完备空间

证明赋范线性空间是完备的以《证明赋范线性空间是完备的》为标题，本文将探讨赋范线性空间的完备性，在此之前，我们先概要线性空间的定义及其主要性质，以便我们更好地证明赋范线性空间的完备性。

首先，让我们来了解一下线性空间的定义及其主要性质。

线性空间是一个向量空间，它包含了零向量和所有可以由其他向量加减乘除定义出的向量。

满足下列性质的向量集称为向量空间，即：(1)量的加法满足结合律及交换律；(2)于任意标量k，有k(u+v)=ku+kv；(3)量的乘法满足结合律及交换律；(4)量的乘法满足分配律。

拥有上述性质的向量空间称为线性空间，它是一个自反的结构体。

因此，线性空间具有唯一的零元素，以及可以从一组向量中构造出一定数量的线性组合。

赋范线性空间是一种特殊的线性空间，它与普通线性空间的区别在于，赋范线性空间中的每个向量都具有相同的范数，即每个向量所具有的大小都是一致的。

现在，让我们开始证明赋范线性空间是完备的。

首先，让我们考虑一个赋范线性空间中的任意一个元素x。

由于x是一个赋范线性空间的元素，因此它的范数必须是一致的，即∥x∥=1。

因此，我们可以认为∥x∥=1是一个不变的值，即它的大小是确定的。

接下来，我们考虑一个赋范线性空间的任意两个元素x和y。

由于它们均具有相同的范数，即∥x∥=∥y∥=1，我们可以认为它们之间的距离是固定的，即∥xy∥=1。

这也意味着任何在该赋范线性空间中的两个元素之间的距离都是固定的，这是该赋范线性空间的一个重要性质。

因此，由以上所述，可以得出结论：一个赋范线性空间中的任意两个元素之间的距离都是固定的，即∥xy∥=1，因此该赋范线性空间是完备的。

综上所述，本文证明了，赋范线性空间是完备的，即任意两个向量之间的距离都是固定的，这是该空间的一个重要性质。

泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。

它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量，而是函数或者函数空间，包括无限维的函数空间。

泛函分析在数学中有着广泛的应用，例如在微分方程的理论研究中，泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题；在概率理论中，泛函分析有助于研究随机过程的性质等。

下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。

1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合，泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。

拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构，使得可以定义连续性和收敛性等概念。

泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间，即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。

2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数（或称规范），从而使得该空间成为一个度量空间。

范数的引入使得我们可以定义距离，并且可以定义收敛性。

完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。

泛函分析中，赋范空间和完备空间是重要的概念，在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。

3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积，从而可以定义长度和夹角。

希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。

内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用，特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。

4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。

连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。

泛函分析中，线性算子和连续算子是重要的研究对象，它们可以用来描述函数之间的关系和映射。

5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数，从而构成一个完备空间。

可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。

Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别，它们在研究最优性，特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。

空间的完备性与巴拿赫空间的研究空间的完备性是数学分析中一个重要的概念，它与巴拿赫空间的研究密切相关。

本文将讨论空间的完备性的定义、性质以及与巴拿赫空间的关系。

一、空间的完备性的定义空间的完备性是指一个度量空间中的某个序列如果能够收敛到该空间中的某个点，那么就称该空间是完备的。

具体地说，对于一个度量空间X，如果对于任意一个Cauchy序列{xn}，都能在该空间中找到一个点x，使得{xn}收敛于x，那么空间X就是完备的。

二、空间的完备性的性质1. 完备性是一个重要的性质，它保证了度量空间的内在结构的完整性和稳定性。

2. 完备性可以用来刻画度量空间中收敛性的特点。

一个度量空间中的序列收敛，当且仅当它是一个Cauchy序列，并且该空间是完备的。

3. 完备性与连续函数空间、泛函分析等领域有着密切的关系。

在这些领域中，完备性的概念被广泛地运用于函数序列、函数列紧性、收敛性等方面的研究。

三、巴拿赫空间与完备性巴拿赫空间是在完备度量空间的基础上进一步研究的结果，它是一类特殊的线性赋范空间。

1. 巴拿赫空间的定义巴拿赫空间是一个完备的线性赋范空间，即在该空间中任意一个Cauchy序列都能在该空间中收敛。

巴拿赫空间在泛函分析、函数空间等领域中具有广泛的应用。

2. 巴拿赫空间的性质巴拿赫空间作为一个完备的线性赋范空间，具有许多重要的性质，如范数的连续性、闭图像定理等。

这些性质使其成为泛函分析中的重要研究对象。

3. 巴拿赫空间的分类根据巴拿赫空间的不同性质，可以将其分为l^p空间、L^p空间、C(K)空间等多种类型。

不同类型的巴拿赫空间在数学研究和应用中有着重要的地位和作用。

四、空间的完备性与巴拿赫空间的关系巴拿赫空间作为一个完备的线性赋范空间，必然具有空间的完备性。

事实上，巴拿赫空间的完备性是由度量空间的完备性导出的。

这种关系体现了空间的完备性在巴拿赫空间理论中的重要性。

在研究巴拿赫空间时，空间的完备性是一个重要的概念和工具，它为巴拿赫空间的结构和性质的研究提供了基础。

banach空间习题答案Banach空间习题答案Banach空间是数学中的一个重要概念，它是一种完备的赋范线性空间。

在学习Banach空间的过程中，习题是不可或缺的一部分。

在这篇文章中，我将为大家提供一些Banach空间习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 习题：证明每个有限维赋范空间都是Banach空间。

答案：设X是一个有限维赋范空间，我们需要证明X是一个完备空间。

首先，我们知道有限维空间中的任意Cauchy序列都是收敛的。

因此，对于X中的任意一个Cauchy序列，我们可以找到一个有限维子空间Y，使得这个Cauchy序列也是Y中的Cauchy序列。

由于Y是有限维的，所以Y是一个完备空间。

根据完备空间的性质，Y中的Cauchy序列收敛于Y中的某个点。

由于X是Y的子空间，所以这个点也属于X。

因此，X中的任意Cauchy序列都收敛于X中的某个点，即X是一个完备空间，即是一个Banach空间。

2. 习题：证明L^p空间（1 ≤ p ≤ ∞）是一个Banach空间。

答案：首先，我们知道L^p空间是由满足一定条件的可测函数构成的空间。

我们需要证明L^p空间中的任意Cauchy序列都收敛于L^p空间中的某个函数。

假设{f_n}是一个L^p空间中的Cauchy序列，即对于任意的ε > 0，存在一个正整数N，使得当n, m > N时，有||f_n - f_m||_p < ε。

由于L^p空间中的函数是可测函数，我们可以找到一个可测集E，使得E的测度有限，并且对于任意的x ∈ E，有|f_n(x) - f_m(x)| ≤ ||f_n - f_m||_p。

由于{f_n}是一个Cauchy序列，所以对于任意的x ∈ E，存在一个函数f(x)，使得f_n(x)收敛于f(x)。

我们可以定义一个新的函数f，使得对于任意的x ∈ E，f(x) = limf_n(x)。

由于Cauchy序列的极限是唯一的，所以这个函数f是良定义的。

拓扑学中的完备空间与紧性拓扑学是数学的一个分支，研究空间及其性质的学科。

在拓扑学中，完备空间与紧性是两个非常重要的概念。

本文将介绍完备空间和紧性的定义、性质以及它们在拓扑学中的应用。

一、完备空间完备空间是指具有某种度量的空间，在这个度量下，所有的柯西序列都有极限。

柯西序列是指一个序列，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得序列中所有下标大于N的项的距离都小于ε。

完备空间可以用来描述序列的连续性和极限的存在性。

完备空间的定义可以扩展到一般的度量空间和赋范空间。

对于度量空间来说，完备性是指该空间中的任意柯西序列都收敛于该空间内的某个点。

对于赋范空间来说，完备性也是指该空间中的任意柯西序列都收敛于该空间内的某个点。

完备空间的一个重要性质是，任何收敛序列在完备空间中都有极限。

这个性质对于研究序列的极限和连续函数的性质非常有用。

例如，在实数轴上，任何收敛序列都有极限，所以实数轴是一个完备空间。

二、紧性紧性是指给定一个拓扑空间，若其每个开覆盖都有有限子覆盖，那么该拓扑空间是紧的。

换句话说，紧性是一种性质，用于描述拓扑空间中点集的紧凑性和有限性。

在拓扑学中，紧性是一种非常重要的概念，它与连续性、紧致性以及有界性有密切的联系。

紧性有许多等价的定义。

其中一种定义是：若拓扑空间的每个无穷开覆盖都存在有限子覆盖，则该空间是紧的。

紧性的一个重要性质是，闭子空间的紧性是继承于父空间的。

也就是说，若给定一个紧空间，其闭子空间也是紧的。

这一性质使得紧性在拓扑学的研究中非常有用。

三、完备空间与紧性的关系在一些特定的情况下，完备空间与紧性之间存在一定的关联。

例如，完备的度量空间上的闭子集一定是紧的。

这个结论可以通过证明闭子集的柯西序列在该子集中有极限来得出。

此外，如果一个拓扑空间是完备的且紧的，那么根据Heine-Borel定理，该空间是有界闭集。

这个定理在分析学中有着重要的应用。

四、应用举例完备空间与紧性在拓扑学、函数分析、实变函数等领域有广泛的应用。

连续函数空间完备
连续函数空间完备性的定义与证明过程较为复杂，涉及到度量空间、柯西序列、巴拿赫空间等多个概念。

以下是对连续函数空间完备性的一种简要解释：
在数学分析中，完备性通常是指一个空间（如范数空间或度量空间）中的柯西序列收敛于该空间中的元素。

如果一个空间满足这一性质，则称该空间为完备的。

对于连续函数空间来说，完备性意味着该空间中的任何柯西序列（即函数序列，其中任意两个函数的差的绝对值在任意点上都趋向于零）都收敛于该空间中的一个连续函数。

证明连续函数空间完备性的过程通常涉及到构造一个特定的度量（如ρ(f,g)=supx∈Xmin{d(f(x),g(x)),1}），并证明该度量空间是完备的。

此外，还需要证明连续函数空间是该度量空间中的一个闭集（即一致收敛的连续函数序列仍然连续），从而得出连续函数空间也是完备的。

总之，连续函数空间的完备性是一个重要的数学性质，它保证了在该空间中进行的各种运算和逼近过程的合理性和有效性。

拓扑学中的完备空间与紧性拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间中的点集之间的开放集和闭合集的性质。

在拓扑学中，完备空间和紧性是两个重要的概念。

完备空间指的是一个度量空间中的某种性质，而紧性则是一个拓扑空间中的性质。

接下来将分别介绍完备空间和紧性这两个概念。

首先是完备空间。

在拓扑学中，完备空间通常指的是某个度量空间中的一个特定性质。

一个度量空间如果任何柯西序列都收敛于该度量空间中的某个点，那么这个度量空间就是完备的。

以实数轴R为例，实数轴上的柯西序列对应的实数序列若收敛于实数轴上的某一点，则该实数轴就是完备的。

完备度量空间在数学分析中有着重要的应用，比如完备空间上的柯西序列必收敛等性质。

完备空间的概念是对度量空间连续性与连续性程度的一种衡量。

接着是紧性。

紧性是拓扑学中一个重要的性质，一个拓扑空间如果满足以下条件，则称之为紧空间：对于该空间的任意开覆盖，都存在有限的子覆盖。

也就是说，对于任意开覆盖，都可以从中选取有限个开集，使得这些开集覆盖整个空间。

紧性是一种局部紧致性的一种推广，它是一种对空间整体性质的度量。

紧性的概念在分析学、代数学以及拓扑学中有着广泛的应用，比如紧性空间上的有限覆盖引理、Tychonoff定理等是紧性概念的重要应用。

综上所述，拓扑学中的完备空间和紧性是两个重要的概念，完备空间描述了度量空间的连续性程度，而紧性描述了拓扑空间的整体性质。

这两个概念在数学中有着广泛的应用和重要性，深入理解这两个概念对于深入研究拓扑学及其相关领域具有重要的意义。

banach空间四个基本定理
1. Banach空间完备定理：一个Banach空间就是一个完备的度
量空间，即每个柯西序列都收敛于该空间中的确切点。

具体地，如果在Banach空间中取一个柯西序列，那么它一定收敛于一
个该空间中的点。

2. 闭图像定理：这个定理涉及到线性算子，它指出，如果线性算子是一个Banach空间到另一个Banach空间的映射，并且满足一些条件，那么它的图像（即所有可能的输出）是另一个Banach空间。

3. 开映射定理：如果一个线性算子从一个Banach空间映射到
另一个Banach空间，而且是连续的，那么它要么是「开映射」，即将开集映射成另一个空间中的开集；要么是「单射」，即每个输入只对应一个输出（不能出现多个输出映射到同一输出的情况）。

4. Hahn-Banach定理：这个定理是关于线性算子和Banach空
间的最基本的定理之一。

它指出，在所有的线性算子中，存在一个「Hahn-Banach算子」，使得它的定义域是一个给定的线
性子空间，并且满足对于这个子空间中的任意元素，其值（即它的输出）与其他满足某些特定条件的线性算子的值相同。

这个定理被视为线性算子理论的基石，因为它非常广泛地应用于各种数学分支领域和物理学中。

1.3 度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ⊂，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ⊂，通常称A 是B 的稠密子集．注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；(2) x B ∀∈，{}n x A ∃⊂，使得lim (,)0n n d x x →∞=；(3) B A ⊂（其中A A A '=，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x AB O x δ∈⊂．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B ．证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ⊂，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．证明 由定理1.1知B A ⊂，C B ⊂，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ⊂⊂，于是有C A ⊂，即A 在C 中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂．定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ⊂，如果存在点列{}n x A ⊂，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =，使得()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =)，存在有理数列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =，1,2,.k =现证()k r x k →→∞．0ε∀>，由()k i i r x k →→∞知，i K ∃∈N ，当i k K >时，有||ki i r x -<，1,2,,i n =取12max{,,,}n K K K K =，当k K >时，对于1,2,,i n =，都有||k i i r x -，因此2(,)k n d r x εε=即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□例 1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}证明 显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ∀∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε∀>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密．□例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈N ，显然o E 等价于1n n Q ∞=，可知o E 可数，下面证o E 在p l 中稠密．12(,,,,)p n x x x x l ∀=∈，有1||p i i x ∞=<+∞∑，因此0ε∀>，N ∃∈N ，当n N >时，1||2ppin N xε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密，对每个i x (1i N ≤≤)，存在i r Q ∈，使得||2ppi i x r Nε-<，(1,2,3,,)i N =于是得1||2pNpii i xr ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈，则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密．□例1.3.5 设[0,1]X =，则离散度量空间0(,)X d 是不可分的．证明 假设0(,)X d 是可分的，则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密．又知X 不是可列集，所以存在*x X ∈，*{}n x x ∉．取12δ=，则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点，与{}n x 在X 中稠密相矛盾．□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 是可列集．注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如 (0.625)10=(0.101)2 0.625⨯2=1.25取1；0.25⨯2=0.50取0；0.5⨯2=1.00取1．二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑，例如 (0.101)2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=．因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或对等，由[0,1]不可数知A 不可列．例1.3.6 有界数列空间l ∞是不可分的．12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==为有界数列，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-．证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或，则当,x y A ∈,x y ≠时，有(,)1d x y =．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列．假设l ∞可分，即存在一个可列稠密子集0A ，以0A 中每一点为心，以13为半径作开球，所有这样的开球覆盖l ∞，也覆盖A ．因0A 可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为0x ，于是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾，因此l ∞不可分．□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在R 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．定义1.3.3 基本列设{}n x 是度量空间X 中的一个点列，若对任意0ε>，存在N ，当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<则称{}n x 是X 中的一个基本列(或Cauchy 列）．定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 是度量空间，则 (1) 如果点列{}n x 收敛，则{}n x 是基本列； (2) 如果点列{}n x 是基本列，则{}n x 有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点． 证明 (1) 设{}n x X ⊂，x X ∈，且n x x →．则0ε∀>，N N ∃∈，当n N >时，(,)2n d x x ε<，从而n ，m N >时，(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=．即得{}n x 是基本列．(2) 设{}n x 为一基本列，则对1ε=，存在N ，当n N >时，有1(,)1N n d x x ε+<=，记11211max{(,),(,),,(,),1}1N NN N M d x x d x x d x x +++=+，那么对任意的,m n ，均有11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=，即{}n x 有界．(3) 设{}n x 为一基本列，且{}kn x 是{}n x 的收敛子列，().kn x x k →→∞于是，10,N ε∀>∃∈N ，当1,m n N >时，(,)2n m d x x ε<；2N ∃∈N ，当2k N >时，(,)2k n d x x ε<．取12max{,}N N N =，则当n N >，k N >时，k n k N ≥>，从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=，故()n x x n →→∞．□注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？ 例 1.3.7 设(0,1)X =，,x y X ∀∈，定义(,)d x y x y =-，那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭是X 的基本列，却不是X 的收敛列．证明 对于任意的0ε>，存在N ∈N ，使得1N ε>，那么对于m N a =+及n N b =+，其中,a b ∈N ，有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++，即得{}n x 是基本列．显然1lim 01n X n →∞=∉+，故{}n x 不是X 的收敛列．或者利用1{}{}1n x n =+是R 上的基本列，可知0ε∀>，N ∃∈N ，当,n m N >时有 1111n m ε-<++．于是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也是X 上的基本列．□ 如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的度量空间． 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间．证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R 的完备性易得．□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间．(距离的定义：[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明 设{}n x 是[,]C a b 中的基本列，即任给0ε>,存在N ，当,m n N >时，(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<，由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数()x t ，使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ，即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈.因此[,]C a b 完备．□例 1.3.10 设[0,1]X C =，(),()f t g t X ∈，定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰，那么1(,)X d 不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论(,)X d 完备)证明 设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]n f t C ∈，1,2,3,n =．因为1(,)m n d f f 是下面右图中的三角形面积，所以0ε∀>，1N ε∃>，当,m n N >时，有1111(,)2m n d f f n mε=-<，112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于是{}n f 是X 的基本列．下面证{}n f 在X 中不收敛．若存在()f t X ∈，使得1(,)0()n d f f n →→∞．由于1(,)n d f f 10|()()|n f t f t dt =-⎰11122111221|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt ++=+-+-⎰⎰⎰，显然上式右边的三个积分均非负，因此1(,)0n d f f →时，每个积分均趋于零．推得112[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续，故{}n f 在X 中不收敛，即[0,1]C 在距离1d下不完备．□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离 可分性 完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y =√ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数 00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时当时√√ X 不可数× √ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√× 有界数列空间l ∞1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-× √ p 次幂可和的数列空间p l 11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√√由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 是可列的，以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密，可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均是可分的．前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可和的数列空间p l 也是可分空间，而有界数列空间l ∞和不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 是不可分的．从上面的例子及证明可知，n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离(0,1)X =却不是完备的；连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下，[0,1]C 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明p 次幂可和的数列空间p l 是完备的度量空间，p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理． 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 是完备的度量空间，(,)n n n B O x δ=是一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃． 如果球的半径0()n n δ→→∞，那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈．证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列．当m n >时，有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=)，可得(,)m n n d x x δ≤． (2.4)0ε∀>,取N ，当n N >时，使得n δε<，于是当,m n N >时，有(,)m n n d x x δε≤<，所以{}n x 为X 的基本列．(2)x 的存在性．由于(,)X d 是完备的度量空间，所以存在点x X ∈，使得lim n n x x →∞=．令(2.4)式中的m →∞，可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈，1,2,3,n =，因此1n n x B ∞=∈．(3) x 的唯一性．设还存在y X ∈，满足1n n y B ∞=∈，那么对于任意的n ∈N ，有,n x y B ∈，从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞，于是x y =．□注4：完备度量空间的另一种刻画：设(,)X d 是一度量空间，那么X 是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃，其中(,)n n n B O x δ=，当半径0()n n δ→→∞，必存在唯一的点1n n x B ∞=∈．大家知道1lim(1)n n e n→∞+=，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答．定义1.3.5 等距映射设(,)X d ，(,)Y ρ是度量空间，如果存在一一映射:T X Y →，使得12,x x X ∀∈，有1212(,)(,)d x x T x T x ρ=，则称T 是X 到Y 上的等距映射，X 与Y 是等距空间(或等距同构空间)． 注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与(,)X d 相关的数学命题，通过等距映射T ，使之在(,)Y ρ中同样成立．因此把等距同构的(,)X d 和(,)Y ρ可不加区别而看成同一空间．定义1.3.6 完备化空间设X 是一度量空间，Y 是一完备的度量空间，如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y'，则称Y 是X 的一个完备化空间．图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ，必存在一个完备化的度量空间Y ，并且在等距同构意义下Y 是唯一确定的．例1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞，定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-，试证(,)R d 不是完备的空间．证明 取点列{}n x R ⊂，其中n x n =，注意limarctan 2n n x π→∞=，显然不存在一点x R ∈，使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞．所以点列{}n x 在R 中没有极限．由于limarctan 2x x π→∞=，即0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，有|arctan |22m πε-<，|arctan |22n πε-<，于是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 是基本列，却不是收敛列．□。