2019北京市高中合格性考试数学含答案

普通高中会考数学试卷（附答案）第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,3B =，那么集合A B 等于{}1,0,1-A. {}1-B. {}1C. {}1,1-D.{}1,0,1,3- 2．不等式220x x +-的解集为 A. {}21x x - B. {}12x x - C ．{}21x x x -或 D ．{}12x xx -或 3．已知向量a =（-1，2），b = (2，y)，且a //b ，那么y 等于A ．-4B ．-1C ．1D ．44．给出下列四个函数：①21y x =-+； ②y = ③2log y x =； ④3x y =．其中在区间(0，+∞)上是减函数的为A ．① B．② C．③ D．④5．把函数cos y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数关系式为 A ．s ()6y in x π=+ B ．s ()6y in x π=- C ． cos()6y x π=+ D ．cos()6y x π=- 6. 123log 94+等于A ．52B ．72 c ．4 D ．5 7．某校高中三个年级共有学生1500人，其中高一年级有学生550人，高二年级有学生450人，为了解学生参加读书活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为300的样本进行调查，那么应抽取高三年级学生的人数为A. 90B. 100C. 110D. 1208．已知数列{}n a 满足12n n a a --=（,2n N n +∈≥），且1=1a ，那3a 等于A. -3B. -1C. 3 D ． 59．已知5sin 13α=，那么sin()πα-等于 A ．1213- B ．513- C ．513 D. 121310.某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的S 的值是A. 12B. 19C. 22D. 3211.已知0a ．那么4a a+的最小值是 A.1 B ．2 C ．4 D.512．已知4sin 5α=，那么s2co α等于 A ．2425- B ．725- C ．725 D. 242513.当实数,x y 满足条件102200x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩时，z x y =+的最大值为A. -2 .B. -1C. 1 D ．214.某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是A ．3B ．33C ．6D ．6315.在ABC ∆中，03,2,60a b A ===,那么sin B 的值为A ．13B ．2C ．23D. 6 16.已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为A. 450B. 600C. 900D. 135017.大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是A ．13B ．12C ．23 D. 34 18.函数()ln 2f x x x =+-的零点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 319.已知D 为原点，点P 在直线10x y +-=上运动，那么OP 的最小值为A．2B ．1 CD. 20．已知数列{}n a 中，13=4a ，111n n a a -=-（,2n N n +∈≥），那么2018a 等于 A ．13- B ．34c ．2 D ．4 21．直线l ：3450x y ++=被圆M ：22(2)(1)16x y -+-=截得的弦长为 AB ．5 C． D ．1022.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七 十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……”那么该人第一天走的路程为A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里23.已知直线,,m n l ，平面,,αβγ，给出下面四个命题：①//αββγαγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ ②//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭③//l m m n l n ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ ④//////m n m n αα⎫⇒⎬⎭ 其中正确的命题是A ．① B．② C ．③ D．④24.给出下列四个函数：① ()sin f x x =; ②1()f x x= ; ③2()f x x =; ④()ln f x x = 对于()f x 定义域中任意的x ，满足不等式“[()x f x t +-()]0(0)f x t≥”的函数是A ．①② B．①③ C．②③ D．③④ 25.在2018年3月5日召开的第十三届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理代表国务院向大会报告政府工作，报告中指出：十八大以来的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年．五年来，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7. 1%，占世界经济比重从11. 4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，经济实力跃上新台阶，居民消费价格年均上涨1.9%，保持较低水平．2018年2月国家统计局发布了《2017年国民经济和社会发展统计公报》，其中“2017年居民消费价格月度涨跌幅度”的折线图如下图：说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2017年12月与2016年12月相比较；同比增长率=（本期数一同期数）÷同期数×100%. 环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2017年12月与2017年11月相比较；环比增长率=（本期数一上期数）÷上期数×100%.根据上述信息，下列结论中错误的是A ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌B ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大C ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌D ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大第二部分 解答题（每小题5分，共25分）26.（本小题满分5分）已知函数()3sin 2cos 2f x x x =+． (I)函数()f x 的最小正周期为 ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）( II)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．27.（本小题满分5分）如图，在三棱锥P- ABC 中，PA 上平面ABC ，AB= BC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点．( I)求证：PA∥平面BEF;(Ⅱ)求证：BE ⊥平面PAC ．28.（本小题满分5分）已知数列{}n a 是等差数列，且2=3a ，4+a 6=12a ．(I)数列{}n a 的首项1=a ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） (Ⅱ)数列{}n b 中，2n a n b = (n N +∈)，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，当n S ≤60时，求n 的最大值．29.（本小题满分5分）已知点P （-4，0）在圆O ：222x y r += (r>0)上，直线l 与圆O 交于A ，B 两点，且与圆C ：22(1)(1)2x y +++=交于M ，N 两点．( I)圆O 的方程为____；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） (Ⅱ)如果点M 为线段AB 的中点，且PM PN =，求直线l 的方程．30.（本小题满分5分）自然界的资源和空间是有限的，所以很多种群的增长呈“S”型曲线．“S”型曲线在社会学、生物统计学、临床、市场营销等很多方面都有广泛的应用．下面我们 来研究一类“s”型曲线，它的函数表达式为1()x f x a be-=+（其中,a b 是非零常数，无理数e=2. 71828…）． (I)当2,1a e b =-=时，函数()f x 的定义域是 ；（将结果直接填写在答题卡．．． 的相应位置上）(Ⅱ)如果0ab ，且0a b +，试证明函数()f x 的图象在直线1y a=的上方； (Ⅲ)如果函数()g x =()f x 12-的图象关于原点对称，求,a b 的值．。

2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2M =，{}2,3N =，那么M N ⋂等于（ ） A.φ B.{}1C.{}2D.{}3【答案】C【解析】根据交集运算直接写出结果. 【详解】因为{}1,2M =，{}2,3N =，所以{}2M N =，故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.2．已知向量()2,1a =r，()0,2b =- ，那么a b + 等于（ ）A.()2,3B.()21，C.()20，D.()2,1-【答案】D【解析】根据向量加法的坐标运算直接写出结果. 【详解】因为()2,1a =r，()0,2b =-，所以()()()20,122,1a b +=++-=-，故选：D. 【点睛】本题考查向量加法的坐标表示，难度较易.3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（ ） A.12B.14C.18D.116【答案】B【解析】根据随机事件的概率计算完成求解. 【详解】可能出现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则14P =， 故选：B. 【点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）÷（基本事件的总数）. 4．圆心为()2,3A -，半径等于5的圆的方程是( ) A.22(2)(3)5x y -++= B.22(2)(3)5x y ++-= C.22(2)(3)25x y -++= D.22(2)(3)25x y ++-=【答案】C【解析】对比圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=进行判断即可. 【详解】因为圆心(),a b 即为()2,3-，半径=5r ，所以圆的标准方程为：()()222325x y -++=，故选：C. 【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.5．已知向量()2,1a =-r，()1,b m =，且a b ⊥，那么m 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】根据向量垂直对应的坐标关系计算出m 的值. 【详解】因为a b ⊥，所以()2110m -⨯+⨯=，所以2m =， 故选：C. 【点睛】本题考查向量垂直对应的坐标表示，难度较易.已知()11,a x y =r ，()22,b x y =r，若a b ⊥，则有：12120x x y y +=.6．直线30x y +-=与直线10x y -+=的交点坐标是( ) A.()2,2 B.()2,2-C.()1,3-D.()1,2【答案】D【解析】联立二元一次方程组求解交点坐标. 【详解】据题意有：31x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,2，故选：D. 【点睛】本题考查利用直线方程求解直线交点坐标，难度较易.直线的方程可认为是二元一次方程，两直线的交点坐标即为二元一次方程组的解对应的坐标形式.7．已知平面向量,a b 满足1a b ==r r，且a 与b 夹角为60°，那么a b ⋅等于( )A.14B.13C.12D.1【答案】C【解析】根据数量积公式完成计算. 【详解】因为11cos 1122a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的计算，难度较易. 8．函数()()lg 1f x x =-的定义域为( ) A.R B.()1,+∞C.()0,∞+D.(),1-∞【答案】B【解析】根据真数大于零计算出的x 范围即为定义域. 【详解】因为10x ->，所以1x >，即定义域为()1,+∞， 故选：B. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域，难度较易.对数型函数计算定义域，注意对应的真数大于零.9．已知点()1,1A -，()2,4B ，那么直线AB 的斜率为( )A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】根据斜率的计算公式直接计算出斜率. 【详解】因为()1,1A -，()2,4B ，所以()41121AB k -==--，故选：A. 【点睛】本题考查根据两点坐标计算出两点构成的直线的斜率，难度较易.已知()11,A x y ，()22,B x y ，则2121AB y y k x x -=-.10．为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A ，B 两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A 专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为( ) A.20 B.30C.40D.50【答案】C【解析】先计算出抽样比，然后根据（A 专业人数）乘以（抽样比）即可得到应抽取的人数. 【详解】据题意可知：抽样比为12016005=，则A 专业抽取人数为1200405⨯=人， 故选：C. 【点睛】本题考查分层抽样的应用，难度较易.若要计算分层抽样的每一层应抽取数量，先要计算抽样比，利用每一层数量乘以抽样比得到该层应抽取的数量. 11．()cos αβ-等于( ) A.cos cos sin sin αβαβ+ B.cos cos sin sin αβαβ- C.sin cos cos sin αβαβ+ D.sin cos cos sin αβαβ-【答案】A【解析】根据两角差的余弦公式直接得到结果. 【详解】因为()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 故选：A. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式的记忆，难度较易.12．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()12f -=-，那么()1f 的值为( ) A.0 B.12C.1D.2【答案】D【解析】根据奇函数找到()1f 与()1f -的关系即可计算出()1f 的值. 【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()112f f -=-=-，所以()12f =， 故选：D. 【点睛】本题考查根据奇函数的特性求值，难度较易.若()f x 是定义域内的奇函数，则有：()()f x f x -=-.13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( )A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】根据棱柱的体积公式求解直三棱柱的体积. 【详解】因为AB AC ⊥，所以322ABCAB AC S ⋅==； 所以11113232ABC A B C ABC V S AA -=⨯=⨯=，故选：B.【点睛】本题考查棱柱的体积计算公式，难度较易.棱柱体积计算公式：V S h =⋅，其中S 是棱柱的底面积，h 是棱柱的高. 14．13sin6π的值为( )A.12【答案】A 【解析】先将136π变形为[]2,,0,2k k Z απαπ+∈∈，然后根据诱导公式一计算结果. 【详解】 因为13266πππ=+，所以131sin sin sin 66226ππππ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一：()()sin 2sin k k Z απα+=∈，()()cos 2cos k k Z απα+=∈.15．函数()3f x x x =-的零点的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】将()f x 因式分解后即可判断零点的个数. 【详解】因为()()()311f x x x x x x =-=+-，所以令()0f x =则有：1x =-或0或1，即零点有3个， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点个数，难度较易.对于可直接进行因式分解的函数，可通过因式分解判断每个因式为零的情况，然后确定零点个数. 16．要得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．只需将函数2sin y x =的图象（ ） A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 【答案】A【解析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果. 【详解】根据相位变换的左加右减有：2sin y x =向左移动3π个单位得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减.17．直线l 经过点()1,1A ，且与直线230x y --=平行，则l 的方程为（ ） A.21y x =+ B.112y x =+ C.112y x =-- D.21y x =-【答案】D【解析】根据平行关系设出直线的一般式方程，代入坐标求解出一般式方程并转化为斜截式方程. 【详解】设l 方程为：()203x y C C -+=≠-，代入()1,1A 有：210C -+=，所以1C =-， 所以l 方程为：210x y --=，即21y x =-， 故选：D. 【点睛】本题考查根据直线间的平行关系求解直线的方程，难度较易.已知直线方程为：10Ax By C ++=，与其平行的直线方程可设为：()2120Ax By C C C ++=≠.18．如果函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象经过点()4,2，那么a 的值为（ ） A.14B.12C.2D.4【答案】C【解析】将点代入函数解析式中计算出a 的值即可. 【详解】因为()log a f x x =图象经过点()4,2，所以log 42a =，所以24a =且0a >且1a ≠，解得：2a =， 故选：C. 【点睛】本题考查根据对数函数图象所过点求解函数解析式，难度较易.通过函数图象所过点求解函数解析式的问题，可考虑直接将点代入函数解析式中求解参数值. 19．已知0.32=a ，32b =，12c -=，那么a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c a b >> D.c b a >>【答案】B【解析】根据指数函数单调性比较大小. 【详解】因为2xy =在R 上是增函数，又10.33-<<，所以10.33222-<<，所以b a c >>， 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幂的大小，难度较易.对于指数函数()xf x a=（0a >且1a ≠）：若1a >，则()xf x a =是R 上增函数；若01a <<，则()xf x a =是R 上减函数.20．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是（ ） A.4πB.2π C.πD.2π【答案】C【解析】利用二倍角公式先化简，然后根据周期计算公式计算最小正周期. 【详解】因为()1sin cos sin 22f x x x x ==，所以222T πππω===， 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式、周期公式的应用，难度较易.常见的二倍角公式有：2222sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x x x x ==-=-=-.21．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果30A =︒，45B =︒，2b =，那么a 等于（ ）D.3【答案】A【解析】根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a 的值. 【详解】由正弦定理可知：sin sin a b A B=，所以2sin 30sin 45a =︒︒，解得：a =故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.正弦定理对应的等式：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径）. 22．已知4sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()cos πα-等于（ ） A.45-B.35-C.35D.45【答案】B【解析】先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为1去计算相应结果. 【详解】因为()cos cos παα-=-；又因为22sin cos 1αα+=且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α==， 所以()3cos 5πα-=-， 故选：B. 【点睛】本题考查根据诱导公式求解给值求值问题，难度较易.利用平方和为1去计算相应三角函数值时，注意根据角度的范围去判断相应的三角形函数值的正负号.23．已知圆C ：2260x y x +-=与直线l ：10x y -+=，那么圆心C 到直线l 的距离为（ ）A. B.D.1【答案】B【解析】先确定圆心，根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离.【详解】圆的方程可变形为：()2239x y -+=，所以圆心C 为()3,0，所以圆心C 到l 的距离为：d ==故选：B. 【点睛】本题考查圆心的确定以及点到直线的距离公式，难度较易.圆的标准方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>，其中圆心为(),a b ，半径为r .24．已知幂函数()nf x x =，它的图象过点()2,8，那么12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A.18B.14C.12D.1【答案】A【解析】先通过函数图象过点()2,8，计算出n 的值，然后再计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为()nf x x =过点()2,8，所以28n =，所以3n =，所以()3f x x =，则3111228f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查幂函数的解析式求解以及根据幂函数解析式求值，难度较易.25．生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧．因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措．2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间[)300,350的户数为（ ）A.5B.15C.20D.25【答案】D【解析】计算出[)300,350的频率，用抽取的总数量乘以对应的频率即可得到对应段的户数. 【详解】根据频率分布直方图可知：[)300,350的频率为0.005500.25⨯=，所以用气量在[)300,350的户数为：0.2510025⨯=户，故选：D. 【点睛】本题考查根据频率分布直方图完成相应计算，难度较易,观察频率分布直方图时，注意纵轴并不表示频率，而是频率除以组距，因此每一段区间对应的小长方形的面积即为该段的频率.26．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果60A =︒，3b =，ABC ∆的面积S =a 等于（ ）B.7D.17【答案】A【解析】先根据面积公式计算出c 的值，然后利用60A =︒以及余弦定理求解a 的值. 【详解】因为1sin 242S bc A ===，所以2c =；又因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2194212a +-=，所以a =故选：A. 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择.27．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果//m α，n ⊂α，那么//m n ；②如果m α⊥，n α⊥，那么//m n ； ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果αβ⊥，m α⊂，那么m β⊥． 其中正确的命题是（ ） A.①② B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】通过判定定理、性质定理、定义、举例的方式逐项分析. 【详解】①如图所示长方体，11A C ∥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，但是11A C 不平行BD ，故错误；②根据垂直于同一平面的两条直线互相平行，可知正确；③根据两个平面平行时，其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面，可知正确；④如图所示长方体，平面ABCD ⊥平面11BCC B 且1BC ⊂平面11BCC B ，但此时1BC 显然不垂直于平面ABCD ，故错误；综上：②③正确. 故选：B. 【点睛】本题考查符号语言下的空间中的点、线、面的位置关系的命题的真假判断，难度一般.处理符号语言表示的命题真假的问题，常用的方法有：根据判定、性质定理直接判断；根据定义判断；根据示意图、举例判断.二、解答题28．某同学解答一道三角函数题：“已知函数()()2sin 22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，且()0f =（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间5,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应x 的值．” 该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）因为()02sin f ϕ==sin 2ϕ=．因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=．（Ⅱ）因为563x ππ-≤≤，所以2233x πππ-≤+≤．令3t x π=+，则223t ππ-≤≤．画出函数2sin y t =在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象， 由图象可知，当2t π=，即6x π=时，函数()f x 的最大值为()max 2f x =．下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．【答案】任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义，函数sin y x =的图象，三角函数的周期性，正弦函数在区间[]0,2π上的性质，参数A ，ω，ϕ对函数()sin y A ωx φ=+图象变化的影响．【解析】根据解答过程逐步推导所用的数学知识. 【详解】 首先22ππϕ-<<，这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由sin ϕ=ϕ的范围解出3πϕ=，这里涉及的是任意角的正弦的定义；解题时所画的图象涉及的是函数sin y x =的图象；作出图象后可根据周期性以及单调性计算出最大值，这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间[]0,2π上的性质；用换元法构造正弦函数的图象其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A ，ω，ϕ对函数()sin y A ωx φ=+图象变化的影响. 【点睛】本题考查三角函数章节内容的综合应用，难度一般.由解答的过程分析其中涉及的知识点，这种题型比较灵活，需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都很熟悉.29．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，点D ，E ，F 分别为PC ，AB ，AC 的中点．（Ⅰ）求证：//BC 平面DEF ； （Ⅱ）求证：DF BC ⊥．阅读下面给出的解答过程及思路分析．解答：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以①． 因为BC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以//BC 平面DEF ． （Ⅱ）证明：因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以②． 因为D ，F 分别为PC ，AC 的中点，所以//DF PA ．所以DF BC ⊥． 思路分析：第（Ⅰ）问是先证③，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问是先证④，再证⑤，最后证“线线垂直”．以上证明过程及思路分析中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置．【答案】①A ；②B ；③C ；④A ；⑤B ．【解析】①：由中位线分析；②线面垂直的性质分析；③由线线推导线面；④由线面垂直推导线线垂直；⑤由线线平行推导线线垂直.【详解】①因为EF 是中位线，所以//EF BC ，故选A ；②PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，可通过线面垂直得到线线垂直，故选B ；③通过中位线，先证线线平行，再证线面平行，故选C ；④根据PA BC ⊥可知：先证明线线垂直，故选A ；⑤由//DF PA 可知：再证线线平行，故选B. 【点睛】本题考查线线、线面平行以及线线、线面垂直的证明和理解，难度较易.证明线线平行多数情况可根据中位线或者证明平行四边形来解决问题，有时候也可以根据线面平行的性质定理去证明线线平行.30．某同学解答一道解析几何题：“已知直线l ：24y x =+与x 轴的交点为A ，圆O ：()2220x y r r +=>经过点A ．（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）若点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，求AB ．” 该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）令0y =，即240x +=，解得2x =-，所以点A 的坐标为()2,0-． 因为圆O ：()2220x y rr +=>经过点A ，所以2r =．（Ⅱ）因为AB l ⊥．所以直线AB 的斜率为2-．所以直线AB 的方程为()022y x -=-+，即24y x =--． 代入224x y +=消去y 整理得2516120x x ++=， 解得12x =-，265x =-．当265x =-时，285y =-．所以点B 的坐标为68,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．所以||AB ==指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程． 【答案】直线AB 的斜率为2-不对，见解析【解析】根据：两直线垂直（直线斜率都存在），对应的直线斜率乘积为1-，判断出AB 对应的直线方程的斜率错误. 【详解】因为AB l ⊥，所以直线AB 的解率为12．所以直线AB 的方程为()1022y x -=-+，即22x y =--． 代入224x y +=消去x 整理得2580y y +=，解得10y =，285y =-． 当285y =-时，265x =．所以B 的坐标为68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以||AB ==．【点睛】本题考查直线与圆的综合应用以及两直线垂直时对应的斜率关系的判断，难度一般.当两条直线12l l 、 的斜率都存在且为12k k 、时，若12l l ⊥，则有121k k ?-.31．土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A ，B 两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A ，B 两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A 的密度大于311g /cm ，小于312g /cm ，重金属B 的密度为38.65g /cm ．试计算此混合物中重金属A 的克数的范围．【答案】大于3948367克，小于4363147克. 【解析】根据题意设未知数x y 、，根据条件构建新的方程从而找到y 与x 的关系，利用函数的单调性来分析混合物中重金属A 的克数的范围. 【详解】设重金属A 的密度为3g /cm x ，此混合物中含重金属A 为y 克． 由题意可知，重金属B 为()1000y -克，且10001008.65y y x -+=．解得()13511128.65xy x x =<<-．因为1358.6513518.658.65x y x x ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以当8.65x >时，y 随x 的增大而减小，因为1112x <<， 所以8.658.658.65135113511351128.658.65118.65y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+<=+<⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解得39434836316747y <<．故此混合物中重金属A 的克数的范围是大于3948367克，小于43 63147克．【点睛】本题考查函数的实际应用，难度一般.首先对于未给出函数的实际问题，第一步需要设未知数，第二步需要根据条件所给等量关系构建新函数（注意定义域），第三步就是根据函数知识求解相应问题.。

2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数 学 试 卷考生须知1. 考生要认真填写考场号和座位序号。

2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。

4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{01}A =，，{11}B =-，，那么A B 等于A. {01}，B. {11}-，C. {0}D. {110}-，，2. 已知向量(11)=，a ，(12)=，b ，那么+a b 等于 A. (01)-， B. (12)，C. (23)，D. (32)，3. 过点(3,0)A 和(0,2)B 的直线的方程为 A. 2360x y --= B. 3240x y +-= C. 2+360x y -=D. 240x y +-=4. 函数=lg(+2)y x 的定义域是A. [)2+∞， B . ()2+∞， C. ()0+∞， D. ()2+∞-，5. 如果幂函数()=f x x α的图象经过点()4,2，那么α的值是A. 2-B. 2C. 12-D.126. 在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于 A.2B.6 C. 22 D. 37. 2018年10月24日，我国超级工程——港珠澳大桥正式通车运营，它是世界上最长的跨海大桥，全长55千米，采用Y 型线路，连接香港、珠海和澳门三地. 如果从甲、乙、丙三位同学中任选一位同学前往港珠澳大桥参观，那么甲同学被选中的概率为A.13B.12C.23D. 18.为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上. 某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为A. 800B. 900C. 1000D. 11009. 化简sin()+πα为 A. sin -αB. sin αC. cos -αD. cos α10. 如果直线20x y -=与直线10x my +-=垂直，那么m 的值为 A. 2-B. 12-C.12D. 211. 已知向量(2,1)=-a ，(1,)m =b , 且2a =b ，那么m 的值为 A. 2-B. 21-C.12D. 212. 直线310x y -+=的倾斜角的度数是 A. 30B ．45C. 60D ．9013. 已知直线l 经过点(1,1)P ，且与直线20x y -+=平行，那么直线l 的方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-=C. 0x y -=D. 40x y +-=14. 函数零点的涵义是 A. 一个点B. 函数图象与x 轴的交点的横坐标C. 函数图象与x 轴的交点D. 函数图象与y 轴的交点的纵坐标15.在函数1y x=，2y x =，2xy =，3log y x =中，奇函数是A. 1y x=B. 2y x =C. 2x y =D. 3log y x =16.在相距4千米的A ,B 两点分别观测目标点C ,如果75CAB ︒∠=,60CBA ︒∠=,那么A ,C 两点间的距离是A. 22千米B. 23千米C. 26千米D. (2+23)千米17. 已知角α的终边经过点(5,12)P ，那么sin α的值是A.512B.125C.513D.121318.已知直线+20l x y +=：和圆22(1)(1)1C x y -++=：，那么圆心C 到直线l 的距离是A.12B. 1C.2 D. 219. 函数2()2sin f x x =的最小正周期是A.2π B. πC. 2πD. 4π20. 计算021+log 24⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果为 A. 3B.54C. 2D. 121.已知两条直线m ，n 和平面α，且m α⊥，要得到结论m n ∥，还需要添加一个已知条件，这个条件应是①n ⊥α，②n α∥，③n ⊂α，④n ⊄α中的A. ①B. ②C. ③D. ④22. 已知函数1,0()=2,0.x f x x x ⎧⎨-<⎩≥，如果()=4f m ，那么实数m 的值为A. 1B. 2-C. 8-D. 12-23. 将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，所得图象的函数表达式是 A ．2sin()6y x π=+B. 2sin()6y x π=-C. sin(2)6y x π=-D. sin(2)6y x π=+24.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，如果1,3,30b c B ︒===，那么角A 的度数是 A. 30︒或60︒B. 45︒或60︒C. 30︒或90︒D. 45︒或120︒25.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱11,AB C D 上的动点，那么三棱锥F CDE -的体积为A. 16D 1C 1B 1A 1DCBAEF[ B. 13C. 12D.2326. 已知边长为3的正方形ABCD ，点E 满足2DE EC =，那么AE AC ⋅等于 A. 6B. 9C. 12D. 1527.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署. 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是A.10万人B. 12万人C. 14万人D. 16万人第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解：（Ⅰ）1(0)2sin 2=162f π==⨯；因为 =||T ω2π=π，且0ω>， 所以 2ω=.（Ⅱ） 画出函数2sin(2)6y x π=+在[,]63ππ-上的图象，由图象 可知，当6x π=-时，函数()f x的最小值min ()1f x =-.下表列出了某些数学知识： 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念 ,2ααπ±π±的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象 三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间 [0,2]π上的性质 同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间(,)22ππ-上的性质 两角差的余弦公式函数sin()y A x+ωϕ=的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式 半角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 积化和差、和差化积公式 请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.1π3y x-1O2-π6π629. （本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”. 30. （本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O ：222(0)x y r r +=>与直线12l x =-：和22l x =：分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且AC BC ⊥, AC BC =,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.”该同学解答过程如下：1B 1A 1FECA解答：因为 圆O :222(0)x y r r +=>与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，所以 24 2.r r ==， 所以 22 4.x y +=由题意可设(2,),(2,)A m B n -，因为 AC BC ⊥，点C 的坐标为(1,0)-， 所以 0AC BC ⋅=，即3mn =-. ① 因为 ||||AC BC =， 所以 2219m n +=+. 化简得 228.m n -= ②由①②可得 824,mn =-223324,m n -= 所以 223830m mn n +-=. 因式分解得 ()()3+30,m n m n -= 所以 3,n m =或3.m n =-解得 3,1,m n =-⎧⎨=⎩或3,1,m n =⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标为(0,1)-或(0,1). 所以 线段AB 的中点不在圆O 上.请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程. 31. （本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa （≤≤）（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006af x x x=+200400x （≤≤）.问：当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷答案及评分参考[说明]1. 第一部分选择题，机读阅卷.2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分 选择题 (共81分)第二部分 解答题 (共19分)28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x 的值．”该同学解答过程如下：下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.解答：弧度制的概念，三角函数的周期性，函数sin y x =的图象，正弦函数在区间［0，2π］上的性质，参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响. ……5分 29.（本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”.解答：① EF AC ∥；② 1AA AB ⊥；③ AB ⊥平面11AAC C ；④ “线线垂直”； ⑤ “线面垂直”.（每空1分，共5分）30.（本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O :222(0x y r r +=>）与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且,AC BC AC BC ⊥=,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.” 该同学解答过程如下：0AC BC ⋅=，即||||AC BC =，219m +=化简得 228.m n -=请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程.解答： 3mn =-不对. …………1分 由 0AC BC ⋅=，即 3mn =. ①因为 ||||AC BC =，点C 的坐标为(1,0)-,所以=化简得 228m n -=. ②由①②解得 3,1,m n =⎧⎨=⎩ 或3,1.m n =-⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标(0,2)或(0,2)-.所以 线段AB 的中点在圆O 上. …………5分31.（本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa ≤≤）（（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006a f x x x=+200400x ≤≤（）.问:当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？解答：任取[]12,200400x x ∈，，不妨设21x x >，令210x x x ∆=->，于是 2221212113181318()()+0.0006+0.0006a a y f x f x x x x x ⎛⎫∆=-=- ⎪⎝⎭ ()()()211221211213180.0006+=a x x x x x x x x x x --+-()()211212120.00061318=x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦. 因为 1200400x ≤≤，2200400x ≤≤，所以 12400+800x x <<，1240000160000x x <<. 所以 12240.000696x x <<.所以 12120.0006768009600x x x x <+<().又因为34a ≤≤，所以 395413185272a ≤≤.所以 121243280.0006728461318x x x x a <+<()-.所以 ()12120.000613180x x x x a +->.因为 210x x ->，120x x >，所以 ()()211212120.000613180x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦>. 于是当 210x x x ∆=->时， 21()()0y f x f x ∆=->， 所以 函数()f x 在定义域[]200400，上是单调递增函数. 所以 当200x =时，函数()f x 有最小值.故运行的平均速度是200km/h 时，单程运行一次总费用最小. …………4分。

2019年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(考试时间:90分钟满分:100分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页。

考生注意:1.答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷(选择题45分)一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分。

每小题只有一个选项符合题目要求)1.已知集合U={1,2，3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩C uA=9)A.{1，6}B.{1，7}C.{6，7}D.{1,6，7}2.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，...1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验。

若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生3.等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.44.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.135.幂函数y=f(x)的图象经过点(8,22)，则f(x)的图象是()6.经过点A(8，-2)，斜率为.−12的直线方程为()A.x+2y-4=0B.x-2y-12=0C.2x+y-14=0D.x+2y+4=07.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e-X-1.则当x<0时，f(x)=()A.e-X-1B.e-X+1C.-e-X-1D.-e-X+18.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB =(1,-2)，AD =(2，1)，则AB ·AD =()A.5B.4C.3D.29.函数f(x)=1X—x3的图像关于()A.x轴对称B.y轴对称C.直线y=x对称D.坐标原点对称10.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.111.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是()A.若m⊥n，n//α，则m⊥αB.若m//β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β，n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β,β⊥α，则m⊥α12.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是()A.-2或12B.2或一12C.-2或-12D.2或1213.在区间[o，2]上随机地取一个数x，则事件“-1≤log1（x+12)≤1发生的概率为()2A.34B.23C.13D.1414.为了得到函数y=sin2x的图象，只要把函数y=sin x的图象上所有点()A.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变15.已知{a n}是首项为1的等比数列，s n是{a n}的前n项和，且9S3=S6，则数列{1a n}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158第Ⅱ卷(非选择题55分)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)16.函数y=7+6x−x2的定义域是。

2019年北京市西城区高考数学合格试卷（二）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．（3分）若集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N等于（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．（3分）已知向量，，则＝（）A．（8，1）B．（﹣8，1）C．（8，﹣1）D．（﹣2，﹣3）3．（3分）经过点（3，a），（﹣2，0）的直线与直线x﹣2y+3＝0垂直，则a＝（）A．B．C．10D．﹣104．（3分）下列函数中，偶函数为（）A．y＝x﹣2B．y＝|x﹣3|C．y＝x2，x∈（﹣1，1]D．5．（3分）函数y＝2x﹣1的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）6．（3分）一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为01至50号．为了解他们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A．分层抽样法B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样法7．（3分）直线l经点（﹣2，2），且与直线y＝x+6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为（）A．x+2y+6＝0B．x﹣2y+6＝0C．2x﹣y+6＝0D．2x﹣y﹣6＝0 8．（3分）在平行四边形ABCD中，++＝（）A．B．C．D．9．（3分）的值等于（）A．B．2C．D．210．（3分）函数y＝x﹣2在区间上[，2]的最大值是（）A．B．﹣1C．4D．﹣411．（3分）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为（）A．60%B．40%C．10%D．50%12．（3分）已知向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则2+•＝（）A．10B．C．7D．13．（3分）已知三角形的边长分别为，则它的最大内角的度数为（）A．B．C．D．14．（3分）若圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0的圆心到直线x﹣y+a＝0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2B．或C．2或0D．﹣2或015．（3分）面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（）A．πQ B．2πQ C．4πQ D．6πQ16．（3分）用二分法逐次计算函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个零点附近的函数值，参考数据如下：f（1）＝﹣2（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1.375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052那么方程f（x）＝0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2B．1.3C．1.4D．1.517．（3分）sin+cos的值为（）A．B．C．D．18．（3分）若函数y＝A sin（ωx+φ）+h的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下列符合条件的函数解析式是（）A．y＝4sin（4x+）B．y＝2sin（2x+）+2C．y＝2sin（4x+）+2D．y＝2sin（4x+）+219．（3分）函数的最大值是（）A．3B．4C．5D．620．（3分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β21．（3分）甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（）A．B．C．D．22．（3分）已知，，则＝（）A．B．C．D．23．（3分）在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形24．（3分）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面P AC⊥平面BDE．证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以__________．又因为BD⊂平面BDE，所以平面P AC⊥平面BDE．A．BD⊥平面PBC B．AC⊥平面PBD C．BD⊥平面P AC D．AC⊥平面BDE 25．（3分）某种植物蔓延的面积y（m2）与时间x（月）的关系满足y＝a x，其图象如图所示．给出如下五个结论：①a＝2；②第5个月植物蔓延的面积就会超过30m2；③植物蔓延从4m2到12m2需要经过1.5个月；④植物蔓延每个月增加的面积都相等；⑤若植物蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x3＝x1+x2．其中，正确结论的序号是（）A．①②B．①②⑤C．①②③④D．②③④⑤二、解答题（共4小题，满分25分）26．（6分）已知函数．（Ⅰ）f（π）＝；（Ⅱ）函数f（x）的最小正周期T＝；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递减区间．27．（6分）如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E 是侧棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．28．（6分）已知直线l：x+my﹣3＝0，圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝9．（1）若直线l与圆相切，求m的值；（2）当m＝﹣2时，直线l与圆C交于点E、F，O为原点，求△EOF的面积．29．（7分）某影院共有1000个座位，票价不分等次．根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，影票可全部售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，售出影票将减少30张．为获得更好的收益，需确定一个合适的票价，确定票价的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出．用x（元）表示每张电影票的票价，用y（元）表示该影院放映一场电影的净收入（除去成本费用支出后的收入）．（Ⅰ）票价最低为元；（Ⅱ）把y表示为x的函数，并求其定义域；（Ⅲ）票价确定为多少元时，才能使放映一场电影的净收入不低于8250元．2019年北京市西城区高考数学合格试卷（二）参考答案与试题解析一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．【解答】解：由集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，得到M∩N＝{0，1}．故选：A．2．【解答】解：．故选：B．3．【解答】解：∵经过点（3，a），（﹣2，0）的直线与直线x﹣2y+3＝0垂直，∴×＝﹣1，解得a＝﹣10．故选：D．4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x﹣2，为一次函数，是非奇非偶函数，不符合题意，对于B，y＝|x﹣3|，是非奇非偶函数，不符合题意，对于C，y＝x2，x∈（﹣1，1]，其定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不符合题意，对于D，y＝﹣，为偶函数，符合题意，故选：D．5．【解答】解：∵任意的x∈（﹣∞，+∞）都满足函数y＝2x﹣1；∴函数y＝2x﹣1的定义域为（﹣∞，+∞）．故选：A．6．【解答】解：样本间隔相同，满足系统抽样的定义，故运用的是系统抽样的方法，故选：D．7．【解答】解：直线y＝x+6在y轴上的截距为b＝6，设直线l方程为y＝kx+6，∵l过点（﹣2，2），∴2＝﹣2k+6，得2k＝4，得k＝2，即l方程为y＝2x+6，即2x﹣y+6＝0，故选：C．8．【解答】解：画出图形，如图所示；++＝（+）+＝+＝+＝．故选：D．9．【解答】解：＝2÷＝．故选：C．10．【解答】解：∵函数y＝x﹣2在第一象限是减函数，∴函数y＝x﹣2在区间[，2]上的最大值是f（）＝．故选：C．11．【解答】解：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%＝40%+p，∴p＝50%．故选：D．12．【解答】解：向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则2+•＝4+2×3×cos60°＝7．故选：C．13．【解答】解：由于三角形的边长分别是4、5、，再由大边对大角可得对的角为最大角，设为θ，由余弦定理可得cosθ＝＝﹣，由θ∈（0，π），可得：θ＝．故选：B．14．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a＝0的距离为，∴，即|a﹣1|＝1，可化为a﹣1＝1或a﹣1＝﹣1，∴解得a＝2或0．故选：C．15．【解答】解：面积为Q的正方形，边长为：；绕其一边旋转一周，得到底面半径为：，高为的圆柱，底面周长2，几何体的侧面积：2×＝2πQ故选：B．16．【解答】解：根据题意，f（1.4375）＝0.165＞0，f（1.40625）＝﹣0.052＜0，则函数f（x）在（1.40625，1.4375）内存在零点，又1.4375﹣1.40625＜0.1，则方程f（x）＝0的一个近似根可以为1.4；故选：C．17．【解答】解：∵sin+cos＝（sin+cos）＝sin（+）＝sin ＝，∴sin+cos的值为．故选：A．18．【解答】解：函数y＝A sin（ωx+φ）+h的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，假设A＞0，ω＞0，φ＞0，h＞0，可得A+h＝4，﹣A+h＝0，解得A＝2，h＝2，且＝，可得ω＝4，由直线是其图象的一条对称轴，可得4×+φ＝kπ+，k∈Z，φ＝kπ﹣，k∈Z，由k＝1可得φ＝，则y＝2sin（4x+）+2．故选：D．19．【解答】解：函数的图象如下图所示：由图可得函数的最大值是4故选：B．20．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选：C．21．【解答】解：甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，不同的送法有四种：甲送丙，乙送丙；甲送丙，乙送丁；甲送丁，乙送丙；甲送丁，乙送丁．甲、乙将贺年卡送给同一人的送法有两种：甲送丙，乙送丙；甲送丁，乙送丁．∴甲、乙将贺年卡送给同一人的概率p＝．故选：A．22．【解答】解：∵，，∴sinα＝，则＝＝＝．故选：D．23．【解答】解：∵在△ABC中，a cos B＝b cos A，∴，又由正弦定理可得，∴，sin A cos B﹣cos A sin B＝0，sin（A﹣B）＝0．由﹣π＜A﹣B＜π得，A﹣B＝0，故△ABC为等腰三角形，故选：D．24．【解答】证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以BD⊥平面P AC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面P AC⊥平面BDE．故选：C．25．【解答】解：∵点（1，2）在函数图象上，∴2＝a1∴a＝2，故①正确；∴函数y＝2x在R上是增函数，且当x＝5时，y＝32，故②正确，4对应的x＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；如图所示，1﹣2月增加2m2，2﹣3月增加4m2，故④不正确．对⑤由于：2＝2，3＝2，6＝2，∴x1＝1，x2＝log23，x3＝log26，又因为1+log22＝log22+log23＝log26，∴若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x1+x2＝x3成立，故⑤正确．故选：B．二、解答题（共4小题，满分25分）26．【解答】解：f（x）＝x，＝（1+cos2x）＝，（Ⅰ）f（π）＝＝﹣1；（Ⅱ）f（x）的周期T＝π；（Ⅲ）∵，∴由+2kπ（k∈Z），得+kπ（k∈Z），∴函数f（x）的单调递减区间为．27．【解答】证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为BB1⊥底面ABCD，所以BB1⊥AC，（3分）所以AC⊥平面BDD1B1．（5分）（Ⅱ）设AC，BD交于点O，取B1D的中点F，连接OF，EF，则OF∥BB1，且，又E是侧棱CC1的中点，，BB1∥CC1，BB1＝CC1，所以OF∥CC1，且，（7分）所以四边形OCEF为平行四边形，OC∥EF，（9分）又AC∥平面B1DE，EF∥平面B1DE，（11分）所以AC∥平面B1DE．（13分）28．【解答】解圆C的圆心C（2，﹣3），r＝3．（1）＝3，∴m＝．（2）当m＝﹣2时，直线l：x﹣2y﹣3＝0，C到直线l的距离d＝＝，∴|EF|＝2＝4．O到直线l的距离为h＝．∴△EOF的面积为S＝×4×＝．29．【解答】解：（Ⅰ）令1000x﹣5750＞0，解得x＞5.75，由题意知票价最低应为6元；（Ⅱ）当票价不超过10元时，y＝1000x﹣5750（其中x＝6，7，8，9，10）；当票价高于10元时，y＝x[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750＝﹣30x2+1300x﹣5750；由，解得；所以y关于x的函数为；（Ⅲ）对于y＝1000x﹣5750（其中x＝6，7，8，9，10），显然当x＝10，y取得最大值为4250；对于y＝﹣30x2+1300x﹣5750（其中11≤x≤38，x∈N），当x＝22时，y取得最大值为8330．当x＝23时，y＝8280；当x＝24时，y＝8170；当x＝21时，y＝8320；当x＝20时，y＝8250．综上，当票价x∈{20，21，22，23}时，净收入y≥8250．故答案为：（Ⅰ）6．。

北京市春天一般高中会考数学试卷一、在每题给出的四个备选答案中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（3 分）已知会合A={ 1，2，3} ， B={ 1， 2} ，那么A∩B 等于（）A．{ 3} B．{ 1，2}C．{ 1，3}D．{ 1，2，3}2．（ 3 分）已知直线l 经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l 的斜率为（）A．﹣ 3 B．C．D．33．（3 分）对随意，以下不等式恒建立的是（）A．x2＞ 0 B．C．D．lgx＞04．（3 分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2B．3C．4D．65．（3 分）给出以下四个函数①；②y=| x|；③ y=lgx；④ y=x3+1，此中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．（3 分）要获得函数的图象，只要将函数y=sinx 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位7．（3 分）某程序框图如下图，那么履行该程序后输出S 的值是（）8．（3 分）设数列 { a n} 的前项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈ N*），那么 S1，S2， S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S49．（3 分）等于（）A．1B．2C．5D．610．（ 3 分）假如α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（ 3 分）已知 a＞0，b＞0，且 a+2b=8，那么 ab 的最大值等于（）A．4B．8C．16D．3212．（ 3 分） cos12 °cos18 °﹣ sin12 sin18°的°值等于（）A．B．C．D．13．（ 3 分）共享单车为人们供应了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年纪散布进行了统计，获得的数据如表所示：年纪12﹣20 岁20﹣30 岁30﹣40 岁40 岁及以上比率14%45.5%34.5%6%为检查共享单车使用满意率状况，线采纳分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行检查，那么应抽取20﹣30 岁的人数为（）A．12 B．28 C．69D．9114．（ 3 分）某几何体的三视图如下图，此中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）15．（3 分）已知向量 知足，，，那么向量的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°16．（3 分）某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行 “生涯规划 ”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动， 那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．17．（ 3 分）函数的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．（ 3 分）已知圆 M ：x 2+y 2 =2与圆：（ ﹣ ）2+（y ﹣ 2） 2，那么两圆的位N x1 =3置关系是（）A ．内切B ．订交C ．外切D ．外离19．（ 3 分）如图，平面地区（暗影部分）对应的不等式组是（ ）A ．B ．C ．D ．20．（ 3 分）在△ ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．21．（ 3 分）《九章算》的盈不足章第19 个中提到：“今有良与安，至．去安三千里．良初日行一百九十三里，日增一十三里．初日行九十七里，日减半里⋯”其粗心：“ 在有良和同从安出到去．已知安和的距离是3000 里．良第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．第一天行97 里，以后每日比前一天少行0.5 里⋯”前 4 天，良和共走的行程之和的里数（）A．1235B．1800C．2600D．300022．（ 3 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，出以下四个推测：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面 A1 C1B∥平面 ACD1④平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D此中正确的推测有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个23．（3 分）如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，AB=3，D 在斜边 BC上，且 CD=2DB，那的值为（）A．3B．5C．6D．924．（3 分）为了促使经济构造不停优化， 2015 年中央财经领导小组重申“着力增强供应侧构造性改革”.2017年国家统计局对外公布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供应侧构造性改革连续作用下，今年以往来产能收效更加突显，供求关系稳步改良”．如图为国家统计局公布的2015 年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据对比较，；例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度对比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据对比较，比如 2015 年第二季度与 2015 年第一季度对比较．依据上述信息，以下结论中错误的选项是（）A．2016 年第三季度和第四时度环比都有提升B．2017 年第一季度和第二季度环比都有提升C．2016 年第三季度和第四时度同比都有提升D．2017 年第一季度和第二季度同比都有提升25．（ 3 分）已知函数 f（x）=| x2﹣ 2x﹣a|+ a 在区间 [ ﹣1，3] 上的最大值是 3，那么实数 a 的取值范围是（）A．（﹣∞， 0] B．（﹣∞，﹣ 1]C．[ 0， +∞）D．二、解答题（共 5 小题，满分 25 分）26．（ 5 分）已知函数 f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（ 2）求函数f（ x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中， PB⊥ BC，AC⊥BC，点E， F， G 分别为AB，BC， PC，的中点（1）求证： PB∥平面 EFG；（2）求证： BC⊥EG．．（分）已知数列n}是等比数列，且，公比 q=2．28 5{ a（ 1）数列 { a n } 的通项公式为 a n=；（ 2）数列 { b n} 知足 b n2n（n∈N*），求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的最小值．=log a29．（ 5分）已知圆 M ：2x2+2y2﹣6x+1=0．（ 1）圆 M 的圆心坐标为；（2）设直线 l 过点 A（0， 2）且与 x 轴交于点 D．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．若 O 为坐标原点，且△ OAB 与△ OCD的面积相等，求直线 l 的斜率．30．（ 5 分）同学们，你们能否注意到：在雨后的清早，沾满露水自然下垂的蜘蛛丝；空阔的野外上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的参观索道的电缆．这些现象中都有相像的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上经常被称为悬链线．悬链线的有关理论在工程、航海、光学等方面有宽泛的应用．下边我们来研究一类与悬链线有关的函数，这种函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（此中a，b 是非零常数，无理数e=2.71828⋯）．（ 1）当a=1，f （x）偶函数，b=；（ 2）假如f（x）R 上的函数，写出一切合条件的a，b；（ 3）假如f（x）的最小2，求a+b 的最小．2018 年北京市春天一般高中会考数学试卷参照答案与试题分析一、在每题给出的四个备选答案中，只有一项为哪一项切合题目要求的. 1．（3 分）已知会合A={ 1，2，3} ， B={ 1， 2} ，那么A∩B 等于（）A．{ 3} B．{ 1，2}C．{ 1，3}D．{ 1，2，3}【解答】解：∵会合A={ 1，2，3} ，B={ 1，2} ，∴A∩B={ 1，2} ．应选： B．2．（ 3 分）已知直线A．﹣ 3 B．C．l 经过两点D．3P（1，2），Q（4，3），那么直线l 的斜率为（）【解答】解：直线l 的斜率k== ，应选： C．3．（3 分）对随意，以下不等式恒建立的是（）2A．x ＞ 0 B．C．D．lgx＞0【解答】解： A．x2≥ 0，所以不正确；B.≥0，所以不正确；C．∵＞0，∴+1＞ 1＞ 0，恒建立，正确；D.0＜x≤1 时， lgx≤ 0，所以不正确．应选： C．4．（3 分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：向量，，且，则 6x﹣3×4=0，解得x=2．应选：A．5．（3 分）给出以下四个函数①；②y=| x| ；③ y=lgx；④ y=x3+1，此中奇函数的序号是（A．① B．②【解答】解：①）C．③D．④知足 f（﹣ x）=﹣ f（x），为奇函数；②y=| x| 知足f（﹣ x）=f（ x），为偶函数；③ y=lgx 为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1 不知足 f （﹣ x）=﹣f （x），不为奇函数．应选 A．6．（3 分）要获得函数的图象，只要将函数y=sinx 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解答】解：将函数 y=sinx 的图象向右平移个单位，可获得函数的图象，应选： B．7．（3 分）某程序框图如下图，那么履行该程序后输出S 的值是（）A．3B．6C．10D．15【解答】解：模拟程序的运转，可得i=1，S=0知足条件 i＜4，履行循环体， S=1， i=2知足条件 i＜4，履行循环体， S=3， i=3知足条件 i＜4，履行循环体， S=6， i=4不知足条件 i＜ 4，退出循环，输出S 的值为 6．应选： B．8．（3 分）设数列 { a n} 的前项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈ N*），那么 S1，S2， S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解： { a n} 的前 n 项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈N*），则数列 { a n} 为首项为 1，公比为﹣ 2 的等比数列，则 S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则此中最小值为S4．应选： D．9．（3 分）等于（）A．1B．2C．5D．6【解答】解：原式 ===2．应选： B．10．（ 3 分）假如α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵ α为锐角，，∴ cosα==，∴ sin2 α=2sin αcos×α=2=．应选： A．11．（ 3 分）已知 a＞0，b＞0，且 a+2b=8，那么 ab 的最大值等于（）A．4B．8C．16D．32【解答】解： a＞0，b＞0，且 a+2b=8，则 ab= a?2b≤（）2=×16=8，当且仅当 a=2b=4，获得等号．则 ab 的最大值为8．应选： B．12．（ 3 分） cos12 °cos18 °﹣ sin12 sin18°的°值等于（）A．B．C．D．【解答】解： cos12°cos18°﹣sin12 °sin18 °=cos（ 12°+18°）=cos30°=，应选： D．13．（ 3 分）共享单车为人们供应了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年纪散布进行了统计，获得的数据如表所示：年纪12﹣20 岁20﹣30 岁30﹣40 岁40 岁及以上比率14%45.5%34.5%6%为检查共享单车使用满意率状况，线采纳分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行检查，那么应抽取20﹣30 岁的人数为（）A．12 B．28 C．69D．91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20﹣30 岁的人数为 200×45.5%=91人，应选： D14．（ 3 分）某几何体的三视图如下图，此中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4π B．5π C．6π D．2π+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为 2 的圆柱，∴这个几何体的表面积：2S=2×πr+2πr×2=2π+4π =6．π应选： C．15．（3 分）已知向量知足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：依据题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则 cosθ==，又由 0°≤θ≤ 180°，则θ=60；°应选： B．16．（3 分）某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为（）A．B．C．D．“生涯规【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本领件有 4 个，分别为：（礼拜一，礼拜二），（礼拜二，礼拜三），（礼拜三，礼拜四），（礼拜四，礼拜五），有一天是礼拜二包括的基本领件有 2 个，分别为：（礼拜一，礼拜二），（礼拜二，礼拜三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为p=．应选： D．17．（ 3 分）函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：依据题意，关于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令 t= ，有 t≥0，则有 t 2﹣t ﹣2=0，解可得 t=2 或 t=﹣ 1（舍），若 t= =2，则 x=4，即方程 x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有 1 个零点；应选： B．18．（ 3 分）已知圆 M：x2+y2=2 与圆 N：（ x﹣1）2+（y﹣ 2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．订交C．外切D．外离【解答】解：圆 M ：x2+y2的圆心为1；=2M（ 0，0），半径为 r =圆 N：（ x﹣ 1）2+（y﹣2）2=3 的圆心为 N（ 1， 2），半径为 r2=；|MN|== ，且﹣＜＜+，∴两圆的地点关系是订交．应选： B．19．（ 3 分）如图，平面地区（暗影部分）对应的不等式组是（）A．B．C．D．【解答】解：（2，0），（0，2）点的直方程+ =1，即x+y 2=0，（ 2，0），（ 0， 2）点的直方程=1，即x y 2=0，（ 1， 0），（0， 2）点的直方程 x+ =1，即 2x y+2=0，暗影部分在 x+y2=0 的下方，即不等式 x+y 2≤ 0暗影部分在 2x y+2=0，的下方，即不等式 2x y+2≥ 0 暗影部分在x y 2=0 的上方，即不等式 x y 2≤ 0，即不等式，故： A20．（ 3 分）在△ ABC中，，那么sinA 等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ ABC中，，：，解得：．故： B．21．（ 3 分）《九章算》的盈不足章第19 个中提到：“今有良与安，至．去安三千里．良初日行一百九十三里，日增一十三里．初日行九十七里，日减半里⋯”其粗心：“ 在有良和同从安出到去．已知安和的距离是3000 里．良第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．第一天行97 里，以后每日比前一天少行0.5 里⋯”前 4 天，良和共走的行程之和的里数（）A．1235B．1800C．2600D．3000【解答】解：∵长安和齐的距离是3000 里．良马第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．驽马第一天行 97 里，以后每日比前一天少行0.5 里，∴前 4 天，良马和驽马共走过的行程之和的里数为：S4=（4×193+）+[ 4×] =1235．应选： A．22．（ 3 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个推测：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面 A1 C1B∥平面 ACD1④平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D此中正确的推测有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【解答】解：在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，在①中， A1C1与 AD1成 60°角，故①错误；在②中，∵ A1C1∥ AC，AC⊥BD，∴ A1C1⊥ BD，故②正确；在③中，∵ A1C1∥ AC，AD1∥ BC1，A1C1∩BC1=C1，AC∩ AD1=A，A1C1、BC1? 平面 A1C1B，AC、AD1? 平面 ACD1，∴平面 A1 C1B∥平面 ACD1，故③正确；在④中，∵ A1C1⊥ B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩ BB1=B1，∴平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D，故④正确．应选： C．23．（3 分）如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，AB=3，D 在斜边 BC上，且 CD=2DB，那的值为（）A．3B．5C．6D．9【解答】解：∵=﹣，∠ BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴?=?（+）=?（ +）=?（+﹣）（+）=2+? =×9+0=6，= ?应选： C24．（3 分）为了促使经济构造不停优化，2015 年中央财经领导小组重申“着力加强供应侧构造性改革”.2017年国家统计局对外公布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供应侧构造性改革连续作用下，今年以往来产能收效更加突显，供求关系稳步改良”．如图为国家统计局公布的2015 年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据对比较，；例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度对比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据对比较，比如 2015 年第二季度与 2015 年第一季度对比较．依据上述信息，以下结论中错误的选项是（）A．2016 年第三季度和第四时度环比都有提升B．2017 年第一季度和第二季度环比都有提升C．2016 年第三季度和第四时度同比都有提升D．2017 年第一季度和第二季度同比都有提升【解答】解：由折线图知：在 A 中， 2016 年第三季度和第四时度环比都有提升，故 A 正确；在B 中， 2017 年第一季度和第二季度环比都有提升，故 B 正确；在 C中， 2016 年第三季度和第四时度同比都降落，故 C 错误；在 D 中，2017 年第一季度和第二季度同比都有提升，故 D 正确．应选： C．．（分）已知函数f（x）=| x2﹣ 2x﹣a|+ a 在区间 [ ﹣1，3] 上的最大值是 3，那25 3么实数 a 的取值范围是（）A．（﹣∞， 0] B．（﹣∞，﹣ 1]C．[ 0， +∞）D．【解答】解： f（x） =| x2﹣2x﹣a|+ a=| （x﹣1）2﹣ 1﹣ a| ，∵x∈[ ﹣1，3] ，∴x2﹣2x∈[ ﹣1，3] ，当 a＞3 时， x2﹣ 2x﹣a＜0，∴f（x）=| x2﹣2x﹣a|+ a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（ x﹣1）2+1﹣2a，当 x=1 时，取的最大值，即 1﹣2a=3，解得 a=﹣ 1，与题意不符；当 a≤﹣ 1 时， x2﹣2x﹣ a≥ 0，∴f（x）=| x2﹣2x﹣a|+ a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（ x﹣1）2﹣1，当 x=﹣1 或 3 时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述 a 的取值范围为（﹣∞，﹣ 1]应选： B．二、解答题（共 5 小题，满分 25 分）2（1）=；（ 2）求函数 f（ x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数 f （x） =1﹣2sin2 x=cos2x，（1）=cos（2×）= ；故答案为：；（ 2） x∈[ ﹣，] ，∴ 2x∈[ ﹣，] ，∴cos2x∈[ 0， 1] ，∴当 x=﹣时，f（x）获得最小值0，x=0 时， f （x）获得最大值1，∴函数 f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．（5 分）如图，在三棱锥P﹣ABC中， PB⊥ BC，AC⊥BC，点 E， F， G 分别为AB，BC， PC，的中点（1）求证： PB∥平面 EFG；（2）求证： BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点 F，G 分别为 BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB?平面 EFG，FG? 平面 EFG，∴ PB∥平面 EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点 E，F， G 分别为 AB，BC， PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴ EF⊥BC，GF⊥ BC，∵EF∩FG=F，∴ BC⊥平面 EFG，∵EG? 平面 EFG，∴ BC⊥ EG．28．（ 5 分）已知数列 { a n} 是等比数列，且，公比q=2．（1）数列 { a n } 的通项公式为 a n= 2n﹣4；（2）数列 { b n} 知足 b n=log2a n（n∈N*），求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的最小值．【解答】解：（1）数列 { a n} 是等比数列，且，公比q=2，可得 a n=?2n﹣1=2n﹣4；故答案为： 2n﹣4；（2） b n =log2a n =log22n﹣4=n﹣4，S n=n（﹣ 3+n﹣ 4） = （ n2﹣7n）= [ （n﹣）2﹣] ，可得 n=3 或 4 时， S n获得最小值，且为﹣ 6．2229．（ 5 分）已知圆 M ：2x +2y ﹣6x+1=0．（2）设直线 l 过点 A（0， 2）且与 x 轴交于点 D．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．若 O 为坐标原点，且△ OAB 与△ OCD的面积相等，求直线 l 的斜率．【解答】解：（1）圆 M ：2x2 +2y2﹣6x+1=0．转变为：．则圆 M 的圆心坐标为：（）．（2）直线 l 过点 A（0，2）且与 x 轴交于点D．则：设直线的方程为： y=kx+2．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．且△ OAB与△ OCD的面积相等，则： AB=CD．即： AM=DM．设点 A（x，0）则：，整理得： x2﹣3x﹣4=0，解得： x=4 或﹣ 1（负值舍去）．则： A（4，0）因为点 A 在直线 y=kx+2 上，解得： k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．（ 5 分）同学，你能否注意到：在雨后的清早，沾露水自然下垂的蜘蛛；空的野外上，两根杆之的；峡谷上空，横跨深的光索道的．些象中都有相像的曲形．事上，些曲在数学上经常被称．的有关理在工程、航海、光学等方面有宽泛的用．下边我来研究一与有关的函数，函数的表达式f（x）=ae x+be﹣x（此中a，b 是非零常数，无理数e=2.71828⋯）．（ 1）当 a=1，f （x）偶函数， b= 1；（ 2）假如 f（x） R 上的函数，写出一切合条件的a，b；（3）假如 f（x）的最小 2，求 a+b 的最小．【解答】解：（1）当 a=1 ， f （x）=e x+be﹣x，∵f（x）是偶函数，∴ f（ x）=f（x），即 e﹣x+be x=e x+be﹣x，b=1．（ 2）当 a=1 ， b= 1 ， f （x）=e x e﹣x，增函数．（ 3）当 ab≤0 ， f （x）函数，此函数没有最小，若 f（ x）有最小2，必有 a＞ 0， b＞ 0，此 f （x） =ae x+be﹣x≥ 2=2=2，即=1，即 ab=1，a+b≥2=2，即 a+b 的最小 2．故答案： 1。

2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数 学 试 卷考生须知1. 考生要认真填写考场号和座位序号。

2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。

4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{01}A =，，{11}B =-，，那么A B 等于A. {01}，B. {11}-，C. {0}D. {110}-，，2. 已知向量(11)=，a ，(12)=，b ，那么+a b 等于 A. (01)-， B. (12)，C. (23)，D. (32)，3. 过点(3,0)A 和(0,2)B 的直线的方程为 A. 2360x y --= B. 3240x y +-= C. 2+360x y -=D. 240x y +-=4. 函数=lg(+2)y x 的定义域是A. [)2+∞， B . ()2+∞， C. ()0+∞， D. ()2+∞-，5. 如果幂函数()=f x x α的图象经过点()4,2，那么α的值是A. 2-B. 2C. 12-D.126. 在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于 A.2B.6 C. 22 D. 37. 2018年10月24日，我国超级工程——港珠澳大桥正式通车运营，它是世界上最长的跨海大桥，全长55千米，采用Y 型线路，连接香港、珠海和澳门三地. 如果从甲、乙、丙三位同学中任选一位同学前往港珠澳大桥参观，那么甲同学被选中的概率为A.13B.12C.23D. 18.为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上. 某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为A. 800B. 900C. 1000D. 11009. 化简sin()+πα为 A. sin -αB. sin αC. cos -αD. cos α10. 如果直线20x y -=与直线10x my +-=垂直，那么m 的值为 A. 2-B. 12-C.12D. 211. 已知向量(2,1)=-a ，(1,)m =b , 且2a =b ，那么m 的值为 A. 2-B. 21-C.12D. 212. 直线310x y -+=的倾斜角的度数是 A. 30B ．45C. 60D ．9013. 已知直线l 经过点(1,1)P ，且与直线20x y -+=平行，那么直线l 的方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-=C. 0x y -=D. 40x y +-=14. 函数零点的涵义是 A. 一个点B. 函数图象与x 轴的交点的横坐标C. 函数图象与x 轴的交点D. 函数图象与y 轴的交点的纵坐标15.在函数1y x=，2y x =，2xy =，3log y x =中，奇函数是A. 1y x=B. 2y x =C. 2x y =D. 3log y x =16.在相距4千米的A ,B 两点分别观测目标点C ,如果75CAB ︒∠=,60CBA ︒∠=,那么A ,C 两点间的距离是A. 22千米B. 23千米C. 26千米D. (2+23)千米17. 已知角α的终边经过点(5,12)P ，那么sin α的值是A.512B.125C.513D.121318.已知直线+20l x y +=：和圆22(1)(1)1C x y -++=：，那么圆心C 到直线l 的距离是A.12B. 1C.2 D. 219. 函数2()2sin f x x =的最小正周期是A.2π B. πC. 2πD. 4π20. 计算021+log 24⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果为 A. 3B.54C. 2D. 121.已知两条直线m ，n 和平面α，且m α⊥，要得到结论m n ∥，还需要添加一个已知条件，这个条件应是①n ⊥α，②n α∥，③n ⊂α，④n ⊄α中的A. ①B. ②C. ③D. ④22. 已知函数1,0()=2,0.x f x x x ⎧⎨-<⎩≥，如果()=4f m ，那么实数m 的值为A. 1B. 2-C. 8-D. 12-23. 将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，所得图象的函数表达式是 A ．2sin()6y x π=+B. 2sin()6y x π=-C. sin(2)6y x π=-D. sin(2)6y x π=+24.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，如果1,3,30b c B ︒===，那么角A 的度数是 A. 30︒或60︒B. 45︒或60︒C. 30︒或90︒D. 45︒或120︒25.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱11,AB C D 上的动点，那么三棱锥F CDE -的体积为A. 16D 1C 1B 1A 1DCBAEF[ B. 13C. 12D.2326. 已知边长为3的正方形ABCD ，点E 满足2DE EC =，那么AE AC ⋅等于 A. 6B. 9C. 12D. 1527.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署. 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是A.10万人B. 12万人C. 14万人D. 16万人第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解：（Ⅰ）1(0)2sin 2=162f π==⨯；因为 =||T ω2π=π，且0ω>， 所以 2ω=.（Ⅱ） 画出函数2sin(2)6y x π=+在[,]63ππ-上的图象，由图象 可知，当6x π=-时，函数()f x的最小值min ()1f x =-.下表列出了某些数学知识： 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念 ,2ααπ±π±的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象 三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间 [0,2]π上的性质 同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间(,)22ππ-上的性质 两角差的余弦公式函数sin()y A x+ωϕ=的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式 半角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 积化和差、和差化积公式 请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.1π3y x-1O2-π6π629. （本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”. 30. （本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O ：222(0)x y r r +=>与直线12l x =-：和22l x =：分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且AC BC ⊥, AC BC =,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.”该同学解答过程如下：1B 1A 1FECA解答：因为 圆O :222(0)x y r r +=>与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，所以 24 2.r r ==， 所以 22 4.x y +=由题意可设(2,),(2,)A m B n -，因为 AC BC ⊥，点C 的坐标为(1,0)-， 所以 0AC BC ⋅=，即3mn =-. ① 因为 ||||AC BC =， 所以 2219m n +=+. 化简得 228.m n -= ②由①②可得 824,mn =-223324,m n -= 所以 223830m mn n +-=. 因式分解得 ()()3+30,m n m n -= 所以 3,n m =或3.m n =-解得 3,1,m n =-⎧⎨=⎩或3,1,m n =⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标为(0,1)-或(0,1). 所以 线段AB 的中点不在圆O 上.请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程. 31. （本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa （≤≤）（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006af x x x=+200400x （≤≤）.问：当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷答案及评分参考[说明]1. 第一部分选择题，机读阅卷.2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分 选择题 (共81分)第二部分 解答题 (共19分)28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x 的值．”该同学解答过程如下：下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.解答：弧度制的概念，三角函数的周期性，函数sin y x =的图象，正弦函数在区间［0，2π］上的性质，参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响. ……5分 29.（本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”.解答：① EF AC ∥；② 1AA AB ⊥；③ AB ⊥平面11AAC C ；④ “线线垂直”； ⑤ “线面垂直”.（每空1分，共5分）30.（本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O :222(0x y r r +=>）与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且,AC BC AC BC ⊥=,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.” 该同学解答过程如下：0AC BC ⋅=，即||||AC BC =，219m +=化简得 228.m n -=请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程.解答： 3mn =-不对. …………1分 由 0AC BC ⋅=，即 3mn =. ①因为 ||||AC BC =，点C 的坐标为(1,0)-,所以=化简得 228m n -=. ②由①②解得 3,1,m n =⎧⎨=⎩ 或3,1.m n =-⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标(0,2)或(0,2)-.所以 线段AB 的中点在圆O 上. …………5分31.（本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa ≤≤）（（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006a f x x x=+200400x ≤≤（）.问:当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？解答：任取[]12,200400x x ∈，，不妨设21x x >，令210x x x ∆=->，于是 2221212113181318()()+0.0006+0.0006a a y f x f x x x x x ⎛⎫∆=-=- ⎪⎝⎭ ()()()211221211213180.0006+=a x x x x x x x x x x --+-()()211212120.00061318=x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦. 因为 1200400x ≤≤，2200400x ≤≤，所以 12400+800x x <<，1240000160000x x <<. 所以 12240.000696x x <<.所以 12120.0006768009600x x x x <+<().又因为34a ≤≤，所以 395413185272a ≤≤.所以 121243280.0006728461318x x x x a <+<()-.所以 ()12120.000613180x x x x a +->.因为 210x x ->，120x x >，所以 ()()211212120.000613180x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦>. 于是当 210x x x ∆=->时， 21()()0y f x f x ∆=->， 所以 函数()f x 在定义域[]200400，上是单调递增函数. 所以 当200x =时，函数()f x 有最小值.故运行的平均速度是200km/h 时，单程运行一次总费用最小. …………4分。