空间直角坐标系学案(高三数学)

环节一空间直角坐标系【引入新课】思考：在平面向量中，我们通过平面直角坐标系建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？【探究新知】为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？追问1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系应该有哪些要素？它们需要满足什么条件？答案：追问2：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系. 类比到空间，你能否给出空间直角坐标系的定义呢？答案：空间直角坐标系定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j, }k. 以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，它们把空间分成八个部分．追问3：空间直角坐标系如何画呢？答案：先回想平面直角坐标系Oxy 的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量i ，j 方向相同的数轴x 轴和y 轴，它们互相垂直、原点重合．与画平面直角坐标系相比，画空间直角坐标系只是多画一个与x 轴、y 轴都垂直的z 轴而已，所以我们不妨借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxyz 时，让x 轴与y 轴所成的角为135︒（或45︒），即135xOy ︒∠=（或45︒），画z 轴与y 轴垂直，即90yOz ︒∠=．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．问题2： 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？追问1：空间中任意一点A 与哪个向量的坐标相同？答案：在平面直角坐标系中，点A 的位置由向量OA 唯一确定，类比到空间直角坐标系中，我们可知点A 的坐标与从原点出发的OA 坐标相同. 由此，确定空间直角坐标系中点的坐标，可以从确定与之对应的，以原点为起点，该点为终点的向量的坐标入手．追问2：在空间直角坐标系中如何定义OA 的坐标呢？ 答案：平面直角坐标系内空间直角坐标系内取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，i ，j 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x ，y 使得取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的两个单位向量，i ，j ，k 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组使得OA x y =+i j k +z ，我们把有序实数组x y =+a i j ．我们把有序数对(),x y 叫做a 的坐标，记作(),x y =a ．(),,x y z 叫做OA 的坐标，记作(),,OA x y z =．所以，在单位正交基底{i ，j ，}k 下与向量OA 对应的有序实数组(x ，y ，)z ，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记做A (x ，y ，)z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.追问3：那么对于给定的向量a 又该如何定义它的坐标呢？ 答案：因为空间向量是自由的，我们在空间直角坐标系Oxyz 中可以作OA =a . 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z ，使x y z =++a i j k ,有序实数组(x ，y ，)z 叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记为(x =a ，y ，)z这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 问题3： 在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任意一点A ，或任意一个向量OA ，你能借助几何直观确定它们的坐标(),,x y z 吗？答案：过点A 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点B ，C 和D . 可以证明OA 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影向量分别为OB ，OC ，OD ，由向量加法的意义可知，OE OB OC +=,OA OE EA OE OD ++==,即OA OB OC OD ++=. 设点B C D ，和在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x ，y 和z ，那么OA x y z =++i j k ，即点A 或者向量OA 的坐标就是(x ，y ，)z .k yzxoi A (x ,y ,z )a思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点A 或任意一个向量a 的坐标呢？【知识应用】例1 如图，在长方体OABC D A B C ''''-中，3OA =，4OC =，2OD '=，以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . （1）写出D '，C ，A '，B '四点的坐标； （2）写出向量A B '',BB ',A C '',AC '的坐标.追问1：题目条件中的13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为什么是单位正交基底？答案：由图可知，OA 在x 轴上，且3OA =，所以1=13OA .同理，OC 在y 轴上，OD '在z 轴上，由4OC =，2OD '=知，1=14OC ，1=12OD '，所以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭是单位正交基底，等同于我们前面用到的{i ，j ，}k .追问2：求空间点的坐标我们有哪些基本解题思路？答案：有两种选择，一种是转化为求与该点对应的，从原点出发，指向该点的空间向量的坐标. 而后依据空间向量基本定理，把空间向量用单位正交基底分解，从而求出坐标；另一种是应用几何直观，找出空间点在x 轴、y 轴、z 轴上的射影，进而得到坐标.思路小结：由几何直观可知，确定空间中一个点的坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影，再根据空间向量基本定理，得到点的坐标. 所以可以总结步骤如下：（1）过空间点分别作x 轴、y 轴和z 轴的垂面；点A 的坐标给定的向量a 的坐标OA 的坐标应用空间向量基本定理确定坐标根据几何直观确定OA 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标（2）确定空间点在坐标轴上的射影的坐标； （3）得到空间点的坐标. 解：（1）()()()()0,0,2,0,4,0,3,0,2,3,4,2D C A B '''.（2）()0400,4,0,A B OC ''=++=i j k=()0020,0,2,B B OD ''-=+-=-=i j k()3403,4,0,A C A D D C OA+OC =''''''=+=-=-++-i j k()3423,4,2AC AC CC OA OC CC OA OC OD =''''=+=-++=-++=-++-i j k .问题4：回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和空间向量的坐标的？ 答案：（1）类比平面直角坐标系，构建了空间直角坐标系.（2）根据空间向量基本定理，在单位正交基底下，得到空间直角坐标系中的每一个点和向量都存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z 与之对应，从而引出空间点和空间向量的坐标表示.问题5：如何求空间点或向量的坐标呢？答案：（1）根据空间向量基本定理，将点或向量用单位正交基底{i ，j ，}k 来表示，它们的系数就是点或向量的坐标.（2）由几何直观，过点作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标.第二课时 空间向量运算的坐标表示环节一：引入新课本章前半部分的主要内容： 我国著名数学家吴文俊先生曾指出：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.简单地说，就是研究数和形的科学.”中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”.在前面的学习中，我们已经掌握了空间直角坐标系的概念，进一步通过正交分解的方法将空间向量用唯一的有序实组表示出来，引入坐标后可使向量中形的运算转化成数的运算.今天我们就循着数学家的足迹，大胆类比、猜想，把向量坐标运算从平面拓展到空间，完成一次从二维到三维，从形到数的跨越.环节二：探究新知为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1： 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？追问1： 平面向量的运算都有哪些？如何对平面向量进行坐标运算？ 答案：加法，减法，数乘，数量积.追问2： 你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算坐标表示的猜想？ 答案：设空间向量 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 猜()112233,,,a b a b a b +=+++a b()112233,,,a b a b a b -=a b ---()123,,,a a a =a 112233.a b a b a b ⋅=++a b追问3：你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢？答案： 结合空间向量坐标的定义，我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明： 第一步：由空间向量基本定理，设{},,i j k 为空间的一个单位正交基底，由向量a 的坐标为123(,,)a a a ，则可将向量a 唯一分解为123a a a =++a i j k ， 同理可将向量b 表示为123b b b =++b i j k . 第二步： ()()123123a a a b b b ⋅=++⋅++a b i j k i j k111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅i i i j i k j i j j j k k i k j k k利用向量数量积的分配律以及======⋅⋅⋅1,⋅⋅⋅0,i i j j k k i j j k k i 得112233.a b a b a b ⋅=++a b其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们课下自主完成.由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的. 类似地，我们还可以得到：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.即：设 123123(,,),(,,),A a a a B b b b 则向量()112233,,AB b a b a b a =---.问题2： 在学习平面向量运算的过程中，我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题，这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗？追问1： 如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？ 答案：设 1212(,),(,),a a b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ属于全体实数，用坐标表示为1212(,)(,),a a b b = 得到方程组1122,,a b a b =⎧⎨=⎩ 消去λ，得到平面向量平行充要条件的坐标表示：a 1b 2−a 2b 1=0.类比平面向量平行的坐标表示，我们可以得到：设空间向量123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ 属于全体实数.可以用坐标表示为123123(,,)(,,)a a a b b b =，得到方程组()112233,,.a b a b a b =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩R ，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示.追问2： 这个充要条件能否表示为312123a a ab b b ==？ 答案： 显然，空间向量平行的充要条件不等价于312123a a ab b b ==，因为≠0b 的含义是b 的坐标分量123,,b b b 至少有一个不为零，而非每一个坐标分量都不为零.例如，当b 与坐标平面Oxy 平行时，30b =此时33a b 无意义.因此只有在b 与三个坐标平面均不平行，即123,,b b b 均不为零时才能有312123a a ab b b ==⇔∥a b .特殊地，当=0b 时，(0,0,0)=b .此时b 与任意向量都平行.追问3： 除了上述对空间向量位置关系的研究，类比平面向量运算的应用，能否总结出空间向量的度量关系，如空间向量长度和夹角的坐标表示？答案： 设 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b222123a a a =⋅=++a a a . 112233222222123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++⋅==++++a ba b a b.设1111()P x ,y ,z , 2222()Px ,y ,z ，则()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=追问4：得到上面的猜想后，同学们能利用空间向量运算的坐标表示证明空间两点间的距离公式吗？答案：首先，建立空间直角坐标系Oxyz ，设1P , 2P 是空间中任意两点，则向量()1221212121.PP OP OP x x ,y y ,z z ---=-= 于是121212PP PP PP ⋅=，带入坐标，()()()22212212121PP x x +y y +z z ---=.所以()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=.这就是空间两点间的距离公式.因此，空间向量123(,,)a a a =a 的模可以理解为点123(,,)a a a 到原点的距离，这是空间两点间距离公式的特殊化.环节三：知识应用例1 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ,F 分别是1BB , 11D B 的中点.（1）求证1EF DA ⊥；（2）求AE 与1CD 所成角的余弦值.追问1： 两条直线的垂直关系可以用向量刻画吗？答案：要证明1EF DA ⊥，只需证明1EF DA ⊥，在前面的学习中，我们已经得到了两个向量垂直的充要条件为数量积为零，即10.EF DA =通过本节课学习的内容，可以将空间向量垂直的充要条件用坐标形式表达，因此在应用向量法求解本题时，我们需要利用题目中的空间直角坐标系，从而建立立体图形与空间向量的联系.追问2： 向量EF 的坐标怎么求？答案： 因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1).EF =-=--分析：因为空间向量的数量积和夹角有关，此我们经常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题.追问3： 两条直线夹角与两向量夹角有区别吗？答案：这二者是有区别的，它们的取值范围不同.具体来说， 两条直线夹角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而向量夹角的范围是[]0,π.当AE 与1CD 所成的角为锐角或直角时，直线AE 与1CD 所成的角和向量的夹角相等. 当AE 与1CD 所成的角为钝角时，直线AE 与1CD 所成的角为向量夹角的补角.解：（1）因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1)EF =-=--. 得到向量EF 的坐标后，同理，又因为点()()12,0,2,0,0,0A D ,所以()12,0,2DA =. 所以()()11,1,12,0,22020.EF DA =--=-++= 所以1EF DA ⊥,即1EF DA ⊥. （2）因为()()()()12,0,0,0,2,0,2,2,1,0,0,2A C E D ，所以()()()2,2,12,0,00,2,1AE =-=,()()()10,0,20,2,00,2,2CD =-=-, 15,=22AE DF =.所以()10022122AE CD =⨯+⨯-+⨯=-.所以111cos ,AE CD AE CD AE CD ===所以, AE 与1CD 所成角为向量AE ，向量1CD 夹角的补角.所以, AE 与1CD 方法提炼：在空间直角坐标系中，先写出相关点、相关向量的坐标，把几何问题代数化，然后再利用向量的坐标运算解决位置关系与几何度量等问题，其中要关注空间两条直线所成角与对应向量夹角的取值范围是不同的.需要注意的是，有些问题往往需要我们观察几何体的结构特征，找寻三条两两垂直的线段，先建立空间直角坐标系，再应用向量运算解决几何问题.问题3：回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？答案：1. 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示 （1）空间向量运算的坐标表示空间向量加法减法的坐标运算只需将其相应的坐标相加或相减； 空间向量数乘的坐标运算等于用这个实数λ乘原来向量的相应坐标； 空间向量数量积的坐标运算是其对应坐标乘积的和. （2）空间向量运算坐标表示的应用我们得到了空间向量平行和垂直这两种特殊位置关系的坐标表示同时，我们证明了空间向量长度和夹角的公式，这些公式可以帮助我们解决立体几何中的度量问题2.关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决. 因此，我们说空间向量与立体几何有着天然的联系.空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工具.一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”，步骤一：建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点、相关向量的坐标；步骤二：进行空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；步骤三：求出答案后，翻译成相应的几何结论，得到相应立体几何问题的解决．课时检测1. (3,2,5),(1,5,1),--a =b =求： （1）+a b ； （2）6a ； （3）ab .2. (2,1,3),(4,2,),x --a =b =且⊥a b .求x 的值.3. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1BC 的中点, 1E ,1F 分别在棱11A B ,11C D 上,111114B E A B =，111114D F C D =. （1）求AM 的长.（2）求1BE 与1DF 所成角的余弦值.答案：1. （1） ()2,7,4+-a b =；（2）()618,12,30-a =；（3）2a b =；2. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即－8－2＋3x ＝0，解得x ＝103；3. （1）AM =（2） 1517．。

二、空间中点的坐标
有序实数组（x,y,z）叫做点P在此空间 直角坐标系中的坐标，记作P（x,y,z） 其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的 纵坐标,z叫做点P的竖坐标
点P
（x，y，z）
空间直角坐标系教案(经典教案)
DP=2
CP=4
z
P(2，4，0)
O
Dy
C
P
x
空间直角坐标系教案(经典教案)
DP′=2
3、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a， |AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN的长.
z
D`
C`
A`
M B`
O
A x 空间直角坐标系教案(经典教案)
C y
N
B
空间直角坐标系教案(经典教案)
例 2 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解：由两点间有 距： 离公式 (1)|AB| (23)2(31)2(54)2 6 (2)|AB| (63)2(05)2(17)2 70
空间直角坐标系教案(经典教案)
课本P138 练习2
2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等.
解：设 M 点的坐标为 (0,0, a ) 由题意可知： | MA | | MB |
解 因 为 P 在 x 轴 上 ， 设P点坐标为
(x,0,0),
PP1 x2 2232 x211,
PP2 x21212 x22,
PP1 2PP2 , x2112 x22
x1, 所求点为
(1 ,0 ,0 ),( 1 ,0 ,0 ).
空间直角坐标系教案(经典教案)

= 0,
∴ ൞ 2 + ( − 2)2 + 2 = 8, 解得൞ = 2,
= 2 2,
2 + 2 + 2 = 12,
∴ (0,2,2 2).（不同的建系,坐标当然不同,这里主要介绍待定系数法求点坐标）
C级 学科素养创新练
11.如图,在长方体 − 1 1 1 1 中,,分别为1 1 ,1 1 的中点,若以{,,1 }
= (2,2,1), = (0,1,0).
B级 关键能力提升练
7.已知向量在基底{,,}下的坐标为(2,1, −1),则在基底{2,,−}下的坐标为
31
(
, ,−1)
(1,1,1)
________,在基底{
+ , − ,}下的坐标为________.
22
[解析]由题意知 = + − ,
2 (−2,1, −4).
（3）求点关于点(2, −1, −4)对称的点3 的坐标.
解设3 (, , ),则点为线段3 的中点,由中点坐标公式,可得 = 2 × 2 − (−2) = 6,
= 2 × (−1) − 1 = −3, = 2 × (−4) − 4 = −12,所以3 的坐标为(6, −3, −12).
∴ (−1, −1,0),(1, −1,0).又 = 2, = 2,
∴在Rt △ 中, = 2,∴ (0,0, 2).
（答案不唯一,也可选择其他的点建系）
6.已知正方体 − 1 1 1 1 的棱长为2,,分别为棱1 ,
的中点,如图所示建立空间直角坐标系.
正六边形各顶点的坐标.
解正方体 − ′′′′的棱长为,且,,,,,分别是棱
′′,′′,′,,,′的中点,∴正六边形各顶点的坐

4.3空间直角坐标系4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式[新知初探]1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O ­xyz .(2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标．[点睛] 空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.4．空间两点间的距离公式(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2＋y 2＋z 2.预习课本P134～137，思考并完成以下问题(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.[点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．(2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[小试身手](2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________． 解析：|P 1P 2|＝－22＋02＋22＝2 2.答案：2 2空间中点的坐标的求法[典例] 在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ， 由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.点G 在y 轴上，其x ，z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点． 故HK ＝12，CK ＝18，∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．[活学活用]如图，在长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5.以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．解：因为|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5，点A 为坐标原点，且点B ，D ，A ′分别在x 轴、y 轴和z 轴上，所以它们的坐标分别为A (0,0,0)，B (12,0,0)，D (0,8,0)，A ′(0,0,5)．点C ，B ′，D ′分别在xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面内，坐标分别为C (12,8,0)，B ′(12,0,5)，D ′(0,8,5)．点C ′在三条坐标轴上的射影分别是B ，D ，A ′，故点C ′的坐标为(12,8,5)．空间两点间距离公式及应用[典例] 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝3－12＋2－02＋1－52＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：x －32＋y －22＋z －12＝x －12＋y －02＋z －52，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[活学活用]已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)． 因为M 为BC 1的中点， 所以由中点公式得M ⎝⎛⎭⎪⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝2－22＋2－02＋2－42＝2 2.空间中点的对称[典例] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________． (2)已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下：(1)关于坐标原点的对称点为P1(－x，－y，－z)；(2)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x，－y，－z)；(3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(－x，y，－z)；(4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(－x，－y，z)；(5)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x，y，－z)；(6)关于yOz坐标平面的对称点为P6(－x，y，z)；(7)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x，－y，z)．其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．[活学活用]在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)解析：选C 点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．层级一学业水平达标1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )A.a2＋b2 B．|a|C．|b| D．|c|解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：选A |AB|＝1＋32＋1＋32＋1＋32＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．答案：(－1,2，－3)7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝12＋－12＋02＝ 2.答案： 28．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)． 答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)． 10.如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223， 且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋2－42＝533. 层级二 应试能力达标1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内．2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( )A.132 B.534 C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋3－02＝532. 4．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝0－42＋2－02＋3－02＝29.5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________． 解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝0－02＋4－52＋3＋72＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短． 解：(1)设P (x,0,0)． 由题意，得|P 0P |＝x －42＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． (2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)． 则|MN |＝x 0－62＋1－x 0－52＋0－12＝2x 0－12＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51.此时点M 的坐标为(1,0,0)．8.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .由两点间的距离公式可得： |MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2 ＝64a .(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－32＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米 D ．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ， 则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )， 即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为123－12＋1－02＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2， 则圆C 的半径为2，圆心坐标为(0,2)．点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－12－10－1＝1，则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 答案： 2 x －y ＝013．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝－2－0－1－1＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1.答案：－1 114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由4a 2＋1＝4－32得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y－a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝a ＋12＋－2－a2＝2a 2＋6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋12，所以当a ＝－32时，d min ＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22内含 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P ­ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P ­ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12 ∴|BG |＝32＋32＋14＝732.17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)， 半径为12|OP |＝ 124－02＋6－02＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －22＋y －32＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小， 即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－－2－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－2－b 2＝R 2，－1－a 2＋4－b 2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5a －22＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|， 即|5a －22－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，a ＝1±55. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分， 所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1.所以|3|1＋k2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形． 法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3k k 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件． 所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。