标准正态分布表(附表1-2)

正态分布z值表——见最下文首先我们得先来了解一下什么是正态分布：1.正态曲线(normal curve)正态曲线是簇曲线，呈对称钟形，均数所在处最高，两侧逐渐下降，两端在无穷处与横轴无限接近。

横坐标常使用观察值组段，纵坐标常使用频数、频率及概率密度（频率与组距之比）。

2.正态分布特征曲线概率密度函数：式中，有4个常数，μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周率，е为自然对数的底数，其中μ、σ为不确定的常数，称为正态分布的参数。

μ是位置参数，决定着正态曲线在X轴上的位置;σ是形状参数，决定着正态曲线的分布形状由此决定的正态分布记作N(μ,σ2)。

仅X 为随机变量。

曲线位置形状与面积特征：标准差一样规定了曲线的形状相同，而均数不同，会使得曲线在在横轴上的位置不同，并且随着均数增大，曲线逐渐向右移动。

均数不变，标准差改变，标准差小的曲线变异度小，曲线形状就高瘦一点；标准差大的变异度大，曲线形状就矮胖一点。

标准正态分布均数为0，标准差为1的正态分布被称为标准正态分布(standard normal distribution)。

对于任意一个服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量，可做标准化转换。

通过标准化转换后，任意一个正态分布曲线下面积求解问题都能转换成标准正态分布曲线下面积求解问题。

如下所示：2.标准正态分布的应用当Z的取值范围为（Z1,Z2)时，概率（面积）计算公式应为：P（Z1＜Z＜Z2）=φ（Z2）﹣φ（Z1）因为统计表中只有Z值的左侧尾部面积，所以根据上图所示，当Z＞0时应有：φ（Z）=1-φ（﹣Z）所以对于一个一般的正态分布问题，我们可以先通过标准化转换求得Z值，然后查表找到所对应的值后代入面积公式即可进行求解。

注意：①曲线下面积总和为1。

②曲线下的面积是从﹣∞积分到当前Z的面积。

③曲线下对称于0的区间，面积相等。

④当μ，σ和X已知时，先求Z值，再用Z值查表，得到所求区间占总面积比例。

当μ，σ未知时，要用样本均数和样本标准差S来估计Z值。

正态分布函数积分$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$其中，$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是标准差。

我们需要求解正态分布函数的积分，即求解累积密度函数（cumulative distribution function, CDF）。

CDF 被定义为随机变量在负无穷到其中一点的取值概率之和。

一、表格法表格法是一种常用的近似计算积分的方法。

当我们无法直接计算积分时，可以通过查表的方式获得积分的近似值。

我们先来介绍标准正态分布函数的表格。

在表格中，我们将正态分布函数的值对应于不同的 $\Phi(z)$ 值进行了标注。

其中，$z$ 表示标准正态分布的变量，它与原始正态分布的变量 $x$ 之间通过以下公式进行关联：$$ z = \frac{x - \mu}{\sigma} $$注意，$z$的取值范围是从负无穷到正无穷。

接下来，我们可以通过标准正态分布表格查找 $\Phi(z)$ 对应的值。

对于给定的 $z$ 值，我们可以找到相应的积分概率值，即 $\Phi(z)$。

如果要求的是左侧的概率，我们只需查找表格中对应的 $z$ 值的$\Phi(z)$。

如果要求的是右侧的概率，我们可以使用 $1-\Phi(z)$。

当我们得到 $\Phi(z)$ 后，我们可以使用以下公式来计算给定$x$ 值的概率：$$ P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) $$二、逆变换法逆变换法是一种通过求解逆函数得到精确值（而非近似值）的方法。

我们可以通过求解逆标准正态分布函数得到原始正态分布函数的积分结果。

具体而言，我们可以使用以下公式来计算概率：$$ P(X \leq x) = \Phi^{-1}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right) $$其中，$\Phi^{-1}(p)$ 表示标准正态分布函数的逆函数，即通过概率值 $p$ 反推出对应的 $z$ 值。

正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。

但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。

这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。

在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。

这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。

拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。