2019北京市高中第二次合格性考试数学

2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试生物试卷考生须知1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．本试卷共8页，分为两个部分。

第一部分为选择题，30个小题（共45分）；第二部分为非选择题，9个小题（共55分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

4．考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

第一部分选择题（1~15题每小题1分，16~30题每小题2分，共45分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意要求的。

（红字表示合格考纲中没有的题）1．一般情况下，活细胞中含量最多的化合物是A．蛋白质B．水C．淀粉D．糖原2. β-淀粉样蛋白在脑实质细胞间隙的沉积是阿尔茨海默病的主要诱因，关于该蛋白的说法错误．．的是A．以氨基酸为基本单位B．具有肽键结构C．高温不影响其功能D．在核糖体上合成3．DNA完全水解后，得到的化学物质是A．氨基酸、葡萄糖、含氮碱基B．核糖、含氮碱基、磷酸C．氨基酸、核苷酸、葡萄糖D．脱氧核糖、含氮碱基、磷酸4．下列与人们饮食观念相关的叙述中，正确的是A．脂质会使人发胖，不要摄入B．谷物不含糖类，糖尿病患者可放心食用C．食物含有基因，这些DNA片段可被消化分解D．肉类中的蛋白质经油炸、烧烤后，更益于健康5. 透析袋通常是由半透膜制成的袋状容器。

现将3%的淀粉溶液装入透析袋，再放于清水中，实验装置如右图所示。

30 min后，会发现A．透析袋胀大B．试管内液体浓度减小C．透析袋缩小D．试管内液体浓度增大6．结合细胞呼吸原理分析，下列日常生活中的做法不合理．．．的是A．处理伤口选用透气的创可贴B．定期地给花盆中的土壤松土C．真空包装食品以延长保质期D．采用快速短跑进行有氧运动7．同源染色体是指A．一条染色体复制形成的两条染色体B．减数分裂过程中配对的两条染色体C．形态特征大体相同的两条染色体D．分别来自父方和母方的两条染色体8．肺炎双球菌转化实验中，使R型细菌转化为S型细菌的转化因子是A．荚膜多糖B．蛋白质C．R型细菌的DNA D．S型细菌的DNA9．一个DNA分子复制完毕后，新形成的DNA子链A．是DNA母链的片段B．与DNA母链之一相同C．与DNA母链相同，但U取代T D．与DNA母链完全不同10．某动物的基因型为AaBb，这两对基因的遗传符合自由组合定律。

2019年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．下列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x3D．y=lnx3．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是（）A．B．C．﹣D．14．执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜65．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．6．“m＞n＞0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z=（2﹣i）（1+i），则在复平面内，z对应点的坐标为．10．设平面向量，满足||=||=2，•（+）=7，则向量，夹角的余弦值为．11．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．13．设函数f（x）=那么f[f（﹣）]=；若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片，那么在这5部微电影中，最多可能有部优秀影片．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．16．已知数列{a n}的前n项和S n满足4a n﹣3S n=2，其中n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等比数列；（Ⅱ）设b n=a n﹣4n，求数列{b n}的前n项和T n．17．如图，在周长为8的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点．将矩形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°．设G为AF上一点，且满足CF∥平面BDG．（Ⅰ）求证：EF⊥DG；（Ⅱ）求证：G为线段AF的中点；（Ⅲ）求线段CG长度的最小值．18．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．19．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f′（a）=1，求a的值；（Ⅱ）设a≤0，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．20．已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m＞0）的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F．（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线y=﹣m上；（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2019年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＞0}，∴={x|x≤0}，∵B={x|x＜1}，∴（∁U A）∩B={x|x≤0}，故选：B．2．下列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x3D．y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据反比例函数的单调性，奇函数图象的对称性，指数函数和对数函数的图象，以及奇函数定义，减函数的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．反比例函数在R上没有单调性，∴该选项错误；B.，图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；C．y=﹣x3的定义域为R，且﹣（﹣x）3=﹣（﹣x3）；∴该函数为奇函数；x增大时，x3增大，﹣x3减小，即y减小，∴该函数在R上单调递减；∴该选项正确；D．对数函数y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选C．3．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是（）A．B．C．﹣D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x+3y得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大，，解，即A（，），代入目标函数z=x+3y，得z=+3×=．故z=x+3y的最大值为．故选：B．4．执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，模拟运行过程，根据程序输出的S值，即可得出判断框内应填入的条件．【解答】解：进行循环前i=2，S=1，计算S=，应满足循环条件，i=3；执行循环后S=，应满足循环条件，i=4；执行循环后S=，应满足循环条件，i=5；执行循环后S=，应不满足条件循环条件，输出S=；故判断框内应填入的条件是i＜5；故选：C．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解．【解答】解：∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC=，又∵a=3，c=4，∴=，即=，∴sinA=，故选B．6．“m＞n＞0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由“m＞n＞0”，知“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”；由“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”，知“n＞m＞0”．所以“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件．【解答】解：∵“m＞n＞0”⇒“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”，“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”⇒“n＞m＞0”，∴“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的椭圆”的既不充分也不必要条件．故选D．7．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，若四月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（）A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元【考点】函数的值．【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可．【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：，解得，∴f（x）=，故x=20时：f（20）=11.5，故选：A．8．设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x﹣2）2+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，则a的取值范围是（）A．[﹣18，6]B．[6﹣5，6+5]C．[﹣16，4]D．[﹣6﹣5，﹣6+5]【考点】圆的切线方程．【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=2，圆心为：（2，0），半径为，∵在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，∴只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故2，解得﹣16≤a≤4，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z=（2﹣i）（1+i），则在复平面内，z对应点的坐标为（3，1）．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数z，则在复平面内，z对应点的坐标可求．【解答】解：z=（2﹣i）（1+i）=3+i，则在复平面内，z对应点的坐标为：（3，1）．故答案为：（3，1）．10．设平面向量，满足||=||=2，•（+）=7，则向量，夹角的余弦值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积的运算性质将•（+）=7展开得出=3，代入向量的夹角公式计算．【解答】解：∵•（+）==7，即4+=7，∴=3，∴cos＜＞==．故答案为：．11．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3，故答案为：3．12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：13．设函数f（x）=那么f[f（﹣）]=；若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．【考点】函数零点的判定定理；函数的值．【分析】由分段函数可知f（﹣）=，则f[f（﹣）]=f（）=，画出分段函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：由分段函数可知f（﹣）=，∴f[f（﹣）]=f（）=；由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．故答案为：；（，+∞）．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片，那么在这5部微电影中，最多可能有5部优秀影片．【考点】进行简单的合情推理．【分析】记这5部微电影为A1﹣A5，设这5部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这5部微电影中，优秀影片最多可能有5部．【解答】解：记这5部微电影为A1﹣A5，设这5部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部．以此类推可知：这5部微电影中，优秀影片最多可能有5部．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由二倍角公式和两角和的正弦公式对函数化简，利用周期公式求得函数的最小正周期．（2）根据x 的范围确定2x +的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为{x |x ≠+k π，k ∈Z }，∵f （x ）=（1+tanx ）cos 2x=cos 2x +sinxcosx ，=cos2x +sin2x +=sin （2x +）+，∴f （x ）的最小正周期为T=π．（Ⅱ）∵x ∈（0，），∴＜2x +＜，∴sin （2x +）∈（﹣，1]，∴f （x ）∈（0，]，即当x ∈（0，）时，求函数f （x ）的值域为（0，]．16．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足4a n ﹣3S n =2，其中n ∈N *． （Ⅰ）求证：数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）设b n =a n ﹣4n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列{a n }成等比数列； （Ⅱ）求出数列{a n }的通项公式，利用累加法即可求出{b n }的通项公式． 【解答】（Ⅰ）证明：因为4a n ﹣3S n =2，① 所以当n=1时，4a 1﹣3S 1=2，解得a 1=2； 当n ≥2时，4a n ﹣1﹣3S n ﹣1=2，②…3 分由①﹣②，得4a n ﹣4a n ﹣1﹣3（S n ﹣S n ﹣1）=0， 所以a n =4a n ﹣1，由a 1=2，得a n ≠0，故{a n }是首项为2，公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得a n =2×4n ﹣1．所以b n =a n ﹣4n=4n ﹣1﹣4n ，则{b n }的前n 项和T n =（40+41+…+4n ﹣1）﹣4（1+2+3+…+n ）=﹣4×=﹣2n 2﹣2n ﹣．17．如图，在周长为8的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点．将矩形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°．设G为AF上一点，且满足CF∥平面BDG．（Ⅰ）求证：EF⊥DG；（Ⅱ）求证：G为线段AF的中点；（Ⅲ）求线段CG长度的最小值．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由E，F分别为BC，DA的中点，可证EF⊥FD，EF⊥FA，从而EF⊥平面DFA，即可得证EF⊥DG．（Ⅱ）由AB∥EF∥CD，易证四边形ABCD为平行四边形．连接AC，设AC∩BD=O，则AO=CO，又由CF∥平面BDG，利用线面平行的性质可证CF∥OG，可证OG为中位线，即G为线段AF的中点．（Ⅲ）由已知可得△DFA为等边三角形，且DG⊥FA，又EF⊥DG，可得DG⊥平面ABEF，设BE的中点为H，连接GH，CH，可得CG2=GH2+CH2，设DF=x，由题意得CG2=（4﹣2x）2+（x）2=x2﹣16x+16，利用二次函数的图象和性质即可得解线段CG长度的最小值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以EF⊥FD，EF⊥FA，又因为FD∩FA=F，所以EF⊥平面DFA．…又因为DG⊂平面DFA，所以EF⊥DG．…（Ⅱ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以在立体图中，AB∥EF∥CD．即在立体图中，四边形ABCD为平行四边形．连接AC，设AC∩BD=O，则AO=CO．…又因为CF∥平面BDG，CF⊂平面ACF，平面ACF∩平面BDG=OG，所以CF∥OG，所以在△ACF中，OG为中位线，即G为线段AF的中点．…（Ⅲ）解：因为G为线段AF的中点，∠DFA=60°．所以△DFA为等边三角形，且DG⊥FA，又因为EF⊥DG，EF∩FA=F，所以DG⊥平面ABEF．设BE的中点为H，连接GH，CH，易得四边形DGHC为平行四边形，所以CH⊥平面ABEF，所以CG2=GH2+CH2．…设DF=x，由题意得CH=DG=x，GH=CD=4﹣2x，所以CG2=（4﹣2x）2+（x）2=x2﹣16x+16，…所以当x=时，CG2min=．所以线段CG长度的最小值为．…18．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有450人，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有420人．由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有多少人．（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，利用列举法能求出至少抽到1名高中生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得（0.005+0.020+a+0.040）×10=1，∴a=0.03．…（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．…∵初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人，…同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×10=0.35，学生人数约有0.35×1200=420人．∴该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人．…（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，…初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人．高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×40=2人．…记这3名初中生为A1，A2，A3，这2名高中生为B1，B2，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），而事件A的结果有7种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），∴至少抽到1名高中生的概率P（A）=．…19．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f′（a）=1，求a的值；（Ⅱ）设a≤0，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）问题转化为f（x）不存在最小值，通过讨论a的范围求出函数的单调性，判断函数有无最小值，从而确定a的范围即可．【解答】（Ⅰ）解：函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R且x≠﹣a}，由题意，f′（a）有意义，所以a≠0．求导，得f′（x）=﹣．…所以f′（a）==1，解得：a=±．…（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），等价于“f（x）不存在最小值”．…①当a=0时，由f（x）=，得f（x）无最小值，符合题意．…②当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣a 或x=3a．…x f x f x所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，3a），（﹣a，+∞），单调递增区间为（3a，﹣a）．因为当x＞a时，f（x）=＞0，当x＜a时，f（x）＜0，所以f（x）min=f（3a）．所以当x1=3a时，不存在x2使得f（x2）＜f（x1）．综上所述，a的取值范围为a∈{0}．…20．已知抛物线C：x2=4y，过点P（0，m）（m＞0）的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F．（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：点Q在直线y=﹣m上；（Ⅲ）判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）直接根据抛物线的定义即可求出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m，构造方程组，根据根与系数关系和导数的几何意义得到抛物线在点A，B处的切线方程，得到x=（x1+x2），代入即可证明；（Ⅲ）假设存在点P，使得四边形PEQF为矩形，由四边形PEQF为矩形，得EQ⊥FQ，AQ ⊥BQ，根据直线的斜率得到P（0，1），再利用斜率相等验证PEQF为平行四边形即可．【解答】（Ⅰ）解：焦点坐标为（0，1），准线方程为Y=﹣1．…（Ⅱ）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为y=kx+m．由方程组得x2﹣4kx﹣4m=0，由题意，得△=16k2+16m＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，…由抛物线方程x2=4y，得y=x2，所以y′=x，所以抛物线在点A处的切线方程为y﹣=x1（x﹣x1），化简，得y=x 1x ﹣同理，抛物线在点B 处的切线方程为y=x 2x ﹣ …联立方程，得x 1x ﹣=x 2x ﹣即（x 1﹣x 2）x=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），因为x 1≠x 1，所以x=（x 1+x 2），代入，得y=x 1x 2=﹣m ，所以点Q （（x 1+x 2），﹣m ），即Q （2k ，﹣m ） 点Q 在直线y=﹣m 上．…（Ⅲ）解：假设存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形， 由四边形PEQF 为矩形，得EQ ⊥FQ ，AQ ⊥BQ∴k AQ •k BQ =﹣1， x 1x 2=﹣1，∴x 1x 2=（﹣4m ）=﹣1，∴m=1，P （0，1）下面验证此时的四边形PEQF 为平行四边形即可．令y=0，得E （x 1，0）．同理得F （x 2，0）．所以直线EP 的斜率为k EP ==，直线FQ 的斜率k FQ ==，…所以k EP =k FQ ，即EP ∥FQ ．同理PF ∥EQ ．所以四边形PEQF 为平行四边形． 综上所述，存在点P （0，1），使得四边形PEQF 为矩形．…2019年7月29日。

2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2M =，{}2,3N =，那么M N ⋂等于（ ） A.φ B.{}1C.{}2D.{}3【答案】C【解析】根据交集运算直接写出结果. 【详解】因为{}1,2M =，{}2,3N =，所以{}2M N =，故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.2．已知向量()2,1a =r，()0,2b =- ，那么a b + 等于（ ）A.()2,3B.()21，C.()20，D.()2,1-【答案】D【解析】根据向量加法的坐标运算直接写出结果. 【详解】因为()2,1a =r，()0,2b =-，所以()()()20,122,1a b +=++-=-，故选：D. 【点睛】本题考查向量加法的坐标表示，难度较易.3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（ ） A.12B.14C.18D.116【答案】B【解析】根据随机事件的概率计算完成求解. 【详解】可能出现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则14P =， 故选：B. 【点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）÷（基本事件的总数）. 4．圆心为()2,3A -，半径等于5的圆的方程是( ) A.22(2)(3)5x y -++= B.22(2)(3)5x y ++-= C.22(2)(3)25x y -++= D.22(2)(3)25x y ++-=【答案】C【解析】对比圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=进行判断即可. 【详解】因为圆心(),a b 即为()2,3-，半径=5r ，所以圆的标准方程为：()()222325x y -++=，故选：C. 【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.5．已知向量()2,1a =-r，()1,b m =，且a b ⊥，那么m 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】根据向量垂直对应的坐标关系计算出m 的值. 【详解】因为a b ⊥，所以()2110m -⨯+⨯=，所以2m =， 故选：C. 【点睛】本题考查向量垂直对应的坐标表示，难度较易.已知()11,a x y =r ，()22,b x y =r，若a b ⊥，则有：12120x x y y +=.6．直线30x y +-=与直线10x y -+=的交点坐标是( ) A.()2,2 B.()2,2-C.()1,3-D.()1,2【答案】D【解析】联立二元一次方程组求解交点坐标. 【详解】据题意有：31x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,2，故选：D. 【点睛】本题考查利用直线方程求解直线交点坐标，难度较易.直线的方程可认为是二元一次方程，两直线的交点坐标即为二元一次方程组的解对应的坐标形式.7．已知平面向量,a b 满足1a b ==r r，且a 与b 夹角为60°，那么a b ⋅等于( )A.14B.13C.12D.1【答案】C【解析】根据数量积公式完成计算. 【详解】因为11cos 1122a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的计算，难度较易. 8．函数()()lg 1f x x =-的定义域为( ) A.R B.()1,+∞C.()0,∞+D.(),1-∞【答案】B【解析】根据真数大于零计算出的x 范围即为定义域. 【详解】因为10x ->，所以1x >，即定义域为()1,+∞， 故选：B. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域，难度较易.对数型函数计算定义域，注意对应的真数大于零.9．已知点()1,1A -，()2,4B ，那么直线AB 的斜率为( )A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】根据斜率的计算公式直接计算出斜率. 【详解】因为()1,1A -，()2,4B ，所以()41121AB k -==--，故选：A. 【点睛】本题考查根据两点坐标计算出两点构成的直线的斜率，难度较易.已知()11,A x y ，()22,B x y ，则2121AB y y k x x -=-.10．为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A ，B 两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A 专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为( ) A.20 B.30C.40D.50【答案】C【解析】先计算出抽样比，然后根据（A 专业人数）乘以（抽样比）即可得到应抽取的人数. 【详解】据题意可知：抽样比为12016005=，则A 专业抽取人数为1200405⨯=人， 故选：C. 【点睛】本题考查分层抽样的应用，难度较易.若要计算分层抽样的每一层应抽取数量，先要计算抽样比，利用每一层数量乘以抽样比得到该层应抽取的数量. 11．()cos αβ-等于( ) A.cos cos sin sin αβαβ+ B.cos cos sin sin αβαβ- C.sin cos cos sin αβαβ+ D.sin cos cos sin αβαβ-【答案】A【解析】根据两角差的余弦公式直接得到结果. 【详解】因为()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 故选：A. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式的记忆，难度较易.12．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()12f -=-，那么()1f 的值为( ) A.0 B.12C.1D.2【答案】D【解析】根据奇函数找到()1f 与()1f -的关系即可计算出()1f 的值. 【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()112f f -=-=-，所以()12f =， 故选：D. 【点睛】本题考查根据奇函数的特性求值，难度较易.若()f x 是定义域内的奇函数，则有：()()f x f x -=-.13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( )A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】根据棱柱的体积公式求解直三棱柱的体积. 【详解】因为AB AC ⊥，所以322ABCAB AC S ⋅==； 所以11113232ABC A B C ABC V S AA -=⨯=⨯=，故选：B.【点睛】本题考查棱柱的体积计算公式，难度较易.棱柱体积计算公式：V S h =⋅，其中S 是棱柱的底面积，h 是棱柱的高. 14．13sin6π的值为( )A.12【答案】A 【解析】先将136π变形为[]2,,0,2k k Z απαπ+∈∈，然后根据诱导公式一计算结果. 【详解】 因为13266πππ=+，所以131sin sin sin 66226ππππ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一：()()sin 2sin k k Z απα+=∈，()()cos 2cos k k Z απα+=∈.15．函数()3f x x x =-的零点的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】将()f x 因式分解后即可判断零点的个数. 【详解】因为()()()311f x x x x x x =-=+-，所以令()0f x =则有：1x =-或0或1，即零点有3个， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点个数，难度较易.对于可直接进行因式分解的函数，可通过因式分解判断每个因式为零的情况，然后确定零点个数. 16．要得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．只需将函数2sin y x =的图象（ ） A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 【答案】A【解析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果. 【详解】根据相位变换的左加右减有：2sin y x =向左移动3π个单位得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减.17．直线l 经过点()1,1A ，且与直线230x y --=平行，则l 的方程为（ ） A.21y x =+ B.112y x =+ C.112y x =-- D.21y x =-【答案】D【解析】根据平行关系设出直线的一般式方程，代入坐标求解出一般式方程并转化为斜截式方程. 【详解】设l 方程为：()203x y C C -+=≠-，代入()1,1A 有：210C -+=，所以1C =-， 所以l 方程为：210x y --=，即21y x =-， 故选：D. 【点睛】本题考查根据直线间的平行关系求解直线的方程，难度较易.已知直线方程为：10Ax By C ++=，与其平行的直线方程可设为：()2120Ax By C C C ++=≠.18．如果函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象经过点()4,2，那么a 的值为（ ） A.14B.12C.2D.4【答案】C【解析】将点代入函数解析式中计算出a 的值即可. 【详解】因为()log a f x x =图象经过点()4,2，所以log 42a =，所以24a =且0a >且1a ≠，解得：2a =， 故选：C. 【点睛】本题考查根据对数函数图象所过点求解函数解析式，难度较易.通过函数图象所过点求解函数解析式的问题，可考虑直接将点代入函数解析式中求解参数值. 19．已知0.32=a ，32b =，12c -=，那么a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c a b >> D.c b a >>【答案】B【解析】根据指数函数单调性比较大小. 【详解】因为2xy =在R 上是增函数，又10.33-<<，所以10.33222-<<，所以b a c >>， 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幂的大小，难度较易.对于指数函数()xf x a=（0a >且1a ≠）：若1a >，则()xf x a =是R 上增函数；若01a <<，则()xf x a =是R 上减函数.20．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是（ ） A.4πB.2π C.πD.2π【答案】C【解析】利用二倍角公式先化简，然后根据周期计算公式计算最小正周期. 【详解】因为()1sin cos sin 22f x x x x ==，所以222T πππω===， 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式、周期公式的应用，难度较易.常见的二倍角公式有：2222sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x x x x ==-=-=-.21．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果30A =︒，45B =︒，2b =，那么a 等于（ ）D.3【答案】A【解析】根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a 的值. 【详解】由正弦定理可知：sin sin a b A B=，所以2sin 30sin 45a =︒︒，解得：a =故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.正弦定理对应的等式：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径）. 22．已知4sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()cos πα-等于（ ） A.45-B.35-C.35D.45【答案】B【解析】先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为1去计算相应结果. 【详解】因为()cos cos παα-=-；又因为22sin cos 1αα+=且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α==， 所以()3cos 5πα-=-， 故选：B. 【点睛】本题考查根据诱导公式求解给值求值问题，难度较易.利用平方和为1去计算相应三角函数值时，注意根据角度的范围去判断相应的三角形函数值的正负号.23．已知圆C ：2260x y x +-=与直线l ：10x y -+=，那么圆心C 到直线l 的距离为（ ）A. B.D.1【答案】B【解析】先确定圆心，根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离.【详解】圆的方程可变形为：()2239x y -+=，所以圆心C 为()3,0，所以圆心C 到l 的距离为：d ==故选：B. 【点睛】本题考查圆心的确定以及点到直线的距离公式，难度较易.圆的标准方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>，其中圆心为(),a b ，半径为r .24．已知幂函数()nf x x =，它的图象过点()2,8，那么12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A.18B.14C.12D.1【答案】A【解析】先通过函数图象过点()2,8，计算出n 的值，然后再计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为()nf x x =过点()2,8，所以28n =，所以3n =，所以()3f x x =，则3111228f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查幂函数的解析式求解以及根据幂函数解析式求值，难度较易.25．生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧．因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措．2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间[)300,350的户数为（ ）A.5B.15C.20D.25【答案】D【解析】计算出[)300,350的频率，用抽取的总数量乘以对应的频率即可得到对应段的户数. 【详解】根据频率分布直方图可知：[)300,350的频率为0.005500.25⨯=，所以用气量在[)300,350的户数为：0.2510025⨯=户，故选：D. 【点睛】本题考查根据频率分布直方图完成相应计算，难度较易,观察频率分布直方图时，注意纵轴并不表示频率，而是频率除以组距，因此每一段区间对应的小长方形的面积即为该段的频率.26．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果60A =︒，3b =，ABC ∆的面积S =a 等于（ ）B.7D.17【答案】A【解析】先根据面积公式计算出c 的值，然后利用60A =︒以及余弦定理求解a 的值. 【详解】因为1sin 242S bc A ===，所以2c =；又因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2194212a +-=，所以a =故选：A. 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择.27．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果//m α，n ⊂α，那么//m n ；②如果m α⊥，n α⊥，那么//m n ； ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果αβ⊥，m α⊂，那么m β⊥． 其中正确的命题是（ ） A.①② B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】通过判定定理、性质定理、定义、举例的方式逐项分析. 【详解】①如图所示长方体，11A C ∥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，但是11A C 不平行BD ，故错误；②根据垂直于同一平面的两条直线互相平行，可知正确；③根据两个平面平行时，其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面，可知正确；④如图所示长方体，平面ABCD ⊥平面11BCC B 且1BC ⊂平面11BCC B ，但此时1BC 显然不垂直于平面ABCD ，故错误；综上：②③正确. 故选：B. 【点睛】本题考查符号语言下的空间中的点、线、面的位置关系的命题的真假判断，难度一般.处理符号语言表示的命题真假的问题，常用的方法有：根据判定、性质定理直接判断；根据定义判断；根据示意图、举例判断.二、解答题28．某同学解答一道三角函数题：“已知函数()()2sin 22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，且()0f =（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间5,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应x 的值．” 该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）因为()02sin f ϕ==sin 2ϕ=．因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=．（Ⅱ）因为563x ππ-≤≤，所以2233x πππ-≤+≤．令3t x π=+，则223t ππ-≤≤．画出函数2sin y t =在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象， 由图象可知，当2t π=，即6x π=时，函数()f x 的最大值为()max 2f x =．下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．【答案】任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义，函数sin y x =的图象，三角函数的周期性，正弦函数在区间[]0,2π上的性质，参数A ，ω，ϕ对函数()sin y A ωx φ=+图象变化的影响．【解析】根据解答过程逐步推导所用的数学知识. 【详解】 首先22ππϕ-<<，这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由sin ϕ=ϕ的范围解出3πϕ=，这里涉及的是任意角的正弦的定义；解题时所画的图象涉及的是函数sin y x =的图象；作出图象后可根据周期性以及单调性计算出最大值，这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间[]0,2π上的性质；用换元法构造正弦函数的图象其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A ，ω，ϕ对函数()sin y A ωx φ=+图象变化的影响. 【点睛】本题考查三角函数章节内容的综合应用，难度一般.由解答的过程分析其中涉及的知识点，这种题型比较灵活，需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都很熟悉.29．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，点D ，E ，F 分别为PC ，AB ，AC 的中点．（Ⅰ）求证：//BC 平面DEF ； （Ⅱ）求证：DF BC ⊥．阅读下面给出的解答过程及思路分析．解答：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以①． 因为BC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以//BC 平面DEF ． （Ⅱ）证明：因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以②． 因为D ，F 分别为PC ，AC 的中点，所以//DF PA ．所以DF BC ⊥． 思路分析：第（Ⅰ）问是先证③，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问是先证④，再证⑤，最后证“线线垂直”．以上证明过程及思路分析中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置．【答案】①A ；②B ；③C ；④A ；⑤B ．【解析】①：由中位线分析；②线面垂直的性质分析；③由线线推导线面；④由线面垂直推导线线垂直；⑤由线线平行推导线线垂直.【详解】①因为EF 是中位线，所以//EF BC ，故选A ；②PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，可通过线面垂直得到线线垂直，故选B ；③通过中位线，先证线线平行，再证线面平行，故选C ；④根据PA BC ⊥可知：先证明线线垂直，故选A ；⑤由//DF PA 可知：再证线线平行，故选B. 【点睛】本题考查线线、线面平行以及线线、线面垂直的证明和理解，难度较易.证明线线平行多数情况可根据中位线或者证明平行四边形来解决问题，有时候也可以根据线面平行的性质定理去证明线线平行.30．某同学解答一道解析几何题：“已知直线l ：24y x =+与x 轴的交点为A ，圆O ：()2220x y r r +=>经过点A ．（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）若点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，求AB ．” 该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）令0y =，即240x +=，解得2x =-，所以点A 的坐标为()2,0-． 因为圆O ：()2220x y rr +=>经过点A ，所以2r =．（Ⅱ）因为AB l ⊥．所以直线AB 的斜率为2-．所以直线AB 的方程为()022y x -=-+，即24y x =--． 代入224x y +=消去y 整理得2516120x x ++=， 解得12x =-，265x =-．当265x =-时，285y =-．所以点B 的坐标为68,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．所以||AB ==指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程． 【答案】直线AB 的斜率为2-不对，见解析【解析】根据：两直线垂直（直线斜率都存在），对应的直线斜率乘积为1-，判断出AB 对应的直线方程的斜率错误. 【详解】因为AB l ⊥，所以直线AB 的解率为12．所以直线AB 的方程为()1022y x -=-+，即22x y =--． 代入224x y +=消去x 整理得2580y y +=，解得10y =，285y =-． 当285y =-时，265x =．所以B 的坐标为68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以||AB ==．【点睛】本题考查直线与圆的综合应用以及两直线垂直时对应的斜率关系的判断，难度一般.当两条直线12l l 、 的斜率都存在且为12k k 、时，若12l l ⊥，则有121k k ?-.31．土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A ，B 两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A ，B 两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A 的密度大于311g /cm ，小于312g /cm ，重金属B 的密度为38.65g /cm ．试计算此混合物中重金属A 的克数的范围．【答案】大于3948367克，小于4363147克. 【解析】根据题意设未知数x y 、，根据条件构建新的方程从而找到y 与x 的关系，利用函数的单调性来分析混合物中重金属A 的克数的范围. 【详解】设重金属A 的密度为3g /cm x ，此混合物中含重金属A 为y 克． 由题意可知，重金属B 为()1000y -克，且10001008.65y y x -+=．解得()13511128.65xy x x =<<-．因为1358.6513518.658.65x y x x ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以当8.65x >时，y 随x 的增大而减小，因为1112x <<， 所以8.658.658.65135113511351128.658.65118.65y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+<=+<⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解得39434836316747y <<．故此混合物中重金属A 的克数的范围是大于3948367克，小于43 63147克．【点睛】本题考查函数的实际应用，难度一般.首先对于未给出函数的实际问题，第一步需要设未知数，第二步需要根据条件所给等量关系构建新函数（注意定义域），第三步就是根据函数知识求解相应问题.。

北京市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y= C．y=log0.5x D．y=e x3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=04．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．126．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为______．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是______．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为______；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为______．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合交集的概念求解即可．【解答】解：∵B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选A．2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y=C．y=log0.5x D．y=e x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的性质判断选项中函数的单调性即可．【解答】解：对于A，y=是定义域[0，+∞）上的增函数，不满足题意；对于B，y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）上是单调减函数，不满足题意；对于C，y=log0.5x在（0，+∞）是单调减函数，满足题意；对于D，y=e x在（﹣∞，+∞）是单调增函数，不满足题意．故选：C．3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．【分析】算出直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，结合题意可得所求垂线的斜率为k'=．求出已知圆的圆心C的坐标，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到经过已知圆心与直线3x+2y+1=0垂直的方程．【解答】解：圆x2+（y﹣1）2=4，∴圆心的坐标为C（0，1），∵直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，∴与直线3x+2y+1=0垂直的直线的斜率为k'=．因此，经过圆心C且与直线3x+2y+1=0垂直的直线方程是y﹣1=x，整理得2x﹣3y+3=0．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】首先分析程序框图，循环体为“当型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1满足条件i＜4，执行循环体，S=2，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=14，i=4不满足条件i＜4，S=4，输出S的值为4．故选：B．5．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．12【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意把用表示，代入•，展开后由向量的数量积运算得答案．【解答】解：∵ABCD为边长是4正方形，∴，∵=3，∴，∴，则•==．故选：D．6．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=0，即cosα﹣sinα=0或c osα+sinα=0，即cosα=sinα或cosα=﹣sinα，∴“cos2α=0”是“sinα=cosα”的必要不充分条件，故选：B．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，由题意可得g（x）是定义在R上的偶函数，求出x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，可得0≤x≤1，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x2，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）是定义在R上的偶函数，∴x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，∴0≤x≤1∴不等式f（x）﹣x2≥0的解集为[﹣1，1]．故选：B．8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】求出平均数判断A，求出估计的总流量判断B，通过图象判断C、D．【解答】解：对应A：（6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2）=9.14，故A错误；对于B：11×20+91.4=311.4＞300，这个月总流量就超过套餐流量，故B错误；对于C、D，结合图象C正确，D错误；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1+i，再由i 的幂运算性质进行化简即可．【解答】解：∵==i，∴它的虚部是1，故答案为：1．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是3．【考点】正弦定理．【分析】根据同角的三角公式求得sinB，再由三角形面积公式可求得结果．【解答】解：cosB=，sinB==，△ABC的面积S=AB•BC•sinB=×2×5×=3．故答案为：3．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求z的最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：当直线y=﹣2x+z经过C时z最大，并且C（2，3），所以z的最大值为2×2+3=7；故答案为：712．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为y2=8x ；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为=1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，求出p，可得抛物线的方程，确定抛物线的性质，利用双曲线的性质，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x；抛物线的焦点坐标为（2，0），∴c=2，∵渐近线方程为y=±x，∴=，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为=1．故答案为：y2=8x；=1．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是放倒一个直三棱柱，由三视图求出几三棱柱底面边长、高，由三棱柱的结构特征和面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个直三棱柱、底面在左右，由侧视图知，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2，则斜边是2，由正视图知，三棱柱的高是3，∴该几何体的表面积S==，故答案为：．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：为 1.0 元，为8.0 元．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意得到第1、2、3天的奖励红包都是0.3+×0.1；第4、5天的奖励红包都是2（0.3+×0.1）．【解答】解：因为每2000步奖励0.1元红包，所以依（x﹣1000）是2000的整数倍，依题意得：第1天红包奖励：0.3+×0.1=0.9（元）．第2天红包奖励：0.3+×0.1=1.0（元）．第3天红包奖励：0.3+×0.1=1.1（元）．第4天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.4（元）．第5天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.6（元）．所以这5天的红包奖励为：0.9+1.0+1.1+2.4+2.6=8.0（元）．故答案是：1.1；8.0．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】正弦函数的图象．【分析】（I）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．【解答】解：（I）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得=﹣，求得ω=2，∴最小正周期T==π．再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，当2x+=﹣时，即x=﹣，函数f（x）取得最小值为﹣．当2x+=时，即x=，函数f（x）取得最大值为1．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8，求出q=2，问题得以解决；（II）先等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32，可得当n≤5时b n≤0且当n≥6时b n≥0．因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求和公式加以计算，可得|b1|+|b2|+…+|b n|的表达式．【解答】解：（I）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8所以a4=a1q3=8所以q=2所以等比数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，n∈N*．（II）因为a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，所以b6=a3=4，b8=a5=16，设等差数列{b n}的公差为d解得，b1=﹣26，d=6，所以等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32因为当6n﹣32≤0时，n≤5．（1）当n≤5时，可得|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b n）=﹣3n2+29，（2）当n≥6时，|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+b7+…+b n=70+（3n2﹣29n+70）=3n2﹣29n+140；综上所述：|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据图表求得既选课程三，又选了课程四的人数，与总人数的比值；（2）观察图表查出选3项课程的总人数，与600的比值；（3）分别求得选课程一、三和四的概率，进行比较，选出最大的概率．【解答】解：（1）学生既选了课程三，又选了课程四的概率为：=，（2）学生在五项课程中，选了三项课程的概率为：=，（3）某学生已经选了课程二，再选课程一的概率为：=；再选课程三的概率为：=；再选课程四的概率为：=；所以，某学生已经选了课程二，那么该学生选择课程四的可能性最大．18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）连接MO，则MO∥PA，于是PA∥平面BDM，根据面面平行的性质得出PA∥GH；（II）计算DO，MO，DM，根据勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性质得出CM⊥平面BDM，于是V M﹣BDC=V C﹣BDM=【解答】（I）证明：连接MO．∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，∵点M为PC的中点，∴MO∥PA．又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM．又∵平面APG∩平面平面BDM=GH，PA⊂平面APG，∴PA∥GH．（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．∴DM=．∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=BD=1，又MO==，∴DO2+MO2=DM2，∴BD⊥MO．∵菱形ABCD中，BD⊥AC，又MO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，MO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面BDM，∴平面PAC⊥平面BDM．（III）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC=2AO=2．在△PAC中，∵PA=2，AC=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC，∵MO∥PA，∴PC⊥MO，又平面PAC⊥平面BDM，平面PAC∩平面BDM=MO，PC⊂平面PAC，∴PC⊥平面BDM．∴V M﹣BDC=V C﹣BDM====．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I ）令f′（x ）=0求出f （x ）的极值点，得出f （x ）的单调性与单调区间，从而得出f （x ）的极值；（II ）对x 和a 的范围进行讨论得出f （x ），g （x ）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f （x ），g （x ）的零点个数，从而得出h （x ）的零点个数． 【解答】解：（ I ）f′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2）． 令f′（x ）=0，得x 1=0，x 2=． ∵a ＞0，x 1＜x 2，f′（x ）及f （x ）符号变化如下， ，） （，∴f （x ）的极大值为f （0）=1，极小值为f （）=﹣+1=﹣+1．（ II ）令g （x ）=lnx=0，得x=1．当0＜x ＜1时，g （x ）＜0；x=1时，g （x ）=0；当x ＞1时，g （x ）＞0． （1）当x ＞1时，g （x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）上无零点． 所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（1，+∞）上无零点． （2）当x=1时，g （1）=0， 所以1为g （x ）的一个零点． f （1）=a ﹣2，①当a=2时，1是f （x ）的一个零点．所以当a=2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ②当0＜a ＜2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ③当a ＞2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}无零点．（3）当0＜x ＜1时，g （x ）＜0，g （x ）在（0，1）上无零点．所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（0，1）上的零点个数就是f （x ）在（0，1）上的零点个数．当a ＞0时，由（ I ）可知f （x ）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，且f （0）=1，f （1）=a ﹣2，f （）=﹣+1=．①当，即0＜a＜2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2＜0，f（0）=1＞0．所以f（x）在（0，1）上有1个零点，即h（x）有1个零点．②当，即a=2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2=0，所以f（x）在（0，1）上无零点，即h（x）无零点．③当，即a＞2时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，1）上为增函数，f（）=﹣+1=＞0，所以f（x）在（0，1）上无零点．即h（x）无零点．综上，当0＜a＜2时，h（x）有2个零点，当a=2时，h（x）有1个零点，当a＞2时，h（x）无零点．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得k AB•k PA=﹣1，即可得证；或求得k PA•k PB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．（III）方法一、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将k=代入得x1，q===3+（﹣1），运用y0的范围，即可得到所求范围；方法二、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将=k代入x1，可得q===3+，由k的范围，即可得到所求范围．【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，法一：又k PB=，k BC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以k AB•k PA=•=•==•（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，k PA•k PB=•==﹣，又k PB=k BC=，可得k PA=﹣，则k AB•k PA=•（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．（III）法一：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程，解得x1=，将k=代入得x1==．q=====3+（﹣1），因为y02∈（0，3），所以q∈（3，+∞）．法二：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程：，解得x1===x0（1+），q====3+，因为k2∈（0，+∞），所以q∈（3，+∞）．。

2019 北京房山区高三二模数学（文）本试卷共 5 页，共150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8 小题，每小题 5 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集U R, 集合A { x x(x 3) 0} ，则C AU(A) [0,3] (B) ( ,3](C) ( ,0) (3, ) (D) ( ,0] [3, )（2）下列函数中为偶函数的是(A) 3y x x (B) 2 4y x(C) y x (D) y x 1（3）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为(A) 4(B) 5(C) 8(D) 9x y ，1 ≥（4）若x, y满足x 2y ≤ 4则z x 3y 的最小值为，(A) 6 (B) 1 (C) 3 (D) 4 （5）在以AB为边，AC为对角线的矩形中，AB (3,1), AC (2, k) ，则实数k(A) 6 (B) 4 (C) 2 (D) 2 31 / 9（6）已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为(A) 4(B) 3正（主）视图侧（左）视图(C) 2(D) 1俯视图（7）设a R，则“ a 1 ”是“直线l1 : ax 2y 4 0 与直线l2 : x (a 1)y a 0平行”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件（8）高考文科综合由政治、历史、地理三个科目组成，满分300 分，每个科目各100 分, 若规定每个科目60 分为合格，总分180 分为文科综合合格. 某班高考文科综合各科目合格人数如下：科目政治历史地理文科综合合格人数23 20 21 30则该班政治、历史、地理三个科目都合格的人数最多有(A) 人13 人(B) 15人(C) 17 人(D) 20 人第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分。

北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题 理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则A B =( )A. {|0}x x >B. {|12}x x <<C. {|12}x x ≤<D. {|0x x >且1}x ≠【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法得B={x|0＜x ＜2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可． 【详解】根据不等式的解法，易得B={x|0＜x ＜2}， 又有A={x|x ＞1}，则A ∪B={x|x ＞0}． 故选：A ．【点睛】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题．2.复数i （1+i ）的虚部为（ ） 2 B. 1C. 0D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】∵i （1+i ）=-1+i ， ∴i （1+i ）的虚部为1． 故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s 的值为（ ）A. 4B. 83C.5215D.304105【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可． 【详解】第一次，4,1,3s k k ==≥否，第二次，484,2,333s k k =-==≥否， 第三次，8452,3,33515s k k =+==≥是， 程序终止，输出s=5215，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．比较基础．4.在△ABC 中，6B π=，c=4，cosC =，则b=（ ）A. B. 3C.32D.43【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，根据正弦定理即可计算解得b 的值． 【详解】∵6B π=，c=4，3cosC =，∴2sin 3C ==， ∴由正弦定理sin b c sinB C= ，可得：41223b =，解得：b=3． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．5.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，从充分性与必要性的角度分析“139,,a a a 成等比数列”和“1a d =”的关系，综合即可得答案． 【详解】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，若139,,a a a 成等比数列，则2319a a a =，即（a 1+2d ）2=a 1•（a 1+8d ），变形可得：a 1=d ，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的充分条件；若a 1=d ，则a 3=a 1+2d=3d ，a 9=a 1+8d=9d ，则有2319a a a =，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的必要条件；综合可得：“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”的充要条件； 故选：C ．【点睛】本题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于基础题．6.已知函数f （x ）=2,,xx ax x a ≥⎧-<⎨⎩，若函数f （x ）存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),0-∞B. (),1-∞C. ()1,+∞D.()0,+∞【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用数形结合推出a 的范围即可．【详解】函数f （x ）=2,,x x ax x a⎧≥⎨-<⎩，函数图象如图：函数f （x ）存在零点，则实数a 的取值范围是：（0，+∞）． 故选：D ．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力．7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A. 有最小值32B. 有最大值52C. 为定值3D. 为定值2 【答案】D 【解析】 【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可． 【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选：D．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．8.在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ 在BC 方向上投影的最大值是（ ） A.13B.12C.3 D.23【答案】C 【解析】 【分析】先建系，由三点共圆得点A 的轨迹方程为223163x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，则213x ≤，则30x -≤<，再由AQ 在BC 方向上投影的几何意义可得解．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12，0），P （0，0）， 由BAC 3π∠=可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为3π，所以圆心角为23π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为1326tan 3BCπ=，即圆心为3，22133()()26+=所以点A 的轨迹方程为：223163x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，则213x ≤ ，则30x ≤< ，由AQ 在BC 方向上投影的几何意义可得：AQ 在BC 方向上投影为|DP|=|x|，则AQ 在BC 故选：C ．【点睛】本题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知33log ,ln 3,log 2a e b c ===，则a ，b ，c 中最小的是______． 【答案】c 【解析】 【分析】由对数值大小的比较得：b=ln3＞1，又2＜e ＜3，所以log 32＜log 3e ＜1，即c ＜a ＜b ，得解． 【详解】b=ln3＞1， 又2＜e ＜3，所以log 32＜log 3e ＜1， 即c ＜a ＜b ，故a ，b ，c 中最小的是c ． 故答案为：c【点睛】本题考查了对数值大小的比较，属简单题．10.已知点M （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求出p=2，求得焦点F （1，0），利用抛物线的定义，即可求点M 到抛物线C 焦点的距离．【详解】由点M （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，可得4=2p ，p=2， 抛物线C ：y 2=4x ，焦点坐标F （1，0），则点M 到抛物线C 焦点的距离是：1+1=2， 故答案为：2．【点睛】本题考查抛物线标准方程及抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题．11.圆,1x cos Cy sin θθ=⎧=+⎨⎩：（θ为参数）上的点P 到直线12,1x t l y t =+⎧=-+⎨⎩：（t 为参数）的距离最小值是______． 1 【解析】 【分析】化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径．【详解】由1x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩得x 2+（y-1）2=1，由，12,1x t y t =+⎧=-+⎨⎩得x-2y-3=0，圆心（0，1）到直线x-2y-3=0的距离d == 1． 1．【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．12.实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是_________. 【答案】()2,2（答案不唯一） 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可．【详解】实数x，y满足14.xy xx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明“若z=x+y的最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x，y）值是（2，2）．故答案为：（2，2）．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．13.由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有______个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有______个．【答案】 (1). 60 (2). 36【解析】【分析】对于第一空：分2步分析：①分析可得要求三位偶数的个位有3种情况，②在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：按个位数字分3种情况讨论，分别求出每种情况下的三位数的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，对于第一空：分2步分析：①要求是没有重复数字的三位偶数，其个位是2、4或6，有3种情况，②在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，有2520A=种情况，则有3×20=60个符合题意的三位偶数；对于第二空：分3种情况讨论：①，当其个位为2时，十位数字只能是1，百位数字有4种情况，此时有4个符合题意的三位数；②，当其个位为4时，十位数字可以是1、2、3，百位数字有4种情况，此时有3×4=12个符合题意的三位数；③，当其个位为6时，十位数字可以是1、2、3、4、5，百位数字有4种情况，此时有5×4=20个符合题意的三位数；则有4+12+20=36个符合题意的三位数； 故答案为：60，36．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点O （0，0），M （-4，0），N （4，0），P （0，-2），Q （0，2），H （4，2）．线段OM 上的动点A 满足()()01OA OM λλ=∈，；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=．直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k'，则k•k'的值为______；当λ变化时，动点L 一定在______（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．【答案】 (1). 14(2). 双曲线 【解析】 【分析】根据向量关系得到A ，B 的坐标，再根据斜率公式可得kk′=14；设P （x ，y ），根据斜率公式可得P 点轨迹方程．【详解】∵()()01OA OM λλ=∈，；∴A （-4λ，0），又P （0，-2），∴2142k λλ=-=-； ∵HB HN λ=．∴B （4，2-2λ），∴22(2)'402k λλ---==--，∴kk′=14，设L （x ，y ），则2222224,','00y y y y y k k kk x x x x x +-+--==∴=⋅=--， ∴22414y x -=，即221416y x -=．故答案为：14，双曲线． 【点睛】本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数()22f x sinxcosx x =+（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）当312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求证：()f x ≥ 【答案】（1）π；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．【详解】（1）()22f x sinxcosx x =+22sin x x +=223sin x π⎛⎫+⎪⎝⎭. 所以f （x ）的最小正周期2T ππω==．（2）证明：因为312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，即2332x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，所以f （x ）在312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增．当233x ππ+=-时，即3x π=-时，()3min f x =-．所以当312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()3f x ≥-． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E 评分 9.69.59.68.99.7（1）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（2）从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求E （X ）与E （Y ）的值； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分．请直接写出x 与122x x +的大小关系． 【答案】（1）10.3,2；（2）见解析；（3）122x x x +＜.【解析】【分析】（1）由频率和为1可得a的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率；（2）计算概率可得分布列和期望．（3）由两组数据的比重可直接作出判断.．【详解】（1）由图知10.20.50.3a=--=，某场外观众评分不小于9的概率是12．（2）X的可能取值为2，3．P（X=2）=21413535C CC=；P（X=3）=343525CC=．所以X的分布列为X 2 3P3525所以E（X）=2×32123555+⨯=．由题意可知，132Y B⎛⎫⎪⎝⎭～，，所以E（Y）=np=32．（3）122x xx+＜．【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题．17.在三棱柱111ABC A B C-中，底面ABC是正三角形，侧棱1AA⊥底面ABC．D，E分别是边BC，AC的中点，线段1BC与1B C交于点G，且4AB=，122BB=．（1）求证：EG ∥平面1AB D ； （2）求证：1BC ⊥平面1AB D ； （3）求二面角1A B C B --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1010. 【解析】 【分析】（1）证明EG ∥AB 1．然后利用直线与平面平行的判定定理证明EG ∥平面AB 1D ．（2）取B 1C 1的中点D 1，连接DD 1．建立空间直角坐标系D-xyz ，通过向量的数量积证明BC 1⊥DA ，BC 1⊥DB 1．然后证明BC 1⊥平面AB 1D ．（3）求出平面B 1CB 的一个法向量，平面AB 1C 的一个法向量，设二面角A-B 1C-B 的平面角为θ，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【详解】（1）证明：因为E 为AC 中点，G 为B 1C 中点．所以EG ∥AB 1． 又因为EG ⊄平面AB 1D ，AB 1⊂平面AB 1D ， 所以EG ∥平面AB 1D ．（2） 证明：取B 1C 1的中点D 1，连接DD 1．显然DA ，DC ，DD 1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则D （0，0，0），()230A ，，，B （0，-2，0），(10222B -，，，(10222C ，，，)310E ，，，C （0，2，0）．所以(10222DB =-，，，()230DA ，，=，(10422BC =，，． 又因为1230040220BC DA ⋅=+⨯+⨯=，()1100240BC DB ⋅=⨯+-⨯+=，所以BC 1⊥DA ，BC 1⊥DB 1．又因为DA ∩DB 1=D ，所以BC 1⊥平面AB 1D ．（3）解：显然平面B 1CB 的一个法向量为1n =（1，0，0）． 设平面AB 1C 的一个法向量为：2n =（x ，y ，z ），又()20AC =-，，(104B C ，，=-， 由22100n AC n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，得2040y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，．设x =1，则y =z =(213n =，．所以1212121010n n cos n n n n ＜，＞⋅===． 设二面角A -B 1C -B 的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角， 所以cos θ=【点睛】本题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力．18.已知函数22()(24)ln 4(f x ax x x ax x a R =+--∈且a≠0）． （1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若函数f （x ）的极小值为1a，试求a 的值．【答案】（1）--4y a =；（2）2a =-+【解析】 【分析】（1）由题意可知'()4(1)ln ,(0,)f x ax x x =+∈+∞．'(1)0, (1)--4f f a ==，由此能求出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．（2）当a ＜-1时，求出1321ln()f a a a aa ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，解得11a e =->-，不成立；②当a=-1时，'()f x ≤0在（0，+∞）上恒成立，f （x ）在（0，+∞）单调递减．f （x ）无极小值；当-1＜a ＜0时，极小值f （1）=-a-4，由题意可得14a a--=，求出2a =；当a ＞0时，极小值f （1）=-a-4．由此能求出a 的值．【详解】（1）函数f （x ）=（2ax 2+4x ）ln x -ax 2-4x （a ∈R ，且a ≠0）． 由题意可知'()4(1)ln ,(0,)f x ax x x =+∈+∞．'(1)0, (1)--4f f a == ∴曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为--4y a =． （Ⅱ）①当a ＜-1时，x 变化时'(), ()f x f x 变化情况如下表：此时1321ln()f a a a aa ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，解得11a e =->-，故不成立． ②当a =-1时，'()f x ≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f （x ）在（0，+∞）单调递减． 此时f （x ）无极小值，故不成立．③当-1＜a ＜0时，x 变化时'(), ()f x f x 变化情况如下表：此时极小值f （1）=-a -4，由题意可得14a a--=，解得2a =-+2a =-．因为-1＜a ＜0，所以2a =-．④当a ＞0时，x 变化时'(), ()f x f x 变化情况如下表：此时极小值f （1）=-a -4，由题意可得14a a--=，解得2a =-+2a =-，故不成立．综上所述2a =-．【点睛】本题考查切线方程的求法，考查极值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.已知椭圆:C 2221x y a +=(>1)a .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明直线BD 过x 轴上的定点.【答案】（1）2213x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由离心率列方程可求得椭圆方程；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直线BD 过点（2，0）．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y=k （x-1），联立方程组，消去y 整理得：（1+3k 2）x 2-6k 2x+3k 2-3=0．利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD 过x 轴上的定点．【详解】（1）解：由题意可得2221b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得1a b ==， 所以椭圆C 的方程为2213x y += ．（2）直线BD 恒过x 轴上的定点N （2，0）．证明如下 （a ）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x =1， 不妨设A （1，3），B （1，3-），D （3，3）． 此时，直线BD 的方程为：y=3（x -2），所以直线BD 过点（2，0）． （b ）当直线l 的斜率存在时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 为y =k （x -1），D （3，y 1）．由()12233y k x x y =-⎧⎪+=⎨⎪⎩得：（1+3k 2）x 2-6k 2x +3k 2-3=0． 所以x 1+x 2=22631k k +，x 1x 2=223331k k -+．……（*）直线BD ：y -y 1=2123y y x --（x -3），只需证明直线BD 过点（2，0）即可.令y =0，得x -3=()12213y x y y ---，所以x =2112121333y y y x y y y --+-=212213y y x y y --=2122143x x x x x ---即证21221432x x x x x --=-，即证()211223x x x x +-=.将（*）代入可得()222211222212339323313131k k k x x x x k k k -++-=-==+++.所以直线BD 过点（2，0）综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点（2，0）．【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查由特殊到一般的思想，是难题．20.对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合S （A ）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S （A ）的元素个数为d （S （A ））．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合T （A ）=A∪S（A ）． （1）若A={0，1，2}，求S （A ），T （A ）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d（S （A ））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A ⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ）），求元素个数最少的集合A ．【答案】（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8 【解析】 【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 （3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论． 【详解】（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}． （2）令{}12,,n A x x x =．不妨设12n x x x <<<．充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤ 且22i j n +．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1． 必要性：若d （S （A ））=2n -1． 因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=-．所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+ 任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ） 的值都与上述某一项相等． 又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=-．所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ．设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2n +n +n =()32n n +．若n =2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为582⨯=20， 而T （T （A ））中元素至少为26，因此n ≥3．假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a <<， 则1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈， 从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7， （i ）若A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ． 此时23，24，25，26不能全在T （T （A ））．中，不满足题意． （ii ）若A ={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T （A ），则有16+9=25∈T （T （A ）），若26∈T （T （A ）），则16+22a =26或16+（8+2a ）=26，解得2a =5或2a =2．当A ={1，2，8}时，15，21，23∉T （T （A ））．不满足题意．当A ={1，2，8}时， T （T （A ））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意． 故元素个数最少的集合A 为{1，5，8} 【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。

2019年北京市西城区高考数学合格试卷（二）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．（3分）若集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N等于（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．（3分）已知向量，，则＝（）A．（8，1）B．（﹣8，1）C．（8，﹣1）D．（﹣2，﹣3）3．（3分）经过点（3，a），（﹣2，0）的直线与直线x﹣2y+3＝0垂直，则a＝（）A．B．C．10D．﹣104．（3分）下列函数中，偶函数为（）A．y＝x﹣2B．y＝|x﹣3|C．y＝x2，x∈（﹣1，1]D．5．（3分）函数y＝2x﹣1的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）6．（3分）一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为01至50号．为了解他们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A．分层抽样法B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样法7．（3分）直线l经点（﹣2，2），且与直线y＝x+6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为（）A．x+2y+6＝0B．x﹣2y+6＝0C．2x﹣y+6＝0D．2x﹣y﹣6＝0 8．（3分）在平行四边形ABCD中，++＝（）A．B．C．D．9．（3分）的值等于（）A．B．2C．D．210．（3分）函数y＝x﹣2在区间上[，2]的最大值是（）A．B．﹣1C．4D．﹣411．（3分）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为（）A．60%B．40%C．10%D．50%12．（3分）已知向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则2+•＝（）A．10B．C．7D．13．（3分）已知三角形的边长分别为，则它的最大内角的度数为（）A．B．C．D．14．（3分）若圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0的圆心到直线x﹣y+a＝0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2B．或C．2或0D．﹣2或015．（3分）面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（）A．πQ B．2πQ C．4πQ D．6πQ16．（3分）用二分法逐次计算函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个零点附近的函数值，参考数据如下：f（1）＝﹣2（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1.375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052那么方程f（x）＝0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2B．1.3C．1.4D．1.517．（3分）sin+cos的值为（）A．B．C．D．18．（3分）若函数y＝A sin（ωx+φ）+h的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下列符合条件的函数解析式是（）A．y＝4sin（4x+）B．y＝2sin（2x+）+2C．y＝2sin（4x+）+2D．y＝2sin（4x+）+219．（3分）函数的最大值是（）A．3B．4C．5D．620．（3分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β21．（3分）甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（）A．B．C．D．22．（3分）已知，，则＝（）A．B．C．D．23．（3分）在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形24．（3分）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面P AC⊥平面BDE．证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以__________．又因为BD⊂平面BDE，所以平面P AC⊥平面BDE．A．BD⊥平面PBC B．AC⊥平面PBD C．BD⊥平面P AC D．AC⊥平面BDE 25．（3分）某种植物蔓延的面积y（m2）与时间x（月）的关系满足y＝a x，其图象如图所示．给出如下五个结论：①a＝2；②第5个月植物蔓延的面积就会超过30m2；③植物蔓延从4m2到12m2需要经过1.5个月；④植物蔓延每个月增加的面积都相等；⑤若植物蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x3＝x1+x2．其中，正确结论的序号是（）A．①②B．①②⑤C．①②③④D．②③④⑤二、解答题（共4小题，满分25分）26．（6分）已知函数．（Ⅰ）f（π）＝；（Ⅱ）函数f（x）的最小正周期T＝；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递减区间．27．（6分）如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E 是侧棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．28．（6分）已知直线l：x+my﹣3＝0，圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝9．（1）若直线l与圆相切，求m的值；（2）当m＝﹣2时，直线l与圆C交于点E、F，O为原点，求△EOF的面积．29．（7分）某影院共有1000个座位，票价不分等次．根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，影票可全部售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，售出影票将减少30张．为获得更好的收益，需确定一个合适的票价，确定票价的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出．用x（元）表示每张电影票的票价，用y（元）表示该影院放映一场电影的净收入（除去成本费用支出后的收入）．（Ⅰ）票价最低为元；（Ⅱ）把y表示为x的函数，并求其定义域；（Ⅲ）票价确定为多少元时，才能使放映一场电影的净收入不低于8250元．2019年北京市西城区高考数学合格试卷（二）参考答案与试题解析一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．【解答】解：由集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，得到M∩N＝{0，1}．故选：A．2．【解答】解：．故选：B．3．【解答】解：∵经过点（3，a），（﹣2，0）的直线与直线x﹣2y+3＝0垂直，∴×＝﹣1，解得a＝﹣10．故选：D．4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x﹣2，为一次函数，是非奇非偶函数，不符合题意，对于B，y＝|x﹣3|，是非奇非偶函数，不符合题意，对于C，y＝x2，x∈（﹣1，1]，其定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不符合题意，对于D，y＝﹣，为偶函数，符合题意，故选：D．5．【解答】解：∵任意的x∈（﹣∞，+∞）都满足函数y＝2x﹣1；∴函数y＝2x﹣1的定义域为（﹣∞，+∞）．故选：A．6．【解答】解：样本间隔相同，满足系统抽样的定义，故运用的是系统抽样的方法，故选：D．7．【解答】解：直线y＝x+6在y轴上的截距为b＝6，设直线l方程为y＝kx+6，∵l过点（﹣2，2），∴2＝﹣2k+6，得2k＝4，得k＝2，即l方程为y＝2x+6，即2x﹣y+6＝0，故选：C．8．【解答】解：画出图形，如图所示；++＝（+）+＝+＝+＝．故选：D．9．【解答】解：＝2÷＝．故选：C．10．【解答】解：∵函数y＝x﹣2在第一象限是减函数，∴函数y＝x﹣2在区间[，2]上的最大值是f（）＝．故选：C．11．【解答】解：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%＝40%+p，∴p＝50%．故选：D．12．【解答】解：向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则2+•＝4+2×3×cos60°＝7．故选：C．13．【解答】解：由于三角形的边长分别是4、5、，再由大边对大角可得对的角为最大角，设为θ，由余弦定理可得cosθ＝＝﹣，由θ∈（0，π），可得：θ＝．故选：B．14．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a＝0的距离为，∴，即|a﹣1|＝1，可化为a﹣1＝1或a﹣1＝﹣1，∴解得a＝2或0．故选：C．15．【解答】解：面积为Q的正方形，边长为：；绕其一边旋转一周，得到底面半径为：，高为的圆柱，底面周长2，几何体的侧面积：2×＝2πQ故选：B．16．【解答】解：根据题意，f（1.4375）＝0.165＞0，f（1.40625）＝﹣0.052＜0，则函数f（x）在（1.40625，1.4375）内存在零点，又1.4375﹣1.40625＜0.1，则方程f（x）＝0的一个近似根可以为1.4；故选：C．17．【解答】解：∵sin+cos＝（sin+cos）＝sin（+）＝sin ＝，∴sin+cos的值为．故选：A．18．【解答】解：函数y＝A sin（ωx+φ）+h的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，假设A＞0，ω＞0，φ＞0，h＞0，可得A+h＝4，﹣A+h＝0，解得A＝2，h＝2，且＝，可得ω＝4，由直线是其图象的一条对称轴，可得4×+φ＝kπ+，k∈Z，φ＝kπ﹣，k∈Z，由k＝1可得φ＝，则y＝2sin（4x+）+2．故选：D．19．【解答】解：函数的图象如下图所示：由图可得函数的最大值是4故选：B．20．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选：C．21．【解答】解：甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，不同的送法有四种：甲送丙，乙送丙；甲送丙，乙送丁；甲送丁，乙送丙；甲送丁，乙送丁．甲、乙将贺年卡送给同一人的送法有两种：甲送丙，乙送丙；甲送丁，乙送丁．∴甲、乙将贺年卡送给同一人的概率p＝．故选：A．22．【解答】解：∵，，∴sinα＝，则＝＝＝．故选：D．23．【解答】解：∵在△ABC中，a cos B＝b cos A，∴，又由正弦定理可得，∴，sin A cos B﹣cos A sin B＝0，sin（A﹣B）＝0．由﹣π＜A﹣B＜π得，A﹣B＝0，故△ABC为等腰三角形，故选：D．24．【解答】证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以BD⊥平面P AC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面P AC⊥平面BDE．故选：C．25．【解答】解：∵点（1，2）在函数图象上，∴2＝a1∴a＝2，故①正确；∴函数y＝2x在R上是增函数，且当x＝5时，y＝32，故②正确，4对应的x＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；如图所示，1﹣2月增加2m2，2﹣3月增加4m2，故④不正确．对⑤由于：2＝2，3＝2，6＝2，∴x1＝1，x2＝log23，x3＝log26，又因为1+log22＝log22+log23＝log26，∴若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x1+x2＝x3成立，故⑤正确．故选：B．二、解答题（共4小题，满分25分）26．【解答】解：f（x）＝x，＝（1+cos2x）＝，（Ⅰ）f（π）＝＝﹣1；（Ⅱ）f（x）的周期T＝π；（Ⅲ）∵，∴由+2kπ（k∈Z），得+kπ（k∈Z），∴函数f（x）的单调递减区间为．27．【解答】证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为BB1⊥底面ABCD，所以BB1⊥AC，（3分）所以AC⊥平面BDD1B1．（5分）（Ⅱ）设AC，BD交于点O，取B1D的中点F，连接OF，EF，则OF∥BB1，且，又E是侧棱CC1的中点，，BB1∥CC1，BB1＝CC1，所以OF∥CC1，且，（7分）所以四边形OCEF为平行四边形，OC∥EF，（9分）又AC∥平面B1DE，EF∥平面B1DE，（11分）所以AC∥平面B1DE．（13分）28．【解答】解圆C的圆心C（2，﹣3），r＝3．（1）＝3，∴m＝．（2）当m＝﹣2时，直线l：x﹣2y﹣3＝0，C到直线l的距离d＝＝，∴|EF|＝2＝4．O到直线l的距离为h＝．∴△EOF的面积为S＝×4×＝．29．【解答】解：（Ⅰ）令1000x﹣5750＞0，解得x＞5.75，由题意知票价最低应为6元；（Ⅱ）当票价不超过10元时，y＝1000x﹣5750（其中x＝6，7，8，9，10）；当票价高于10元时，y＝x[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750＝﹣30x2+1300x﹣5750；由，解得；所以y关于x的函数为；（Ⅲ）对于y＝1000x﹣5750（其中x＝6，7，8，9，10），显然当x＝10，y取得最大值为4250；对于y＝﹣30x2+1300x﹣5750（其中11≤x≤38，x∈N），当x＝22时，y取得最大值为8330．当x＝23时，y＝8280；当x＝24时，y＝8170；当x＝21时，y＝8320；当x＝20时，y＝8250．综上，当票价x∈{20，21，22，23}时，净收入y≥8250．故答案为：（Ⅰ）6．。