高三数学正态分布2

2.4 正态分布1．正态曲线(1)函数______________，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称________．(2)随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a ＜X ≤b )≈__________，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，b ]的概率的近似值．预习交流1(1)正态曲线φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？(2)设随机变量X 的正态分布密度函数φμ，σ(x )＝12πe －(x ＋3)24，x ∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )．A ．μ＝3，σ＝2B ．μ＝－3，σ＝2C ．μ＝3，σ＝ 2D ．μ＝－3，σ＝ 22．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝__________，则称X 服从________．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作________，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴____，与x轴______；(2)曲线是单峰的，它关于直线____对称；(3)曲线在____处达到峰值______；(4)曲线与x轴之间的面积为__；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“____”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“____”，表示总体的分布越分散，如图②.预习交流2设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()．A．0B．σC．－μD．μ4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a＞0，概率P(μ－a＜X≤μ＋a)＝__________.特别地有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝______，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝______，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝______.5．3σ原则正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为________．预习交流3(1)如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率？(2)正态总体N(4,4)在区间(2,6]内取值的概率为__________．答案：1．(1)φμ，σ(x)＝12πσ22()2exμσ--正态曲线(2)∫b aφμ，σ(x)d x预习交流1：(1)提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ.同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．(2)提示：写成标准式φμ，σ(x)＝12π2 e∴μ＝－3，σ＝ 2.2.∫b aφμ，σ(x)d x正态分布N(μ，σ2)X～N(μ，σ2)3．(1)上方不相交(2)x＝μ(3)x＝μ1σ2π(4)1(6)瘦高矮胖预习交流2：提示：正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ.4.∫μ＋aμ－aφμ，σ(x)d x0.682 60.954 40.997 45．3σ原则预习交流3：(1)提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．(2)提示：由题意知μ＝4，σ＝2，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(2＜X≤6)＝0.682 6.一、正态曲线的图象应用如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3＞0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()．A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2D．σ2＞σ1＞σ3(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝12πσ为最大值，并注意该式在解题中的应用．二、利用正态曲线的对称性求概率已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝0.84，则P(X≤0)＝()．A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84思路分析：画出正态曲线，结合其意义及特点求解．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝()．A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)；P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．三、正态分布的应用在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()．A．997 B．954 C．819 D．683求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．答案：活动与探究1：解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，则σ＝ 2.所以概率密度函数的解析式是f(x)＝12π2(20)4ex--，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.迁移与应用：A活动与探究2：A解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X＜4)＝1－0.84＝0.16.迁移与应用：C解析：由已知正态曲线的对称轴为x＝μ＝0，∴P(ξ＜－1.96)＝P(ξ＞1.96)＝0.025.∴P(|ξ|＜1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝0.950.活动与探究3：解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．迁移与应用：D解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.1．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体的均值为()．A．1 B．－1 C．0 D．不确定2．设随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝⎛⎭⎫12X ＝( )．A ．4B ．2 C.12D ．1 3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ＞2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )．A ．0.447B ．0.628C ．0.954D ．0.9774．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．5．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000,4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是__________．答案：1．C 解析：由正态曲线关于y 轴对称，∴μ＝0，均值为0.2．D 解析：因为X ～N (1,22)，所以D (X )＝4，所以D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝1.3．C 解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于x ＝0对称．又P (ξ＞2)＝0.023，∴P (ξ＜－2)＝0.023.∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.4．0.8 解析：易得P (0＜ξ＜1)＝P (1＜ξ＜2)，故P (0＜ξ＜2)＝2P (0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8.5．0.954 4 解析：μ＝10 000，σ＝400，P (9 200＜X ≤10 800)＝P (10 000－2×400＜X ≤10 000＋2×400)＝0.954 4.。

高三数学知识点：正态分布
已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（116,64），则成绩在140分以上的考生所占的百分比是多少？
解析过程：
要求成绩在140分以上的考生所占的百分比，可以利用正态分布的性质，即在均值左侧的面积为50%。

因此，首先需要求出成绩为140分的标准差，即（140-116）/8=3.然后，利用标准正态分布表可以得出，成绩在140分以上的考生所占的百分比为0.13%。

正态分布是一种非常重要的概率分布，其密度函数呈钟形曲线，均值、标准差是其两个重要参数。

在实际应用中，正态分布广泛用于描述各种自然现象和社会现象，如人口分布、气温变化等。

掌握正态分布的性质和应用方法，对于解决实际问题具有重要意义。

常见考法包括选择题和填空题，容易掌握。

但在考试中，也需要注意正态分布曲线的性质，避免出现低级错误。

总之，掌握正态分布的知识点和应用方法对于高中数学的研究和考试都非常重要。

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高中数学必修三正态分布知识点正态分布的定义：如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用来表示。

当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。

叫标准正态曲线。

正态曲线x∈R的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x 轴;(3)曲线在x=μ处达到最高点;(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。

在标准正态总体N(0，1)中：二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。

高三数学正态分布知识点正文：正态分布是概率论和统计学中经常应用的一种重要分布。

其特点是在均值附近的概率较高，而在离均值较远处的概率较低。

在高中数学的学习中，正态分布也是一个重要的知识点。

本文将介绍高三数学正态分布的相关知识。

一、正态分布的定义正态分布，又称为高斯分布，是一种连续型概率分布。

对于一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / sqrt(2 * π * σ^2)) * exp(-(x - μ)^2 / (2 * σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。

二、正态分布的性质1. 对称性：正态分布是以均值为对称轴，两侧面积相等的曲线。

2. 峰度：正态分布的峰度是指曲线的陡峭程度，峰度值为3。

3. 切点：正态分布曲线与均值之间会有两个切点，也即均值加减标准差的位置。

三、标准正态分布标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。

它是对正态分布进行标准化后的结果。

对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过以下公式将其转化为标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - μ) / σ四、正态分布的应用正态分布在实际生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 质量控制：正态分布可以帮助企业在生产过程中进行质量控制，通过控制产品的均值和标准差，来确保产品的质量稳定。

2. 统计分析：正态分布在统计学中扮演了重要角色，可以用于分析和描述大量数据的分布情况，从而得出结论或进行预测。

3. 考试评分：在考试评分过程中，教师常常采用正态分布来确定分数段及相应的等级，从而更公平地进行评价。

4. 实验设计：科学实验中常常会涉及到测量误差和数据分布的问题，正态分布可以作为参考，帮助科研人员进行实验设计和数据分析。

五、常用的正态分布应用题1. 求解概率：给定正态分布的均值和标准差，可以求解指定区间的概率。

2. 求解分位数：给定正态分布的均值和标准差，可以求解给定概率下的分位数，即求解落在该概率下的随机变量取值。

1．正态分布(1)正态曲线函数f(x)=x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X N(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.(3)正态分布的均值和方差若X N(,)，则E(X)=，D(X)=.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；(3)曲线在x=；(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(-+)0.6827；P(-2+2)0.9545；P(-3+3)0.9973.(2)3原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学中称为3原则.历届高考题最新模拟题选做1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()AA．0.954B．0.977C．0.488D．0.4772．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(B)(随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%3．已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，则P(X>2)＝(A)A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]由X～N(1，σ2)，正态曲线关于X＝1对称，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2；故选A.3．已知三个正态密度函数φi(x)=−(x−μi)22σi2（x∈R，i=1,2,3）的图像如图所示，则（）A．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2>σ3B．μ1<μ2=μ3，σ1<σ2<σ3C．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2<σ3D．μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3由题图中y=φi(x)的对称轴知：132u u u =，y=φ1(x)与y=φ2(x)(一样)瘦高，而y=φ3(x)胖矮，所以σ1=σ2<σ3.故选：D.4．已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(X<k－4)，则k的值为(B) A．6B．7C．8D．9[解析]∵(k－4)＋k2＝5，∴k＝7，故选B.5．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝(C) A．6B．5C．4D．3[解析]由题意可知P(ξ≥6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴P(ξ≥6)＝P(ξ<2)，∴μ＝6＋22＝4.选C．6．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<4)＝(D) A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]由正态曲线的对称性知P(－2<ξ<4)＝2P(1<ξ<4)＝212－P(ξ>4)＝212－(1－P(ξ<4))＝0.8.故选D.7．若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.6826，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9544，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9974.已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为(C)A．159B．46C．23D．13[解析]由题意，μ＝110，σ＝10，故P(X>130)＝P(X>μ＋2σ)＝1－0.95442＝0.0228.∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.0228＝22.8≈23.故选C．8．已知随机变量X ～N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为(D)附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641[解析]由题意P(0＜X ≤1)＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.正方形OABC 内取一点，则点恰好落在阴影部分的概率为P ＝1×1－0.13591×1＝0.8641.选D.9．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是(ABD)附：若随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826.A ．若红玫瑰日销售量范围在(μ－30,280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413[解析]对于选项A ：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项BC ：利用σ越小越集中，30小于40，B 正确，C 不正确；对于选项D ：P(280<X<320)＝P(μ<X<μ＋σ)≈0.6826×12≈0.3413，正确．故选ABD.10．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X 服从正态分布N(180,900)．(参考数据：①P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9973.则(BC)A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．P(240<X ≤270)＝0.0428[解析]这次考试标准分超过180分的约有500人，A 错；∵P(90<X<270)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9973，∴标准分在(90,270)内的人数约为0.9973×1000≈997，∴B 正确．甲、乙、丙恰有2人超过180分的概率为C232×＝38，∴C 正确；∵P(240<X<270)＝P (90<X<270)－P (120<X<240)2＝P (μ－3σ<X<μ＋3σ)－P (μ－2σ<X<μ＋2σ)2＝0.9973－0.95452＝0.0214，∴D 错误．故选BC ．11．已知随机变量X~N 4，22，则P 8<X <10的值约为（）附：若Y~N μ，σ2，则P μ−σ<Y <μ+σ≈0.6827，P μ−2σ<Y <μ+2σ≈0.9545，P μ−3σ<Y <μ+3σ≈0.9974A．0.0215B．0.1359C．0.8186D．0.9760【解题思路】由题意确定μ=4,σ=2，根据P8<X<10=12[Pμ−3σ<X<μ+3σ−Pμ−2σ<X<μ+ 2σ]，即可得答案.由题意知随机变量X~N4，22，故μ=4,σ=2，故P8<X<10=12[Pμ−3σ<X<μ+3σ−Pμ−2σ<X<μ+2σ]≈12(0.9974−0.9545)=0.02145≈0.0215,故选：A.12．已知随机变量服从正态分布X~N(2,σ2)，若P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，则a=（）A．0B．2C．−1D．−2根据正态分布的性质可得P(X≥1−2a)=P(X≤1+a)，即可得到1−2a、1+a关于x=2对称，从而得到方程，解得即可.解：因为P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，P(X≤1−2a)+P(X≥1−2a)=1，所以P(X≥1−2a)=P(X≤1+a)，所以1−2a+1+a=2×2，解得a=−2.故选：D.13．已知随机变量X服从正态分布N6,σ，若P X<4+5P X>8=1，则P4<X<6=（）A．16B．14C．13D．19根据正态分布的对称性可得：P X<4=P X>8，P4<X<6=12−P X<4，结合题意可求P X<4=16，进而可求P4<X<6．X~N6,σ，则P X<4=P X>8，∴P X<4+5P X>8=6P X<4=1，则P X<4=16，∴P4<X<6=12−P X<4=13，选：C．1．新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现，基于目前流行病学调查，潜伏期为1～14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源，某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示．(1)由直方图可认为答题者的成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别为答题者的平均成绩x－和成绩的方差s2，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s2＝204.75，204.75＝14.31；②z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<z<μ＋2σ)＝0.9544；③0.84134＝0.501,0.84133＝0.595.[解析](1)由题意知：x－＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，因为z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x－＝70.5，σ2＝D(ξ)＝204.75，σ＝14.31，∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5,14.312)，而P(μ－σ<z<μ＋σ)＝P(56.19<z<84.81)＝0.6826，∴P(z≥84.81)＝1－0.68262＝0.1587，∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为0．1587×10000＝1587人．(2)由(1)知，成绩超过56.19的概率为1－0.1587＝0.8413，而ξ～B(4,0.8413)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C44·0.84134＝1－0.501＝0.499.2．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x－(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝142.75≈11.95；②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544.[解析](1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x－为：x－＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z<38.45)＝P(26.5－11.95<Z<26.5＋11.95)＝0.6826，∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得每包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的概率为213.02.0=+X ～X 的取值为0，1，2，3，4，P(X ＝0)＝16121404=⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；P(X ＝1)＝41421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝14；P(X ＝2)＝42421⎪⎭⎫ ⎝⎛C =38；P(X ＝3)＝43421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝14；P(X ＝4)＝44421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝116.∴X 的分布列为X 01234P116143814116∴E(X)＝4×12＝2.(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数位学生，求他的数学成绩恰在64分到0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(2P μσ-(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，。

2．4正态分布1．问题导航(1)什么是正态曲线和正态分布(2)正态曲线有什么特点曲线所表示的意义是什么(3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率2．例题导读请试做教材P74练习1题．1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝⎠⎛abφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为________X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴________上方，与x轴________不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线________x＝μ对称；(3)曲线在________x＝μ处达到峰值________1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为________1；(5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．()(3)正态曲线可以关于y轴对称．()答案：(1)×(2)×(3)√2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()A．0 B．σC．－μD．μ答案：D3．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝()答案：D4．已知正态分布密度函数为f(x)＝12πe－x24π，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．答案：02π正态分布的再认识(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布．(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．(3)从正态曲线可以看出，对于固定的μ而言，随机变量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大．对于固定的μ和σ，随机变量X取值区间越大，所对应的概率就越大，即3σ原则．正态分布密度曲线如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．[解]从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，∴σ＝ 2.于是φμ，σ(x)＝12π·e－（x－20）24，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，另一是最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．扫一扫进入91导学网正态分布密度曲线1．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．求正态分布下的概率设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．[解]因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝ 6.(2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3≤X ＜－1)， 所以P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝124－ 6)＝ 9. [互动探究] 在本例条件下，试求P (X ≥5)． 解：因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)， 所以P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)]＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝12(1－ 4)＝ 8.(1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用．(2)常用结论有①对任意的a ，有P (X ＜μ－a )＝P (X ＞μ＋a )； ②P (X ＜x 0)＝1－P (X ≥x 0)；③P (a ＜X ＜b )＝P (X ＜b )－P (X ≤a )．2．(1)(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝%.)A ．%B ．%C ．%D ．%解析：选B.由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝ 6，P (－6＜ξ＜6)＝ 4，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝错误!＝ 9＝%，故选B.(2)设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4＜X ＜8)＝，则P (X ＜0)＝________．解析：概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为，在0左边的概率等于在8右边的概率，即－＝.答案：(3)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)．①求c的值；②求P(－4＜X＜8)．解：①由X～N(2，9)可知，密度函数曲线关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.②P(－4＜X＜8)＝P(2－2×3＜X＜2＋2×3)＝4.正态分布的实际应用某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分的学生为不及格学生．(1)成绩不及格的人数占多少(2)成绩在80～90之间的学生占多少[解](1)设学生的得分情况为随机变量X，则X～N(70，102)，其中μ＝70，σ＝10.在60到80之间的学生占的比为P(70－10<X≤70＋10)＝6＝%，∴不及格的学生所占的比为12×(1－6)＝7＝%.(2)成绩在80到90之间的学生所占的比为12×[P(70－2×10<X≤70＋2×10)－P(70－10<X≤70＋10)]＝12×4－6)＝%.正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．3．(2015·杭州质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率．解：∵X～N(50，102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P(30＜X≤60)＝P(30＜X≤50)＋P(50＜X≤60)＝12P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＋12P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝12× 4＋12× 6＝ 5. 即他在(30，60]分内赶到火车站的概率是 5.数学思想正态分布中的化归与转化思想已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (2≤X ≤4)＝ 6，则P (X >4)＝( ) A ． 8 B ． 7 C ． 6 D ． 5[解析] 由于X 服从正态分布N (3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x ＝3. 所以P (X >4)＝P (X <2)，故P (X >4)＝1－P （2≤X ≤4）2＝1－ 62＝ 7.[答案] B[感悟提高] 化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一，在解决正态分布的应用问题时，化归与转化思想起着不可忽视的作用．本小题考查正态分布的有关知识，求解时应根据P (X >4)＋P (X <2)＋P (2≤X ≤4)＝1将问题转化．1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝φμ，σ(x )＝18πe －（x －10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2. 2.(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2 386B ．2 718C ．3 413D ．4 772 附：若X ～N (μ，σ2)， 则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝ 6， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝ 4.解析：选C.由P (－1<X ≤1)＝ 6，得P (0<X ≤1)＝ 3，则阴影部分的面积为 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×错误!＝3 413，故选C.3．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若X 在(0，1)内取值的概率为，则X 在(0，2)内取值的概率为________．解析：如图，易得P (0＜X ＜1)＝P (1＜X ＜2)， 故P (0＜X ＜2)＝2P (0＜X ＜1)＝2×＝.答案：4．设X ～N (5，1)，求P (6<X ≤7)． 解：由已知得P (4<X ≤6)＝ 6， P (3<X ≤7)＝ 4.又∵正态曲线关于直线x ＝5对称， ∴P (3<X ≤4)＋P (6<X ≤7)＝ 4－ 6 ＝ 8.由对称性知P (3<X ≤4)＝P (6<X ≤7)， 所以P (6<X ≤7)＝错误!＝ 9.[A.基础达标]1．设随机变量ξ～N (2，2)，则D (12ξ)＝( )A ．1B ．2 D ．4解析：选C.∵ξ～N (2，2)，∴D (ξ)＝2. ∴D (12ξ)＝122D (ξ)＝14×2＝12.2．下列函数是正态密度函数的是( ) A ．f (x )＝12σπe（x －μ）22σ2，μ，σ(σ＞0)都是实数B ．f (x )＝2π2πe －x 22C ．f (x )＝122πe －（x －1）24D ．f (x )＝12πe x 22解析：选B.对于A ：函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A 错误；对于B ：符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B 正确；对于C ：从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，故C 不正确；对于D ：指数部分缺少一个负号，故D 不正确．3．(2015·高考湖北卷)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )解析：选D.由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P (Y ≥μ2)＝12，P (Y ≥μ1)>12，故P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；因为σ1＜σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错； 对任意正数t ，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 错；对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )是正确的，故选D.4．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝，则P (0＜ξ＜2)＝( ) A ． B ． C ． D ．解析：选C.如图，正态分布的密度函数图象关于直线x ＝2对称，所以P (ξ＜2)＝，并且P (0＜ξ＜2)＝P (2＜ξ＜4)，则P (0＜ξ＜2)＝P (ξ＜4)－P (ξ＜2)＝－＝.5．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ＝( )A ．1B ．4C ．2D ．不能确定解析：选B.根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态分布密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.6．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)成立，则μ＝________．解析：∵ξ～N (μ，σ2)，故概率密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ＜1)＝P (ξ＞3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2.答案：27．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得P (ξ>2)＝12×[1－2P (0<ξ<1)]＝12×(1－＝.答案：8．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于kg小于等于kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．解析：依题意可知，μ＝，σ＝2，故P＜X≤＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝6，从而属于正常情况的人数为1 000× 6≈683.答案：6839．(2015·苏州高二检测)某个工厂的工人月收入服从正态分布N(2 500，202)，该工厂共有1 200名工人，试估计月收入在2 440元以下和2 560元以上的工人大约有多少人解：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(2 500，202)，所以μ＝2 500，σ＝20，所以月收入在区间(2 500－3×20，2 500＋3×20)内取值的概率是4，该区间即(2 440，2 560)．因此月收入在2 440元以下和2 560元以上的工人大约有1 200×(1－4)＝1 200× 6≈3(人)．10．(2015·漳州高二检测)某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分)服从正态分布N(50，102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60，42)．(1)若只有70分钟可用，问应走哪条路线(2)若只有65分钟可用，又应走哪条路线解：由已知X～N(50，102)，Y～N(60，42)．由正态分布的2σ区间性质P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝4.然后解决问题的关键是：根据上述性质得到如下结果：对X：μ＝50；σ＝10，2σ区间为(30，70)，对Y：μ＝60；σ＝4，2σ区间为(52，68)，要尽量保证用时在X?(30，70)，Y?(52，68)才能保证有95%以上的概率准时到达．(1)时间只有70分钟可用，应该走第二条路线．(2)时间只有65分钟可用，两种方案都能保证有95%以上的概率准时到达，但是走市区平均用时比路线二少了10分钟，应该走第一条路线．[B.能力提升]1．设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，P(|X－μ|＜3σ)将会()A．单调增加 B．单调减少C．保持不变D．增减不定解析：选C.对于服从正态分布的随机变量X，不论μ，σ怎么变化，P(|X－μ|＜3σ)总等于4.2．设正态总体落在区间(－∞，－1)和区间(3，＋∞)的概率相等，落在区间(－2，4)内的概率为%，则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为()A．(1，12π) B．(1，2)C．(12π，1) D．(1，1)解析：选A.正态总体落在区间(－∞，－1)和(3，＋∞)的概率相等，说明正态曲线关于x＝1对称，所以μ＝1.又在区间(－2，4)内的概率为%， ∴1－3σ＝－2，1＋3σ＝4，∴σ＝1.∴f (x )＝12πe －（x －1）22，x ∈R ，∴最高点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，12π. 3．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，则下列结论正确的是________． ①P (|ξ|＜a )＝P (ξ＜a )＋P (ξ＞－a )(a ＞0)； ②P (|ξ|＜a )＝2P (ξ＜a )－1(a ＞0)； ③P (|ξ|＜a )＝1－2P (ξ＜a )(a ＞0)； ④P (|ξ|＜a )＝1－P (|ξ|＞a )(a ＞0)．解析：因为P (|ξ|＜a )＝P (－a ＜ξ＜a )，所以①不正确；因为P (|ξ|＜a )＝P (－a ＜ξ＜a )＝P (ξ＜a )－P (ξ＜－a )＝P (ξ＜a )－P (ξ＞a )＝P (ξ＜a )－(1－P (ξ＜a ))＝2P (ξ＜a )－1，所以②正确，③不正确；因为P (|ξ|＜a )＋P (|ξ|＞a )＝1，所以P (|ξ|＜a )＝1－P (|ξ|＞a )(a ＞0)，所以④正确． 答案：②④4．设随机变量X ～N (1，22)，则Y ＝3X －1服从的总体分布可记为________． 解析：因为X ～N (1，22)，所以μ＝1，σ＝2. 又Y ＝3X －1，所以E (Y )＝3E (X )－1＝3μ－1＝2， D (Y )＝9D (X )＝62， 所以Y ～N (2，62)． 答案：Y ～N (2，62) 5．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P <Z <；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间，的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝ 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝ 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×＋180×＋190×＋200×＋210×＋220×＋230×＝200，s2＝(－30)2×＋(－20)2×＋(－10)2×＋0×＋102×＋202×＋302×＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而P<Z<＝P(200－<Z<200＋＝6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间，的概率为6，依题意知X～B(100，6)，所以E(X)＝100× 6＝.6．请仔细阅读下面这段文字，然后解决后面的问题．在实际生活中，常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格，方法是：(1)提出统计假设：某种指标服从正态分布N(μ，σ2)；(2)确定一次试验中的取值a；(3)作出统计推断：若a∈(μ－3σ，μ＋3σ)，则接受假设，若a?(μ－3σ，μ＋3σ)，则拒绝假设．问题：某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N(30，，质检人员从该厂某一天生产的1 000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为kg/cm2，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格为什么解：由于在一次试验中ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率为，故ξ几乎必然落在上述区间内．把μ＝30，σ＝代入，得区间(μ－3σ，μ＋3σ)＝，，而?，，∴据此认为这批砖不合格．。

二项分布与正态分布【考点梳理】1．条件概率2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ).3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.4．正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )()222x μσ--　(σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 【考点突破】考点一、条件概率【例1】(1)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P(B |A )＝________.(2)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A ．110B ．15C ．25D ．12 [答案] (1) 14(2) C[解析] (1)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P ABP A ＝12π2π＝14.(2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25.故选C.【类题通法】1. 利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法.2. 借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.【对点训练】1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12 [答案] B[解析] 法一 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11025＝14.法二 事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14.2．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A ．35B ．59C ．110D ．25 [答案] B[解析] 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1335＝59. 考点二、相互独立事件同时发生的概率【例2】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为：(2)设Y 率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.【类题通法】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【对点训练】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.[解析] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13 ×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为【例3】空气质量指数(AirQuality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI 的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列.[解析] (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，∴该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35. ∴P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，ξ的分布列为【类题通法】利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.【对点训练】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X，求X的分布列.[解析] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则落在区间[55，65)，[65，75)内的频率分别为4x，2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.(2)由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45，75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n＝3，p＝0.6.因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288，P (X ＝2)＝C 23×0.62×0.41＝0.432， P (X ＝3)＝C 33×0.63×0.40＝0.216，所以X 的分布列为【例4】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2(2)某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数约为________．[答案] (1) C (2) 10[解析] (1)画出正态曲线如图，结合图象知：P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12[1－P (ξ<0)－P (ξ>4)]＝12(1－0.2－0.2)＝0.3.(2)由题意，知P (ξ>110)＝1－2Pξ2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10. 【类题通法】对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )；(2)P (X <x 0)＝1－P (X ≥x 0)；(3)P (a <X <b )＝P (X <b )－P (X ≤a )．【对点训练】1．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P (ξ<2)＝0.8，则P (0<ξ<1)的值为________． [答案] 0.3[解析] P (0<ξ<1)＝P (ξ<2)－P (ξ<1)＝0.8－0.5＝0.3.2．某地高三理科学生有15 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80<ξ≤100)＝0.35，若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取( )A ．5份B ．10份C ．15份D ．20份 [答案] C[解析] ∵数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，P (80<ξ≤100)＝0.35，∴P (80<ξ≤120)＝2×0.35＝0.70，∴P (ξ>120)＝12×(1－0.70)＝0.15，∴应抽取的份数为100×0.15＝15.。

第八讲 正态分布【教材扫描】1．正态曲线我们把函数,()x μσϕ=22()2x μσ--，(,)x ∈-∞+∞（其中μ是样本均值，σ是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．2．正态分布随机变量X 落在区间(,]a b 的概率为()P a X b <≤=,()d ba x x μσϕ⎰，即由正态曲线，过点(,0)a 和点(,0)b 的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X 落在区间(,]a b 的概率的近似值．一般地，如果对于任何实数a ，()b a b <，随机变量X 满足,()()d ba x P a Xb x μσϕ<≤=⎰，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作2(,)N μσ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为2(,)X N μσ～．其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．3．正态曲线的性质（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x μ=对称；（3）曲线在x μ=； （4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．正态分布的3σ原则若2(,)X N μσ～，则对于任意的实数0a >，,()d ()a a P a X a x x μμμσϕμμ+--<≤+=⎰为下图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减小而变大．这说明σ越小，X 落在区间(,]a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大．特别地，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(3P X μσ-<3)μσ≤+0.9974=．由(33)P X μσμσ-<≤+0.9974=，知正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则．【知识运用】题型一：利用正态曲线的对称性求概率【例1】已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，()40.76P X <=，则(0)P X ≤=A ．0.24B ．0.48C ．0.52D ．0.76【解析】由2(2,)X N σ～，可知其正态曲线如下图所示，对称轴为直线2x =，则(0)P X ≤=(4)P X ≥=1410().760.24P X =-<=-=．故选A【变式】1.若随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，已知( 1.9)0.028P ξ<-=，则||( 1.9)P ξ<=A ．0.028B ．0.056C ．0.944D ．0.972【解析】由随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，可得( 1.9)1( 1.9)P P ξξ<=-≤-，所以||( 1.9)P ξ<=?( 1.9 1.9)( 1.9)( 1.9)12( 1.9)120.0280.944P P P P ξξξξ-<<=<-≤-=-≤-=-⨯=．故选C2．已知随机变量X ～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0．32，则P(a≤X<4－a)＝________．解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0．36．答案：0．363．设随机变量X ～N(2,9)，若P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)．(1)求c 的值；(2)求P(－4<X≤8)．解：(1)由X ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)．∵P(X>c ＋1)＝P(X<c －1)，故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2，∴c ＝2．(2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．954 4．题型二：由特殊区间求概率【例2】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X （单位：kg ）服从正态分布(,4)N μ，且正态分布密度曲线如下图所示．若体重大于58 kg 小于等于62kg 属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为A ．997B ．954C ．819D ．683【解析】由题意，可知60μ=，2σ=，故(5862)()0.6826P X P X μσμσ<≤=-<≤+=，从而属于正常情况的人数是1 0000.6826683⨯≈．故选D【变式】某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为1000μ=g ，21σ=，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为1007g 时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？【解析】如果设备正常运行，产品质量服从正态分布2(,)N μσ，根据3σ原则可知，产品质量在3μσ-=10003997g -=和3100031003g μσ+=+=之间的概率为0.9974，而质量超出这个范围的概率只有0.0026，这是一个几乎不可能出现的事件．但是检验员随机抽取的产品为1007g ，这说明设备的运行极可能不正常，因此检验员的决定是有道理的题型三 ：正态分布实际运用[例3] 在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N(90,100)．(1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？[解] ∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10．(1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0．954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0．954 4．(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100．由于变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0．682 6，所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0．682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0．682 6≈1 365(人)．【变式】1．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10．∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0．954 4．答案：0．954 42．某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0．052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3．7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4,0．052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0．052)在(4－3×0．05,4＋3×0．05)之外的取值的概率只有0．003，3．7∉(3．85,4,15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．【强化练习】1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是( )A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件解析：选D ∵P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0．997 4．∴P(X>μ＋3σ或X<μ－3σ)＝1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝1－0．997 4＝0．002 6．∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．2．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：选A μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大， 越分散， 曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”， 由图可知σ1<σ2．3．设随机变量X ～N(1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( ) A ．4 B ．2 C ．12D ．1 解析：选D 因为X ～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D(X)＝1． 4．若随机变量X 的密度函数为f(x)＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定 解析：选C 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2．5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] 解析：选C 由于X ～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0．682 6,0．954 4,0．997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0．682 6≈41人，60×0．954 4≈57人，60×0．997 4≈60人．6．已知随机变量2(2,)X N σ～，若()0.4P X a <=，则(4)P a X a ≤<-=A ．0.4B ．0.2C ．0.1D ．0.6 【解析】因为2(2,)X N σ～，()0.4P X a <=，所以(4)0.4P X a ≥-=，所以(4)P a X a ≤<-10.40.40.2=--=．故选B ．7．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若( 1.1)0.023P ξ>=，则( 1.1 1.1)P ξ-≤≤=A ．0.954B ．0.023C ．0.977D ．0.046【解析】因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，则0μ=，则正态分布密度曲线关于直线0x =对称；由( 1.1)0.023P ξ>=及正态曲线的性质有( 1.1)0.023P ξ<-=，所以( 1.1 1.1)1P ξ-≤≤=-( 1.1)( 1.1)10.0230.0230.954p P ξξ>-<-=--=．故选A ．8．已知随机变量2(0,)X N σ～，若(||2)P X a ≤=，则(2)P X >=A ．12a -B ．2aC ．1a -D ．12a + 【解析】由题意可得正态分布密度曲线关于直线0x =对称，因为正态分布密度曲线与x 轴围成的面积为1，所以A ． 9．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝________．解析：由题意知曲线关于x ＝2对称，因此P(X<2)＝12．答案：129．已知随机变量ξ服从正态分布(0,2)N ，若(2)P p ξ≥=，则(20)P ξ-<<=______________． 【解析】依题意有11(20)(02)(2)22P P P p ξξξ-<<=<<=-≥=- 10．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=______________． 【解析】(02)(24)(4)(2)0.70.50.2P P P P ξξξξ<<=<<=<-<=-=．11()f x(,)μ-∞+∞∈，0σ>，则可以作为正态分布密度函数的为______________．（填函数对应的序号）(,)μ-∞+∞∈，所以(,)μ-∞-+∞∈，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若1σ=0μ=时的正态分布密度函数；对于12．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，其正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，且7288()0.6826P X <≤=．（1）求参数μ，σ的值；（2）求7(64)2P X <≤的值．【解析】（1）因为正态曲线在(0),8-∞上是增函数，在(80,)+∞上为减函数，所以正态曲线关于直线80x =对称，所以80μ=．又7288()0.6826P X <≤=，结合()0.6826P X μσμσ-<≤+=可知8σ=．（2）因为(2P μσ-<2)0.9544X μσ≤+=，且()(6496)P X P X <=>，()640.9772P X >=． 又1()(()1721728810.68260.15872)()2P X P X ≤=-<≤=⨯-=， 所以()()()647264720.9772(10.15870.13)59P X P X P X <≤=>->=--=．13、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．附：12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（2）①由（1）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<(20012.2P Z =-<< 20012.2)0.6826+=．②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 依题意知(100,0.6826)X B ～，所以()1000.682668.26E X =⨯=．。