高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明 12.3 合情推理与演绎推理课件(理)

第十二章推理与证明、算法第一节合情推理与演绎推理课程标准1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.)[由教材回扣基础]1．合情推理类型定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．澄清微点·熟记结论(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明．(2)在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(3)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案：(1)√(2)×(3)×二、练牢教材小题1．(人教B版选修2－2P77T1改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1解析：选C a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.2．(北师大版选修2－2P7T2改编)观察下列等式：1－12＝1 2，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…据此规律，第n个等式可为____________________________________________．解析：观察所给等式的左右可以归纳出1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.答案：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n3．(人教B版选修2－2P62T2改编)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面面积比为1∶4，对应高之比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.答案：1∶8三、练清易错易混1．(三段论理解错误)“因为指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)是增函数(大前提)，又y是指数函数(小前提)，所以函数y 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：选A当a >1时，y ＝a x 为增函数；当0<a <1时，y ＝a x 为减函数，故大前提错误．2．(类比推理类比不当)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V1V 2＝________.解析：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比为3∶1，故正四面体P ­ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2之比等于V 1V 2＝＝127.答案：127命题视角一归纳推理考法(一)与数字有关的推理[例1](2021·未央二模)将正整数排成如图所示的数阵，其中第i 行有2i－1个数．如果2022是表中第m 行的第n 个数，则()A ．m ＋n ＝1009B ．m ＋n ＝1010C ．m ＋n <1009D ．m ＋n >1010[解析]由题意可知第n 行有2n －1个数，因为20＋21＋22＋23＋ (29)1－2101－2＝1023,20＋21＋22＋ (210)1－2111－2＝2047，所以2022是第11行的第2022－1023＝999个数，所以m＝11，n＝999，所以m＋n＝1010.[答案]B考法(二)与式子有关的推理[例2]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为n(n＋1)2＝12n2＋12n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝32n2－12n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，…可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.[解析]由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝k－22n2＋4－k2n，所以N(10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1100－100＝1000.[答案]1000考法(三)与图形有关的推理[例3]分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为()A．81B．.121C．364D．.1093[解析]由题图可知，当n＝1时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1；当n ＝2时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3；当n＝3时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3＋32；…据此归纳推理可知，当n＝6时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3＋32＋33＋34＋35＝1－361－3＝364.故选C.[答案]C[方法技巧]归纳推理的常见类型及解题策略(1)数的归纳．包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳．主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系．[针对训练]1．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：第25个图形中火柴棒的根数是________．解析：第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4＋3＝7根火柴棒；第3个图形中有4＋3×2＝10根火柴棒；……第n个图形中火柴棒的根数有4＋3×(n－1)＝(3n＋1)根火柴棒，当n＝25时，3n＋1＝3×25＋1＝76，即第25个图形中火柴棒的根数是76.答案：762．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为__________________．解析：∵f(21)＝32，f(22)>2＝42，f(23)>52，f(24)>62，∴归纳得f(2n)≥n＋22(n∈N*)．答案：f(2n)≥n＋22(n∈N*)命题视角二类比推理[典例](1)若等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S nd 2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q，前n项的积为T n，则等比数列{nT n}的公比为()A.q 2B ．.q 2C.qD.nq(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋Pc h c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为____________．[解析](1)由题意知，T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n－1＝所以所以等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.(2)设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A ­BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A ­BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋Pd h d＝1.[答案](1)C(2)P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d＝1[方法技巧]类比推理的分类(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型问题时，可以借助原定义来求解．(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．[针对训练]1．已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是r ＝13h ，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体的高h 的关系是________．解析：球心到正四面体一个面的距离即内切球的半径r ，连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，所以4×13S ×r ＝13×S ×h ，所以r ＝14h (其中S 为正四面体一个面的面积)．答案：r ＝14h2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则____________成等比数列．解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可．答案：T 4，T 8T 4，T 12T 8，T16T 12命题视角三演绎推理[典例]数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列S nn 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明](1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·Sn n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故S nn 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.[针对训练]如图所示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点．求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面B 1CD .证明：(1)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，C 1C ⊥AC (结论)．∵AC ⊥BC ，C 1C ∩BC ＝C (小前提)，∴AC ⊥平面BCC 1B 1(结论)．又∵BC 1⊂平面BCC 1B 1(小前提)，∴AC ⊥BC 1(结论)．(2)设BC 1与B 1C 的交点为O ，连接OD .∵点O ，D 分别为线段BC 1，AB 的中点(小前提)，∴OD ∥AC 1(结论)．又∵AC 1⊄平面B 1CD ，OD ⊂平面B 1CD (小前提)，∴AC 1∥平面B 1CD (结论)．[课时跟踪检测]1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1·8·＝1899＝211，0.3·5·2·＝352999，0.0005·9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数()A.2390B.9923C.815D.730解析：选D0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730.故选D.2．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，则按照以上规律，若88n ＝88n具有“穿墙术”，则n ＝()A ．35B ．.48C ．63D ．.80解析：选C 根据规律得3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，所以n ＝7×9＝63.故选C.3．(2022·成都模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝()A ．2πr 4B ．.3πr 4C ．4πr 4D ．.6πr 4解析：选A由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度．由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故W ＝2πr 4.故选A.4．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依此类推，凸13边形对角线的条数为()A ．42B ．65C ．143D ．169解析：选B 可以通过列表归纳分析得到.凸多边形45678…对角线条数22＋32＋3＋42＋3＋4＋52＋3＋4＋5＋6…∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝13×102＝65条对角线．故选B.5．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地，不难得到1＋11＋11＋…＝()A.－5－12 B.5－12C.1＋52D.1－52解析：选C令1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1－52舍去故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.6．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：选B分析可知每次取出的两个球有4种情况，“红红”“红黑”“黑红”“黑黑”，由于红球个数等于黑球个数，所以取“红红”的次数等于取“黑黑”的次数，取“红红”时乙盒放入一个红球，取“黑黑”时丙盒放入一个黑球，取“红黑”或“黑红”时乙盒中红球与丙盒中黑球数量不变，所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．7．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛．赛后，他们四个人预测名次的谈话如下：甲：“丙第一名，我第三名．”乙：“我第一名，丁第四名．”丙：“丁第二名，我第三名．”丁没有说话．最后公布结果时，发现他们预测都只猜对了一半，则这次竞赛甲、乙、丙、丁的名次依次是()A ．一、二、三、四B ．.三、一、二、四C ．三、一、四、二D ．.四、三、二、一解析：选C由题意，他们预测都只猜对了一半．假设甲猜的丙第一名正确，则甲猜的自己第三名错误，则乙猜的丁第四名正确，而丙猜的丙第三名错误，则丙猜的丁第二名正确，由丁既是第二名，又是第四名可知此假设不正确；故甲猜的丙第一名错误，则甲猜的自己第三名正确，则丙猜的丁第二名正确．又乙猜的丁第四名错误，则乙猜的乙第一名正确，第四名为丙．综上所述，甲第三名，乙第一名，丙第四名，丁第二名．故选C.8．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法．比如借助天平鉴别假币，有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币(质量较轻)，把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币．现有27枚这样的硬币，其中有一枚是假币(质量较轻)，如果只有一台天平，那么一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为()A ．2B ．.3C ．4D ．.5解析：选B第一步，将27枚硬币分为三组，每组9枚，任取两组分别放于天平左右两端，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中．第二步，把较轻的9枚硬币再分成三组，每组3枚，任取两组分别放于天平左右两端，若天平平衡，则假币在第三组；若天平不平衡，则假币在较轻的一组．第三步，再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，任取其中两组放于天平左右两端，若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币．因此，一定能找到假币最少需使用3次天平．故选B.9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ―→⊥AB ―→时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于()A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A 设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，因为FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝0.又FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )，所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac .等号两边同除以a 2，得e 2－1＝e ，解得e ＝1－52舍去10．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…类比得，x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.解析：由已知三个式子知n ＝1时，a ＝1；n ＝2时，a ＝22＝4；n ＝3时，a ＝33＝27，由此归纳可得a ＝n n .答案：n n11．观察下列式子：1×2<2,1×2＋2×3<92，1×2＋2×3＋3×4<8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5<252，…，根据以上规律，第n (n ∈N *)个不等式是__________________________．解析：根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2＋2×3＋…＋n ·(n ＋1)<(n ＋1)22.答案：1×2＋2×3＋…＋n ·(n ＋1)<(n ＋1)2212．(2022·沧州联考)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．解析：若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．答案：甲第二节直接证明与间接证明、数学归纳法课程标准1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.)[由教材回扣基础]1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→…→Q n ⇒QQ ⇐P 1→P 1⇐P 2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…2.间接证明反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．3．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，这一步是归纳奠基．(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a≤b”．()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(5)证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立．()(6)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×二、练牢教材小题1．(北师大版选修2－2例5改编)要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．.分析法C．反证法D．.归纳法解析：选B从要证明的结论——比较两个无理数的大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法．故选B.2．(人教A版选修2－2P89T2改编)若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P>Q B．.P＝QC．P<Q D．.不能确定解析：选A P2＝(a＋6＋a＋7)2＝2a＋13＋2a2＋13a＋42，Q2＝(a＋8＋a＋5)2＝2a＋13＋2a2＋13a＋40，∵a≥0，∴P2>Q2，∴P>Q.故选A.3．(人教B版选修2－2P67例4改编)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：选B注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”．故选B.4．(人教A 版选修2－2P 96T 1改编)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1，在验证n ＝1时，左边的式子为()A ．1B ．.1＋2C ．1＋2＋22D ．.1＋2＋22＋23解析：选D当n ＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D.三、练清易错易混1．(寻找条件不充分)分析法又称执果索因法，已知x >0，用分析法证明1＋x <1＋x2时，索的因是()A ．x 2>2B ．.x 2>4C ．x 2>0D ．.x 2>1解析：选C 因为x >0，所以要证1＋x <1＋x2，只需证(1＋x )2，即证0<x 24，即证x 2>0，因为x >0，所以x 2>0成立，故原不等式成立．2．(否定出错)利用反证法证明“已知a >0，b >0，且a ＋b >2，证明1＋b a ，1＋ab中至少有一个小于2”时的反设是________．解析：假设1＋b a ，1＋a b 都不小于2，即1＋b a ≥2且1＋ab≥2.答案：1＋b a ≥2且1＋ab≥23．(式子变化错误)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需增加的代数式是________．解析：当n ＝k ＋1时，左边的式子为1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)，所以增加的代数式为(2k ＋2)＋(2k ＋3)．答案：(2k ＋2)＋(2k ＋3)命题视角一直接证明方法(一)综合法[例1](2022·泰安模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数且m ≠－3，m ≠0.(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比满足q ＝f (m )且b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)数列，并求b n .[证明](1)因为(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，所以(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3，两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)，所以a n ＋1a n ＝2m3＋m为常数，所以{a n }是等比数列．(2)由(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3，得(m ＋3)a 1＝m ＋3，因为m ≠－3，所以a 1＝1，b 1＝1，因为数列{a n }的公比满足q ＝f (m )＝2m 3＋m，b n ＝32f (b n －1)，所以b n ＝32·2b n －13＋b n －1，所以1b n －1b n －1＝13，所以1为首项，13为公差的等差数列，所以1b n ＝n ＋23，所以b n＝3n ＋2.[方法技巧]综合法证题的思路方法(二)分析法[例2]设a >0，b >0，且a ≠b ，用分析法证明a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.[证明]要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，只需证a 3＋b 3－a 2b －ab 2>0成立，即证a 2(a －b )＋b 2(b －a )>0成立，即证(a 2－b 2)(a －b )>0成立，也就是要证(a ＋b )(a －b )2>0成立，因为a >0，b >0，且a ≠b ，所以(a ＋b )(a －b )2>0显然成立，由此原不等式得证．[方法技巧]1．分析法证题的思路分析法证题的思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．通常采用“要证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．2．分析法证题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．[针对训练]1．在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋y cos A＋cos B ＝0与ax＋y cos B＋cos A＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．证明：由两直线平行可知b cos B－a cos A＝0，由余弦定理得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．2．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.证明：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是ca＋b＋ab＋c＝1，即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.又△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2ac cos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．命题视角二间接证明[典例]已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋S n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{a n}中不存在三项按原来的顺序成等差数列．[解](1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又a n＋S n＝2，所以a n＋1＋S n＋1＝2，两式相减得a n＋1＝12a n，所以{a n}是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝1 2n－1.(2)证明：假设存在三项按原来的顺序成等差数列，记为a p＋1，a q＋1，a r＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，则2·12q＝12p＋12r，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．[方法技巧]用反证法证题需把握的3个注意点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面．(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．[针对训练]已知四棱锥S­ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD，因为BC∥AD，BC⊄平面SAD，AD⊂平面SAD，所以BC∥平面SAD，又BC∩BF＝B，所以平面SBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，所以假设不成立．所以不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .命题视角三数学归纳法[典例]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，其前n 项和为S n .(1)求S n ；(2)若b n 试猜想数列{b n }的通项公式，并用数学归纳法证明．[解](1)∵a n ＝2n －1，∴数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝2×1－1＝1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)∵b n ∴b 1＝34，b 2＝23＝46，b 3＝58，b 4＝35＝610，于是猜想b n ＝n ＋22(n ＋1).下面证明猜想：①当n ＝1时，b 1＝34，猜想成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即b k ＝k ＋22(k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝k ＋22(k ＋1)·＝k ＋22(k ＋1)·1－1(k ＋2)2＝k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)(k ＋2)2＝k ＋32(k ＋2)＝(k ＋1)＋22[(k ＋1)＋1].∴当n ＝k ＋1时，猜想成立．由①②可知，b n ＝n ＋22(n ＋1)对任意n ∈N *都成立．[方法技巧]“归纳—猜想—证明”的一般步骤(1)计算：根据条件，计算若干项；(2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论；(3)证明：用数学归纳法证明．[针对训练]已知数列{a n}满足S n＋a n＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)将n＝1,2,3分别代入可得a1＝32，a2＝74，a3＝158，猜想a n＝2－12n.(2)证明：①由(1)得当n＝1时，结论成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即a k＝2－1 2k，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋a k＋a k＋1＋a k＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋…＋a k＝2k＋1－a k，所以2k＋1－a k＋2a k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，所以2a k＋1＝2＋2－12k，即a k＋1＝2－12k＋1，所以当n＝k＋1时，结论也成立．根据①②得，对一切n∈N*，a n＝2－12n都成立．[课时跟踪检测]1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是() A．t>s B．.t≥s C．t<s D．.t≤s解析：选D∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.2．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是()A．ac2<bc2B．.a2>ab>b2C.1 a <1bD.ba>ab解析：选B a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，综上可得a2>ab>b2.3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b 2－ac <3a ”，则索的因应是()A ．a －b >0B ．.a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．.(a －b )(a －c )<0解析：选Cb 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C.4．设a >0，b >0且ab －(a ＋b )≥1，则()A ．a ＋b ≥2(2＋1)B ．.a ＋b ≤2＋1C ．a ＋b ≤(2＋1)2D ．.a ＋b >2(2＋1)解析：选A由条件知a ＋b ≤ab －1－1，令a ＋b ＝t ，则t >0，且t ≤t 24－1，解得t ≥2＋2 2.5．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.6．在△ABC 中，sin A sin C <cos A cos C ，则△ABC 一定是()A ．锐角三角形B ．.直角三角形C ．钝角三角形D ．.不确定解析：选C由sin A sin C <cos A cos C 得cos A cos C －sin A sin C >0，即cos(A ＋C )>0，所以A ＋C 是锐角，从而B >π2，故△ABC 必是钝角三角形．7．设x ，y ，z ＞0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数()A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：选C假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6.。

第十二章⎪⎪⎪推理与证明、算法、复数第一节 合情推理与演绎推理本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.突破点(一) 合情推理[基本知识] 类型 定义特点 归纳 推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、 由个别到一般类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊[基本能力]1．判断题(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是a n ＝________.解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：n 2(2)由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．答案：类比(3)观察下列不等式： ①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112< 3.则第5个不等式为____________________________________________________．答案：12＋16＋112＋120＋130< 5[全析考法]归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)对所得出的一般性命题进行检验．类型(一)与数字有关的推理[例1](1)给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝()A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)(2)(·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.[解析](1)由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.[答案](1)A(2)n2解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． [易错提醒]类型(二) 与式子有关的推理 [例2] (1)(·山东高考)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x3＋x 3＋27x3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. [解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .[答案] (1)4n (n ＋1)3 (2)n n[方法技巧]与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． 类型(三) 与图形有关的推理[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A．21 B．34C．52 D．55[解析]因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案] D[方法技巧]与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．类比推理1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例4]如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．[解]如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积相等．下面证明该结论的正确性， 设内切球半径为R ，则V A -BEFD ＝13(S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD )×R ＝V A -EFC ＝13(S △AEC＋S △ACF ＋S △ECF )×R ，即S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD ＝S △AEC ＋S △ACF ＋S △ECF ，两边同加S △AEF 可得结论．[方法技巧]类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．[全练题点]1.[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．2.[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3.[考点一·类型(一)]将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k 行有k 个奇数)，其中第i 行第j 个数表示为a ij ，例如a 42＝15，若a ij ＝2 017，则i －j ＝( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…A ．26B ．27C ．28D ．29解析：选A 前k 行共有奇数为1＋2＋3＋…＋k ＝k (1＋k )2个，所以第k 行的最后一个数为2·k (1＋k )2－1＝k 2＋k －1，第k ＋1行的第一个数为k (k ＋1)＋1，当k ＋1＝45时，k (k＋1)＋1＝44×45＋1＝1 981，即第45行的第一个数为1 981，因为2 017－1 9812＝18，所以2 017是第45行的第19个数，即i ＝45，j ＝19，所以i －j ＝45－19＝26.故选A.4．[考点一·类型(二)]观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 各等式可化为55－4＋8－5(8－5)－4＝2，22－4＋8－2(8－2)－4＝2；77－4＋8－7(8－7)－4＝2，1010－4＋8－10(8－10)－4＝2，可归纳得一般等式：n n －4＋8－n (8－n )－4＝2，故选A.5.[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋1突破点(二)演绎推理[基本知识](1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[基本能力]1．判断题(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案：(1)√(2)×2．填空题(1)下列说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有________个．解析：易知①③④正确．答案：3(2)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号)．答案：②[全析考法]演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，(大前提)所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．[全练题点]1．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋ma ＋m .证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b ＜a ，m ＞0，(小前提) 所以mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb ＜ma ，(小前提)所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提) 所以b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a ＜b ＋m a ＋m .(结论)2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．证明：设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2， 则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， 因为x 1<x 2，即x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．(小前提) 所以y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．(结论)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.2．(·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．答案：1和33．(·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三个去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过A ，C 城市，乙去过的城市应为A.答案：A[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 合情推理1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211解析：选B 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( )A ．n (n ＋1) B.n (n －1)2C.n (n ＋1)2D ．n (n －1)解析：选C 由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选B 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：选B 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.答案：337．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.12345…3579…81216…2028…2 013 2 014 2 015 2 0164 027 4 029 4 0318 0568 06016 116……该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为____________．解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2 015行的公差为22 014，故第一行的第一个数为2×2－1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，第四行的第一个数为5×22，…，第n行的第一个数为(n＋1)·2n－2，故第2 016行(最后一行)仅有一个数为(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.答案：2 017×22 0148.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为____________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案：(1 009,1 008)对点练(二)演绎推理1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，大前提均错误．故选B.2．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：选A若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.4．(·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.5．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为____________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙[大题综合练——迁移贯通]1．给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为13574 81212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. ∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD .∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD .又AB ∩AE ＝A ， ∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AF . ∴在Rt △ACD 中1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.第二节直接证明与间接证明、数学归纳法本节主要包括3个知识点： 1.直接证明； 2.间接证明； 3.数学归纳法.突破点(一)直接证明[基本知识]内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件书写格式“因为…，所以…”或“由…，得…”“要证…，只需证…，即证…”[基本能力]1．判断题(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(4)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)6－22与5－7的大小关系是________．解析：假设6－22>5－7，由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．答案：6－22>5－7(2)已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x、y的大小关系是________．解析：x2＝12(a＋b＋2ab)，y2＝a＋b＝12(a＋b＋a＋b)>12(a＋b＋2ab)＝x2，又∵x>0，y>0，∴y>x.答案：y>x(3)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．解析：∵a>b>0，∴a>b，a－b>0，∴n2－m2＝a－b－(a＋b－2ab)＝2ab－2b>2b2－2b＝0，∴n2>m2，又∵m>0，n>0，∴n>m.答案：n>m[全析考法]综合法(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．[例1](·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：f(x)x－1>0. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.则f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x －1.由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴f (x )x －1>0.当x >1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1>0， ∴f (x )x －1>0.综上可知，f (x )x －1>0. [方法技巧] 综合法证题的思路分析法[例2] 已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b.[证明] 由已知1b －1a >1及a >0，可知0<b <1，要证1＋a >11－b ，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a >1.这是已知条件，所以原不等式得证．[方法技巧]分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．[全练题点]1.[考点一]命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“由因导果”，即由条件逐步推向结论，故选B. 2.[考点一](·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .①又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.3.[考点一]已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥13.4.[考点二]已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证m (a －b )2≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．突破点(二)间接证明[基本知识]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤第一步分清命题“p⇒q”的条件和结论第二步作出命题结论q相反的假设綈q第三步由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果第四步断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真3．常见的结论和反设词原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个都没有对任意x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有(n－1)个p或q 綈p且綈q至多有n个至少有(n＋1)个p且q 綈p或綈q 都是不都是不都是都是[基本能力]1．判断题(1)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(3)用反证法证题时必须先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况．()(4)反证法的步骤是：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”，假设的内容应是________．答案：3a≤3b(2)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可把下列哪些作为条件使用________(填序号)．①结论相反的判断即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义；④原结论．答案：①②③(3)写出下列命题的否定．①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；否定为____________________________________________________________；②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q≤2；否定为________________________________________________________；③所有的正方形都是矩形；否定为________________________________________________________________；④至少有一个实数x，使x2＋1＝0；否定为_______________________________________________________________．答案：①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c都是奇数②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q>2③至少存在一个正方形不是矩形④不存在实数x，使x2＋1＝0[全析考法]证明否定性命题[例1]设{a n}(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．[解](1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①。

12.3 合情推理与演绎推理考纲要求1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1．合情推理主要包括__________和__________．合情推理的过程：(1)归纳推理：由某类事物的________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由________概括出__________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a，b，c∈M，且a，b，c具有某属性；结论： d∈M，d也具有某属性．(2)类比推理：由________具有某些类似特征和其中________的某些已知特征，推出________也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由______到______的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)．2．演绎推理：从______的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由______到______的推理．(1)三段论是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)“三段论”可以表示为①大前提：M是P.②小前提：S是M.③结论：S是P.用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )．A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2．数列2,5,11,20,32，x，…中的x等于( )．A．28 B．32C．33 D．473．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )．A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)4．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3一、归纳推理【例1】 观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 方法提炼1．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；(2)归纳的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的．所以“前提真而结论假”的情况是可能发生的；(3)人们在进行归纳推理时，总是先收集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行；(4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．2．归纳推理的一般步骤：首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．请做演练巩固提升1 二、类比推理【例2】 在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，作AD ⊥BC ，D 为垂足，BD 为AB 在BC 上的射影，CD 为AC 在BC 上的射影，则有AB 2＋AC 2＝BC 2，AC 2＝CD ·BC 成立．直角四面体PABC (即PA ⊥PB 、PB ⊥PC 、PC ⊥PA )中，O 为P 在△ABC 内的射影，△PAB 、△PBC 、△PCA 的面积分别记为S 1、S 2、S 3，△OAB 、△OBC 、△OCA 的面积分别记为S ′1、S ′2、S ′3，△ABC 的面积记为S .类比直角三角形中的射影结论，在直角四面体PABC 中可得到正确结论________(写出一个正确结论即可)．方法提炼1．类比推理的特点：(1)类比推理是由特殊到特殊的推理；(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；(3)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能；(4)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．2．类比推理的步骤：首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而获得一个猜想；最后，检验这个猜想．类比是科学研究最普遍的方法之一．在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段．类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的．请做演练巩固提升2 三、演绎推理【例3】 如图，已知直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，AB ⊥BC ，AB ∥CD ，E ，F 分别是棱BC ，B 1C 1上的动点，且EF ∥CC 1，CD ＝DD 1＝1，AB ＝2，BC ＝3.(1)证明：无论点E 怎样运动，四边形EFD 1D 都为矩形； (2)当EC ＝1时，求几何体A ­EFD 1D 的体积． 方法提炼1．演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式．2．演绎推理的一般模式是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理常用的一种格式，可以用以下公式来表示：如果b ⇒c ，a ⇒b ，则a ⇒c .3．演绎推理是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的．错误的前提可能导致错误的结论．三段论推理也可用集合论的观点来解释：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素也都具有性质P .三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．请做演练巩固提升3把握不准周期性而致误【典例】 (2012陕西高考)观察下列不等式1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个不等式为________________．答案：1＋122＋132＋142＋152＋162＜116答题指导：在解答本题时有两点易造成误解：(1)对于给定的式子，只观察式子结果，而不去继续探究下几项式子，从而找不到规律而误解．(2)在继续探究的情况下，运算错误从而导致周期找不到或找错周期而误解．1．观察下列各式：72＝49,73＝343，74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )． A ．01 B ．43 C ．07 D ．492．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )．A.18B.19C.164D.1273．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误．．是( )． A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错4．(2012湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2 012是数列{a n }中的第______项； (2)b 2k －1＝______.(用k 表示)5．(2012长沙模拟)有以下命题：设1n a ，2n a ，…，m n a 是公差为d 的等差数列{a n }中任意m 项，若n 1＋n 2＋…＋n m m ＝p ＋r m (p ∈N *，r ∈N 且r ＜m )，则12m n n n a a a m+++…＝a p ＋r m d ；特别地，当r ＝0时，称a p 为1n a ，2n a ，…，m n a 的等差平均项．(1)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，根据上述命题，则a 1，a 3，a 10，a 18的等差平均项为________．(2)将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中：设1n a ，2n a ，…，m n a 是公比为q 的等比数列{a n }中任意m 项，若n 1＋n 2＋…＋n m m ＝p ＋r m(p ∈N *，r ∈N 且r ＜m )，则________；特别地，当r ＝0时，称a p 为1n a ，2n a ，…，m n a 的等比平均项．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．归纳推理 类比推理 (1)部分对象全部对象 个别事实 一般结论 (2)两类对象 一类对象 另一类对象 特殊 特殊 2．一般性 一般 特殊 基础自测1．A 解析：由图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．2．D 解析：由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9,32－20＝12，则x －32＝15，∴x ＝47. 3．D 解析：由已知的三个求导式可归纳推理得到偶函数的导函数是奇函数，又f (x )是偶函数，所以g(x )是奇函数，故g(－x )＝－g(x )．4．B 解析：只有③正确． 考点探究突破【例1】 解：猜想sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．【例2】 S 21＝S 1′S(或S 2＝S 21＋S 22＋S 23)解析：空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体↔多边形，面↔边，体积↔面积，二面角↔平面角，面积↔线段长，…，由此，可类比得S 21＝S′1S(或S 2＝S 21＋S 22＋S 23)．【例3】(1)证明：在直四棱柱ABCD­A 1B 1C 1D 1中，DD 1∥CC 1， ∵EF∥CC 1，∴EF∥DD 1.又∵平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1， 平面ABCD∩平面EFD 1D ＝ED ， 平面A 1B 1C 1D 1∩平面EFD 1D ＝FD 1，∴ED∥FD 1.∴四边形EFD 1D 为平行四边形． ∵侧棱DD 1⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD ， ∴DD 1⊥DE.∴四边形EFD 1D 为矩形． (2)解：连接AE ，∵四棱柱ABCD­A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，∴侧棱DD 1⊥底面ABCD.又AE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥AE. 在Rt△ABE 中，AB ＝2，BE ＝2， 则AE ＝2 2.在Rt△CDE 中，EC ＝1，CD ＝1， 则DE ＝ 2.在直角梯形ABCD 中，AD ＝BC 2＋(AB －CD)2＝10，∴AE 2＋DE 2＝AD 2，即AE⊥ED. 又∵ED∩DD 1＝D ， ∴AE⊥平面EFD 1D.由(1)可知，四边形EFD 1D 为矩形，且DE ＝2，DD 1＝1， ∴矩形EFD 1D 的面积为1EFD D S 矩形＝DE·DD 1＝ 2.∴几何体A­EFD 1D 的体积为1A EFD D V -＝131EFD D S AE ⋅矩形＝13×2×22＝43.演练巩固提升1．B 解析：(法一)由题意得，72 011＝7502×4＋3＝(74)502·73，由于74＝2 401末位为1，倒数第二位为0，因此2 401502的末两位定为01.又73＝343，∴(74)502·73的末两位定为43.(法二)用归纳法：∵72＝49,73＝343，74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543，…，由上知末两位有周期性且T ＝4.又72 011＝7502×4＋3，∴72 011的末两位与73的末两位一样为43.2．D 解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故体积之比为V 1V 2＝127.3．A 解析：y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．4．(1)5 030 (2)5k (5k －1)2解析：(1)由题意可得，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n .以上各式相加得，a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(n ＋2)2，故a n ＝n (n ＋1)2.因此，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10＝55，…由此归纳出b 2 012＝a 5 030.(2)b 1＝a 4＝4×52，b 3＝a 9＝9×102，b 5＝a 14＝14×152，….归纳出b 2k －1＝5k (5k －1)2.5．a 8＝a p ·r mq解析：(1)∵a 1＋a 3＋a 10＋a 184＝2＋6＋20＋364＝16，∴a 1，a 3，a 10，a 18的等差平均项为a 8.(2)类比12mn n n a a a m+++…用a p ·r mq 来类比a p ＋rmd 可得．。

§12.1 合情推理与演绎推理考纲展示►1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发展中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．考点1 类比推理类比推理(1)①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有________的推理．(2)特点：是由________到________的推理． 答案：(1)这些特征 (2)特殊 特殊[教材习题改编]在Rt △ABC 中，两直角边分别为a ，b ，设h 为斜边上的高，则1h 2＝1a 2＋1b2.由此类比：三棱锥S －ABC 中的三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且长度分别为a ，b ，c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则________．答案：1h 2＝1a 2＋1b 2＋1c2解析：直角三角形的两直角边对应该三棱锥的三条两两垂直的侧棱，直角三角形斜边上的高对应该三棱锥底面上的高，类比得1h 2＝1a 2＋1b 2＋1c2.事实上，在直角三角形中1h 2＝1a 2＋1b2是由等面积法得到的，而在三棱锥中可由等体积法求得1h 2＝1a 2＋1b 2＋1c2[典题1] (1)[2017·江西南昌模拟]如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m ∶n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb m ＋n.用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，分别延长梯形的两腰AD 和BC 交于O 点，设△OAB ，△ODC 的面积分别为S 1，S 2，则△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋n B ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋n C.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[答案] C[解析] 在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF ＝ma ＋nb m ＋n 类比到关于△OEF 的面积S 0与S 1，S 2的关系是S 0＝m S 1＋n S 2m ＋n. (2)[2017·贵州六校联考]在平面几何中，△ABC 的∠C 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________．[答案] AE BE＝S△ACDS△BCD[解析] 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得，AEBE＝S△ACDS△BCD.[点石成金] 类比推理的分类及处理方法类别解读适合题型类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解已知熟悉定义类比新定义类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何、等差数列与等比数列类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的________都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．(2)特点：是由________到________、由________到________的推理． 答案：(1)全部对象 (2)部分 整体 个别 一般(1)[教材习题改编]若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)，则归纳出该数列的通项公式为________．答案：a n ＝1n(n ∈N *)解析：由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n ，得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，…，归纳猜想a n ＝1n(n ∈N *)．(2)[教材习题改编]观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋… ＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________________(n ∈N *)． 答案：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2解析：观察得出规律，左边为2n－1个连续自然数的倒数和，右边的数分母为2、分子为n ，由此可以猜测第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n－1>n 2.合情推理的两种常见方法：归纳；类比．(1)数列2,5,11,20，x,47，… 中的x 等于________． 答案：32解析：观察数列前几项，有5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9， 由此可归纳得出x －20＝12，即x ＝32. (2)若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n项的和为S n ，则数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则________．答案：数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫nT n 为等比数列，且通项为n T n ＝b 1(q )n －1解析：类比等差数列的结论，得数列 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫nT n 为等比数列，且通项为n T n ＝b 1(q )n －1.[考情聚焦] 归纳推理是发现问题、找出规律的具体鲜明的方法，也是创新的一种思维方式，因而成为高考考查的亮点，常以选择题、填空题的形式出现．主要有以下几个命题角度： 角度一 数的归纳[典题2] (1)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A.48,49 B ．62,63 C ．75,76 D ．84,85 [答案] D[解析] 由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 符合条件．(2)[2017·陕西模拟]观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *,1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.[答案] n 2[解析] ∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.[点石成金] 解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．角度二 式的归纳[典题3] (1)观察下列等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； …照此规律，第n 个等式可为________．[答案] (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n×1×3×5×…×(2n －1)[解析] 观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项分别为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n×1×3×5×…×(2n －1)．(2)已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[答案]－1nx －nex[解析] 因为f 1(x )＝－1x －1ex， f 2(x )＝－12x －2ex，f 3(x )＝－13x －3ex，…，所以f n (x )＝－1nx －nex.(3)[2017·山东日照模拟]设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[答案] f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)[解析] ∵f (21)＝32，f (22)>2＝42，f (23)>52，f (24)>62，∴归纳，得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．[点石成金] 1.与数字有关的等式的推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．2．与不等式有关的推理，观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．角度三形的归纳[典题4] (1)[2017·重庆模拟]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A．21 B．34 C．52 D．55[答案] D[解析] 因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.(2)下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．[答案] n n＋12[解析] 由题图知，第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n，∴总个数为n n＋12.[点石成金] 与图形变化有关的推理的解题策略合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．考点3 演绎推理1.演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由________到________的推理．答案：一般 特殊2．“三段论”是演绎推理的一般模式 (1)大前提——已知的________． (2)小前提——所研究的________．(3)结论——根据一般原理，对________做出的判断． 答案：(1)一般原理 (2)特殊情况 (3)特殊情况演绎推理的两个易错点：推理形式错误；大(小)前提错误．(1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是________．(2)“所有是3的倍数的数都是9的倍数，m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的，错误的原因是________．答案：(1)推理形式错误 (2)大前提错误解析：(1)大前提与小前提之间没有包含关系，虽然使用了“三段论”，但推理形式错误． (2)因为大前提错误，所以尽管推理的形式正确，结论仍然是错的.[典题5] 已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．(1)[证明] 函数f (x )的定义域为全体实数，让取一点(x ，y )，它关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a＝－a xa x ＋a，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－aa a x ＋a＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(2)[解] 由(1)知，－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 故f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.[点石成金] 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[方法技巧] 1.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[易错防范] 1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．真题演练集训1．[2016·北京卷]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案：B解析：解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误．故选B.解法二：设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球．依题意知，甲盒中有(n－k)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有(k－s)个，丙盒中共有(n－k)个球，其中红球有(n－k－s)个，黑球有(n－k)－(n－k－s)＝s(个)．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.2．[2014·北京卷]学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A．2人 B．3人 C．4人 D．5人答案：B解析：设学生人数为n，因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况，所以当n≥4时，语文成绩至少有两人相同，若此两人数学成绩也相同，与“任意两人成绩不全相同”矛盾；若此两人数学成绩不同，则此两人有一人比另一人成绩好，也不满足条件，因此：n＜4，即n≤3.当n＝3时，评定结果分别为“优秀，不合格”“合格，合格”“不合格，优秀”，符合题意，故n＝3，故选B.3．[2015·山东卷]观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，＝________.C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1答案：4n－1解析：由题知，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1.4．[2015·福建卷]一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎨⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案：5解析：设a ，b ，c ，d ∈{0,1}，在规定运算法则下满足：a ⊕b ⊕c ⊕d ＝0，可分为下列三类情况：①4个1：1⊕1⊕1⊕1⊕＝0，②2个1：1⊕1⊕0⊕0＝0，③0个1：0⊕0⊕0⊕0＝0，因此，错码1101101通过校验方程组可得：由x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，∴1⊕1⊕0⊕1≠0； 由x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，∴1⊕0⊕0⊕1＝0； 由x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，∴1⊕0⊕1⊕1≠0. ∴错码可能出现在x 5上或x 1与x 4都错． 由已知只有第k 位发生码元错误，故错误为x 5， 若x 5＝0，则检验方程组都成立，故k ＝5.5．[2014·新课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________． 答案：A解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过的城市数应为2，乙去过的城市应为A .课外拓展阅读 归纳不准确致误分析[典例] 如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N*)的前12项，如表所示．a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y62 013 2 014 2 015A．1 004 B．1 007 C．1 011 D．2 014[易错分析] 本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系．可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇、偶项的关系．本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a2n＝n(n∈N*)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足a4n－3＋a4n－1＝0(n∈N*)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当n 为偶数时a n＝n，就会得到a2 013＋a2 014＋a2 015＝2 014的错误结论，而选D.[解析] a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，这个数列的规律是奇数项为1，－1,2，－2,3，…，偶数项为1,2,3，…，故a2 013＋a2 015＝0，a2 014＝1 007，故a2 013＋a2 014＋a2 015＝1 007.[答案] B归纳总结由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．。

12．2合情推理与演绎推理1．两种基本的推理推理一般包括____________和____________两类．2．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.自查自纠：1．合情推理演绎推理2．(1)部分个别(2)特殊特殊(3)归纳类比3．(1)一般特殊(2)三段论下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①③④B．②③④C．②③⑤D．①③⑤解：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤正确．故选D.下列推理过程是类比推理的为() A．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C．通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数解：由类比推理的概念可知，选项B为类比推理．选项A为归纳推理，选项C、D为演绎推理．故选B.(2018·泸州二诊)甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是() A．甲被录用了B．乙被录用了C．丙被录用了D．无法确定谁被录用了解：由于甲和丙的说法对立，故甲和丙必一真一假，假如甲、乙说法正确，丙说法错误，则甲和丙都被录用，不成立；若甲说法错误，乙、丙说法正确，则甲被录用，满足题意．故选A.数列12，13，23，14，24，34，…，1m＋1，2m＋1，…，mm＋1的第20项是__________．解：mm＋1在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝m（m＋1）2项，当m＝5时，即56是数列中第15项，则第20项是57.故填57.(2017·湖北优质高中联考)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ＞1，n ∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 018a 2 019＝__________.解：每条边有n 个点，所以3条边有3n 个点，三角形的3个顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3，那么9a n a n ＋1＝9（3n －3）×3n＝1n －1－1n，即9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 018a 2 019＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(12 017－12 018)＝1－12 018＝2 0172 018.故填2 0172 018.类型一 归纳推理(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式是什么？说明理由．解：在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23， a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1. 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n， 所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋12(n －1)＝12n ＋12，所以通项公式a n ＝2n ＋1.(2)(2017·烟台模拟)观察下列不等式． 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个不等式为____________． 解：观察不等式的特点，每个不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且右端分数的分子依次构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.故填1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.点 拨：本题考查归纳推理，通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律，再从中推出一个明确表达的一般性命题，从而写出题中要求的具体命题．(1)根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的一个通项公式．(Ⅰ)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1；(Ⅱ)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n.解：(Ⅰ)由已知有a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.由此猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (Ⅱ)由已知有a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a， a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a .由此猜想a n ＝（n －1）－（n －2）a n －（n －1）a ，n ∈N *.(2)(2016·山东)观察下列等式： (sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43×1×2；(sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3；(sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4； (sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5； …… 照此规律， (sin π2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π2n ＋1)－2＝____________.解：注意到等式的右边分别为43×1×2，43×2×3，43×3×4，43×4×5，…，所以最后一个等式的右边为43n (n ＋1)．故填43n (n ＋1)．类型二 类比推理(1)(教材习题改编)在平面几何中， △ABC 的内角C 的角平分线CE 分AB 所成线段的比满足AE BE ＝AC BC .把这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 相交于点E ，则得到类比的结论是____________．解：将平面中线段的比类比到空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD S △BCD .故填A E E B ＝S △ACDS △BCD.点 拨：本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下.n n 有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( ) A ．T 2n －1＝(2n －1)＋b n B ．T 2n －1＝(2n －1)b nC ．T 2n －1＝(2n －1)b 2n －1nD ．T 2n －1＝b 2n －1n 解：在等差数列{an }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ，a 2＋a 2n －2＝2a n ，…，故有S 2n －1＝(2n －1)a n .在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n .故选D.点 拨：只要将等差数列关系式中的d 换成等比数列中的q ，并将“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”运算即可得到等比数列的关系式，而等差数列中d ＝0通常类比成等比数列中q ＝1.(1)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O ­LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．解：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.故填S 21＋S 22＋S 23＝S 24.(2)“解方程⎝⎛⎭⎫35x＋⎝⎛⎭⎫45x＝1”有如下思路：设f (x )＝⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫45x，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，故原方程有唯一解x ＝2.类比上述思路，不等式x 6－(x ＋2)＞(x ＋2)3－x 2的解集是________．解：不等式化为x 6＋x 2＞(x ＋2)3＋(x ＋2)，设g (x )＝x 3＋x ，则g (x )在R 上单调递增，所以不等式即g (x 2)＞g (x ＋2)，所以x 2＞x ＋2，解得x ＞2或x ＜－1.故填{x |x ＞2或x ＜－1}．类型三 演绎推理指出下面推理中的错误． (1)自然数是整数大前提 －5是整数小前提所以，－5是自然数结论(2)指数函数y ＝a x 是增函数大前提 y ＝⎝⎛⎭⎫12x是指数函数小前提 所以，y ＝⎝⎛⎭⎫12x是增函数结论(3)三角函数是周期函数 大前提 y ＝sin x (0<x <π)是三角函数小前提 所以，y ＝sin x (0<x <π)是周期函数结论 解：(1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数．(2)大前提错误，因为当0<a <1时，指数函数y ＝a x 是减函数．(3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同．点 拨：演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线，即已知直线b 平面α，直线a ⊂平面α，若直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a .”该结论显然是错误的，这是因为 ( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解：直线平行于平面，这条直线可能与该平面内的直线成异面直线，即大前提错误．故选A.类型四 推理的应用(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 ( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩．故选D.点 拨：推理在实际生活中的应用是近年高考的一个热点问题，对已知条件进行有效的组合一般可直接得到结果，对复杂情形，可能需要先假设，再判断．(2018·海南二联)在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中找出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：①此案是两人共同作案；②若甲参与此案，则丙一定没参与； ③若乙参与此案，则丁一定参与；④若丙没参与此案，则丁也一定没参与． 据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是( ) A ．甲、乙 B ．甲、丙 C ．乙、丙 D ．丙、丁解：逐项考查：若甲、乙参与此案，则不符合③；若甲、丙参与此案，则不符合②；若乙、丙参与此案，则不符合③；当丙、丁参与此案，全部符合．故选D.1．归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．归纳推理的一般过程如下．(1)通过观察个别情况，发现相同的性质． (2)推出一个明确表述的一般性结论． 2．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比的方法提出猜想，然后再加以证明的．进行类比推理，重要的是要找准合适的类比对象，如三棱锥、球、体积的类比对象一般分别为三角形、圆、面积；同时还要注意不仅可进行形式的类比，还可进行方法的类比．类比推理的一般步骤如下．(1)找出两类事物之间的相似性或一致性． (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)，计算前3项并归纳出{a n }的通项公式 解：A 、D 是归纳推理；B 是类比推理；C 使用了“三段论”，是演绎推理．故选C. 2．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝ a n ＋b n ； ②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有 (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：(a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立，如α＝30°， β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确．故选B. 3．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn )也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为 ( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n解：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列．若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn （n －1）2，所以d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·qn －12，即{d n }为等比数列．故选D.4．(2017·葫芦岛测评)在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌上，为了使他们能够自由与邻座交谈，事先了解到的情况如下． 甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语； 丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语． 则这五位代表的座位顺序应为 ( ) A ．甲、丙、丁、戊、乙 B ．甲、丁、丙、乙、戊 C ．甲、乙、丙、丁、戊D ．甲、丙、戊、乙、丁 解：由题意，甲、乙、丙、丁、戊5个人围成圆圈，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流．从甲开始，甲会说汉语和英语，则甲的相邻座位一定是丙和丁，可知选项D 符合．或运用排除法来解决．观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，选项B ，C 错误，乙不能和甲交流，选项A 错误．故选D.5．(2018·安庆二模)对大于1的自然数的三次幂可以分解成几个奇数的和，比如23＝3＋5，33＝ 7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…，以此规律，则453的分解和式中一定不含有 ( ) A ．2 069 B ．2 039 C ．2 009 D ．1 979 解：由规律得n 3中有n 项，而23，33，43中第一项分别为3＝22－2＋1，7＝32－3＋1，13＝42－4＋1，所以453中第一项为452－45＋1＝1 981，最后一项为1 981＋2×44＝2 069，所以一定不含有1 979.故选D.6．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等． 据此可判断丙必定值班的日期是 ( ) A ．10日和12日 B ．2日和7日 C ．4日和5日 D ．6日和11日解：这12天的日期之和，S 12＝122(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日．故选D.7．(2017·河南八市联考)观察下列等式： 14＝1， 24＝7＋9，34＝25＋27＋29， 44＝61＋63＋65＋67， ……照此规律，第5个等式可为____________． 解：观察可知每个等式右端的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，设行数为n ，用a n 1表示等式右端的第一个数，则a n 1＝n 3－n ＋1，因此第5行的第一个数为53－5＋1＝121，则第5个等式为54＝121＋123＋125＋127＋129.故填54＝121＋123＋125＋127＋129.8．下表中的数阵为“森德拉姆筛子”，其特点是每行每列都成等差数列．记第i 行第j 列的数为a i ，j (i*，，.解：由题知，在第1行，第1个数是4，公差为3，因此第1行的第9个数为a 1，9＝4＋3×(9－1)＝28；又由表可知，第j 列数的公差为2j ＋1，故a 9，9＝28＋(2×9＋1)×(9－1)＝180.或由a 1，1＝1×4，a 2，2＝2×6，a 3，3＝3×8，…，得a i ，i ＝i ×(2i ＋2)，从而a 9，9＝9×20＝180.故填180.9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解：f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得，f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 并注意到这三个式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，则f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝（3x 1＋3）＋（3x 2＋3）（3x 1＋3）（3x 2＋3）＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3（3x 1＋3x 2）＋3＝3x 1＋3x 2＋233（3x 1＋3x 2）＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233（3x 1＋3x 2＋23）＝33.10．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)． (1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b ；(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c .证明：(1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0. (2)因为|a |<1，|b |<1，|c |<1，所以|ab |<1， 据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ， 所以abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1 ＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c .11．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，在Rt △ABC 中，由射影定理得，AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， 所以1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·BC ·DC ＝BC 2AB 2·AC 2.又BC 2＝AB 2＋AC 2，所以1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体A -BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.证明：如图，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF .因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD .因为AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF .又AB ⊥CD ，AE ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABF ，所以AF ⊥CD .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，所以1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，所以1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.所以1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.(2018·绵阳一诊改编)已知函数f (x )＝x ln x －x ＋1.求证：(1)当x ＞1时，f (x )＞0； (2)当n ∈N *时，1n 2＋1＋1n 2＋2＋1n 2＋3＋…＋14n 2<2ln2.证明：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝ln x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当x ＞1时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，f (x )＞f (1)＝0.所以当x ＞1时，f (x )＞0.(2)由(1)知x >1时，x ln x －x ＋1>0，即ln x >x －1x 恒成立．令x ＝n 2＋1n 2(n ∈N *)，即ln n 2＋1n 2>1－n 2n 2＋1＝1n 2＋1， 即1n 2＋1<ln(n 2＋1)－ln n 2， 同理，1n 2＋2<ln(n 2＋2)－ln(n 2＋1)， 1n 2＋3<ln(n 2＋3)－ln(n 2＋2)， …14n 2－1<ln(4n 2－1)－ln(4n 2－2)， 14n 2<ln(4n 2)－ln(4n 2－1)， 将上式左右分别相加得：1n 2＋1＋1n 2＋2＋1n 2＋3＋…＋14n 2<ln(4n 2)－ln n 2＝ln 4n 2n2＝ln4＝2ln2，即证．。