探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解

1.375
4
(1.25,1.375)
1.3125
5
(1.3125,1.375)
1.34375
6
(1.34375,1.375)
1.359375
7
(1.359375,1.375)
1.3671875
8
(1.3671875,1.375)
1.37109375
9
(1.3671875,1.37109375)
1.36914625
z x1 x0 0.392 x0
z x2 x1 0.335 x1
z x3 x2 0.143 x2
x4
x3
f (x3 ) f (x3 )
1.3688121321
5
z x4 x3 0.012 x3
此时z z0
所以方程的一个近似解为x 1.36881213215
此时z z0
z x1 x0 0.392 x0
x2
x1
f ( x1 ) f ( x1 )
10.72380583
z x2 x1 0.00032 x1
此时z z0
所以方程的一个近似解为10.72380583
所以方程的一个近似解为10.7238053
例2、 用牛顿法求函数 f (x) x 12的零点 精度z0 0.001
做到z

z
为止
0
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/5
牛顿法公式
: 如果f
x ' n 1

0, 那么,
xn
xn1
f f
xn1 x '

用牛顿迭代法求方程的近似解一．内容与内容解析本节课内容是人教版选修2-2第一章第二节探究与发现的内容，教学内容是用牛顿迭代法求方程的近似解。

在本节课中，在学生会用二分法求方程近似解的基础上，通过探究和发现，使学生能借助导数研究函数，利用切线逼近函数，进而理解迭代法的含义和作法，培养学生逼近的思想，以直代曲的思想，同时强化算法思想。

本节课通过Leonardo方程的求近似解问题，复习和巩固二分法求方程近似解的思想，步骤和算法，并借助导数和切线理解牛顿迭代法的“以直代曲”思想和逼近思想，并分析整理牛顿迭代法的步骤和算法，并用牛顿迭代法解决实际问题。

在教学中，通过借助图形计算器的探究，以及问题引导的方式，培养学生分析问题，探究问题和合作解决问题的能力，借助二分法的复习培养学生类比的思想，同时体会知识的联系和应用。

本节课中给出的Leonardo方程有丰富的历史背景，练习中的开普勒方程又有实际背景，通过本节课的例子可以培养学生对数学的热爱以及强烈的求知欲望，对古代数学家坚忍不拔的毅力的学习以及对数学在实际生活中的巨大作用的认识都能使学生更加肯于钻研，并产生对数学的巨大兴趣。

教学重点：牛顿迭代法的迭代思想和过程。

二、目标和目标解析1．复习和巩固用二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解是高中数学必修教材中的内容，和方程与函数的零点的关系一起，作为函数的性质的应用部分，是学生联系实际的重要内容，本节课以求Leonardo方程作为引入和研究对象，联系和复习二分法是顺理成章的，也能够将学习过的内容再现和升华。

2．探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解牛顿迭代法是中学生能够接受的一种较简单的迭代方法，而且十分有效，但如果脱离图形计算器，也是非常困难的。

本节课的核心就是通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿迭代法的迭代原理，并能够通过图形计算器进行实际应用，提高了学生解决实际问题的能力。

3．培养学生利用图形计算器进行复杂计算和图形功能探究解决问题的能力。

探究与发现
牛顿法——用导数方法求方程 的近似解
下面,我们再看如何求方程 x3 2x2 10 x 20 0的根.
y
r x
从函数的观点看 , 方程 x3 2x2 10 x 20 0的根就
是函数f x x3 2x2 10 x 20的零点.从图形上看 , 一个函数的零点 r就是f x的图象与 x轴的交点横坐标 。
给定精度z0和初始值
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1

x0

x30
2x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1
计算当前精度: z x1 x0 x0
No
z z0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解
求解结束
思考 1：不同的初始值对求方程的近似解有 影响吗？如果有，影响在什么地方？
1.38568பைடு நூலகம்135
x4
x3
f (x3 ) f (x3 )
1.3688121321
5
z x1 x0 0.392 x0
z x2 x1 0.335 x1
z x3 x2 0.143 x2
z x4 x3 0.012 x3
此时z z0
所以方程的一个近似解为x 1.36881213215
y
y
y
O x1 r0 x2 x0
r
x
x2
O x1 r
x0
xO
x0
x
gsp
思考
2： 你还知道其他求方程近似解的方法吗？ 你认为牛顿法的优点和缺点是什么？
优点：速度较快，算法简单，精度高， 缺点：对初始值的选取很敏感。

牛顿法——用导数方法探究方程近似解班级_____________ 姓名_____________课前探究单请用二分法求方程32210200x x x ++-=在区间(1,2)上的近似解（精确度为0.01），并思考以下问题：（2）为达到精确度，需进行几次迭代？计算次数区间中点值x中点处的函数近似值y精确度 1 (1,2)2 3 4 5 6 7课堂活动单活动1：取02x =，如何求函数32()21020f x x x x =++-在0x x =处的切线方程?活动2：以11||n n n x x x ---表示方程解的相对误差，并以此刻画近似解的精确度。

请用牛顿法获得方程32210200x x x ++-=在区间(1,2)上的近似解（精确度为0.01）思考：请对 “二分法”和“牛顿法”进行优劣比较。

活动3：记函数32()21020f x x x x =++-在(1,2)内的零点为r ，考虑上述所获得的一串逼近零点r 的数0x ，1x ，2x ，…，n x ，…，其中n x 与1n x -是否有关系？如果有，请推出它们之间的递推关系？课后拓展——牛顿其人牛顿是近代科学的先驱，智商290，在多个领域都有非凡的成就。

他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。

这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。

他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。

在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律[1]。

在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。

他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。

在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。

他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。

“探究与发现：牛顿法——用导数方法求方程的近似解”的
教学设计
余海东;朱恒元
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2014(000)001
【摘要】本节课属人教A版数学选修2-2教材中的“探究与发现”内容,是新旧知识的衔接点,渗透着数学知识螺旋上升的新课程理念.通过有效教学使学生理解求方程的近似解的方法,体会精确与近似的相对统一,感悟数学逼近思想,接受数学文化的熏陶.
【总页数】6页(P79-83,88)
【作者】余海东;朱恒元
【作者单位】浙江省义乌市第四中学;浙江省义乌中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.二分法求方程近似解的探究教学设计 [J], 盛朝阳;邵利
2.用牛顿法求方程近似解的C程序设计 [J], 徐树来;宗晓杰;车刚
3.\"庖丁解牛\"\r意在素养\r——\"牛顿法:用导数方法求方程的近似解\"教学设计[J], 何承生
4.混合式教学:促进数学深度学习 *——以\"用二分法求方程的近似解\"的教学设计为例 [J],
5.核心素养下高中生学科阅读能力的培养
——以"牛顿法——用导数方法求方程的近似解"为例 [J], 黄基荣;韦国亮
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牛 顿 法——用导数方法求方程的近似解一、思考问题问题1：求方程x 3-1=0的解.问题2：求方程x 3 +2x 2 +10x -20=0的解.问题3：求方程x 3 +2x 2+10x -20=0的近似解，精确度为0.001.二、形成方法1. 点A 横坐标为x 0，函数f (x )在点A 处的切线方程为： .（写成点斜式方程，结果用f (x 0)、f’(x 0)表示）问题4：可以求出x 1的值吗？如果可以，请写出关于x 1的解析式，结果用f (x 0)、f’(x 0)表示.问题5：是否可以把x 1作为零点r 的近似解？2. 写出求x 2的解析式： .3. 问题6：x n 与x n -1之间是否有关系？4. 这种用 的方法求方程近似解即为 ，牛顿法公式： .5. 问题7：x n 满足什么要求才可以作为近似解？精确度公式： .例1. 用牛顿法求方程x 3+2x 2 +10x -20=0的近似解. 精确度z 0=0.001.解：令f (x )= x 3+2x 2+10x -20，则f ’(x )=3x 2+4x +10x .取x 0= ，x n =x n -1-)(')(11--n n x f x f = x n -1-104)(32010)(2)(12112131++-++-----n n n n n x x x x x 所以：第一步: x 1= ，0011=x x x z - ；A第二步:问题8：不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？三、化繁为简1. 算法步骤第一步：给定初始值x 0和精确度z 0；第二步：第三步：2. 程序框图四、感悟方法五、课堂小结1. 通过这节课的学习，你有哪些收获？2. 牛顿法步骤？六、课后作业1. 用牛顿法求方程x 3-3x -1=0在x =2附近的近似解，精确度z 0=0.01.2. 求25的近似值，精确度z 0=0.01.七、课外延伸查阅资料：求方程近似解的方法还有哪些？。

牛顿法 用导数方法求方程的近似解
引例：已知方程 （1）判断方程根的个数；
x x 1 0，
3
（2）已经学习过求方程近似解的 方法有哪些？
牛顿法：
( x0 , f ( x0 ))
x1,0
问题：试找出 x0与x1 的关系。
同理，
的关系式如何表达？ xn与x n 1
Hale Waihona Puke f ( xn ) ' xn1 xn ' ( f ( xn ) 0) f ( xn )
x2
x0
x1
x3
第一组同学初始值为2； 第二组同学初始值为1.5；
第三组同学初始值为0.6；
第四组同学初始值为1.3。
问题：不同的初始值对方程的近似解有什么影响？
问题：如果是电脑计算方程的近似解，如何确定停止运算的条件？
精度的概念:
xn 1 1 z0 xn
问题：通过刚才的例子能否感受到牛顿法求方程近似解的优点与缺点？
由于我们已知函数
3 f ( x) x，于是： x 1
3 n
x xn 1 xn1 xn 2 3xn 1
化简后可得：
3 2 xn 1 xn1 2 3xn 1
下面我们将以小组为单位，当给出不同的初始值 算 ，并将计算好的结果填入表格。
时，分别计
x0
x1 , x2 , x3
作业： 已知数列 xn 满足 （1）求证：

（2）求证：
1 xn xn1;
1 xn1 xn xn ln xn , n N , x1 2
*
，
。
1 xn 1 (1 ln 2) n 1 (n 1, n N * ) 2

探究与发现牛顿法—用导数方法求方程的近似解一. 教材分析本节课选自人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》探究与发现“牛顿法—用导数方法求方程的近似解”。

属于拓展学生知识宽度和思维活跃的课程。

在必修一中，我们学习了方程的根与零点的关系，以及第一次接触到了利用零点找方程近似解的二分法，学生初次有了利用数值去逼近方程的解的思想。

在必修三中，教材安排了大量的案例让学生体会计算机在现代社会的强大功能。

在数学选修1-1，教材安排了导数的几何意义和求切线方程，体会以直代曲的思想，为牛顿法球方程的近似解提供了理论依据。

因此本节课为学生的思维发展提供了很好的空间和平台，作为一堂探究与发现的课，教师要注意引导学生用观察、联想、对比、化归等方法分析问题，寻找解决问题的思路.二．学情分析学生已经掌握了函数的零点，也学习了二分法求方程的近似解，理解了导数的几何意义，并能用导数求切线方程，具有一定的推理能力、运算能力的能力，但以直代曲的微积分思想不太熟稔，学生在探求牛顿法原理的过程中容易产生障碍，教学时需要引导学生用切线去逼近零点这个过程。

同时由于教学条件的问题，大部分的计算机工作须由教师实现，确也算遗憾。

三. 教学目标1. 知识与技能：通过让学生探索、猜想、发现并推导“牛顿法的公式”，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能.2. 过程与方法：通过牛顿法的探究过程，体会近似代替精确。

逐步培养学生学会分析问题、解决问题、合作交流的能力；3. 情感态度：通过课题的设计，增强学生的探究、应用意识，了解更多数学文化，激发学生的学习积极性. 体会数学在其他领域的价值.四．教学重、难点1. 重点：牛顿迭代的迭代思想和原理，用牛顿法求方程的近似解的初步应用.2. 难点：探究过程的组织和适当引导.五. 教法、学法（一）忆古观今，引发兴趣由于生产生活的需要，人们在很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题。

而在17世纪牛顿就给出了高次方程的一种数值求解办法——牛顿法。

2.740740740 740741
2.714669624 579535
精确度
0.333333333333333 0.094594594594595 0.009603789693283
5
2.71875
0.031 25
6
2.703125
0.015 625
7
2.7109375
0.007 812 5
牛顿法的程序框图
计算 次数
K
0
-2或者2
精确度
1
2
3
4
对比二牛分顿法和法牛的顿优法同点学：们速能找度出快牛顿法的优点
吗？ f ( x ) x3 20 牛顿法
二分法
计算次数 K
中点值
1
2.5
2
2.75
3
2.625
精确度
0.5 0.25 0.125
4
2.6875
0.062 5
计算 次数
K
0 1
2
3
2
3.000000000 000000
给定精度
和初始值
0
x0
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1Βιβλιοθήκη x0x302x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1 计算当前精度: x1 x0
x0
No
0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解
求解结束
Matlab软件
1、牛顿法的基本步骤是什么？ 2、牛顿法的优点和缺点是什么？
K 0 1 2 3
4
5
2或者4
f xk
f xk 精确度
计算 次数
K 0 1

当a
≠0时，aΔ
>0, <0
解得：a
>1
综上：a >1
变式2：已知不等式x2 2ax 1 0对x [1,2] 恒成立，其中a 0，求实数a的取值范围。
思路1、通过划归最值，直接求函数 f (x) x2 2ax 1
的最小值，即 f (x)min 0
思路2、通过分离变量，转化为a < x2 +1 = 1 (x + 1 ) 2x 2 x
a 1,2恒成立，求实数x的取值范围.
思路：变换主元，把a看成变量，x看成参数
解：令f a = -2xa + x2 +1,
当x=0 时，f（a）=1>0,满足条件；
当x
0时，ff
1 > 0 2 > 0
解得：x < 2 - 3或x > 2 + 3
三、归纳总结，概括方法
1、对一元二次函数f x = ax2 + bx + c(a ≠ 0)有： 1f x > 0对x R恒成立 a > 0且Δ< 0； 2f x < 0对x R恒成立 a < 0且Δ< 0
五、感悟高考、举一反三
1、（2009年江西卷）设函数 f (x) x3 9 x2 6x a 对任
2
3
意实数x，f (x) m 恒成立，则m的最大值是
4
2、（2010年山东卷）若对任意 x
立，则a的取值范围是 15，＋∞
0 ,x 2x 3x1a Nhomakorabea恒成
3、对任意 a [1,1]不等式 x2 (a 4)x 4 2a 0 恒成立，
广元中学数学组 杨姣
一、基础引入，构建思路 例题：已知不等式x2 - 2ax +1 > 0对 x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

4,极小值为0.试确定a,b,c的值. 解: f(x ) 5 a4 x 3 b2 x x 2 (5 a2 x 3 b ).
由题意, f(x ) 0 应有根 x 1 ,故5a=3b,于是:
f(x)5a2 x (x21).
(1)设a>0,列表如下:
f(x)1a x2 2(xax )2x (a).
令 f(x)0,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f(x),f(x)的变化情况如下表:
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
练习1:求函数
6x y 1 x2
(2)若 x[0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 .
解:(1)由 f(x)3x22a x0得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,
a=6.
由于当x<0时, f(x ) 0 ,当x>0时, f(x ) 0 .故当x=0时,
f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.
的极值.
解:
y

6(1 x2) (1 x2)2
.
令 y=0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, y,y的变化情况如下表:
因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.
例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值.
f (x)0
f(x)0
f(x0)0
o a X0
bx
如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近 点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能 是增函数,即 f(x)0; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即

2
要求精确度为0.001，则何时停止操作？
用二分法求出方程 x3 2x2 10 x 20 0的一个近似解 。精确度 0.001
迭代 次数
区间
1
（1,2）
2
（1,1.5）
3
(1.25,1.5)
4
(1.25,1.375)
5
(1.3125,1.375)
6
(1.34375,1.375)
中间的值
中点函数近似值
此时z z0
所以方程的一个近似解为10.72380583
所以方程的一个近似解为10.7238053
课内练习：如图从点P1（0，0）作x 轴的垂线交曲线 y ex 于点
x Q1(0,1) ，曲线在 Q1 点处的切线与 轴交于点 P2 ．再从 P2 做
x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ，依次重复上述过程得到一系列点：P1,Q1；
z x2 x1 0.00243 x1
x3
x2
f (x2 ) f (x2 )
10.7238053
z x3 x2 0.0000067 x2
此时z z0
z x1 x0 0.392 x0
x2
x1
f ( x1 ) f ( x1 )
10.72380583
z x2 x1 0.00032 x1
它编一个程序, 让计算机帮你完成计算任务.
给定精度z0和初始值
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1
x0
x30
2x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1
计算当前精度: z x1 x0 x0
No
z z0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解