21-(教学案)2.3空间直角坐标系

高二数学教案空间直角坐标系教学目标：1. 了解空间直角坐标系的概念和性质；2. 掌握在空间直角坐标系中求两点间距离的方法；3. 掌握在空间直角坐标系中求线段的中点和斜率的方法；4. 进一步理解空间直角坐标系与平面直角坐标系的联系与区别。

教学重点：1. 理解空间直角坐标系的概念和性质；2. 掌握求两点间距离的方法；3. 掌握求线段的中点和斜率的方法。

教学难点：1. 理解空间直角坐标系与平面直角坐标系的联系与区别；2. 在空间直角坐标系中求线段的中点和斜率。

教学准备：1. 教师：课件、教案、空间直角坐标系的模型；2. 学生：教材、作业本、作业笔、计算器。

3. 课堂活动设计活动一：简介空间直角坐标系（10分钟）a. 教师引导学生回顾平面直角坐标系的概念和性质；b. 教师通过展示空间直角坐标系的模型或图片，介绍空间直角坐标系的概念和性质；c. 学生作业本上完成一道关于空间直角坐标系的基础练习题。

活动二：求两点间距离（15分钟）a. 教师提供一个实际问题，引导学生在空间直角坐标系中找到两个点的坐标；b. 学生在计算器或作业本上完成计算两点间距离的练习题。

活动三：求线段的中点（15分钟）a. 教师提供一个实际问题，引导学生在空间直角坐标系中找到线段的两个端点的坐标；b. 学生在计算器或作业本上完成计算线段中点的练习题。

活动四：求线段的斜率（15分钟）a. 教师提供一个实际问题，引导学生在空间直角坐标系中找到线段的两个端点的坐标；b. 学生在计算器或作业本上完成计算线段斜率的练习题。

活动五：总结与拓展（10分钟）a. 教师与学生一起复习本节课的内容，并总结空间直角坐标系的概念、性质和应用方法；b. 学生完成课后作业，拓展练习，并在下节课开始时提交作业。

教学反思：通过这节课的教学，学生对空间直角坐标系的概念、性质和应用方法有了更深入的理解。

同时，通过实际问题和练习，学生也掌握了在空间直角坐标系中求两点间距离、线段的中点和斜率的方法。

空间直角坐标系》教案(人教A版必修)第一章：空间直角坐标系的建立1.1 坐标系的定义与分类让学生理解坐标系的概念，掌握坐标系的分类及特点通过实例让学生了解坐标系在几何图形中的应用1.2 空间直角坐标系的定义与结构让学生理解空间直角坐标系的定义，掌握其结构特点通过实例让学生了解空间直角坐标系在空间几何中的应用第二章：点的坐标2.1 坐标的概念与表示方法让学生理解坐标的概念，掌握坐标的表示方法通过实例让学生了解坐标在空间几何中的应用2.2 点的坐标与坐标轴的关系让学生了解点的坐标与坐标轴的关系，掌握坐标轴上点的坐标特点通过实例让学生了解坐标轴上点的坐标在空间几何中的应用第三章：直线的方程3.1 直线方程的概念与表示方法让学生理解直线方程的概念，掌握直线方程的表示方法通过实例让学生了解直线方程在空间几何中的应用3.2 直线方程的求解方法让学生掌握直线方程的求解方法，能够灵活运用各种方法求解直线方程通过实例让学生了解直线方程的求解方法在空间几何中的应用第四章：平面的方程4.1 平面方程的概念与表示方法让学生理解平面方程的概念，掌握平面方程的表示方法通过实例让学生了解平面方程在空间几何中的应用4.2 平面方程的求解方法让学生掌握平面方程的求解方法，能够灵活运用各种方法求解平面方程通过实例让学生了解平面方程的求解方法在空间几何中的应用第五章：空间几何图形与坐标系5.1 空间几何图形在坐标系中的表示让学生了解空间几何图形在坐标系中的表示方法，掌握坐标系中几何图形的性质通过实例让学生了解空间几何图形在坐标系中的应用5.2 空间几何图形的位置关系与坐标系的变换让学生了解空间几何图形的位置关系，掌握坐标系变换的方法通过实例让学生了解坐标系变换在空间几何中的应用第六章：空间距离与角度6.1 空间两点间的距离让学生理解空间两点间的距离公式，掌握如何计算空间两点间的距离通过实例让学生了解空间两点间距离在几何中的应用6.2 空间角度的计算让学生理解空间角度的计算方法，掌握如何计算空间角度通过实例让学生了解空间角度在几何中的应用第七章：向量及其应用7.1 向量的概念与表示方法让学生理解向量的概念，掌握向量的表示方法通过实例让学生了解向量在空间几何中的应用7.2 向量的运算让学生掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘通过实例让学生了解向量运算在空间几何中的应用第八章：空间解析几何8.1 解析几何的基本概念让学生理解解析几何的基本概念，如参数方程、极坐标方程等通过实例让学生了解解析几何在空间几何中的应用8.2 解析几何与坐标系的转换让学生掌握如何将解析几何问题转换为坐标系问题，以及如何利用坐标系解决解析几何问题通过实例让学生了解解析几何与坐标系的转换在空间几何中的应用第九章：空间几何体的性质与判定9.1 空间几何体的性质让学生了解空间几何体的基本性质，如表面积、体积、对称性等通过实例让学生了解空间几何体的性质在几何中的应用9.2 空间几何体的判定让学生掌握如何判定空间几何体的类型，如球、圆柱、锥体等通过实例让学生了解空间几何体的判定在几何中的应用第十章：空间几何的综合应用10.1 空间几何问题的一般解决方法让学生掌握解决空间几何问题的基本方法，如分割、投影、对称等通过实例让学生了解空间几何问题的一般解决方法10.2 空间几何在实际问题中的应用让学生了解空间几何在实际问题中的应用，如建筑设计、物理学中的力学问题等通过实例让学生了解空间几何在实际问题中的应用重点和难点解析重点环节一：坐标系的概念与分类补充和说明：本环节需要重点关注坐标系的定义、各种坐标系的结构特点以及坐标系在几何图形中的应用。

《2.3 空间直角坐标系》教学案●三维目标1．知识与技能掌握空间直角坐标系的有关概念，会写一些简单几何体的有关点坐标．2.过程与方法通过设置具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，通过空间直角坐标系的建立，使学生初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思路．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、空间想象能力．●重点难点重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标．难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标．介绍空间直角坐标系时，可以从平面直角坐标系开始，使学生感受到只要在平面直角坐标系的基础上再增加一根竖轴(z轴)，就成了空间直角坐标系．●教学建议本节课的授课内容是空间直角坐标系及其建立、空间直角坐标系的中点坐标．教学时教师要充分抓住学生的原有认知基础，紧紧扣住二维平面直角坐标系的推广，引导学生将空间立体几何借助于建立空间坐标系来代数化．教学时提供多个现实情境，让学生来分析、思考、解决，进而让学生感受建立空间直角坐标系的必要性，内容由浅入深、环环相扣，体现了知识的发生、发展的过程，能够很好的诱导学生积极地参与到知识的探究过程中．对于空间坐标系建立的教学，紧紧地抓住了学生已有的立体几何知识，也可为水到渠成，自然流畅．而中点公式的教学则又一次的利用了平面到空间的类比推广．教学时注重学生参与与学法指导，真正体现以学生为主．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解空间直角坐标系的有关概念⇒通过例1及变式训练，使学生掌握根据点的坐标确定点的位置⇒通过例2及互动探究，使学生掌握已知点的位置写出其坐标⇒通过例3及变式训练，使学生掌握空间中点的对称问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？再给出高度，能确定飞机的位置吗？在空间为了确定空间任意点的位置，需要几个实数呢？【提示】不能，能，3个．1．空间直角坐标系的建立(1)空间直角坐标系建立的流程图：平面直角坐标系↓通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴↓空间直角坐标系(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直．②四指先指向x轴正方向．③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向．④大拇指的指向即为z轴正方向．图2－3－1(3)有关名称如图2－3－1所示，①O叫作原点．②x，y，z轴统称为坐标轴．③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面．x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画．(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z 坐标．(3)空间直角坐标系中：点一一对应三元有序数组．(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O、P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1、P2、P3的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．例1【思路探究】可以先确定点(2，－6，0)在xOy平面的位置，再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置．【自主解答】法一先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)法二以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．规律方法1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|、|y0|、|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0、y0、z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．变式训练在空间直角坐标系中作出点M(2，3，4)．【解】如图，在xOy平面内确定点M1(2，3，0)，作M1M平行于z轴，在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|＝4，则点M的坐标为(2，3，4).例2标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．图2－3－2【思路探究】解答本题中的(1)可先写出A，B，C，D的坐标，然后再结合正方体的性质得出A′，B′，C′，D′的坐标；解答本题中的(2)可先写出A′，B′，C′，D′的坐标，然后再结合正方体的性质得出A，B，C，D的坐标．【自主解答】(1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)．因为B点在xDy 平面上，所以B(1，1，0)．同理，A′(1，0，1)，C′(0，1，1)．因为B′B垂直于xDy平面且与z 轴正半轴在xDy平面同侧，且|B′B|＝1，所以B′(1，1，1)．(2)因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴，y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，所以A′(1，0，0)，C′(0，1，0)，D(0，0，－1)，D′(0，0，0)．同(1)得B′(1，1，0)，A(1，0，－1)，C(0，1，－1)，B(1，1，－1)．规律方法1．已知点M的位置，求其坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足为M′，求M′的x坐标，y坐标，即点M的x坐标，y坐标，再求M点在z轴上射影的z坐标，即点M的z坐标，于是得到M点坐标(x，y，z)．2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x ，y ，z ∈R .互动探究图2－3－3如果把本例中正方体的棱长变为2，且建立如图2－3－3所示的空间直角坐标系，求正方体各顶点的坐标．【解】 依题意知|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝1，∴A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (0，－1，0)． ∵AA ′⊥平面xOy ，且|AA ′|＝2，∴A ′(1，0，2)，B ′(0，1，2)，C ′(－1，0，2)，D ′(0，－1，2).例3 【思路探究】 类比平面直角坐标系中点的对称问题，确定坐标和位置即可． 【自主解答】 点M 关于xOy 平面的对称点M 1的坐标为(a ，b ，－c )，关于xOz 平面的对称点M 2的坐标为(a ，－b ，c )，关于yOz 平面的对称点M 3的坐标为(－a ，b ，c )．关于x 轴的对称点M 4的坐标为(a ，－b ，－c )， 关于y 轴的对称点M 5的坐标为(－a ，b ，－c )， 关于z 轴的对称点M 6的坐标为(－a ，－b ，c )， 关于原点对称的点M 7的坐标为(－a ，－b ，－c )．规律方法1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：规律方法2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．变式训练在空间直角坐标系中，点P(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为P′，则P′关于坐标原点的对称点的坐标是__________．【解析】点P在xOz平面上的射影P′的坐标为(－2，0，－3)，P′关于坐标原点的对称点的坐标为(2，0，3)．【答案】(2，0，3)忽视建立空间直角坐标系的条件致误图2－3－4典例如图2－3－4，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．【错解】如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．显然A (0，0，0)，又∵各棱长均为1，且B 、C 、A 1均在坐标轴上， ∴B (1，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，0，1)， B 1，C 1分别在xOz 平面和yOz 平面内， ∴B 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，∴各点坐标为A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)．【错因分析】 因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC 为正三角形，即∠BAC ＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy ≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．【防范措施】 建立直角坐标系，一定找准两两垂直的三直线方可建系．【正解】 取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ， 分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， ∵三棱柱各棱长均为1， ∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12， OB ＝32，∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A (0，－12，0)，B (32，0，0)，C (0，12，0)， 点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1(0，－12，1)，C 1(0，12，1)， ∴点B 1在xOy 面内射影为B ，且BB 1＝1. ∴B 1(32，0，1)，∴各点的坐标为A (0，－12，0)，B (32，0，0)，C (0，12，0)，A 1(0，－12，1)，B 1(32，0，1)，C 1(0，12，1)．1．确定空间定点M 的坐标的步骤(1)过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于P 、Q 和R . (2)确定P 、Q 和R 在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标x ，y 和z . (3)得出点M 的坐标为(x ，y ，z )．2．已知M 点坐标为(x ，y ，z )确定点M 位置的步骤 (1)在x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标为x ，y 和z 的点P 、Q 、R . (2)过P 、Q 、R 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面． (3)三个平面的唯一交点就是M .3．对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则.1．点Q (0，0，3)的位置是( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在z 轴上D ．在面xOy 上【解析】 只有z 坐标不为0，显然在z 轴上． 【答案】 C2．点A (－3，1，5)，点B (4，3，1)的中点坐标是( ) A ．(72，1，－2) B ．(12，2，3) C ．(－12，3，5) D ．(13，43，2)【解析】 中点x ＝－3＋42＝12，y ＝1＋32＝2，2＝5＋12＝3. 【答案】 B3．点P 1(－1，1，4)关于坐标平面yOz 对称的点为P 2，则点P 2关于坐标平面xOy 的对称点P 3的坐标为________．【解析】 P 1(－1，1，4)⇒P 2(1，1，4)⇒P 3(1，1，－4)． 【答案】 (1，1，－4)4．在平行四边形ABCD 中，已知A (1，0，0)，B (3，1，2)，C (0，－2，1)求D 点坐标． 【解】 可设D (x ，y ，z )， 由A 、C 的中点与B 、D 的中点重合，则有12＝3＋x 2，－22＝1＋y 2，12＝2＋z 2， 得x ＝－2，y ＝－3，z ＝－1. 故D 点坐标为(－2，－3，－1).一、选择题1．点P (0，2，0)位于( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．xOy 平面内 D ．yOz 平面内【解析】 由于x ＝z ＝0，y ＝2，∴P 在y 轴上． 【答案】 B2．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOz 的距离是( ) A ．|a | B ．|b | C ．|c | D.以上都不对【解析】 设点P 在面xOz 的射影为P ′，则|PP ′|＝|b |. 【答案】 B3．(2013·吉林高一检测)已知点A (2，3－μ，－1＋v )关于x 轴的对称点为A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值为( )A ．λ＝－2，μ＝－4，v ＝－5B ．λ＝2，μ＝－4，v ＝－5C ．λ＝2，μ＝10，v ＝8D ．λ＝2，μ＝10，v ＝7【解析】 两个点关于x 轴对称，那么这两个点的x 坐标不变，y 坐标与z 坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v )，∴λ＝2，μ＝10，v ＝7. 【答案】 D4．设z 为任一实数，则点(2，2，z )表示的图形是( ) A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线【解析】 (2，2，z )表示过点(2，2，0)且与z 轴平行的直线，即与平面xOy 垂直的直线． 【答案】 D图2－3－55．长方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图2－3－5所示，且AB＝3，A D＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是()A．(0，－2，－1) B．(x，－2，z)C．(－3，－2，－1) D．(－3，y，z)【解析】DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的y 坐标都是－2，而x、z坐标可取任意实数．【答案】 B二、填空题图2－3－66．如图2－3－6，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为____ ____．【解析】C(0，2，0)，|CN|＝1，∴N(0，2，1)．【答案】(0，2，1)7．(2013·广州高一检测)写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的射影的坐标________，___ _____，________.【解析】P(2，3，4)在x轴上的射影为(2，0，0)，在y轴上的射影为(0，3，0)在z轴上的射影为(0，0，4)．【答案】(2，0，0)(0，3，0)(0，0，4)8．(2013·寿光高一检测)在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．【解析】点M在xOz上的射影为(－2，0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2，0，3)．【答案】(2，0，3)三、解答题图2－3－79．如图2－3－7，棱长为a 的正方体OABC —D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．【解】 因为OB ′与BD ′相交于点Q ，所以Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，所以Q 的坐标为(12a ，12a ，z )．同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的交点，所以Q 点的坐标为(12a ，12a ，12a )．图2－3－810．如图2－3－8所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其它七个顶点的坐标．【解】 长方体的对称中心为坐标原点O ， ∵顶点A (－2，－3，－1)．∴A 关于原点的对称点C 1的坐标为(2，3，1)． 又∵C 与C 1关于坐标平面xOy 对称， ∴C (2，3，－1)．而A 1与C 关于原点对称， ∴A 1(－2，－3，1)．又∵C 与D 关于坐标平面yOz 对称， ∴D (－2，3，－1)． B 与C 关于坐标平面xOz 对称， ∴B (2，－3，－1)．B 1与B 关于坐标平面xOy 对称，∴B 1(2，－3，1)． 同理，D 1(－2，3，1)．综上知长方体其他七个顶点的坐标为C 1(2，3，1)，C (2，3，－1)，A 1(－2，－3，1)，B (2，－3，－1)，B 1(2，－3，1)，D (－2，3，－1)，D 1(－2，3，1)．图2－3－911．如图2－3－9，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．【解】 以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点，故点E 坐标为(0，0，12)． 过F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ， 则|FM |＝|FN |＝12， 故点F 坐标为(12，12，0)； 点G 在y 轴上，又|GD |＝34，故点G 坐标为(0，34，0)； 过H 作HK ⊥CG 于点K ，由于H 为C 1G 的中点， 故|HK |＝12，|CK |＝18.∴|DK |＝78.故点H 的坐标为(0，78，12). 备选例题在同一空间直角坐标系中作出下列各点：(1)A(0，0，1)；(2)B(1，－1，2)；(3)C(－1，1，2)；(4)D(1，0，3)．【思路探究】根据点的坐标确定点的位置，可按如下程序进行：①先作出该点在平面xOy上的射影；+②过这个射影作平面xOy的垂线；③再根据竖坐标，在垂线上确定该点的位置．【自主解答】(1)沿z轴(向上)方向取|OA|＝1，则A(0，0，1)即为所求的点；(2)在平面xOy内确定点B′(1，－1，0)，过B′作平面xOy的垂线l，在l上沿z轴(向上)方向取|B′B|＝2，则B(1，－1，2)即为所求的点；(3)C点的作法同B点的作法；(4)D点的作法同B点的作法．规律方法空间中点P坐标的确定方法：(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x，P y，P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．备选变式已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，如图，以底面ABCD的中心O为原点，分别以射线AB、BC、BB1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，请在图中分别指出点E(1，1，1)，F(1，0，2)，G(0，1，1)，H(0，－1，1)的位置．【解】如图，点E是CC1的中点；点F是B1C1的中点；点G是CD1与DC1的交点；点H是AB1与BA1的交点．●三维目标1．知识与技能(1)会推导和应用长方体对角线长公式．(2)会推导空间两点间的距离公式．(3)能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．2．过程与方法通过特殊长方体顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．3．情感、态度与价值观使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程．●重点难点重点：空间两点间的距离公式．难点：空间两点间的距离公式的推导过程．教学中教师可引导学生从已有的知识：平面直角坐标系中两点之间的距离公式，再借助于长方体顶点坐标，把平面两点间距离公式推广到空间得到空间两点距离公式．●教学建议教学时可以通过长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式，进一步利用勾股定理，不难得出，在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)到原点的距离为|OP|＝x2＋y2＋z2类比平面直角坐标系中两点间的距离，得到空间任意两点间的距离公式．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，让学生掌握空间两点间的距离公式⇒通过例1及变式训练使学生掌握两点间的距离公式⇒通过例2及互动探究，使学生掌握由距离公式求点坐标⇒通过例3及变式训练，距离公式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正1．在空间直角坐标系中，点M (0，0，3)到原点的距离是多少？2．点N (3，0，4)到原点的距离为多少？ 【提示】 1.|OM |＝3.2．因为点N 在平面xOz 上，可利用平面直角坐标系中坐标公式得|ON |＝32＋42＝5. 1．长方体的对角线及其长的计算公式图2－3－10(1)连接长方体两个顶点A ，C ′的线段AC ′称为长方体的对角线．(如图2－3－10) (2)如果长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，那么对角线长d ＝a 2＋b 2＋c 2. 2．空间两点间的距离公式空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离 |AB |＝ x 1－x 2 2＋ y 1－y 2 2＋ z 1－z 2 2. 3．中点坐标公式已知点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22).图2－3－11例1长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是A B的中点，建立如图2－3－11所示空间直角坐标系．(1)写出点D，M，N的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．【思路探究】先写出点的坐标，再利用距离公式求线段的长度．【自主解答】(1)∵A(2，0，0)，B(2，2，0)，N是AB的中点，∴N(2，1，0)．同理可得M(1，2，3)，又D是原点，则D(0，0，0)．(2)|MD|＝ 1－0 2＋ 2－0 2＋ 3－0 2＝14，|MN|＝ 1－2 2＋ 2－1 2＋ 3－0 2＝11.规律方法1．求准点的坐标是解答本题的关键．2．空间中任意两点间的距离的计算，其关键在于明确这两点的坐标．在此基础上，利用坐标间的关系代入公式求解．在求解过程中，有时也会利用图形特征，结合平面几何的知识直接求解．变式训练已知△ABC的三顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)，求△ABC中最短边的边长．【解】(1)由空间两点间距离公式得：|AB|＝ 1－2 2＋ 5－3 2＋ 2－4 2＝3，|BC|＝ 2－3 2＋ 3－1 2＋ 4－5 2＝6，|AC|＝ 1－3 2＋ 5－1 2＋ 2－5 2＝29.∴△ABC中最短边是BC，其长度为 6.例2(2)已知点P 到坐标原点的距离等于23，且它的x 坐标、y 坐标、z 坐标均相等，求该点的坐标．【思路探究】 设出点的坐标，列出相应方程，从而求解．【自主解答】 (1)由题意可知，设该点的坐标为P (0，0，z )，则|PA |＝4－0 2＋ 5－0 2＋ 6－z 2，|PB |＝ －5－0 2＋ 0－0 2＋ 10－z 2.又|P A |＝|PB |，所以z ＝6， 所以所求点的坐标为(0，0，6)． (2)由题意可知P 点的坐标为(x ，y ，z )．所以|OP |＝x 2＋y 2＋z 2＝2 3. 又x ＝y ＝z ，所以3x 2＝2 3.所以x ＝y ＝z ＝2或x ＝y ＝z ＝－2.所以该点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)． 规律方法1．该类题目以空间中任意两点间的距离公式为载体，借助于题设中的等量关系建立含参变量的有关方程(组)，利用方程(组)的观点求解其坐标，充分体现了立体几何中以数助形，以形解数的特征．2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．互动探究若把本例中的(1)“在z 轴上求一点”换成“在xOy 平面内的直线2x －y ＝0上求一点”，其余条件不变，求相应问题．【解】 设该点的坐标P 为(a ，2a ，0)，则|P A |＝ 4－a 2＋ 5－2a 2＋ 6－0 2， |PB |＝ －5－a 2＋ 0－2a 2＋ 10－0 2.又|P A |＝|PB |，∴a ＝－2419， ∴所求点的坐标为(－2419，－4819，0).例3 在的距离最小，并求出最小值．【思路探究】设出M坐标，根据距离公式列出|PM|求最小值．【自主解答】∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，∴设点M(a，2a，0)，则|MP|＝ a＋3 2＋ 2a－4 2＋52＝5a2－10a＋50＝5 a－1 2＋45，∴当a＝1时，|MP|取最小值35，此时M(1，2，0)，∴M坐标为(1，2，0)时|PM|最小，最小值为3 5.规律方法1．本题主要利用了距离公式表示|PM|，根据二次函数求其最小值．2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．变式训练在空间直角坐标系中，求到两定点A(2，3，0)，B(5，1，0)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件．【解】∵点P(x，y，z)由题意可得|P A|＝ x－2 2＋ y－3 2＋22|PB|＝ x－5 2＋ y－1 2＋22∵|P A|＝|PB|，∴ x－2 2＋ y－3 2＋22＝ x－5 2＋ y－1 2＋22，整理得6x－4y－13＝0，∴P点坐标满足条件为6x－4y－13＝0.解析法在空间直角坐标系中的应用图2－3－12典例(12分)如图2－3－12所示，正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，而且平面A BCD与平面ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．求：(1)MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．【思路点拨】 建立空间直角坐标系，将MN 的长度转化为空间两点间的距离问题求解． 【规范解答】 (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD .∴AB ，BC ，BE 两两垂直.2分∴以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.4分则M (22a ，0，1－22a )，N (22a ，22a ，0).6分 ∴|MN |＝22a －22a 2＋ 0－22a 2＋ 1－22a －0 2＝a 2－2a ＋1＝ a －22 2＋12(0＜a ＜2).8分(2)∵|MN |＝a －22 2＋12，∴当a ＝22时，|MN |min ＝22. 即a ＝22时，MN 的长最小.12分【思维启迪】 把几何问题通过建系找出相应的坐标转化为代数形式进行运算．1．对于空间两点间距离公式，既要学会正用求距离，又要学会逆用求坐标，学会用方程的思想求字母的值和函数思想求值．2．中点坐标公式在空间给定P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，若P 是P 1P 2的中点，P 点的坐标为(x ，y ，z )，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，z ＝z 1＋z 22.1．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |等于( ) A.6 B ．26 C.2 D ．2 2【解析】 |AB |＝[2－ －2 ]2＋ 3－1 2＋ 5－3 2＝16＋4＋4＝24＝2 6.【答案】 B2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体对角线长为6，且底面是边长为4的正方形，则该长方体的高为( )A ．9 B.92 C ．4 D ．2【解析】 长方体的高h ＝62－42－42＝2.【答案】 D3．点P (－1，1，1)到原点的距离是________．【解析】 |OP |＝ －1－0 2＋ 1－0 2＋ 1－0 2＝ 3.【答案】 34．已知点A (－3，1，4)，则点A 关于原点的对称点B ，求AB 的长． 【解】 A 关于原点的对称点B 的坐标为(3，－1，－4)，∴|AB |＝ －3－3 2＋ 1＋1 2＋ 4＋4 2＝104＝226.一、选择题1．(2013·舟山高一检测)已知A (1，2，3)，B (3，3，m )，C (0，－1，0)，D (2，－1，－1)，则( )A ．|AB |＞|CD | B ．|AB |＜|CD |C ．|AB |≤|CD | D ．|AB |≥|CD |【解析】 |AB |＝ 1－3 2＋ 2－3 2＋ 3－m 2＝5＋ 3－m 2≥5， |CD |＝ 0－2 2＋ －1＋1 2＋ 0＋1 2＝5，∴|AB |≥|CD |. 【答案】 D2．点P (1，2，5)到平面xOy 的距离是( )A ．1B ．2C ．5D ．不确定【解析】 点P (1，2，5)在面xOy 内的射影为P ′(1，2，0)，∴点P (1，2，5)到面的距离为|PP ′|＝5.【答案】 C3．(2013·徐州高一检测)设点P 在x 轴上，它到P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P 的坐标为( )A ．(1，0，0)B ．(－1，0，0)C ．(1，0，0)或(0，－1，0)D ．(1，0，0)或(－1，0，0) 【解析】 ∵点P 在x 轴上，∴设点P (x ，0，0) 由题意|PP 1|＝2|PP 2|，∴ x －0 2＋ 0－2 2＋ 0－3 2＝2 x －0 2＋ 0－1 2＋ 0＋1 2，解得x ＝±1. 【答案】 D4．(2013·天津耀华中学检测)已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )两点，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87 C.87 D.1914 【解析】 |AB |＝x －1 2＋ 5－x －x －2 2＋ 2x －1－2＋x 2＝14 x －87 2＋3549.∴当x ＝87时，|AB |取得最小值． 【答案】 C5．(2013·合肥高一检测)点P (x ，y ，z )的坐标满足x 2＋y 2＋z 2＝1，点A (－2，3，3)，则|P A |的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 x 2＋y 2＋z 2＝1在空间中表示以坐标原点O 为球心、1为半径的球面，所以当O 、P 、A 三点共线时，|P A |最小，此时|P A |＝|OA |－|OP |＝|OA |－1＝ －2 2＋32＋ 3 2－1＝4－1＝3.【答案】 B 二、填空题6．空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)和B (2，－1，6)的距离是________．【解析】 |AB |＝ －3－2 2＋ 4＋1 2＋ 0－6 2＝86.【答案】 867．已知A (1，1，1)，B (3，3，3)，点P 在y 轴上且|P A |＝|PB |，则P 点坐标为________． 【解析】 设P (0，y ，0)， ∵|P A |＝|PB |，∴1＋ 1－y 2＋1＝32＋ 3－y 2＋32，∴y ＝6.∴P 点坐标为(0，6，0)． 【答案】 (0，6，0)8．已知A (3，5，－7)和点B (－2，4，3)，则线段AB 在坐标平面yOz 上的射影长度为________．【解析】 A (3，5，－7)在平面yOz 上的射影为A ′(0，5，－7)，B (－2，4，3)在平面yOz 上的射影为B ′(0，4，3)∴|A ′B ′|＝ 0－0 2＋ 5－4 2＋ －7－3 2＝101【答案】 101三、解答题图2－3－139．如图2－3－13，在棱长分别为2，4，3的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD 1，AB 1和AC 1的长．【解】 以D 为坐标原点，DA ，DC 和DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则D (0，0，0)，A (2，0，0)，D 1(0，0，3)，B 1(2，4，3)，C 1(0，4，3)，∴|AD 1|＝22＋32＝13， |AB 1|＝ 2－2 2＋42＋32＝5，|AC 1|＝ 2－0 2＋ －4 2＋ －3 2＝29.10．已知△ABC 的三个顶点A (1，5，2)，B (2，3，4)，C (3，1，5)． 求AC 边上中线的长度．【解】 由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为(2，3，72)． ∴AC 边上中线的长度为2－2 2＋ 3－3 2＋ 4－72 2＝12.11．在空间直角坐标系中，已知A (3，0，1)和B (1，0，－3)，试问：在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |？【解】 假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |. 因M 在y 轴上，可设M (0，y ，0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32，显然，此式对任意y ∈R 恒成立，这就是说y 轴上所有点都满足关系|MA |＝|MB |.备选例题已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．【思路探究】先计算三边长，再利用勾股定理的逆定理判断．【自主解答】|AB|＝ 1－4 2＋ －2－2 2＋ 11－3 2＝89，|BC|＝ 4－6 2＋[2－ －1 ]2＋ 3－4 2＝14，|AC|＝ 1－6 2＋[－2－ －1 ]2＋ 11－4 2＝75，∴|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89，又|AB|2＝89，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．规律方法已知空间中三点的坐标，判断三角形的形状，可考虑利用空间中两点间的距离公式求出这三边，从三边的关系上解决．备选变式(2013·吉安高一检测)已知A(－4，2，3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于()A．8B．12C．16D．19【解析】A(－4，2，3)，A2(4，2，3)，∴|AA2|＝ －4－4 2＋ 2－2 2＋ 3－3 2＝8.【答案】 A知识网络构建专题归纳提升定的系数，然后根据条件列出方程或方程组，解出这些待定的系数．直线和圆的方程常用待定系数法求解．例1 根据下列条件求圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)经过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．【思路点拨】 (1)可设出圆的标准方程；(2)可设出圆的一般方程根据条件求出参数．[来源:学#科#网]【规范解答】 (1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ， 3－a 2＋ －2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.变式训练已知圆经过点P (1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上，求圆的方程．【解】 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2， a －1 2＋ b －1 2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r 2＝25，∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A 2＋B 2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．例2 从点P (3，－2)发出的光线l ，经过直线l 1：x ＋y －2＝0反射，若反射光线的反向延长线恰好通过点Q (5，1)，求l 的方程．【思路点拨】 求直线l 的方程，已知点P 在l 上，只需在l 上再求出一个点即可． 【规范解答】 设点P (3，－2)关于l 1：x ＋y －2＝0对称的点P 1的坐标为(x ，y )，则直线l1为线段PP 1的垂直平分线，可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x －3＝1，x ＋32＋y －22－2＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，即P 1(4，－1)． 于是直线P 1Q 的方程为2x －y －9＝0. 设直线l 1与直线P 1Q 交于A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －9＝0，x ＋y －2＝0，∴A (113，－53)．于是l 的方程为x －2y －7＝0. 变式训练一条直线被两条直线l 1：4x ＋y ＋6＝0和l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l 的方程．【解】 设过原点的直线l 交已知两直线于P 1，P 2，且O 为P 1，P 2的中点，∴P 1与P 2关于原点对称．若设P 1(x 0，y 0)，则P 2(－x 0，－y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋6＝0， ①－3x 0＋5y 0－6＝0. ② ①＋②得x 0＋6y 0＝0.∴点P 1(x 0，y 0)，P 2(－x 0，－y 0)都满足方程x ＋6y ＝0， ∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点， ∴所求直线l 的方程即为x ＋6y ＝0.义，然后用几何性质求解；代数法：先建立目标函数，然后通过函数最值的求法求函数的最值．涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地，形如μ＝y －bx －a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．例3 已知点P (x ，y )满足关系式：x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．【思路点拨】 (1)yx 可以看作是圆(x ，y )与原点连线的斜率，(2)x 2＋y 2可看作是(x ，y )与原点距离的平方．(1)【规范解答】 将x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0配方得(x －3)2＋(y －2)2＝1，它表示以C (3，2)为圆心，半径r ＝1的圆．(1)设yx ＝k ，得y ＝kx ，所以k 表示过原点的直线的斜率，如图(1)所示． 当直线y ＝kx 为圆C 的切线时，yx 取得最值， 所以|3k －2|1＋k 2＝1，解得k ＝3±34.故yx 的最大值为3＋34，最小值为3－34.(2)(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为圆C 上的点到原点的距离，如图(2)所示．连接OC 并延长交圆于A 、B 两点，圆心C (3，2)与原点O 的距离是|OC |＝13.∴|OA |＝13－1，|OB |＝13＋1.∴u 2max ＝|OB |2＝(13＋1)2＝14＋213， u 2min ＝|OA |2＝(13－1)2＝14－213.故x 2＋y 2的最大值为14＋213，最小值为14－213.变式训练已知点P (x ，y )满足关系式x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，求x －y 的最大值与最小值．【解】 将x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0配方得(x －3)2＋(y －2)2＝1表示以C (3，2)为圆心，半径r ＝1的圆．设x －y ＝m ，即y ＝x －m ，m 为直线在y 轴上截距的相反数，如图所示，则当直线y ＝x －m 与圆C 相切时，x －y 取得最值．∵|3－2－m |2＝1， ∴m ＝1±2.故x －y 的最大值为1＋2，最小值为1－ 2.“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到事半功倍的效果．例4 当直线y ＝k (x －2)＋4和曲线y ＝1＋4－x 2有交点时，实数k 的取值范围是( )A ．(512，34]B ．(13，34]。