高考数学专题复习立体几何题型与方法(文科)

文科何体题型与方法总结考点一证明空间线面平行与垂直1、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；2、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；3.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .4、（2012年高考（江苏））如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ，分别是棱1BC CC ，上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥，为11B C 的中点. 求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ;(2)直线1//A F 平面ADE .考点二 求空间图形中距离与体积5、（安徽理17）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==△OAB ，,△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ；（II ）求棱锥F —OBED 的体积。

6.（四川09） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D 是棱CC1上的一P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA ． （I ）求证：CD=C1D ：（Ⅱ）求点C 到平面B1DP 的距离．7.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.8.【2012高考广东文18】本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD =，1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .9.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分） 直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，AB=A A 1 ，CAB ∠=2π（Ⅰ）证明11B A C B ⊥;（Ⅱ）已知AB=2，11C A AB - 的体积10.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

2020年高考文科数学《立体几何》题型归纳与训练【题型归纳】题型一立体几何证明例1如图五面体中,四边形ABCD是矩形,AD⊥面ABEF,AB//EF,AD=1,AB=1EF=22,2AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.（1）求证：PQ//面BCE；（2）求证：AM⊥面ADF.【答案】见解析【解析】（1）连结AC.因为四边形ABCD是矩形,且Q为BD的中点,所以Q为AC的中点.又因为P为AE的中点,所以PQ//EC,又因为PQ⊄面BCE,EC⊆面BCE,所以PQ//面BCE.（2）取EF的中点M,连结AM.因为AB//EM,且QB=EM=22,所以四边形ABEM为平行四边形,所以AM//BE,且AM=BE=2.在∆AMF中,A M=AF=2,MF=22.所以AM2+AF2=MF2,故AM⊥AF.由AD⊥面ABEF,得AD⊥AM,因为AD I AF=A,所以AM⊥面ADF.【易错点】定理证明所用知识点不清楚【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.如该题中的（1）问需要利用五面体中的面ABCD是矩形,根据对角线的性质确定线段BD与AC的中点.（2）问中利用勾股定理验证线线垂直关系,这些都是证明空间平行与垂直关系的基础.例2在平行六面体ABCD-A B C D中，AA=AB，AB⊥B C．11111111A 1D1B1C1A DBC求证：(1)AB∥平面A B C；11(2)平面ABB A⊥平面A BC．111【答案】见解析【解析】(1)在平行六面体ABCD-A B C D中，AB∥A B．111111因为AB⊄平面A B C，A B⊂平面A B C，所以AB∥平面A B C．11111111A 1D1B1C1A DBC(2)在平行六面体ABCD-A B C D中，四边形ABB A为平行四边形．111111又因为AA=AB，所以四边形ABB A为菱形，因此AB⊥A B．11111又因为AB⊥B C，BC∥B C，所以AB⊥BC．111111又因为A B I BC=B，A B⊂平面A BC，BC⊂平面A BC，所以AB⊥平面A BC．111111因为AB⊂平面ABB A，所以平面ABB A⊥平面A BC．111111【易错点】定理证明所用知识点不清楚【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.2（题型二 立体几何体积求解例 1 如图所示，在三棱锥V - ABC 中，平面VAB ⊥ 平面 ABC ，三角形VAB 为等边三角形， AC ⊥ BC ，且 AC = BC = 2 ， O ， M 分别为 AB ，V A 的中点.（1）求证：VB // 平面 MOC .V（2）求证：平面 MOC ⊥ 平面 VAB .M（3）求三棱锥V - ABC 的体积.AO BC【答案】 见解析【解析】（1）依题意， O ， M 分别为 AB ，V A 的中点，则 O M 是 △VAB 的中位线，所以 OM //VB ， OM ⊂ 平面 MOC ，VB ⊄ 平面 MOC ，故VB // 平面 MOC .（2）因为在 △ABC 中， AC = BC ，且 O 为 AB 的中点，所以 O C ⊥ AB ，又平面VAB ⊥ 平面 ABC ，平面VAB I 平面 ABC = AB ， OC ⊂ 平面 ABC ，所以 OC ⊥ 平面VAB ，又 OC ⊂ 平面 MOC ，故平面 MOC ⊥ 平面VAB .（3）由（2）知， O C ⊥ 平面VAB ，所以V V - ABC= V C -VAB 1 1 3 3= ⋅ OC = ⨯ ⨯ 22 ⨯1 =3 △SVAB 3 4 3【易错点】定理证明所用知识点不清楚【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.例 2 如图所示，在三棱锥 P – ABC 中， P A ⊥ AB ， P A ⊥ BC ， AB ⊥ BC ， P A = AB = BC = 2 ， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点．（1）求证： P A ⊥ BD ；P（2）求证：平面 BDE ⊥ 平面 PAC ；ED C（3）当 P A // 平面 BDE 时，求三棱锥 E – BCD 的体积．AB【答案】 见解析 【解析】1）因为 P A ⊥ AB ，P A ⊥ BC ，AB I BC = B ，所以 P A ⊥ 平面 ABC .又因为 BD ⊂ 平面 ABC ，所以 PA ⊥ BD .（2）因为 AB ⊥ BC ， AB = BC ， D 为线段 AC 的中点，所以在等腰 △RtABC 中， BD ⊥ AC .又由（1）可知，P A ⊥ BD ，P A I AC = A ，所以 BD ⊥ 平面 PAC .由 E 为线段 PC 上一点，则 DE ⊂ 平面 PAC ，所以BD⊥ED.又因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.（3）当P A//平面BDE时，P A⊂平面PAC,且平面PAC I平面BDE=DE,可得P A//DE.由D是AC边的中点知，E为PC边的中点.故而ED=面BDC.12P A=1，ED∥P A，因为PA⊥平面ABC，所以ED⊥平由AB=BC=2，AB⊥BC，D为AC边中点知，BD=CD= 2.又BD⊥AC，有BD⊥DC，即∠BDC=90︒.因此，VE-BCD1111 =⋅ED=⨯⨯2⨯2⨯1=.3△SBCD323【易错点】注意体积几何证明题条件的严谨性【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.掌握线面平行的性质定理的应用及其体积的求解方法.题型三几何体的外接球问题例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.【答案】C；9π【解析】（1）V=a2h=16，a=2，4R2=a2+a2+h2=4+4+16=24，S=24π，选C；（2）4R2=3+3+3=9，S=4πR2=9π【易错点】外接球球心位置不好找【思维点拨】应用补形法找外接球球心的位置题型四立体几何的计算例1如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是()【答案】B4, 【解析】显然由空间直角坐标系可知,该几何体在 xoy 面内的点保持不动,在 y 轴上的点在 xoy 面内的射影为坐标原点,所以该几何体的主视图就是其在面 xoy 面的表面图形,即主视图应为高为 4 ,底面边长为 3 的直角三角形．故选 B .【易错点】 该题易出现的问题是误以为 y 轴上的点在 xoy 面的射影落在 x 轴的正半轴上而误选 D , 【思维点拨】判断几何体的三视图应注意以下几个方面：（1）明确几何体的放置位置和角度,注意投影线和投影面；（2）准确把握几何体的结构特征,特别是几何体中的线面垂直关系等；（3）注意实线和虚线的区别.【巩固训练】题型一 立体几何的证明1.如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ∠BAD = 60° P A = PD = AD = 2 ,点 M 在线段PC 上,且 PM = 2MC , N 为 AD 的中点.（1）求证： AD ⊥ 平面 PNB ；（2）若平面 P AD ⊥ 平面 ABCD ,求三棱锥 P - NBM 的体积.【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】（1）∵ P A = PD, N 为 AD 的中点,∴ PN ⊥ AD ,∵底面 ABCD 为菱形, ∠BAD = 60︒ ,∴ BN ⊥ AD ,∵ PN I BN = N ,∴ AD ⊥ 平面 PNB .（2）∵ PN = PD = AD = 2 ,∴ PN = NB = 3 ,∵平面 P AD ⊥ 平面 ABCD ,平面 P AD I 平面 ABCD = AD , PN ⊥ AD ,∴ PN ⊥ 平面 ABCD ,∴ PN ⊥ NB ,∴S3⨯3⨯3=. 22∵AD⊥平面PNB,AD//BC,∴BC⊥平面PNB.∵PM=2MC,∴VP-NRM =VM-PNB22132=V=⨯⨯⨯2=.3C-PNB33232.如图,在直三棱柱ABC-A B C中,D是AB的中点.111（1）证明：BC//平面A CD；11（2）若AC=CB,求证：A D⊥CD.1【答案】见解析.【解析】证明：（1）如图,连接AC,交A C于点O,连结OD.11据直三棱柱性质知四边形ACC A为平行四边形,所以O为AC的中点.111又因为D是AB的中点,所以BC//OD.1又因为BC⊄平面A CD,OD⊂平面A CD,111所以BC//平面A CD.11（2）因为AC=BC,D为AB的中点,所以CD⊥AB.据直三棱柱ABC-A B C性质知AA⊥平面ABC,又因为C D⊂平面1111所以AA⊥CD.1又因为AA I AB=A,AA,AB⊂平面ABB A,1111所以CD⊥平面ABB A,11又因为A D⊂平面ABB A,所以C D⊥A D,即A D⊥CD.11111ABC,题型二立体几何体积求解1.如图所示，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，P A=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（1）证明MN//平面PAB；P6NA MB DC【答案】（1）（2） N -BCM 2 3 63 ．AD = BC = 所以V △S ABC = ⨯ 4 ⨯ 2 5 = 2 3 6 3 . 1 2 ⨯ (2 + 4)（2）求四面体 N - BCM 的体积．1 1 14 5V = ⨯ P A ⋅= ⨯ 4 ⨯ 2 5 =△S ABC【解析】（1）取 PB 中点 Q ，连接 AQ 、 NQ ，因为 N 是 PC 中点， NQ //BC ，且 NQ = 1BC ，又2AM = 2 2 ⨯ 3 1 BC ，且 AM // BC ，所以 QN // AM ，且3 34 2QN = AM ，所以四边形 AQNM 是平行四边形.所以 MN // AQ .又 MN ⊄ 平面PAB ， AQ ⊂ 平面 PAB ，所以 MN // 平面 PAB .PQ NAMD(2)由(1) QN // 平面 ABCD .BC所以VN -BCM= VQ -BCM1 = V2 P -BCM 1= V 2 P -BCA.N -BCM1 1 14 5 = ⨯ P A ⋅2.如图所示，四棱锥 P - ABCD 中，侧面 P AD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， PAB = BC = 1AD ， ∠BAD = ∠ABC = 90o .2（1）证明：直线 BC // 平面 P AD ；（2）若 △PCD 面积为 2 7 ，求四棱锥 P - ABCD 的体积.【答案】（1）（2） V = ⨯⨯ 2 3 = 4 3 ．32BACD【解析】（1）在平面 ABCD 内，因为 ∠BAD = ∠ABC = 90o ，所以 BC //AD .又 BC ⊄ 平面 P AD ， AD ⊂ 平面 P AD ，故 BC // 平面 P AD .（2）取 AD 的中点 M ，联结 PM ， CM .由 AB = BC = 1AD ，及 BC //AD ， ∠ABC = 90o ，得四边形 ABCM 为正方形，则 CM ⊥ AD .2因为侧面 P AD 是等边三角形且垂直于底面 ABCD ，平面 P AD I 平面 ABCD = AD ，所以 PM ⊥ AD ，因为PM ⊂ 平面 P AD ，所以 PM ⊥ 平面 ABCD .因为 CM ⊂ 平面 ABCD ，所以 PM ⊥ CM .因为 △PCD 的面积为 2 7 ，所以 ⨯ 2x ⨯ 1 2 ⨯ (2 + 4)设 BC = x ，则 CM = x ， CD = 2 x ， PM = 3x ， PC = PD = 2x .取 CD 的中点 N ，联结 PN ，则 PN ⊥ CD ，所以 PN =14 x .21 142 2x = 2 7 ，解得 x = -2 （舍去）， x = 2 ，于是 AB = BC = 2 ，AD = 4 ， PM = 2 3 .所以四棱锥 P - ABCD 的体积V = ⨯3 2⨯ 2 3 = 4 3 .题型三 几何体的外接球问题1. 在正三棱锥 S - ABC 中， M 、N 分别是棱 SC 、BC 的中点，且 AM ⊥ MN ,若侧棱 SA = 2 3 ,则正三棱锥 S - ABC 外接球的表面积是.【答案】 36π【解析】正三棱锥的对棱互垂直。

立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。

若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。

αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理) 余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。

立体几何大题题型及解题方法立体几何大题一般考以下五个方面：一、平行位置关系的证明1、证明线面平行（重点）解题方法：（1）线面平行判定定理；（2）面面平行的性质定理。

2、证明面面平行解题方法：（1）面面平行的判定定理；（2）面面平行判定定理的推论；（3）垂直于同一直线的两平面平行；（4）平行平面的传递性。

3、平行位置关系的探索（1）对命题条件的探索；（2）对命题结论的探索；（3）通过翻折来探索。

二、垂直位置关系的证明1、证明线线垂直解题方法：2、证明线面垂直（重点）解题方法：3、证明面面垂直4、垂直位置关系的探索（1）对命题条件的探索；（2）对命题结论的探索；（3）通过翻折来探索。

三、求空间距离1、点到平面的距离解题方法：2、空间线段长解题方法：（1）解三角形法；（2）列方程法。

四、求几何体体积五、求空间角1、异面直线所成的角2、直线与平面所成的角考点一：如何判断空间中点、线、面的位置关系（排除法）考点二：平行位置关系的证明证明题一般的解题步骤：一、根据题目的问题，确定要证明什么；根据题目的条件，确定用什么证明方法，如果无法确定，则要通过逆向思维来分析题目；二、看题目是否需要作辅助线(创造条件)，证明平行位置问题一般作的辅助线是连等分点，特别是中点；三、根据确定的证明方法，看该方法需要多少个条件，然后看题目给的条件通过什么方式给，如果是间接条件则需要推理证明得出，如果是直接条件或隐含条件则直接罗列；四、准备好条件后，再次检查条件是否都满足，是否都罗列了，最后得出结论；五、规范书写答案过程：一般过程为1、作辅助线；2、准备间接条件；3、罗列直接条件或隐含条件；4、得出结论。

1、证明线面平行（重点）解题方法：2、证明面面平行解题方法：（1）面面平行的判定定理（最常用方法）：（2）面面平行判定定理的推论：（3）垂直于同一直线的两平面平行；（4）3、平行位置关系的探索考点三、垂直位置关系的证明证明垂直的解题步骤：一、根据题目的问题，确定要证明什么；根据题目的条件，确定用什么证明方法，如果无法确定，则要通过逆向思维来分析题目；二、要注意先确定谁垂直于谁，如1、证明线线垂直时常考虑其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，究竟选择哪一条直线垂直于另一条直线所在的平面，需要通过对条件及图形结构做深入细致分析、尝试、判断。

高考大纲：点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下的公理和定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在此平面内公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补②理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理理解以下判定定理：线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行面面平行判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直理解以下性质定理，并能够证明线面平行性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行面面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题④能根据定义解决两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的简单计算问题线面平行的证法：1、在平面内找一条直线与已知直线平行2、通过面面平行来证明线面平行（如果两平面平行，那么一个平面内的任何直线都平行于另一个平面）面面平行的证法：在一个平面内找两条相交直线分别与另一个平面平行线面垂直的证法：1、在平面内找两条相交直线分别与已知直线垂直2、如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条直线也垂直于这个平面3、利用面面垂直的性质：如果面面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面面面垂直的证法：1、利用判定定理：在一个平面内找一条直线与另一个平面垂直2、证明两个平面所成二面角是直二面角线线垂直的证法：1、利用勾股定理2、利用线面垂直的性质3、利用余弦定理异面直线所成的角的找法：把一条或两条直线平移到相交 *有时要证垂直直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的身影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

POAa高考数学专题复习 立体几何题型与方法（文科）一、 考点回顾1．平面（1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

（2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。

（3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。

（4）证共面问题一般用落入法或重合法。

（5）经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。

（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（5）两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA . ● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

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若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

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若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

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αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

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3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

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PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理) 余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。

专题六：高考文科数学立体几何题型与方法（文科）经典例题剖析考点一空间向量及其运算例题1. 已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？分析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对，使或对空间任一点，有。

解：由题意：，∴，∴，即，所以，点与共面．点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．例题2. 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．分析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示．证明：如图，因为在上，且，所以．同理，又，所以．又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面．由于不在平面内，所以平面．点评：空间任意的两向量都是共面的．考点二证明空间线面平行与垂直例题3. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.点评：平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．例题4. （北京市东城区2007年综合练习）如图，在棱长为2的正方体的中点，P为BB1的中点.（I）求证：；（II）求证；（III）求异面直线所成角的大小.分析：本小题考查直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.解法一：（I）连结BC1由正方体的性质得BC1是BD1在平面BCC1B1内的射影，所以(II)又，（III）延长由于正方体的棱长为2，即异面直线所成角的大小为arccos.解法二：（I）如图建立空间直角坐标系.则B（2，2，0），C（0，2，0）B1（2，2，2），D1（0，0，2）.（II），.（III），即异面直线所成角的大小为arccso点评：证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直即可.这些从本题证法中都能十分明显地体现出来考点三求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法另也可借助空间向量求这三种角的大小.例题5. （河南省开封市2007届高三年级第三次质量检测）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=1，AD=DC=.（1）求直线A1C与D1C1所成角的正切值；（2）在线段A1C上有一点Q，且C1Q=C1A1，求平面QDC与平面A1DC所成锐二面角的大小.分析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影法，向量法办解法一：（I）为异面直线AC与D1C所成的角连AD，在Rt△ADC中，CD=，AD=2，（II）过Q作EF（在平面AC内）使EF//AB，连B1C、CF、DF，（面EFCD即平面QDC；面A1B1CD即平面A1DC）即为二面角A1—DC—Q的平面角.~.，即所求二面角大小为30°解法二：（I）同解法一（I）（II）建立空间直角坐标系，即平面QDC与平面A1DC所成锐二面角为点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.例题6. （福建省福州三中2008届高三第三次月考）如图，正三棱柱的所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点（1）求证：；（2）求二面角的大小（用反三角函数表示）；（3）求点到平面的距离。

高考文科数学立体几何解题技巧1.平行、垂直位置关系的论证的策略:1由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

2利用题设条件的性质适当添加辅助线或面是解题的常用方法之一。

3三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2.空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

1两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：2直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算.3二面角①平面角的作法：i定义法;ii三垂线定理及其逆定理法;iii垂面法。

②平面角的计算法：i找到平面角，然后在三角形中计算解三角形或用向量计算;ii射影面积法;iii向量夹角公式.3.空间距离的计算方法与技巧:1求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

2求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。

在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解这种情况高考不做要求。

3求点到平面的距离：一般找出或作出过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。

求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4.熟记一些常用的小结论，诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。

弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。

5.平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。

2008高考数学专题复习 立体几何题型与方法（文科）一、 考点回顾1．平面（1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

（2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。

（3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。

（4）证共面问题一般用落入法或重合法。

（5）经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。

（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（5）两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面）3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA . ● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）] b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

热点08 立体几何【命题趋势】立体几何一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，文科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及简单几何体的变面积以及体积.本专题针对高考高频知识点以及题型进行总结，希望通过本专题的学习，能够掌握高考数学中的立体几何的题型，将高考有关的立体几何所有分数拿到.【满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）1．（2020·全国高三专题练习（文））下列关于棱柱的说法正确的个数是（）①四棱柱是平行六面体；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；④底面是正多边形的棱柱是正棱柱.1234 A．B．C．D．【答案】A【分析】四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能侧棱不平行，故②不正确；由棱柱的定义可得③正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确.故选：A.2．（2020·湖北高三月考）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下,a b ,,αβγ列命题中正确的是（ ）A ．若，，，则a αβ⋂=b βγ= //a b //αγB ．若，，，则//a b a α⊥αβ⊥b β//C ．若，，，则αβ⊥a αβ⋂=a b ⊥r rb α⊥D ．若，则,,a b αβαβ⊥⊥⊥a b⊥r r 【答案】D【分析】：对于A ：若，，，则或与相交，故A 错a αβ⋂=b βγ= //a b //αγαγ误；对于B ：若，，，则与平行或，故B 错误；//a b a α⊥αβ⊥b βb β⊂对于C ：若，，，则或与相交或平行，故C 错误；αβ⊥a αβ⋂=a b ⊥r rb α⊂b α对于D ：若，如图,,a b αβαβ⊥⊥⊥设，过作，因为，，所以，所b B β= B BC l ⊥()l αβ= αβ⊥BC β⊂BC α⊥以，因为，所以，故D 正确；//BC a b BC ⊥b a ⊥故选：D3．（2020·全国高三专题练习（文））如图所示，正方体的棱长为，ABCD A B C D ''''-1、分别是棱、的中点，过直线、的平面分别与棱、交于、E F AA 'CC 'E F BB 'DD 'M N，设，，则下列命题中错误的是（ ）BM x =]1[0x ∈，A ．平面平面MENF ⊥BDD B ''B ．当且仅当时，四边形的面积最小12x =MENF C ．四边形周长是单调函数MENF ()L f x =D ．四棱锥的体积为常函数C MENF '-()V h x =【答案】C【分析】A 选项，∵，，，∴，∴//EF AC AC BD ⊥'⊥AC BB AC BDD B ⊥''EF ⊥平面，BDD B ''又∵平面，∴平面平面，A 对，EF ⊂MENF MENF ⊥BDD B ''B 选项，由面面,又面平面,面平//ABB A ''CDD C ''ABB A ''⋂ENFM EM =CDD C ''⋂面,ENFM FN =所以，同理,所以四边形为平行四边形.//EM FN //EN FM MENF由平面，平面,所以EF ⊥BDD B ''MN ⊂BDD B ''EF MN⊥所以四边形为菱形，∴，MENF 12MENF S EF MN =⋅又的面积最小，只需最小，EF =MENF MN 则当且仅当时，四边形的面积最小，B 对，12x =MENF C 选项，∵，，MF =()f x =∴在上不是单调函数，C 错，()f x [0]1，D 选项，，C MENF F MC E F C NE V V V -''-'-=+，点到平面的距离为，，11124C ME S C E '∆'=⋅=F C ME '11113412F C ME V -'=⋅=又，点到平面的距离为，，11124C NE S C E '∆'=⋅=F C NE '11113412F C NE V -'=⋅=∴为常函数，D 对，1()6h x =故选：C .4．（2020·云南高三其他模拟（文））某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几cm 何体的表面积（单位：）是（ ）2cmA ．8B ．16C ．32D ．44【答案】C 【分析】：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．底面．所以PA ⊥ABC ,AB AC ⊂ABC，，所以，PA AB ⊥PA AC ⊥5PC ==PB ==因为，即22245+=222BC PC PB +=所以．BC PC ⊥该几何体的表面积．∴1(34543445)322S =⨯+⨯+⨯+⨯=故选：．C5．（2020·全国高三专题练习（文））已知四面体是球的内接四面体，且是ABCD O AB 球的一条直径，，，则下面结论错误的是（）O 2AD =3BD =A ．球的表面积为B ．上存在一点，使得O 13πAC M //AD BMC ．若为的中点，则D ．四面体N CD ON CD⊥ABCD 【答案】B 【分析】∵是球的一条直径，∴，，AB OAC BC ⊥ADBD ⊥∴AB ===球的半径为，球的表面积为，A 正确，O12AB =O 2413ππ⨯=∵与平面相交，上找不到一点，使得，B 错误，AD ABC AC M //AD BM 连接、，∵，为的中点，∴，C 正确，OC OD OC OD =N CD ON CD ⊥易知点到平面的距离的最大值为球的半径，C ABD R ∴四面体体积的最大值为：D 正ABCD max 11123332ABD V S R =⋅⋅=⨯⨯⨯=A 确，故选：B .6．（2020·河南高三月考（文））已知点、、、在同一个球面上（球的半径为定A B C D 值），是等腰直角三角形，且体积的最大值ABC A AB BC ==ABCD 为，则该球的表面积为（ ）163A ．B ．C ．D ．25π254π1256π9π【答案】A 【分析】如图，因为是等腰直角三角形，且ABC AAB BC ==所以由勾股定理，得.4AC ==设球的半径为，球心到平面的距离为，O R O ABC d设当四面体体积取得最大值时，点到平面距离为，ABCD 163D ABC h 则，解得.1116323h ⨯⨯=4h =设的外接圆圆心为点，当四面体的体积取最大值时，ABC A 1O ABCD 点、、三点共线，且点在线段上，D O 1O O 1DO 所以，，即，解得.2222d R h AC d R +=⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩222442d R d R +=⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩5232R d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故球的表面积为.22544252S R πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭故选：A.7．（2020·河南开封市·高三一模（文））如图，将正四棱锥置于水平反射镜面P ABCD -上，得一“倒影四棱锥”.下列关于该“倒影四棱锥”的说法中，所有正确结论P ABCD Q --的编号是（ ）①平面；//PA BCQ ②平面；PQ ⊥ABCD ③若在同一球面上，则也在该球面上；,,,,P A B C D Q ④若该“倒影四棱锥”存在外接球，则AB PA=A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④【答案】D 【分析】由题意四棱锥与四棱锥是两个相同的正四棱锥P ABCD -Q ABCD -连接相交于点，连接,AC BD O ,OP OQ 由四棱锥为正四棱锥，则平面.P ABCD -PO ⊥ABCD 根据题意四棱锥为正四棱锥,所以平面.Q ABCD -QO ⊥ABCD 均垂直于平面，所以三点共线.,PO OQ ABCD P O Q ，，所以平面,故②正确.PQ ⊥ABCD 由，根据题意AC PQ O ⋂=,,AP QC AO OC PO OQ ===所以与全等，所以APO △CQO A PAO OCQ ∠=∠所以,平面,平面,//AP QC AP ⊄QCB QC ⊂QCB 所以平面，故①正确.//PA BCQ 当在同一球面上，若正方形的外接圆不是球的大圆时，,,,,P A B C D ABCD根据对称性，则点不在此球面上，故③不正确.Q 若该“倒影四棱锥”存在外接球，根据对称性则正方形的外接圆是该球的大圆.ABCD 所以此时球的球心为正方形的对角线的交点，即点,设ABCD O 2AB a =则，OA =OA OP R ==所以,所以④正确.2AP a AB ===故选：D8．（2020·全国高三月考（文））已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中m n αβ两个不同的平面，则下列命题正确的是（）．A ．若，，则αβ⊥m α⊥m β⊥B ．若，，则//αβ//m α//m βC ．若，，，则m α⊥n β⊥//m n //αβD ．若，，，，则m α⊂n ⊂α//m ββn////αβ【答案】C【分析】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥m α⊥//m βm β⊂对于B ，若，，则或，故B 错误；//αβ//m α//m βm β⊂对于C ，若，，则，又因为，所以，故C 正确；m α⊥//m n n α⊥n β⊥//αβ对于D ，若，，，，则可能相交，故D 错误；m α⊂n ⊂α//m ββn//,αβ故选：C.9．（2020·宁夏银川市·银川一中高三月考（文））如图所示，在长方体，若，、分别是、 的中点，则下列结论中不1111ABCD A B C D -AB BC =E F 1AB 1BC 成立的是（ ）A ．与垂直EF 1BB B ．平面EF ⊥11BDD B C ．与所成的角为EF 1C D 45︒D ．平面//EF 1111D C B A 【答案】C【分析】连接、、，则为的中点，1A B 11A C 1A D E 1A B 对于A 选项，平面，平面，，1BB ⊥ 1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 111BB A C ∴⊥、分别为、的中点，则，E F 1A B 1BC 11//EF A C ，A 选项正确；1EF BB ∴⊥对于B 选项，四边形为正方形，则， 1111D C B A 1111AC B D ⊥又，，平面，111A C BB ⊥ 1111B D BB B ⋂=11A C ∴⊥11BDD B ，平面，B 选项正确；11//EF A C EF ∴⊥11BDD B 对于C 选项，易知为等腰三角形，11A C D A ，则与所成的角为，11//EF A C EF 1C D 11A C D ∠∵，∴始终是锐角，而，2221111A D C D A C +>11A DC ∠1111A C D C A D ∠=∠∴不可能成立．C 选项错误；1145A C D ∠=︒对于D 选项，，平面，平面，11//EF A C EF ⊄1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 平面，D 选项正确.//EF ∴1111D C B A故选：C ．10．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，111ABC A B C -ABC A AB 5AB =，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥3AC =P 1BB 1PC PC ⊥1APC A 的外接球表面积为（ ）P ABC-A ．BC ．D ．45π230π45π【答案】D 解法一：由“堑堵”的定义可知，为直角三角形，ABC A 故，4BC ==易知，又，，1AC PC ⊥1PC PC ⊥1PC PC P ⋂=所以平面，而平面，于是得．1PC ⊥APC AP ⊂APC 1AP PC ⊥设，，则，1BB z =BP t =1B P zt =-则AP ==1PC ==1AC ==由，得，整理得，1AP PC ⊥()222925161z t z +=+++-16z t t =+所以，()22212161616PC z t x =+-=+所以1112APC S AP PC =⋅==△，18≥=当且仅当，即的面积取得最小值18．22400t t =t =1APC A 此时AP ==设三棱锥的外接球半径为，P ABC -R 因为，，故线段为外接球的直径，AC CP ⊥AB BP ⊥AP 故所求外接球的表面积．454π45π4S =⨯=故选：D ．解法二：令，则，，11PCB C PB θ∠==∠14sin C Pθ=4cos CP θ=AP ==又因为平面，所以，又．AC ⊥11CBB C 1AC C P ⊥1CP C P ⊥所以平面，所以．1C P ⊥ACP 190C PA ∠=︒的面积1APCA 1111422sin APC S C P AP θ=⋅=⋅=△===当且仅当时，取最小值，2210064tan tan θθ=1APCS △此时，．tan θ=AP ===在三棱锥中，因为，取中点为，P ABC -90ACP ABP ∠=∠=︒AP O 则，12OC OB AP OA OP ====故为三棱锥的外接球的球心，O P ABC -所以为外接球直径，．AP 224ππ45πO S R AP ===球故选：D ．11．（2020·云南高三其他模拟（文））如图，在四棱锥中，底面四边形P ABCD -中，，，，，在中，ABCD //AD BC AD BC =AD CD =AD DC ⊥PAD △PA PD =，，平面平面.60APD ∠=oPAD ⊥PCD（1）证明：平面；AB ⊥PAD （2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积.4AB =Q PB Q PCD -【答案】（1）证明见解析 ；（2.【分析】（1）如下图所示，取的中点，连接，PD O AO 在中，，，则为等边三角形，PAD △PA PD =60APD ∠=oPAD △因为为的中点，则，O PD AO PD ⊥平面平面，平面平面，平面， PAD ⊥PCD PAD PCD PD =AO ⊂PAD 平面，AO ∴⊥PCD 平面，，CD ⊂ PCD CD AO ∴⊥，，平面，CD AD ⊥ AO AD A =I CD \^PAD 在四边形中，且，所以，四边形为平行四边形，ABCD //AD BC AD BC =ABCD所以，，因此，平面；//AB CD AB ⊥PAD （2）由（1）知，四边形为平行四边形，ABCD 因为，，所以，四边形为正方形，，AD CD =AD CD ⊥ABCD 4AD AB ∴==所以，是边长为为等边三角形，PAD △4平面，所以到平面的距离，AO ⊥Q PCD APCD d AO ===，平面，平面，平面，//AB CD Q AB ⊄PCD CD ⊂PCD //AB ∴PCD 所以、两点到平面的距离相等，均为，A B PCD d 又为线段的中点，所以到平面的距离Q PB Q PCD 2d h ==由（1）知，平面，因为平面，所以，CD ⊥PAD PD ⊂PAD CDPD ⊥所以.11144332Q PCD PCD V S h -=⨯⨯=⨯⨯⨯=△12．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））如图，在四棱锥中，底面РABCD -是梯形，，点ABCD //,22,90AD BC AD AB BC PA PD ABC =====∠=︒N 为的中点，连接PD ,,.CN BN AN（1）求证：平面；//CN PAB （2）若平面平面，求点到平面的距离.PAD ⊥ABCD D ABN 【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）证明：取中点，连接，如图所示：PA M ,MN BM 因为M 、N 为、的中点，所以是的中位线，PA PD MN PAD △所以，且//MN AD 12MN AD =因为，且，//BC AD 12BC AD =所以//,MN BC MN BC =，所以四边形是平行四边形.BCNM 所以//CN BM又平面平面，CN ⊄,PAB BM ⊂PAB 所以平面//CN PAB（2）取中点，连接，再取中点，连接、BD ，如图所示：AD O PO OD QQN 在中，点为的中点，点为中点，POD A N PD Q OD 所以1//,2NQ PO NQ PO =在中，，所以，PAD△2PA PD AD ===222PA PD AD +=所以，又点为中点，PA AD ⊥O AD 所以, 1.PO AD PO ⊥=所以，1,2NQ AD NQ ⊥=因为平面平面平面，平面平面PAD ⊥,ABCD NQ ⊂PAD PAD ABCD AD =，所以平面，NQ ⊥ABCD 又平面，AB ⊂ABCD 所以NQ AB⊥因为，所以.//,90AD BC ABC ︒∠=AD AB ⊥又平面，,,AD NQ Q AD NQ ⋂=⊂PAD 所以平面，AB ⊥PAD 又平面，所以，AN ⊂PAD AB NA ⊥在中，，PAD△2PA PD AD ===点为的中点，所以，N PD 222AN PA PN =+所以AN =设点到平面的距离为,由，D ABN d D ABN N ABD V V --=所以1133ABN ABD S d S NQ ⨯⨯=⨯⨯A A 又，，122ABN S =⨯=A 12222ABD S =⨯⨯=A 代入得到平面d =D ABN 13．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））在直三棱柱中，111ABC A B C -分别为棱的中点.,,,AB AC D E F =1,,BC AA AC（1）求证：1;AD BC ⊥（2）求证：平面//EF 1AB D 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】证明：在三角形中，是的中点，()1ABC ,AB AC D =BC 所以.AD BC ⊥由直三棱柱可知平面111ABC A B C -1BB ⊥,ABC 又平面，AD ⊂ABC 所以1AD BB ⊥因为平面，11,,BC BB B BC BB =⊂ 11BCC B 所以平面AD ⊥11BCC B 又平面，1BC ⊂11BCC B 所以1AD BC ⊥连接，连接交，于点，则是中点，连接()21A C 1A B 1AB O O 1A B OD由于分别是的中点，,E F 1,AA AC 所以1//.EF A C 由于分别是的中点，,O D 1,A B BC 所以1//OD A C所以//EF OD由于平面平面，EF ⊄1,AB D OD ⊂1AB D 所以平面//EF 1ABD 14．（2020·云南高三期中（文））在四棱锥中，底面是边长为2的正P ABCD -ABCD 方形，，E 为的中点．90,,60ADP PD AD PDC ∠==∠=PD （1）证明：平面．CE ⊥PAD （2）求三棱锥外接球的体积．E ABC -【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）由知：，底面是正方形有，又90ADP ∠=AD DP ⊥ABCD AD DC ⊥，DP DC D =∴面，而面，即，AD ⊥DPC CE ⊂DPC AD CE ⊥∵，，PD AD DC ==60PDC ∠= ∴为等边三角形，E 为的中点，故，PDC △PD CE DP ⊥∵，DP AD D ⋂=∴平面．CE ⊥PAD（2）由（1）知：为等腰直角三角形且 ，有ABC A 2AB BC ==AC =在中，故，AEC A CE AE ==222AC CE AE =+AE CE ⊥∴由上知：、都是以为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点O ABC A AEC A AC 到三顶点距离相等知：，即O 为三棱锥外接球的球心，OE OC OA OB ===E ABC -∴外接球的半径为，2AC =所以三棱锥外接球的体积为.E ABC -343V π=⨯=15．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三二模（文））已知等腰梯形ADCE 中，，，，B 为EC 的中点，如图1，将三角形ABE //AD EC 224EC AD AE ===3E π∠=沿AB 折起到（平面ABCD ），如图2.ABE 'E '∉（1）点F 为线段的中点，判断直线DF 与平面的位置关系，并说明理由；AE 'BCE '（2）当的面积最大时，求的长.BCE 'A DE '【答案】（1）相交，理由见解析；（2）2.【分析】（1）解：直线DF 与平面相交，理由如下：BCE '因为平面ABCD ，所以平面，E '∉D ∉BCE '假设平面，设平面平面，如图所示，//DF BCE 'DCF BCE CM '=则，显然CM 与CB 不重合，//DF CM 又因为，平面，且DF ，AD 相交，均在平面内，所以平面//AD BC //AD BCE 'ADE ¢平面，但显然是两个平面的公共点，故矛盾，假设不成立，//ADE 'BCE 'E '所以直线DF 与平面相交；BCE '（2）证明：取AB 的中点O ，连接，BD ，E O '由等腰梯形ADCE 中，，，，知是等边//AD EC 224EC AD AE ===3E π∠=ABE △三角形，四边形是菱形，且，即和都是等边三角形.ADCB 60C ∠=°ABD △BCD △故，， 与相交于平面内，所以平面，E O AB '⊥⊥DO AB E O 'DO E OD 'AB ⊥E OD '所以.又，所以，E D AB '⊥//AB DC E D DC '⊥因为的面积为，BCE 'A 11sin 22sin 2sin 22BE BC E BC E BC E BC ''''⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠所以当的面积最大时，，BCE 'A 90E BC '∠=︒所以，所以.E C '==2E D '==。

高考文科数学立体几何小题考点一：由实物图选三视图或由三视图选实物图
常见几何体的直观图与三视图
二、由三视图选实物图
考点二：求几何体的表面积、体积
一、由三视图求几何体的表面积、体积
1、由三视图还原几何体或确定几何体类型；
2、根据几何体计算公式找相关量的数值；
3、代入公式计算。

二、根据几何体的结构特征，求几何体的表面积、体积（注意先画示意图）
1、一般根据题意画出几何体的示意图；
2、规则几何体则直接根据公式进行计算，复杂几何体则进行适当的处理后再计算。

立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。

lαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一)异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。

立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

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若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。

lαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。