献按权值进行分配；通过层次分析法中的归一化处理，得到两两指标间的相对重要性的定量描述，从而解决不同指标间的差异。
其次建立模糊综合评教模型，输入一组专家（同学）的模糊评价，通过最大隶属度原则把模糊评价输出为综合评价。
最后本文在难易程度不同的课程下（在专业必修课，专业选修课，公共选修课下进行评价），得出同一教师的综合评价，发现其在不同课程下的综合评价均相同。
于是得出结论，该模型的确能解决不同课程难易程度带来的对总体评教的影响。
因为一个教师的综合教学质量并不应该在不同的课程下得到变化较大的评教。
数学建模队员的选拔层次分析法一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。
但在对参赛队员进行选拔时,往往会遇到很多难题,以致有时并不能选出真正优秀的队员代表学校参加全国竞赛。
本文通过对学生自身具备的与数学建模有关的素质的考察,解决了选拔参赛队员及确定最佳组队的问题。
本文主要采用层次分析法,通过对建模队员的综合能力以及专项能力的考察,综合考虑个人的指标以及整队的技术水平,给出了选拔队员的模型,并最终从15名队员中选出9名数学建模队员的选拔摘要一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。
但在对参赛队员进行选拔时，往往会遇到很多难题，以致有时并不能选出真正优秀的队员代表学校参加全国竞赛。
本文通过对学生自身具备的与数学建模有关的素质的考察，解决了选拔参赛队员及确定最佳组队的问题。
本文主要采用层次分析法，通过对建模队员的综合能力以及专项能力的考察，综合考虑个人的指标以及整队的技术水平，给出了选拔队员的模型，并最终从15名队员中选出9名优秀队员组成三队，建立了最佳的组队方案。
问题一，我们给出了选拔队员时应考察的情况，并针对数学建模应具备的关键素质，给出了相关素质的权重。
问题二，我们全面考察了15名队员的六项指标，并利用层次分析法及matlab 编程求出了各指标的权重，然后根据权重得到15名队员的的综合排名，最后剔除后六名，得到前九名队员，依次是：S2,S,S14,S8,S11,S4S10,S6,S13。
为了 1组成3个队，使得这3队的整体水平最高，我们建立了求每个队竞赛水平的模型，根据题目要求，为使三名队员的技术水平可以互补，参赛学生最好来自不同专业，我们在多种组合方式下经计算比较后得到最佳组合方案。
如下表：问题三，我们如果只考察计算机而不考察其它能力，选出最佳队员S11和S13,其成绩分别为第五和第九，并非特别拔尖。
而且通过对计算机编程能力在关键素质中所占的比例24.9%分析（1/4不到），这种直接录用的选拔方式，有可能影响队伍的总体水平，而且有失公平，所以不可取。
层次分析法及其建模过程
层次分析法（简称AHP）是一种系统决策分析和评价的技术。
是基于等级量
表建模和确定性分析法的一种灵活但受限制的方法，主要用于比较一组可比较的对象或方法之间的优劣或对不同目标的重要性，以便给出一个最佳的决策或最优的解决方案。
层次分析法的建模过程主要包括六个步骤：首先识别出涉及的所有的、及其他的活动，或把他们细分成多个层级；其次，确定各个层级之间的关联性；然后，确定每个层级下对象和事物之间的关系；接着，在层级之间记录评价指标和优先级；接下来，使用算法进行数据处理，以确定模型最后，采取相应措施并落实决策。
首先，要在层次分析法建模中，要识别所有涉及的活动或把他们细分成多个层级；在确定各个层级之间的关联性之前，需要对每个层级的层级成员进行准确的识别，包括范围、目的、内容等；确定层级下各个对象和事物之间的关系时需要考虑层级与层级之间的优劣关系，以及层级内部各个元素之间的优劣关系；记录评价指标和优先级时，可以根据客观评价标准，分数系统或等级量表等形式，确定各个层级活动之间具体的数字优先级关联；使用算法进行数据处理，并采取相应措施以落实决策。
总之，层次分析法是一种有效的决策分析和评价的技术，其建模过程主要包括
识别及关联、确定比较对象和方法之间的优先级、跌代记录指标和优先级、使用算法处理数据、落实决策等步骤。
它可以帮助我们研究者准确分析和评估问题，给出最佳的解决方案，同时可以作为评价复杂问题的有效的管理手段。
层次分析法及其应用摘要在日常生活中我们会遇到许多决策问题，处理决策问题时，要考虑的因素很多。
此文把层次分析法及其应用分为四个部分进行介绍，首先对层次分析的背景、现状、目的，其次对层次分析的原理进行分析，在运用层次分析和评价或决策时，按四个步骤进行描述：建立层次结构模型；构造成对比较矩阵；计算权向量并做一致性检验；计算组合权向量并做组合一致性检验，再次对层次分析的举例分析并行应用，最后进行总结。
关键词：层次分析法基本原理举例分析应用1、绪论层次分析法（The Analytic Hierarchy Pricess，以下简称AHP）是由美国运筹学家、匹兹堡大学萨第（T.L.Saaty）教授于本世纪70年代提出的，他首先于1971年在为美国国防部研究“应急计划”时运用了AHP，又于1977年在国际数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模—层次分析法”一文，此后AHP在决策问题的许多领域得到应用，同时AHP的理论也得到不断深入和发展。
目前每年都有不少AHP的相关论文发表，以AHP为基本方法的决策分析系统—“专家选择系统”软件也已早推向市场，并日益成熟。
AHP于1982年传入我国。
在当年召开的中美能源、资源、环境会议上萨第教授的学生高兰尼柴（H.Gholamnezhad）向中国学者介绍了这一新的决策方法。
随后，许树柏等发表了发表了国内第一篇介绍AHP的文章“层次分析法—决策的一种实用方法”（1982年）。
此后，AHP在我国得到迅速发展，1987年9月我国召开了第一届AHP学术讨论会，1988年在我国召开了第一届国际AHP学术会议，目前AHP在应用和理论方面得到不断发展与完善。
它的主要特点是定性与定量分析相结合，将人的主观判断用数量形式表达出来并进行科学处理，因此，更能适合复杂的社会科学领域的情况，较准确地反映社会科学领域的问题。
同时，这一方法虽然有深刻的理论基础，但表现形式非常简单，容易被人理解、接受，因此，这一方法得到了较为广泛的应用。
层次分析法建模层次分析法(AHP)是一种用于多准则决策的定量分析方法，最早由美国学者托马斯·S·萨亚基提出，常用于解决复杂的决策问题。
AHP方法通过构建层次结构模型，并运用专家主观判断与数学计算相结合的方法，评估多个准则的重要性，并最终选择最佳方案。
AHP方法的优势在于，能够将主观因素与客观因素相结合，充分考虑决策者的主观意见，并且能够提供较为可靠的决策结果。
下面将介绍AHP 方法的建模过程。
首先，我们需要明确决策的目标是什么。
然后，将目标拆分成若干个层次，形成一个层次结构。
层次结构通常包括目标层、准则层和方案层。
目标层表示最终的决策目标，准则层表示实现目标所必须满足的准则，而方案层则表示可以选择的方案。
例如，假设我们要购买一辆新车，目标层为“购买一辆适合自己的车”，准则层可以包括“价格”、“品牌口碑”、“性能”等，方案层可以包括“A品牌的小型车”、“B品牌的中型车”等。
接下来，我们需要对每个层次的准则和方案进行两两比较，以确定其重要性。
比较的方法是两两比较矩阵。
对于准则层，我们可以将每个准则之间的重要性按照9点标度进行比较，其中1表示两个准则具有相同的重要性，9表示一个准则比另一个准则重要性高很多。
对于方案层，我们可以将每个方案与每个准则之间的重要性进行比较。
比较的结果可以用一个判断矩阵表示。
然后，我们需要计算每个层次的权重。
对于准则层，我们可以通过计算准则之间的重要性判断矩阵的特征向量来得到各准则的权重。
对于方案层，我们可以通过计算方案与准则之间的重要性判断矩阵的特征向量来得到各方案的权重。
最后，我们可以通过计算方案的综合得分来确定最佳方案。
综合得分可以通过将每个方案的权重与各准则的权重相乘并求和得到。
AHP方法的建模过程相对简单，但是需要决策者对各准则和方案之间的重要性进行准确评估。
因此，选择合适的专家和确保专家对决策问题有足够的了解是非常重要的。
总之，层次分析法是一种用于多准则决策的定量分析方法。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模队员的选拔-层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种多准则决策方法，通过构造层次结构分析问题，通过对于决策中所涉及的因素和目标进行层次分解，将问题的各部分分解成若干层次，在该层次结构中使用定量和定性的方法来描述因素之间的关联和权重。
本文将利用层次结构模型，以及层次分析法，对数学建模队员的选拔进行分析。
层次结构模型在进行数学建模队员的选拔中，影响选拔的多个因素可以构建成一个层次结构模型。
例如：在数学建模队员选拔中，可以将最终选出的队员作为最终的目标，而影响选拔的因素可以分解成以下多个因素：1.专业水平：参赛者们的数学水平、学习能力、逻辑思维等问题。
2.团队合作能力：参赛者是否适应团队合作及与人组队互动等问题。
3.沟通和表达能力：参赛者的表达能力、口头和文字沟通交流等问题。
4.个人素质：如责任感、进取心、合作精神、团队协作精神等。
层次分析法在层次分析法中，问题通常首先进行分层，使用准则、子准则和指标以及目标来描述问题，并按照这种结构构造一个具有层次结构特征的问题描述。
接着，将问题中的各个层次之间的依赖关系描述出来，并将各个准则、子准则、指标和目标的重要性大小转化为数量化的比较关系。
比较矩阵是层次分析法中的核心概念。
比较矩阵是一种用于比较各个因素之间差异的矩阵视图，在比较矩阵中，每一个单元格代表两个不同的元素之间的相对权重。
比较矩阵的各行数值之和为1。
以数学建模队员选拔的专业水平为例：在该因素层面上考虑选择队员是否有良好的数学水平、学习能力、逻辑思维；在这些因素比较中，可以进行两两比较后形成下图所示的矩阵视图。
| 比较矩阵 | 数学水平 | 学习能力 | 逻辑思维 ||--------------|----------|----------|----------|| 数学水平 | 1 | 3 | 5 || 学习能力 | 1/3 | 1 | 3 || 逻辑思维 | 1/5 |1/3 | 1 |上表中的数字代表数量级：按比例表示数据之间的重要程度或优先级，并且满足归一化性质：对于矩阵中的每一列，它们的权重比之和应为1。
层次分析法法建模
一、AHP简介
AHP(Analysis Hierarchy Process)，即层次分析法，是一种从抽象的多个目标到具体决策的一种分析方法，它由美国系统工程师 Thomas Saaty 于1970年提出，它利用层次结构表示影响多元决策的各因素之间的相互关系，采用数学模型进行综合比较，把多样性、复杂性及无序综合化，转变成一个有序的决策过程。
二、AHP的基本原理
（1）设定目标待决策的层次结构，并建立多个分支，形成一棵决策树。
（2）比较每一对相邻层次因素，将它们的相互关系表示为一个矩阵大小。
（3）从矩阵大小求出矩阵的特征值及特征向量。
（4）根据特征值来判断比较矩阵的相似程度，选出最大特征值及其对应的特征向量。
（5）根据特征向量算出权值，从而确定决策问题的最优解。
三、AHP的应用
AHP方法提供了一种科学、系统的方法，它适用于复杂的决策问题，可以将复杂问题转化为可以解决的层次分析问题，实现有效的决策过程。
AHP方法可以用于企业管理、决策分析、公共安全、计算机技术、政府管理、商业投资、优化设计等。
数学建模中的多目标决策与多准则决策在数学建模中，决策问题一直是一个重要而复杂的研究领域。
在实际应用中，我们常常会面临多个目标和多个准则的抉择，这就需要采用多目标决策和多准则决策的方法来解决。
本文将讨论数学建模中的多目标决策与多准则决策的应用和方法。
一、多目标决策多目标决策是指在决策问题中，存在多个相互联系但又有所独立的目标，我们需要在这些目标之间进行权衡和取舍。
多目标决策的核心是建立一个评价指标体系，将多个目标统一地考虑在内，并找到一个最优化的结果。
在多目标决策中，我们可以采用多种方法来求解最优解。
其中比较常用的方法有以下几种：1.加权法：加权法是将每个指标的重要性进行加权后进行综合评价，得到一个加权和最大的方案作为最优解。
这种方法简单直观，但也存在一定的主观性。
2.约束法：约束法是在满足一定约束条件的前提下，使目标函数最小化或最大化。
通过对各个目标进行约束，可以有效避免因为某个目标过分追求而导致其他目标的损失。
3.非支配排序遗传算法：非支配排序遗传算法是一种基于进化计算的多目标优化算法。
通过对候选解进行非支配排序，并根据解的适应度进行遗传操作，最终得到一组非劣解。
二、多准则决策多准则决策是指在决策问题中，存在多个相互独立但又有一定重叠性的准则，我们需要在这些准则之间进行权衡和衡量，找到最优的方案。
多准则决策通常需要考虑到几个关键因素：准则权重、准则的计算方法和准则的分值范围等。
在多准则决策的过程中，我们可以采用以下几种方法：1.正交实验设计法：正交实验设计法是一种常用的多准则决策方法。
通过合理选择实验设计方案，对多个准则进行全面而又系统地评估，得到最终的决策结果。
2.层次分析法：层次分析法是一种定量分析问题的层次结构的方法。
通过构建层次结构模型，并通过对每个层次的准则进行权重赋值，最终得到一个最优方案。
3.模糊综合评判法：模糊综合评判法是一种基于模糊数学的多准则决策方法。
通过将准则的评价结果转化为模糊数，并进行模糊集的运算，最终得到一个最优的决策方案。
层次分析法在数学建模中的应用 摘要：人们在生活中处理一些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是
一个共同的特点是它们通常都涉及到经济 、社会、 人文等方面的因素。在作比较、 判断 、 评价、 决策时，这些因素的重要性 影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起 着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。这是就有人提出 了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法，这是一种定性和定量相结 合的、系统化、层次化的分析方法。以及在对层次分析法的引入基础之上，建立层次分析模 型，并给出了层次分析的求解过程，以及在现实生活中的应用。
关键词：层次分析法；成对比较矩阵；权向量；一致性指标；一致性比率
一． 问题的提出：人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：请朋友吃饭要筹划是办家宴还是去饭店，是吃中餐、西餐还是自助餐；假期旅游和科研成果的评价。诸如此类问题面临抉择，就要慎重考虑，反复比较，尽可能满意的决策。 然而人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及经济社会和人文等方面的因素。在做比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度难以量化，人的主观选择会起着相当重要的作用。T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称为层次分析法（简称AHP），这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。 二． 层次分析法的基本步骤 1.将决策问题分解为三个层次。最上层为目标层，最下层为方案层，中间层为准则层。 2.通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重，这些权重在人的思想过程常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。 3.将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。 三． 构造成对比较阵、计算权向量并做一致性检验；计算组合权向量并做组合一致性检验。 1.成对比较矩阵和权向量 所有因素两两相互对比，对比时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互对比的困难，提高准确度。 假设要比较某一层n个因素对12,nccc上层一个因素O的影响，每次取两个因素iC和jC。用ija表示iC和jC对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵。 A=(ija),ija>0, jia=1/ija﹙由于此式给出的ija的特点，A称为正互反矩阵，
iia=1﹚ 一般地，如果一个正互反矩阵A满足ija•jka=ika。ijk=1,2n;则称A为一致阵，证明n阶一致阵A有下列性质。 ① A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。 ② A的任一列向量都是特征根n的特征向量。 权向量：如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n的归一化的特征向量。（即分量和为1）表示诸因素对上层因素O的权重。此向量称为权向量。记，作为权向量即满足A=。 通常在层次分析法的应用中都会采用1-9尺度即比较尺度。（如下表1所示） 尺度ija 含义 1 3 5 7 9 2 4 6 8 1，1/2，1/9 与的影响相同 比的影响稍强 比的影响强 比的影响明显的强 比的影响绝对的强 与的影响之比在上述两个相邻等级之间 与的影响之比为上面ija的互反数 （表1） 2 一致性检验 n阶正互反矩阵A的最大特征根为n，且（此为一致阵时）n阶正互反矩阵A的最大特征根是≥n，而当=n时是一致阵。 CI=-n/n-1此为一致性指标，（CI=0时A为一致阵）CI越大A不一致程度越严重。 为了确定A的不一致程度的容许围，需要找出衡量A的不一致性指标CI的标准，则需要引入随机一致性指标RI。（可以参考随机性一直性指标RI的数值） RI的计算过程为：对于固定的n，随机地构造正互反阵A，然后计算A的一致性指标CI。 将成对比较阵A（n≥3）的一致性指标CI与同阶的随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR。当CR<0.1时认为A的不一致程度在容许围之。（即一致性检验通过） 3 组合权向量 计算个方案对目标的权向量，称为组合权向量。相类似于以上的方法做一致性检验。 pCR=pCI∕pRI0.1 (R=34s)； 四 实例分析 1 科研成果评价的层次结构模型 通过对围绕科研成果评价的相关问题作深入分析，我们将影响科研成果评价的主要因素分解为4个层次，各层次的联系用相连的直线表示，它们构成了如图1所示的层次分析结构模型。其中第一层为目标层，第二层为准则层，第三层为子准则层，第四层为方案层。
其中各项符号表示如下： （图1） 11C：选题符合客观实际，理论依据正确；
12C：研究方案具有科学性；
13C：论证、推理合乎逻辑；
21C：对已有理论做出新的解释、论证，使原有理论深化；
22C：填补某项科学空白，具有国、国际意义；
23C：提出新理论、观点、概念，论证成立；
31C：研究成果为有关部门决策与管理提供参考依据，具有很高的适用价值；
32C：研究成果形成了可操作方法，实用性强，具有一定的推广价值；
33C：省、国学术界同行放映强烈，具有较高的引用率。
（一）模型的求解 1 计算成对比较矩阵。 为了客观地确定各项指标在评价指标体系中的权重，我们采用问卷调查的方式调
科研成果综合评科学性1B创造性2B实践性
3B
111213CCC 313233CCC 212223CCC
科研成果 查了高等专科学校的100名老师。问卷调查表设计了15个问题，每个问题为各个子准则对各个准则的影响大小，以及各个准则对目标的影响的大小单独评分。被调查人员就自己认为的权重大小进行打分，以此收集得到原始的评分数据。 根据调查结果，依据层次分析法常用的1-9尺度建立了准则层对目标层的成对比较矩阵如下：
113113111
33
（1）
在式（1）中：表示科学性1B与创造性2B对评价科研成果A的重要性之比为1；表示科学性1B与实践性对评价科研成果A的重要性之比为3，等等。在这里要注意的是成对比较阵中的元素应为1-9尺度中的数。 用同样的方法，我们构造出了子准则层的每一个准则的成对比较矩阵，它们分别为：
1B=11133131113 ， 2B=11333131113 , 3B=11133131113 (2)
这里的矩阵中的元素是子准则的比较尺度。 (二)计算权向量 利用和合法计算各成对比较矩阵的A, 1B,2B,3B的特征向量和特征根。其特征向量和特征根分别记为2w，31w，32w，33w和，1，2，3。计算如下： 2w=[0.43，0.43，0.14]；=3
21w=[0.2583，0.637，0.1047]；1=3.032
22w=[0.2，0.6，0.2]；2=3
23w=[0.2，0.6，0.2]；3=3
由于各矩阵均为一致性矩阵，不需要进行一致性检验。
（三）计算组合权向量。 上面已经得出了各准则对目标的权向量2w和各子准则层对每一准则的权向量3kw（k=1，2，3）。令 31w=21[,0,0,0,0,0,0,]Tw； 32w= 22[0,0,0,,0,0,0,]Tw； 33w= 23[0,0,0,0,0,0,]Tw； 以31w，32w，33w为列向量构成一个123阶矩阵3w，则子准则对目标层的权向量3w=3w2w=[0.11,0.27,0.02,0.09,0.26,0.09,0.03,0.08,0.03]T （四）结论 以上分析可知，在子准则层的九个影响因素中，“研究方案具有科学性”的权重排名第一，“填补某项科学空白，具有国国际意义”的权重名排列第二，这些结论与现实中的情况是比较符合的，如具体评价某项科研成果的价值，可由上级主管部门给出该科研成果相应于子准则层每项的分值，再乘以各指标在综合评价中的权重并求和，即为这项成果的综合绝对评价的分值。 2 电视剧选择的模型 本问题是一个层次分析模型，给出几种方案，并附出影响方案实行的几组因素，协调最有利因素达到最佳的抉择。简言之方案中如何利用数学方法建立起一个最佳方案的抉择。
图2 容：（过程与求解） 1 建立层次结构模型 2 构造成对比较矩阵 首先做出准则层对目标层的正互反矩阵
目标层 准则层 方案层 选择较为喜爱的电视剧 艺术性C1 教育性C2 娱乐性C3 西游记 P1 母亲 P2 清史 P3 雪 山 飞 狐 P4
