2020届高考数学考前天天练黄金卷1 理

2020届高考模拟黄金卷（全国卷）（一）（理）1、已知集合{}{2*|40,21,A x x x B y y x x =-<==-∈N ，则如图所示的Venn 图中，阴影部分表示的集合中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.42、复数12i z =+，若复数12z ,z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A ．5 B ．-5 C ．34i -+ D ．34i -3、已知函数()21,01log ,0x f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=( ) A. 2- B. 1- C. 12-D. 13-4、某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A ．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B ．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当C ．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D ．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍5、曲线22220x y x y +--=所围成的区域任掷一点,则该点恰好落在区域221x y +≤内大概率为()A.π2π+4B.ππ8+ C.π2π8+ D.π4π8+ 6、已知函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+><<的图像关于直线π6x =对称，若存在12,R x x ∈使12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,且12x x -最小值为π2,则ϕ=( ) A.π12B.π6C.π4D.π37、由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有（ ）个. A ．14B ．16C ．18D ．208、如图是求2222222++++++的程序框图，则图中和中应分别填入( )A.6k T ≤=?;B.7k T ≤=?;C.6k T ≤=?;D.6k T ≥=?;9、在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 棱1BB 的中点，N 棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 成角的正切值为( )A B ．1C D10、已知函数()()xf x ax e a =-∈R 有两个零点，分别为12,x x ，且123x x <，则a 的取值范围为( )A.⎛-∞ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎫+∞⎪⎪⎝⎭D.⎫+∞⎪⎪⎝⎭11、若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.212、在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c若sin sin B C A =,ABC △的面积为,a b +=则c =( )313、已知单位向量12,e e 的夹角为60,向量1232a e e =-,向量12b e e λ=+,若a b ⊥,则实数λ=___________.14、若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y =-++的取值范围是 .15、已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 倾斜角为60︒的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点,则AF BF的值等于__________.16、函数21()2cos(610)22x xf x x -π⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的所有零点之和为_________. 17、在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .18、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD Q ，为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD(1)求证:平面MQB ⊥平面PAD .(2)若BM PC ⊥，求直线AP 与BM 所成角的余弦值. (3)若二面角M BQ C --大小为60°，求QM 的长.19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的鞘园2222:1x a C y b +=经过点2c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，且28a =经过点()10T ,作斜率为()0k k >的直线l 交椭圆C 与A 、B 两点(A 在x 轴下方).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆于点M 、N ，求2AT BT MN⋅的值；（3）记直线l 与y 轴的交点为P ，若25AP TB =，求直线l 的斜率k 的值.20、已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点()()e,e f 处的切线方程为4e y x =-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)设t 为正整数，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式()()11f x t x >-+恒成立，求正整数t 的最大值.21、某单位准备购买三台设备，型号分别为,,A B C 已知这三台设备均使用同一种易耗品,提供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为100元,也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数.该单仿调查了这三种型号的设备各60台，调查每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立. (1)求该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是 21件易耗品？22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（为参数），在以o为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若点p 为1C 上任意一点，求点p 到2C 的距离的取值范围.23、已知函数()f x x =(1)若不等式()24f ax +≤的解集为31-［,］，求实数a 的值.(2)若02m ∈［,］，求证:((2f x f x -≤.参考答案1答案及解析： 答案：B解析：由240x x -<,得04x <<,所以{}04A x x =<<.由*21,y x x =-∈N ，得集合{}1,3,5,B =.根据题图可知阴影部分表示的集合为A B ,且{}1,3A B =，所以阴影部分表示的集合中共有2个元素，故选B.2答案及解析： 答案：B解析：由题意可知，22i z =-+，所以()()122+i -2+i 415z z ==--=-. 3答案及解析： 答案：C解析：由题意可知()211111log 1,1222112f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-==- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 4答案及解析： 答案：C解析：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t ，则2018年全年的收入为2t ， 对于选项A ，该企业2018年设备支出金额为02204t t ⨯.＝.，2017年设备支出金额为0404t t ⨯.＝.，故A 错误，对于选项B ，该企业2018年支付工资金额为02204t t ⨯.＝.，2017年支付工资金额为0202t t ⨯.＝.，故B 错误，对于选项C ，该企业2018年用于研发的费用是025205t t ⨯.＝.，2017年用于研发的费用是0101t t ⨯.＝.，故C 正确，对于选项D ，该企业2018年原材料的费用是03206t t ⨯.＝.，2017年原材料的费用是015015t t ⨯.＝.，故D 错误，故选：C ．5答案及解析： 答案：D解析：曲线22220x y x y +--=可化为22(1)(1)2x y -+-=,作出如图所示,该图形可看成由一个边长为,其所围成的区域面积是214π84π2⨯⨯⨯=+,又221x y +≤所表示的平面区域的面积为π,所以该点恰好落在区域221x y +≤内的概率为π84π+,故选D 6答案及解析： 答案：B解析：由12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,12min π2x x -=,可得函数()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2,则()f x 的最小正周期2ππ,2T ωω===,又该函数关于直线π6x =对称,所以ππ()2sin()263f ϕ=+=±,则ππππ,,π+,326k k Z k k Z ϕϕ+=+∈=∈,又π(0,)2ϕ∈,所以π6ϕ= 7答案及解析： 答案：D解析：根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类： ①.由0，1，2三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数； ②.由0，2，4三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数； ③.由1，2，3三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数；④.由2，3，4三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数，所以由0,1,2,3,4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有4+4+6+6=20个数. 8答案及解析： 答案：C解析：根据题意，运行该程序，则T ，1k =；T =，2k =；T3k =；T =4k =；T =，5k =；T =，6k =；T =7k =，结束循环结合选项可知，C 选项满足题意.故选C. 9答案及解析： 答案：C解析：各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2， 以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()))()10,0,2,,,0,1,0A MBN ，()()13,1,1,3,0,0A M BN =-=-，设异面直线1A M 与BN 所成角为，则11cos 5A M BNA M BNθ⋅===⋅ ，∴tan θ．∴异面直线1A M 与BN C. 10答案及解析： 答案：D解析：令()0f x =，即0x ax e -=. 当0a =时，0x e =无解，所以0a ≠.所以有1xxa e =. 令()()x x x g x f x ax e e =⋅=-有两个零点，等价于1y a =的图像与()xx g x e =的图像有两个不同的交点. ()1x xg x e-'=，当)1(x ∈-∞,时，()0g x '>；当1()x ∈+∞,时，()0g x '<. 所以()g x 在()1-∞,上单调递增，在(1)+∞,上单调递减. 因此，如图，1201x x <<<.令213x x =，有111133x xx x e e =，得1ln32x =，则()ln 213ln32x g e ==. 所以10a <，即a a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭.故选D. θ11答案及解析： 答案：C解析：∵双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>∴该双曲线的渐近线方程为by x a=±，又∵一条渐近线经过点()1,2,∴21ba=⨯，得2b a =，由此可得c ==,双曲线的离心率e ca==12答案及解析： 答案：D解析：因为sin sin ,sin 0B C A B ≠,所以sin C ==又ABC △,所以21sin 2ab C ==得a又a b +=所以b C ==,所以1cos 2C =±,所以根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-得c =3c =,故选D13答案及解析： 答案：14解析：因为a b ⊥,所以a b ⋅,所以1212(32)()0e e e e λ-⋅+=,即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=,即13(32)202λλ+-⨯-=,即14λ=14答案及解析： 答案：[]1,9解析：画出不等式组 210501x y x y y --≥⎧⎪+-=⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图中阴影部分.由21050x y x y --=⎧⎨+-≤⎩，得3(2)A ,.由2101x y y --=⎧⎨=⎩，得1(1)B ,.由501x y y +-=⎧⎨=⎩，得1(4)C ,. 将2244z x x y =-++化成()222z x y =-+.设点0(2)D ,，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则当以点0(2)D ,为圆心的圆 经过点A 时，z 取得最大值，()22min 2239z =-+=，经过点1(2)E ,时，z 取得最小值，()22min 2211z =-+=.所以z 的取值范围为19［,］15答案及解析： 答案：3解析：设1122(,),(,)A x y B x y ,易知12x x > 由直线l 的倾斜角为60°,且过点,02P F ⎛⎫ ⎪⎝⎭得直线l的方程为02p y x ⎫-=-⎪⎭即y p -,联立22y p y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理,得22122030x px p -+= 则1231,26x p x p == 则31||22311||62p pAF BF p p+==+ 16答案及解析：答案：16解析：如图构造函数21(),()2cos22x x g x h x -π⎛⎫==- ⎪⎝⎭, ∵610x -≤≤时,函数(),()g x h x 的图象都关于直线2x =对称, ∴函数21()2cos(610)22x xf x x -π⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称. ∵610x -≤≤时,函数(),()g x h x 的图象的交点共有8个, ∴函数()f x 的所有零点之和等于4416⨯=.17答案及解析：答案：(1)等差数列{}n a 的公差设为d ，36a =，且前7项和756T =. 可得1126,72156a d a d +=+=，解得12,2,a d ==则2n a n = (2) 323n n n n b a n =⋅=⋅前n 项和()3321323333nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()341321323333n n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅相减可得()()231131322333332313n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪-=+++⋅⋅⋅+-⋅=⋅-⋅ ⎪-⎝⎭化简可得1213322n n n S +-=⋅+ 解析：18答案及解析：答案：(1)因为//AD BC ，12BC AD Q =，为AD 中点，所以//QD BC ， 所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以//CD BQ . 又因为CD AD ⊥，所以BQ AD ⊥.又因为PQ AD ⊥且平面PAD ⊥底面ABCD ，所以PQ ⊥底面ABCD ，所以PQ BQ ⊥，所以BQ ⊥平面ADP . 又因为BQ ⊂平面MQB ，所以平面MQB ⊥平面PAD .(2)以Q 为原点，QAQB QP ，，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立坐标系设(PM PC λλ=⋅=-，01λ≤≤，所以()M λ-.因为BM PC ⊥，所以760BM PC λ⋅=-=，所以67λ=，所以6,7BM ⎛- =⎝⎭. 设AP 与BM 所成角为θ，所以cos 84AP BM AP BMθ⋅==⋅. (3)平面BQC 的法向量01(0)=,,n . 设()1QM QP QC λλ=+-，且01λ≤≤， 则平面MBQ 的法向量为10λλ-⎫=⎪⎭,m 因为二面角M BQ C --为60°，所以12⋅=⋅nm n m ，解得12λ=，所以QM . 解析： 19答案及解析： 答案：（1）因为椭圆222:18x y C b +=经过点2,c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以222182b c b +=． 又∵222a b c =+，2228182b b b -+=，解得24b ＝或28b ＝（舍去）．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）设()()1122A x yB x y ,,,．因为()1,0T ，则直线l 的方程为1y k x ＝（﹣）． 联立直线l 与椭圆方程()221184y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222214280k x k x k ++（）﹣﹣＝，所以21221222428,2121x x x k k k x k -==+++．因为//MN l ，所以直线MN 方程为y kx ＝， 联立直线MN 与椭圆方程22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得22218k x +（）＝， 解得22821x k =+因为//MN l ，所以()()()122211M N x x AT BT MN x x -⋅-⋅=-因为12122127[111]21x x x x x k x +=+⋅+（﹣）（﹣）=--（）．22232421M N x x x k =+（﹣）＝． 所以()()()122211732M N x x AT BT MN x x -⋅-⋅==-．（3）在1y k x ＝（﹣）中，令0x ＝，则y k ＝﹣，所以0P k （,-）， 从而 ()()1122,,1,AP x k y TB x y =---=-，∵()1222,155AP TB x x =-=-，即122255x x +=① 由（2）知212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩②由①②得()()22122242162,321321k k x x k k -+-==++代入421222282183340x x k k k k -=⇒+﹣﹣＝，解得22k ＝或21750k =-（舍）．又因为0k ＞，所以k = 20答案及解析：答案：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，'()ln f x n x m n =++， ∴'(e)24(e)e e 4e e f m n f m n =+=⎧⎨=+=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，∴函数()f x 的解析式为()2ln f x x x x =+. (2)()()11f x t x >-+可化为()2ln 11x x x t x +>-+ ∵()1,x ∈+∞，∴2ln 11x x x t x +-<-令()2ln 11x x x g x x +-=-()1x >，则由题意知对任意的()1,x ∈+∞，()min t g x <，而()()()22ln ',1,1x xg x x x --=∈+∞-，令()()2ln 1h x x x x =-->，则()1'10x h x x-=->，∴()h x 在()1,+∞上为增函数. 又()31ln 30h =-<，()42ln 40h =->∴存在唯一的()03,4x ∈使得()00h x =，即002ln x x -=当()01,x x ∈时，()0h x <，()'0g x <，∴()g x 在()01,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，∴()g x 在 ()0,x +∞上单调递增. ∴()()()00000000min 002212ln 1111x x x x x x g x g x x x x +--+-====+--,∴01t x <+,又()03,4x ∈，∴()014,5x +∈， ∵t 为正整数，∴t 的最大值为4. 21答案及解析：答案：(1)由题中的表格可知A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为301602= B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率均为301301101,,602602606=== C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率均为453151,604604==设该单位一个月中,,A B C 三台设备使用易耗品的件数分别为,,x y z ,则 1(6)(7)2P x P x ====,11(6),(7)32P x P x ====,131(8),(7),(8)644P y P z P z ====== 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X 则(21)(22)(23)P X P X P X >==+=而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P X P x y z P x y z P x y z =====+===+=== 111111113726422426448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 1111(23)(7,8,8)26448P X P x y z ======⨯⨯=故711(21)48486P X >=+= 即该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16(2)以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23 1131(19)(6,6,7)2348P X P x y z ======⨯⨯=(20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)P X P x y z x y z P x y z =====+===+===1111131131723422423448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)P X P x y z x y z P x y z P x y z =====+===+===+===1111131111131722426423422448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=由1知,71(22),(23)4848P X P X ====若该单位在肋买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为1Y 元,则1Y 的所有可能取值为2000,2200,2400,2600 111723(2000)(19)(20)84848P Y P X P X ===+==+=117(2200)(21)48P Y P X ==== 17(2400)(22)48P Y P X ==== 11(2600)(23)48P Y P X ==== 12317712000220024002600214248484848EY =⨯+⨯+⨯+⨯≈若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为2Y 元,则2Y 的所有可能取值为2100,2300,25002117175(2100)(19)(20)(21)848486P Y P X P X P X ===+=+==++=27(2300)(22)48P Y P X ==== 21(2500)(23)48P Y P X ====2571210023002500213864848EY =⨯+⨯+⨯≈21EY EY <,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品.22答案及解析：答案：（1）由2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩消去参数，得()2224x y ++=则曲线1C 的普通方程为()2224x y ++=.由cos 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos sin θθ=，即2x y -=则曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=；（2）曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2ρϕϕ-到曲线2C 的距离为2cos 4d πϕ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ 故点p 到曲线2C 的距离的取值范围为[]0,2. 23答案及解析：答案：(1)()24f ax +≤即24ax +≤，所以424ax -≤+≤，即62ax -≤≤，显然0a ≠. 当0a >时，62x a a -≤≤，则6321a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =；当0a <时，26x a a ≤≤-，则2361a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解.综上可知，2a =.(2)((f x f x -x x =((x x ≤-=[]02m ∈,，()2m m ∴+-≥()222m m ∴+-≥⎡⎤⎣⎦，当且仅当2m m =-时等号成立，24∴≤，2≤，((2f x f x ∴-≤.。

12020年高考金榜冲刺卷（一）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+ B ．1i -C ．1i +D ．i 1--【答案】C【解析】因为21i i1=-+,所以其共轭复数是1i +，故选C. 2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3 B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】D【解析】试题分析：{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-{}2P Q ∴⋂=.故选D.3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C【解析】取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，112224C C C =23，故选C. 4．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则22a b =（ ）2A ．-1B ．1C ．-4D ．4【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为11443,24a b a b ==-==，所以413413278d a a b q b =-=⎧⎪⎨==-⎪⎩，解得92d q =⎧⎨=-⎩，因此212166a a d b b q =+=⎧⎨==⎩，所以221a b =.故选B.5．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算012(12)(22)(32)++++++L (12)nn +++的值B ．计算123(12)(22)(32)++++++L (2)nn ++的值C ．计算(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+的值D ．计算[123+++L (1)]n +-012(222++++L 2)n+的值【答案】C3【解析】试题分析：初始值1,0k S ==，第1次进入循环体：012S =+，2k =；当第2次进入循环体时：011222S =+++，3k =，，给定正整数n ，当k n =时，最后一次进入循环体，则有：011222S =++++L 12n n -++，1k n =+，退出循环体，输出S =(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+，故选C ．6．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系设(,)P x y，()()(),,0,,0,AB aC a -则()()(),,,,PA x y PB a x y PC a x y =--=---=--u u u v u u u v u u u v,所以()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u ur()()(),,x y a x y a x y =--⋅---+--⎡⎤⎣⎦()()2,2x y x y =--⋅--2222x y =+-22232222x y a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以最小值为232a -，所以选B.7．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则( )A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为34B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 8．（2019·江西南昌十中高三期中（文））已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<， 0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为 ）A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④【答案】D5【解析】对①,当α截此正方体所得截面为11B CD 时满足.故①正确.对②,由对称性得,截面形状不可能为正方形.故②错误. 对③,由对称性得截面形状不可能是正五边形,故③正确.对④,当截面为正六边形时面积最大,为64⨯=故④正确.故选D. 10．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】B【解析】数列{}n a 的通项公式21021(3)(7)n a n n n n =-+-=---,当37n ≤≤时0n a ≥，当2n ≤或8n ≥是0n a <,n S 最大值为6S 或7Sm S 最小值为2S 或3S ,n m S S -的最大值为6345634310S S a a a -=++=++= ,故选B.11．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，则椭圆离心率为（ ） A1B．2C．12D．4-6【答案】A【解析】连结1'A F ，1AF ，由'A 与A 关于原点O 对称，且1F 与2F 关于原点O 对称，可知四边形12'AF A F 为平行四边形，又22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，即22'F A F A ⊥可知四边形12'AF A F 为矩形，1,AO OF ∴=又160AOF ∠=︒，11,AF OF c ∴==同理有2AF =，由椭圆的定义可得2c a +=，1c e a ∴===.故选A. 12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-【答案】D【解析】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对()1,x ∀∈+∞恒成立，即31ln x x e x a x---≤对()1,x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x ---=，()1,x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+,故313ln 113ln xx e x x x x x ---≥-+--=-,即313ln 3ln ln x x e x x x x----≥=-,当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在()1,+∞内有根，故3min13ln x x e x x -⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，所以3a ≤-，故选D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为，则实数k 的值为____________.【答案】87【解析】由双曲线221y x k-=得其中一个焦点为)，其中一条渐近线方程为y =，所以焦点到直=，所以8k =.故答案为8.14．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[2,)+∞【解析】试题分析：因为函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立，22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x -⋅--⋅--'==,因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立,所以1sin a x ≥,因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x <<⇒<<,所以a 的取值范围是[2,)+∞.15．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 的A 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，则从现在起经过 小时该码头将受到热带风暴影响. 【答案】15【解析】记t 小时后热带风暴中心到达点B 位置，在OAB V 中，600km OA =,20km AB t =,45OAB ︒∠=,根据余弦定理得2226004002600202OB t t =+-⨯⨯⨯， 令22450OB „，即2415750t -+„，解得151522t剟,815(h)-=.16．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为4____________. 【答案】6π【解析】如图，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠,点A 在截面圆1O 上运动，点D 在截面圆2O 上运动，由图知，当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大，此时ABC ∆与BDC ∆是等边三角形,设BC a =，则AM DM ==，2BCD S ∆=. sin()3h AM AMD a π=-∠=,313124A BCD DBC V S h a -∆=⋅==解得a =32DM =,21DO =，212O M =，设2AMD θ∠= 则21cos 22cos13θθ=-=-,解得tan θ=∴22tan 2OO O M θ==,球O的半径R ==,所求外接球的表面积为246S R ππ==.9三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=，（1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值． 【解析】（1）()()112tanA tanB ++=Q,1tanA tanB tanA tanB ∴+=-⋅，()11tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +∴=-+=-=--，()3C 0,4C ππ∈∴=Q .（2）ABC ∆的外接圆为单位圆，∴其半径1R =，由正弦定理可得2c RsinC==2222c a b abcosC =+-，代入数据可得222a b =++(22ab ab ≥=+，当且仅当a=b 时，“=”成立,ab ∴≤ABC V ∴的面积11222S absinC =≤=， ABC ∆面积的最大值为12-. 18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．10（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小. 【解析】（1）以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设),0Db ，则()0C ，，()002P ，，，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，)0B b -，，∴()2PC =-u u u r ，，2 ,3BE b ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r，2 3DE b ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r ，，∴44 033PC BE ⋅=-=u u u r u u u r ，0PC DE ⋅=u u u r u u u r ，∴PC BE ⊥，PC DE ⊥，BE DE E ⋂=，∴PC ⊥平面BED .（2）() 002AP =u u u r，，，),0AB b =-u u u r ，设平面PAB 的法向量为() ,,x y z m =u r ，则20m AP z m AB by ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u vv ，取()b m =u r ，设平面PBC 的法向量为() ,,p n q r =r，则20203n PC r n BE p bq r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取 1,n ⎛= ⎝r ，∵平面PAB ⊥平面PBC ，∴ 20m n b b =-=⋅u r r，故b =∴( 1,n =-r，()2DP =u u u r ，∴1cos ,2n DP DP n n DP ⋅==⋅r u u u ru u u r r r u u u r ，设PD 与平面PBC 所成角为θ，02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，则1sin 2θ=，∴30θ=︒，11∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30°.19．（12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标． 【解析】（1）设()11,Ax y ，()22,B x y ，则2112yx =①，2222y x =②．①－②，得()()()1212122y y y y x x -+=- ．又因为()1,1P 是线段AB 的中点，所以122y y +=,所以，21121212=1y y k x x y y -==-+．又直线AB 过()1,1P ，所以直线AB 的方程为y x =.（2）依题设(),M M Mx y ，直线AB 的方程为()111y k x -=-，即111y k x k =+-，亦即12y k x k =+，代入抛物线方程并化简得 ()2221122220k x k k x k +-+=．所以，12121222112222k k k k x x k k --+=-= ,于是，12211M k k x k -=，12121221111M M k k y k x k k k k k -=⋅+=⋅+=．12同理，12221N k k x k -=，21N y k =．易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率21211M N M N y y k k k x x k k -==--． 故直线MN 的方程为211221211111k k k k y x k k k k ⎛⎫--=- ⎪-⎝⎭，即212111k k y x k k =+-．此时直线过定点()0,1． 故直线MN 恒过定点()0,1．20．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：且已知101380.0ii x==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+， ①求第10年的销售额10y ；②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附：（1）在线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay b x xnx ==-==--∑∑. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，91125875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑.13【解析】（1）依题意101380.0ii x==∑，则10323133363738394345380x +++++++++=，解得1046x =.（2）①由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程$y =363254x a +知 363254b =，即101102211036325410i ii i i x y x yb x x==-==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解之得：1051y =.②易得38x =，39.1y =，代入$363254y x a =+得：36339.138254a =⨯+， 解得15.21a ≈-，所以$36315.21254y x =-，当40x =时，3634015.2141.96254y =⨯-≈ 故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是41.96万元.21．（12分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（1）求()f x 的单调区间；（2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…； （3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.14【解析】(1)由已知，有()()'e cos sin x f x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增. 所以，()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. (2)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(1)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()hx 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…. 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…. (3)依题意，()()10n n ux f x =-=，即e cos 1nxn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e n x n n n x n n N πππ---∈=.由()()20e 1n n f y f y π-==„及(Ⅰ)得150n y y ….由(2)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<=⎪⎝⎭„.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…，故： ()()()2e 2n n n n n f y y g y g y ππ---=-„()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--„. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.（1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.【解析】（1）由题意可得1C的参数方程为：2cos ,,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），又∵210cos 240ρρθ-+=，且222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴2C 的普通方程为2210240x y x +-+=，即()2251x y -+=.（2）由（1）得，设()2cos Aαα，圆2C 的圆心()5,0M ，16则||AM ===[]cos 1,1α∈-，∴当1cos 2α=-时，max ||AM = 当cos 1α=时，min ||3AM =.当1cos 2α=-时，max max ||||11AB AM =+=；当cos 1α=时，min min ||||12AB AM =-=.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈.（1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）不等式()()f x g x a <+即24x x -<+，两边平方得2244816x x x x -+<++，解得1x >-，所以原不等式的解集为()1,-+∞.（2）不等式()()2f x g x a +>可化为224a a x x -<-++，又()()24246x x x x -++≥--+=，所以26a a -<，解得23a -<<，所以a 的取值范围为()2,3-.。

A． 1 5
B． 2 3
C． 1 或 2 3
D． 1 或 1 5
6． [2020 ·海淀联考 ] 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 被平面 ACB1和平面 ACD1 分别截去三棱锥
B ACB1 和三棱锥 D ACD1 后，得到一个 n 面体，则这个 n 面体的左视图为（
）
A．
B．
C．
D．
x2 ln x
为 _____．
14．[2020 ·青岛一模 ] 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形， 谢尔宾斯基三角形是一种分形，
由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，
将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余
3 个小三角形重复上述过程得到如
）
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
3．[2020 ·钟祥二模 ] 某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试， 先将 700 个零件进行
编号， 001， 002， L ， 699， 700．从中抽取 70 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行，
若从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（
则双曲线的方程为 y 2 x 2 1 ，故选 A． 4
5．【答案】 C
【解析】 Q a x,1 ， b 2,3x 1 ，且 a∥b ，
x 3x 1 1 2 0 ，解得 x 6．【答案】 D
2 或 x 1 ，本题正确选项 C． 3
【解析】 由题意，正方体 ABCD A1B1C1D1 被平面 ACB1 和平面 ACD1 分别截去三棱锥 B ACB1 和
）

一必考题共)"分! '&!#本小题满分'!分$
已知&"#'是等差数列(&$#'是由正数组成的等比数列(且"*+%,($!+-("($!+%'.(",/$, +&.! #'$求数列&"#'(&$#'的通项公式) #!$记%#+$#%"#(求数列&%#'的前# 项和!
'.!#本小题满分'!分$ 如图(在四棱锥 &%'()* 中('(&)('*()('*)*(且 &)+()+!'*+!)*+
(则,!&的值为
+!"
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-!3"
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(!某调查机构对全国互联网行业进行调查统计(得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图,
3"后从事互联网行业者岗位分布条形图(则下列结论中一定正确的是
#注+3"后指&33"年及以 后 出 生(1" 后 指 &31"%&313 年 之 间 出 生(1" 前 指 &363 年 及 以 前
!##++**!#+#! 最大值为4+(时&该双曲线的离心率的取值范围是
(!#槡!&/5$
)!#槡!&0*
*!#+&0*
$!+0&/5$
+!!若不等式($%6.$%$! 的解集中恰有两个整数&则实数(的最大值为