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1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得一．1sin lim0=→x xx ．1sin lim 0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim xxx -→． 解 20cos 1limx xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim xxx x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.718281828...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得二．x x x)11(lim +∞→=e ．xx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x )21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2．当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0， 于是 xx x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
1．计算下列极限： ⑴0tan 3limx xx→；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将tan3x 化出sin3x ，利用sin 3tan 3cos3xx x=，得：0tan 3lim x x x →0sin 33lim 3cos3x x x x →=⋅313cos0=⨯=。
⑵1lim sin x x x→∞； 【解】由于1lim sin x x→∞sin 00==，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：1lim sin x x x →∞101sinlim1xx x→=， 这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 101sinlim 11xx x→=，亦即1lim sin 1x x x →∞=。
⑶0lim cot x x x →；【解】由于0limcot x x →=∞，这是“0⨯∞”型极限，应化为商式极限求解：0lim cot x x x →0limtan x xx→=，这又成为了“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 同样利用sin tan cos xx x=，得： 00lim lim cos tan sin x x x x x x x→→=⋅1cos01=⨯=， 亦即0lim cot 1x x x →=。
⑷01cos 2limsin x xx x→-；【解】这是“”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim1()f x f x f x →=： 为将1cos2x -化出正弦函数，利用2cos 212sin x x =-，得：01cos 2lim sin x x x x →-202sin lim sin x x x x →=0sin 2lim x xx→=212=⨯=。
1-7-两个重要极限练习题1. 计算极限：lim(x→0) (sinx/x)解答：首先，我们可以将该极限写成Lim(x→0) (sinx)/x的形式。
我们知道，当x趋近于0时，sinx也趋近于0。
而分母x趋近于0，所以分子和分母都趋近于0。
这是一个不定式，我们可以使用洛必达法则来求解。
洛必达法则告诉我们，如果一个函数的极限存在，那么它的导数的极限也存在，并且两者的值相等。
所以，我们可以对这个不定式求导：d/dx (sinx) = cosxd/dx (x) = 1再将x趋近于0，我们得到：Lim(x→0) (cosx)/1 = 1所以，极限Lim(x→0) (sinx)/x的值为1。
答案：12. 计算极限：lim(n→∞) (√(n^2 + n) - n)解答：我们可以将该极限写成Lim(n→∞) (√(n^2 + n) - n)的形式。
我们可以使用有理化的方法来解决这个问题。
首先，我们可以将分式中的根号去掉：Lim(n→∞) ((n^2 + n) - n^2)/ (√(n^2 + n) + n)化简后得到：Lim(n→∞) (n)/ (√(n^2 + n) + n)接下来，我们可以将分子和分母都除以n：Lim(n→∞) (n/n)/ (√(n^2/n + n/n) + n/n)化简后得到：Lim(n→∞) (1)/ (√(1 + 1/n) + 1)当n趋近于无穷大时，1/n趋近于0，所以√(1 + 1/n)也趋近于√(1 + 0) = √1 = 1。
所以，我们可以将极限化简为：Lim(n→∞) (1)/ (1 + 1)答案：1/2。
1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(limsin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得 一．1sin lim 0=→xxx ．1sin lim0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim x xx -→．解 20cos 1limxxx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim x xx x -→．解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.718281828...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得 二．x x x )11(lim +∞→=e ．x x x)11(lim +∞→=e 的特点： （１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x)21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2． 当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0， 于是 xx x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→薂问题1：观察当x 0时函数的变化趋势：蒁x (弧度)芈0.50薃0.10芄0.05芀0.04莇0.03 羄0.02螂...聿xx sin蒇0.9585莅0.9983蒄0.9996肂0.9997薇0.9998螆0.9999袂...袁当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xxsin =1；薇当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是膇)()sin(lim sin lim00x x x x x x --=+-→-→．蚄综上所述，得一．1sin lim0=→xxx ．1sin lim0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim ()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 例2 求xtan ．所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→t tt ．例9例10 求30sin tan lim xxx x -→．解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→=21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ．考察极限e xx x =+∞→)11(limxx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0，于是 xx x x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [20110u u u uu +⋅+→-→=e -1．例15例16 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ．§2-1 导数的概念教学过程：引入：上表看出，平均速度t s ∆∆随着∆t 变化而变化，当∆t 越小时，ts ∆∆越接近于一个定值—9.8m/s ．考察下列各式：∆s =21g ⋅(1+∆t )2－21g ⋅12=21g [2⋅∆t +(∆t )2]，t s ∆∆=21g ⋅t t t ∆∆+∆2)(2=21g (2+∆t )，思考： 当∆t 越来越接近于0时，ts∆∆越来越接近于1秒时的“速度”．现在取∆t →0的极限，得实例2 曲线的切线设方程为y =f (x )曲线为L ．其上一点A 的坐标为(x 0,f (x 0))．在曲线上点A 附近另取一点B ，它的坐标是(x 0+∆x , f (x 0+∆x ))．直线AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作β．由图中的R t ∆ACB ，可知割线AB 的斜率tan β=()()xx f x x f x y AC CB ∆∆∆∆00-+==．在数量上，它表示当自变量从x 变到x +∆x 时函数f (x )关于变量x 的平均变化率(增长率或减小率)．是要求函数y 关于自变量x 在某一点x 处的变化率．1.自变量x 作微小变化∆x ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率y =xy ∆∆，作为点x 处变化率的近似；2. 对y 求∆x →0的极限xy x ∆∆∆0lim→，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值．x二、导数的定义1. 函数在一点处可导的概念定义 设函数y =f (x )在x 0的某个邻域内有定义．对应于自变量x 在x 0处有改变量∆x ，函数y =f (x )相应的改变量为∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)，若这两个改变量的比x x x x -→根据导数的定义，求函数y =f (x )在点x 0处的导数的步骤如下：第一步 求函数的改变量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；第二步 求比值xx f x x f x y ∆∆∆∆)()(00-+=；第三步 求极限f '(x 0)=xy x ∆∆∆0lim→．例1 求y =f (x )=x 2在点x =2处的导数．222导．这时，对开区间(a ,b )内每一个确定的值x 0都有对应着一个确定的导数f '(x 0)，这样就在开区间(a ,b )内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f (x )的导函数，记作等f '(x )或y '等．根据导数定义，就可得出导函数f '(x )=y '=()()xx f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆-+=→→00lim lim (2-3)导函数也简称为导数．注意 （１）f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值（２）f (x )在点处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值．可以证明，一般的幂函数y =x α, (α∈R, x >0)的导数为(x α)'=α x α-1．例如 (x )'=(21x )'=xx 212121=-；(x 1)'=(x -1)'=-x -2=-21x ．例4 求y =sin x , (x ∈R )的导数．解x y ∆∆=xx x x ∆∆sin )sin(-+，在§1-7中已经求得lim→x ∆xy ∆∆=cos x ，方程为y =f (x )的曲线，在点A (x 0,f (x 0))处存在非垂直切线AT 的充分必要条件是f (x )在x 0存在导数f '(x 0)，且AT 的斜率k =f '(x 0)．导数的几何意义——函数y =f (x )在x 0处的导数f '(x 0)，是函数图象在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y -f (x 0)=f '(x 0)(x -x 0) (2-4)过切点A (x 0,f (x 0))且垂直于切线的直线，称为曲线y =f (x )在点A (x 0,f (x 0))处的法线，则当切线非水平(即f '(x 0)≠0)时的法线方程为y -f (x 0)=-)(10x f '(x -x 0) (2-5)故所求的切线方程为y +ln2=2(x -21)，即y =2x -1-ln2．四、可导和连续的关系如果函数y =f (x )在点x 0处可导，则存在极限lim→x ∆x y ∆∆=f '(x 0)，则xy ∆∆=f '(x 0)+α (0lim →x ∆α=0)，或∆y = f '(x 0) ∆x +α⋅∆x (0lim →x ∆α=0)，所以 0lim →x ∆∆y =0lim →x ∆[f '(x 0) ∆x +α⋅∆x ]=0．这表明函数y =f (x )在点x 0处连续．学生思考：设函数f (x )=⎨⎧≥0,2x x ，讨论函数f (x )在x =0处的连续性和可导性．§4－2 换元积分法教学过程复习引入 1．2． 不定积分的概念； 3．4． 不定积分的基本公式和性质。
两个重要极限的例题大全在数学中，极限是非常重要的概念，它反映了数学分析的基本特征。
极限的概念主要有两种，分别是无穷大极限和无穷小极限，两者都是有用的抽象概念，可以用来解释任意值的行为。
两种极限的结果也可以联系起来，以便更好地理解数学原理。
无穷大极限作为极限的一种，它表示随着某个变量从正无穷大向负无穷大变化时，函数值接近某个定值。
所以，当函数x的极限为L 时，可以表示为：limx→∞f(x) = L。
当函数f(x)的变量x向正无穷大时，其函数值接近L，而函数x的值无论多大，都不会超过L这个值。
为了更好地理解这个概念，可以考虑以下例题：例题1：求limx→∞(x+1)/(x1)的值解：在这个例题中，我们需要求出x向正无穷大时，(x+1)/(x1)的极限值。
具体的解法涉及一些基本的解析几何，以及用分数形式表示极限的概念。
首先，将函数分子部分(x+1)与函数分母部分(x1)进行比较，可以得知当x取任何值时，函数分子都会大于函数分母，这表明极限为正无穷大。
所以，limx→∞(x+1)/(x1) = +∞。
例题2：求limx→∞ (3x+8x+12)/(3x+20x+30)的值解：首先，我们将函数分子(3x+8x+12)和函数分母(3x+20x+30)分别除以x，得到新的函数形式如下：3 + 8/x + 12/x 3 + 20/x + 30/x。
由于，当x向正无穷大时，8/x和20/x都会变得趋于0，这表明极限值为3。
因此，limx→∞ (3x+8x+12)/(3x+20x+30) = 3。
无穷小极限是极限的另一种，它反映了当函数x的变量从正无穷小变化到0时，函数值的接近情况。
也就是说，当函数x的极限为L 时，可以表示为：limx→0f(x) = L。
当函数f(x)的变量x取得越来越小的值时，其函数值也越来越接近L。
例题3：求limx→0 x-2x+5的值解：在这个例题中，我们需要求出x向0变化时，x-2x+5的极限值。
两个重要极限试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→问题1：观察当x →0时函数的变化趋势：x (弧度)0.50 0.10 0.05 0.04 0.03 0.02 ...xxsin 0.95850.99830.99960.99970.99980.9999 ...当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得一．1sin lim0=→x xx ．1sin lim 0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim xxx -→． 解 20cos 1limx xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim xxx x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim问题2：观察当x →+∞时函数的变化趋势：x1 2 10 1000 10000 100000 100000 ... x x)11(+22.252.5942.7172.71812.71822.71828...当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.718281828...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得 二．x x x )11(lim +∞→=e ．x x x)11(lim +∞→=e 的特点： （１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x )21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2．当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0， 于是 xx x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx xsin lim问题1：观察当x0时函数的变化趋势：x(弧度)0.50 0.10 0.05 0.04 0.03 0.02 (x)x sin 0.95850.99830.9996 0.9997 0.99980.9999...当x 取正值趋近于0时，x xsin 1，即0limxxx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(lim sin lim 0x x xx x x ．综上所述，得一．1sin limxxx ．1sin lim 0x x x 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广如果axlim(x )=0,(a 可以是有限数x 0,或)，则ax lim xxsin=xx xsinlim=1．例1求xx xtan lim 0．解xx x tan lim 0=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 000xx x x x x xxxx x x x．例2求x x x3sin lim．解xx x 3sin lim 0=3sin lim3)3(33sin 3limtt t xxx t x令．例3求2cos 1limxx x．解20cos 1lim x x x =2122sin 22sin 21lim )2(22sinlim 2sin2lim 0220220x x x x x x xx x x x ．例4求xx xarcsin lim．解令arcsinx=t ，则x =sint 且x0时t0．所以xx xarcsin lim0=1sin limtt t．例5求3sin tan lim xx xx．解3sin tan limxxxx=33cos cos 1sin lim sin cos sin lim xxx x xx xxx x=21cos 1lim cos 1lim sin lim2xx xx x x x x．考察极限exxx)11(lim 问题2：观察当x+时函数的变化趋势：x12 10 1000 10000 100000 100000 (x)x)11( 22.252.5942.7172.71812.71822.71828...当x 取正值并无限增大时，x x)11(是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x)11(的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x+时，可以验证xx)11(是趋近于一个确定的无理数e ＝2.718281828...．当x-时，函数xx)11(有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得二．xxx)11(lim =e ．xxx)11(lim =e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广（１）若axlim(x)= ,(a 可以是有限数x 0, 或)，则)()()(11lim))(11(lim x xx axx x =e ；（２）若axlim(x)=0,(a 可以是有限数x 0,或)，则)(1)(11lim 1lim x x x ax xx=e ．变形令x1=t ，则x 时t0，代入后得到e ttt 101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1，因此通常称之为1不定型．例6求xxx )21(lim ．解令－x 2=t ，则x =－t2．当x 时t0，于是x x x)21(lim =21020])1(lim [)1(lim t t t t t t =e –2．例7求x xx x )23(lim ．解令x x 23=1+u ，则x =2－u1．当x时u0，于是xxxx )23(lim =])1()1[(lim )1(lim 2112u u u uu uu =])1(lim [])1(lim [211u u u uu=e -1．例8求x xx cot 0)tan 1(lim ．解设t =tanx ，则t1＝cotx ．当x 0时t0，于是xx x cot 0)tan 1(lim =t tt 1)1(lim =e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
两个重要极限和极限存在准则(答卷)姓名: 学号: 专业班级:题号 得分总分 1. 下列各式中，的极限值为 . (5分)【参考答案】 【对应考点】C无穷大与无穷小的关系，无穷小的运算性质，【试题解答】 ； 不存在； ； . 2. 下列各式中正确的是. (5分)【参考答案】 【对应考点】 ，B【试题解答】；；；. 3. 下列各式中正确的是. (5分)【参考答案】 【对应考点】 ，B【试题解答】；；；. 4. . (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】. 5. 极限的值为. (5分)【参考答案】 【对应考点】 初等函数的连续性D【试题解答】 原式. 6. 下列等式中不成立的是. (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】；；；. 7. 下列等式成立的是. (5分)【参考答案】 【对应考点】B【试题解答】；；;. 8. 极限. (5分) 不存在【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】. 9. 极限. (5分) 不存在【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】. 10. . (5分)【参考答案】 【对应考点】 ，A【试题解答】原式， 当 时， ，所以原式．11. . (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】. 12. 已知，则. (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】 ，解得 . 13. 已知，则. (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】 ，解得 . 14. 下列极限中，极限值为 的是. (5分)【参考答案】 【试题解答】D；；；. 15. . (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】. 16. . (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】. 17. 求极限. (5分)【参考答案】 【对应考点】A初等函数的连续性，【试题解答】 18. . (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】. 19. 数列极限是. (5分)不存在但非【参考答案】B【对应考点】【试题解答】 . 20. 极限的值是. (5分)【参考答案】 【对应考点】D【试题解答】. 21. 极限. (5分)【参考答案】 【对应考点】 【试题解答】A. 22. 下列各式中正确的是. (5分)【参考答案】 【对应考点】 ，B【试题解答】；；；. 23. 下列各式中正确的是. (5分)【参考答案】 【对应考点】 ，B【试题解答】；；；. 24. 下列极限中，极限值为 的是. (5分)【参考答案】 【试题解答】D；；；. 25. 极限的值为. (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】，. 26. 已知，则. (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】 ，解得 . 27. 设，则. (5分)【参考答案】 【试题解答】D原式. 28. 已知，则. (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】 ，解得 . 29. 数列极限是. (5分) 不存在但非【参考答案】 【对应考点】B【试题解答】 . 30. 极限的值是. (5分)【参考答案】 【对应考点】D【试题解答】. 31. 下列等式成立的是. (5分)【参考答案】 【对应考点】B【试题解答】；；;. 32. . (5分)【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】. 33. 下列各式中正确的是. (5分)【参考答案】 【对应考点】 ，B【试题解答】；；；. 34. 下列极限中，极限值为 的是. (5分)【参考答案】 【对应考点】D【试题解答】；；；. 35. 极限. (5分)不存在【参考答案】 【对应考点】A【试题解答】原式. 36. . (5分)【参考答案】 【试题解答】B 故原极限为 . 37. 设有两命题：命题 ：若数列 数列 敛. 则 . (5分) ， 都正确 不正确， 正确 满足条件：单调且有下界，则 ，且必收敛. 命题 ：若 必收都有收敛，则数列正确， 不正确 ， 都不正确【参考答案】 【试题解答】 命题 中，缺少“D 命题 中，缺少“有上界”的条件； 的条件.所以两个命题都不正确.38. 设数列则. (5分)数列单调递增，但无上界，故无极限数列单调递增且有上界，故有极限【参考答案】 【试题解答】D显然，又，故数列单调增加且有上界，从而极限存在.。
1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(limsin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得一．1sin lim0=→x xx ．1sin lim 0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim x xx -→．解 20cos 1limxxx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim x xx x -→．解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.718281828...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得二．x x x)11(lim +∞→=e ．xx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x)21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2． 当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0， 于是 xx x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。
作业：见首页§2-1 导数的概念教学过程： 引入：一、两个实例实例1 瞬时速度考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t =0到时刻t 这一时间段内下落的路程s 由公式s =21g t 2来确定．现在来求t =1秒这一时刻质点的速度． 当∆t 很小时，从1秒到1+∆t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t =1时速度的近似．上表看出，平均速度t s ∆随着∆t 变化而变化，当∆t 越小时，ts ∆越接近于一个定值—9.8m/s ．考察下列各式： ∆s =21g ⋅(1+∆t )2－21g ⋅12=21g [2⋅∆t +(∆t )2]， t s ∆∆=21g ⋅t t t ∆∆+∆2)(2=21g (2+∆t )，思考： 当∆t 越来越接近于0时，ts∆∆越来越接近于1秒时的“速度”．现在取∆t →0的极限，得=→t s ∆∆∆0lim()=+→t g ∆∆221lim 0g =9.8(m/s )． 为质点在t =1秒时速度为瞬时速度．一般地，设质点的位移规律是s =f (t )，在时刻t 时时间有改变量∆t ，s 相应的改变量为∆s =f(t +∆t )-f (t )，在时间段t 到t +∆t 内的平均速度为v =()()tt f t t f t s ∆∆∆∆-+=， 对平均速度取∆t →0的极限，得v (t )=()()tt f t t f t s t t ∆-∆+=∆∆→∆→∆00lim lim， 称v (t )为时刻t 的瞬时速。
研究类似的例子 实例2 曲线的切线设方程为y =f (x )曲线为L ．其上一点A 的坐标为(x 0,f (x 0))．在曲线上点A 附近另取一点B ，它的坐标是(x 0+∆x , f (x 0+∆x ))．直线AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作β．由图中的R t ∆ACB ，可知割线AB 的斜率tan β=()()xx f x x f x y AC CB ∆∆∆∆00-+==． 在数量上，它表示当自变量从x 变到x +∆x 时函数f (x ) 关于变量x 的平均变化率(增长率或减小率)．现在让点B 沿着曲线L 趋向于点A ，此时∆x →0， 过点A 的割线AB 如果也能趋向于一个极限位置—— 直线AT ，我们就称L 在点A 处存在切线AT ．记AT 的倾斜角为α，则α为β的极限，若α≠90︒，得切线AT 的斜率为tan α=0lim →x ∆ tan β=xx f x x f x yx x ∆∆∆∆∆∆)()(limlim0000-+=→→． 在数量上，它表示函数f (x )在x 处的变化率．上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y =f (x )和自变量x 具体内容不同，但本质都是要求函数y 关于自变量x 在某一点x 处的变化率． 1. 自变量x 作微小变化∆x ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率y =xy ∆∆，作为点x 处变化率的近似；2. 对y 求∆x →0的极限xy x ∆∆∆0lim→，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值． 二、导数的定义1. 函数在一点处可导的概念定义 设函数y =f (x )在x 0的某个邻域内有定义．对应于自变量x 在x 0处有改变量∆x ，函数y =f (x )相应的改变量为∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)，若这两个改变量的比()()xx f x x f x y ∆∆∆∆00-+=当∆x →0时存在极限，我们就称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这一极限称为函数y =f (x )在点x 0处的导数(或变化率)，记作0|x x y ='或f '(x 0)或0x x dx dy=或0)(x x dx x df =．即 0|x x y ='=f '(x 0)=xx f x x f x yx x ∆∆∆∆∆∆)()(limlim 0000-+=→→ (2-1) 比值xy ∆∆表示函数y =f (x )在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率，导数0|x x y ='则表示了函数在点x 0处的变化率，它反映了函数y =f (x )在点x 0处的变化的快慢． 如果当∆x →0时xy ∆∆的极限不存在，我们就称函数y =f (x )在点x 0处不可导或导数不存在．在定义中，若设x =x 0+∆x ，则(2-1)可写成f '(x 0)=()()000limx x x f x f x x --→ (2-2) 根据导数的定义，求函数y =f (x )在点x 0处的导数的步骤如下： 第一步 求函数的改变量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)； 第二步 求比值xx f x x f x y ∆∆∆∆)()(00-+=；f (x 0+∆f (x第三步 求极限f '(x 0)=xy x ∆∆∆0lim→． 例1 求y =f (x )=x 2在点x =2处的导数．解 ∆y =f (2+∆x )-f (2)=(2+∆x )2-22=4∆x +(∆x )2；()x x x x y ∆∆∆∆∆24+==4+∆x ； x y x ∆∆∆0lim →=lim →x ∆(4+∆x )=4．所以y '|x =2=4． 当()()xx f x x f x ∆∆∆000lim -+-→存在时，称其极限值为函数y =f (x )在点x 0处的左导数，记作)(0x f -'；当()()xx f x x f x ∆∆∆000lim -++→存在时，称其极限值为函数y =f (x )在点x 0处的右导数，记作)(0x f +'． 据极限与左、右极限之间的关系f '(x 0) ⇔ 存在)(0x f -',)(0x f +'，且)(0x f -'=)(0x f +'= f '(x 0)． 2. 导函数的概念如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内每一点处都可导，就称函数y =f (x )在开区间(a ,b )内可导．这时，对开区间(a ,b )内每一个确定的值x 0都有对应着一个确定的导数f '(x 0)，这样就在开区间(a ,b )内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f (x )的导函数，记作等f '(x )或y '等．根据导数定义，就可得出导函数f '(x )=y '=()()xx f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆-+=→→00lim lim (2-3) 导函数也简称为导数．注意 （１）f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值（２）f (x )在点处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值．例2 求y =C (C 为常数)的导数．解 因为∆y =C -C =0，x x y ∆∆∆0==0，所以y '=0lim →x ∆xy ∆∆=0． 即 (C )'=0常数的导数恒等于零）． 例3 求y =x n (n ∈N , x ∈R )的导数．解 因为∆y =(x +∆x )n -x n =nx n -1∆x +2n C x n -2(∆x )2+...+(∆x )n ，xy∆∆= nx n -1 +2n C x n -2⋅∆x +...+(∆x )n -1， 从而有 y '=0lim →x ∆x y∆∆=0lim →x ∆[ nx n -1 +2n C x n -2⋅∆x +...+(∆x )n-1]= nx n -1．即 (x n )'=nx n -1．可以证明，一般的幂函数y =x α, (α∈R, x >0)的导数为 (x α)'=α x α-1．例如 (x )'=(21x )'=x x 212121=-；(x 1)'=(x -1)'=-x -2=-21x ．例4 求y =sin x , (x ∈R )的导数．解x y ∆∆=xx x x ∆∆sin )sin(-+，在§1-7中已经求得 0lim→x ∆xy ∆∆=cos x ，即 (sin x )'=cos x ．用类似的方法可以求得y =cos x , (x ∈R )的导数为 (cos x )'=-sin x ．例5 求y =log a x 的导数(a >0, a ≠1, x >0)．解 对a =e 、y =ln x 的情况，在§1-7中已经求得为 (ln x )'=x1． 对一般的a ，只要先用换底公式得y =log a x =axln ln ，以下与§1-7完全相同推导，可得 (log a x )'=ax ln 1． 三、导数的几何意义方程为y =f (x )的曲线，在点A (x 0,f (x 0))处存在非垂直切线AT 的充分必要条件是f (x )在x 0存在导数f '(x 0)，且AT 的斜率k =f '(x 0)．导数的几何意义——函数y =f (x )在x 0处的导数f '(x 0)，是函数图象在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y -f (x 0)=f '(x 0)(x -x 0) (2-4) 过切点A (x 0,f (x 0))且垂直于切线的直线，称为曲线y =f (x )在点A (x 0,f (x 0))处的法线，则当切线非水平(即f '(x 0)≠0)时的法线方程为y -f (x 0)=-)(10x f '(x -x 0) (2-5) 例6 求曲线y =sin x 在点(6π,21)处的切线和法线方程． 解 （sin x ）'6π=x =cos x6π=x =23． 所求的切线和法线方程为 y －21=23(x －6π)， 法线方程 y －21=－332(x －6π)． 例7 求曲线y =ln x 平行于直线y =2x 的切线方程．解 设切点为A (x 0, y 0)，则曲线在点A 处的切线的斜率为y '(x 0)，y '(x 0)=(ln x )'0x x ==01x ，因为切线平行于直线y =2x ，，所以01x =2，即x 0=21；又切点位于曲线上，因而y 0=ln 21=-ln2．故所求的切线方程为y +ln2=2(x -21)，即y =2x -1-ln2． 四、可导和连续的关系如果函数y =f (x )在点x 0处可导，则存在极限lim→x ∆x y ∆∆=f '(x 0)，则xy ∆∆=f '(x 0)+α (0lim →x ∆α=0)，或∆y = f '(x 0) ∆x +α⋅∆x (0lim →x ∆α=0)，所以 0lim →x ∆∆y =0lim →x ∆[f '(x 0) ∆x +α⋅∆x ]=0．这表明函数y =f (x )在点x 0处连续．但y =f (x )在点x 0处连续，在x 0处不一定是可导的． 例如：（１）y =|x |在x =0处都连续但却不可导．（２）y =3x 在x =0处都连续但却不可导．注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂直的．学生思考：设函数f (x )=⎩⎨⎧<+≥0,10,2x x x x ，讨论函数f (x )在x =0处的连续性和可导性．小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。
