§1 插值型数值求积公式
教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式并会讨论它们的代数精度； 2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson 数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们； 3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项； 4. 了解外推原理。
教学重点及难点 重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。
教学时数 12学时 教学过程
1．1一般求积公式及其代数精度
设)(x ρ是),(b a 上的权函数，)(x f 是],[b a 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分
?b
a
dx x f x )()(ρ
的最一般方法是用)(x f 在节点b x x x a n ≤<<≤≤ 10上函数值的某种线性组合来近似
?∑=≈b
a
n
i i
i
x f A dx x f x 0
)()()(ρ
其中n i A i ,,0, =是独立于函数)(x f 的常数，称为积分系数，而节点n i x i ,,1,0, =称为求积节点。
我们也可将（1．2）写成带余项的形式
][)()()(0
f R x f A dx x f x b
a
n
i i
i
+=?∑=ρ
（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数)(x f 在某些点的低阶导数值。
在（1.3）中余项][x R 也称为求积公式的截断误差。
一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。
定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m 次的代数多项式都精确成立，而对1
+m x 不能精
确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。 例1 确定求积公式
)]1()0(4)1([3
1
)(1
1
f f f dx x f ++-≈?-
的代数精度。
解 ??
?
??+=+--==+-?为偶数为奇数k k k k dx x I k k k ,12
,01)1(11
1
1 ;2)1141(31
,
1)(0I x f ==+?+= ;0)1041(31
,)(1I x x f ==+?+-=
;32
)101(31,)(22I x x f ==++=
;0)101(31
,)(33I x x f ==++-=
445
2
32)101(31,)(I x x f =≠=++=。
从而该求积公式的代数精度为3=m 。
对给定节点，,10b x x x a n ≤<<<≤ 如何选择求积系数,,,0n A A 使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现。
1． 2 插值型求积公式
对给定求积节点,0b x x a n ≤<<≤ 构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值。
设)(x L n 是)(x f 关于n x x x ,,10的Lagrange 插值多项式
∑==n
k k k n x l x f x L 0
)()()(
其中
∏
≠==--=n
k
l l l
k l
k n k x x x x x l 0.,,1,0,)(
为Lagrange 基函数。取
?
?∑?==≈b
a
b
a
n
k b
a
k k n dx x l x x f dx x L x dx x f x 0
)()()()()()()(ρρρ
∑==n
i i
i
x f A 0
)(
其中
?==b
a
i i n i dx x l x A ,,1,0,)()( ρ。
定义2 对给定互异求积节点b x x a n ≤<<≤ 0，若求积系数n i A i ,,1,0, =是由（1.4）
给出的，则称该求积公式是插值型的。
定理1 数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度n m ≥。 证明 假设求积公式（1.2）是插值型的，则
dx
x x x x x x n x f
x dx
x L x f x x f A dx x f x n b
a
n b
a
n i b
a
n
i i )())(()!
1())
(()
(])()()[()()()(10)
1(0
---+-=-?
??
∑+= ξρρρ
上面我们假设了],[)()
1(b a C x f n +∈。从而当)(x f 为次数n ≤的代数多项时必精确成立，
故有
n m ≥。
假设n m ≥。注意到多项式),,0)((n k x l k =的次数为n ，对)(x f =)(x l k 数值求积精确成立，从而
),,0()()()(0
n k A x l A dx x l
x k
b
a
n
i i k i k
===?∑=ρ
即其求积系数由（1．4）给出。
推论1 对给定求积节点b x x x a n ≤<<<≤ 10，代精度最高的求积公式是插值型求积公式。
例2 求插值型求积公式
)2
1()21(
)(101
1
f A f A dx x f +-≈?
- 并确定其代数精度。 解 21
)(,21)(,21,211010+=-==-=
x x l x x l x x 。 1)2
1
(,1)21(111110=+==+-=??--dx x A dx x A
从而求积公式为
?
-+-≈1
1
)2
1
()21(
)(f f dx x f 且1≥m 。
对?-=≠=+-=112
2
3
221)21()21(,)(dx x f f x x f
从而1=m 。
若我们利用Hermite 插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。
推论2 若(1)
[,],(1.3)n f C
a b +∈是插值型求积公式，则有余项公式
(1)1(())[]()()(1)!
n b
n a
f x R f x x dx n ξρω++=+?
其中101()()()().n n x x x x x x x ω+=---
1．3 Newton-Cotes 求积公式 在[a,b]上()1,,0,1,,i b a
x x a i i n n
ρ-≡=+=的插值型求积公式应用最方便、
最广泛，称之为Newton-Cotes 求积公式。
设,b a
h n
-=
令,x a th =+则求积系数为 0
0()
()()()i k
n b n k k a i n k t i
A l x dx h dx
k i b a C ≠=-==-=-∏??
其中
()00
1(1)(()),0,,(1.6)!()!i k
k
n n n k
i C
t i dt k n n k n k ≠=-=-=-∏?
因此，Newton-Cotes 公式为
()0
()()()
(1.7)n
b
n k k a
k f x dx b a C f x =≈-∑?
其中 (),0,1,,,n k k b a
x a k
k n C n
-=+=由（1．6）给出。
求职系数()
n k C 独平于区间[a,b] 称之为Cotes 系数。Cotes 系数可以用（1．6）计算或查（见表4-1）给出。
n=1,2 的Newton-Cotes 求积是常用公式。n=1的公式称为梯形公式，其几何意义是用直
边梯形的面积1
()[()()]2
b a f a f b -+来近似曲边梯形面积()b a f x dx ?（图4-1）。即
表4-1
()
111221412666133138888716216749045154590192525252519528896144144962884199349941684035280105280258407513577132329892989132335777517172801728017280172801728017280172801728098958889288
28350
28350
283n k n C -10496454010496928588898950
28350
28350
28350
28350
28350
28350
--
()[()()]2
b
a
b a
f x dx f a f b -≈
+?
（1.8）
2n =的Newton-Cotes 公式称为Simpson 公式: ()[()4()()]62
b a
b a a b f x dx f a f f b -+≈++? （1.9）
Simpson 公式的几何意义是用以插值抛物线22()()(),0,1,2)i i y P x P x f x i ===为曲边的曲边梯形面积来近似()y f x =为曲边的曲边梯形面积（如图4—2），因此Simpson 求积公式也称为抛物线公式。
3,4n =的Newton —Cotes 公式分别为Simpson 3
8
法则（公式）和Cotes 公式。
1.4 Newton —Cotes 求积公式的余项
定理２ 若2
()[,]f x C a b ∈，则梯形公式(1.8)的余项为
3
1()[](),[,]12
b a R f f a b ξξ-''=-∈
(1.10)
证明 由插值型求积公式的余项得
1(())
[]()()2!
b
a
f x R f x a x b dx ξ''=--?
利用2()()()x x a x b ω=--在(,)a b 上不变的号，由积分中值定理得
13()[]()()2!
()(),12
b
a f R f x a x
b dx b a f a b ξξξ''=
----''=<
定理３ 若4
()[,]f x C a b ∈，则Simpson 公式(1.9)的余项为
5(4)
21[]()(),902
b a R f f a b ξξ--=
<< (1.11) 证明 由例１知Simpson 公式的代数的精度为3m =。令()H x 为()f x 的三次Hermite 插值多项式，满足插值条件：
()(),(
)(),22
()(),()()
22a b a b
H a f a H f a b a b H f H b f b ++==++''==
对多项式()H x ，Simpson 公式精确成立，即：
()[()4()()]62
[()4()()]
62
b
a
b a a b
H x dx H a H H b b a a b f a f f b -+=
++-+=++?
从而
2(4)2
[][()()](())()()()4!2
b
a b
a R f f x H x dx
f x a b x a x x b dx ξ=-+=---??
利用2
()()()()[,]2
a b x x a x x b a b ω+=---在上小于等于零，由积分中值定理给出
(4)2
25(4)()[]()()()4!21()(),902
b a
f a b R f x a x x b b a f a b ξξξ+=-----=<
(1)
12(2)
1()()(1)![]()()()(2)!
2n b
n a n b n a f x dx n R f f a b x x dx n ξωξω++++??+?
=?+?-?+???
（1．2）
其中101()()()(),(,)n n x x x x x x x a b ωξ+=---∈。
例3 用1n =、2、3、4、5 相应的Newton —Cotes 公式计算积分
1
0sin x dx x ?
解 1n =、2、3、4、5相应Newton —Cotes 公式所得积分近似值见表4-2
表4-2
积分的准确值是0.9460830。容易发现2n =的结果比1n =有显著改进，但32n n ==与相比较没有实质性的进展。对充分光滑的被积函数，为了既保证精度又节约时间，应尽量选用n 是偶数的情形。
1.5 Newton —Cotes 公式的数值稳定性和收敛性
求积分式（1.2）的数值稳定性是指()k f x 的误差对数值积分结果的影响。若影响很大，就称该数值求积公式不稳定。
设()k f x 的近似值(),,0,,k k k k f f x k n εεε=+≤=。
由近似值,0,,k f k n =所得
数值积分值为
,()n
n n
k
k k k k k
k k k A f
A f x A ε====+∑∑∑
（n 为奇数）
（n 为偶数）
其误差为0n
k
k
k E A ε
==
∑
||0
||max ||||
(1.13)k n
n
nax k k k k k E A A ωεε≤
====∑∑
一般求积公式对()1f x ≡准确成立。因此有
max 0
||||()n
b
k a
k E A x dx εερ=≥∑?
对Newton-Cotes 公式来说，
()0
1,n
n k
k C
==∑ 从而
()max 0
||()||()n
n k k E b a C b a εε==-≥-∑
当7n ≤时，()
0,||()n k C E b a ε>≤-是数值稳定的。当8n ≥时，(),0,1,
,n k C k n =有正
有负，而且有
()0
lim ||n
n k n k C →∞
==+∞∑
从而高阶Newton-Cotes 公式是数值不稳定的。
我们可以证明，存在[],a b 上的连续函数()f x ，对Newton-Cotes 公式来说，不成立
[]lim 0n n R f →∞
=。即Newton-Cotes 公式当时n →∞，对连续函数的数值积分不能保证收敛。
基于上述稳定性、收敛性原因，在职实际计算中，很少采用高阶Newton-Cotes 求积人以式，而是采用Gauss 型求积公式或复化求积公式来提高数值积分的精度。
§2 Gauss 型求积公式
2．1最高代数精度求积公式
由推论1知，插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定。节点数目固定后，节点分布不同，所达到的确良代数精度也不同。
例4 求节点01,x x 使插值型求积公式
11
0011()()()f x dx A f x A f x -≈+?
（2.1）
具有尽可能高的代数精度。
解 首先有
1
11
010110
1
00
1110
102,
2x x x A dx x x x x x x x A dx x x x x ---==---==
--?
?
由于是插值型的，其代数精度1m ≥。令2
()f x x =，有
1
1
2
23
x dx -=
?
，及 2
20011102A x A x x x +=-
故只要有011/3x x =-，就有1m ≥。进一步取3
()f x x =，有
1
33
300110101011
2
0,2()()3
x dx A x A x x x x x x x -=+=-+=
+?
及 0101130
x x x x -?
=
??
?+=? 就有3m ≥
。上述方程的解为01x x ==，对应的求积公式为
1
1
()(
33
f x dx f f -≈+?
对于52
923333,)(11
44
?-=≠=???
? ??+????
??-=dx x f f x x f 。因此二个节点的求积公式，代数精度最高为3=m 。
对于任意求积节点b x x x a n ≤<<<≤ 10，任意求积系数，求积公式
?∑=≈b
a
n
k k k
x f A
dx x f x 0
)()()(ρ
的代数精度m 必小于22+n 。这是因为对于
210)]())([()(n x x x x x x x f ---=
有 ?>b
a
dx x f x 0)()(ρ
而
∑==n
k k k
x f A
0)(
)(x f 是22+n 次代数多项式，从而22+ 最高能达到的代数精度了。下面我们利用正交多项式的根来构造代数精度能达到最高的求积 公式。 引理1 若b x x x a n <<<<< 10是],[b a 上关于权函数)(x ρ的1+n 次正交多项式 )(1x P n +的根，则插值型求积公式 ?∑=≈b a n k k k x f A dx x f x 0 )()()(ρ 具有代数精度12+=n m 。 证明 设)(x f 为任一次数12+≤n 的代数多项式，则有 )()()()(1x r x q x P x f n +=+ 其是)(x q 和)(x r 为次数n ≤的多项式。于是 ? ??+=+b a b a b a n dx x r x dx x q x P x dx x f x )()()()()()()(1ρρρ ?+ =+b a n dx x r x q P )()(),(1ρ 其中),(1q P n +表示)(1x P n +与)(x q 在],[b a 上带权)(x ρ的内积，由于)(1x P n +是1+n 次正交多项式，)(x q 次数小于等于n ，它们的内积为0，而)(x r 次数不高于n 。对于插值型求积公式（2.2）有 ?∑∑====b a n k n k k k k k x f A x r A dx x r x 0 )()()()(ρ 从而 ?∑==b a n k k k x f A dx x f x 0 )()()(ρ 对所有次数12+≤n 的代数多项式)(x f 成立. 定义3 1+n 个节点的求积公式(2.2)称为Gauss 型求积公式,若其代数精度达12+=n m ,即达最高.并称其节点Gauss 点. 2.2Gauss 点与正交多项式的联系 利用正交多项式零点作插值型求积公式,可使其代数精度达到最高.下面我们给出Gauss 点与正交多项式零点的联系. 定理4 求积公式(2.2)是Gauss 型的,当且仅当Gauss 点b x x x a n <<<<< 10是],[b a 上关于权)(x ρ的1+n 次正交多项式的根. 证明 充分性即引理1的结论.下证必要性.置)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω.任取次数n ≤ 的多项式)(x q 有 ∑?=++==n k k k n k b a n x q x A dx x q x x 0 11 0)()()()()(ωω ρ 用内积术语来描述,即0),(1=+q n ω对一切次数不高于n 的代数多项式q 成立,从而)(1x n +ω是],[b a 上关于权)(x ρ的1+n 次正交多项式. Gauss 点n k x k ,,1,0, =是1+n 次正交多项式)(1x n +ω的根. 2.3Gauss 求积公式的余项 定理5 若],[)() 22(b a C x f n +∈,则Gauss 求积公式(2.2)的余项为 ?+=++b a n n x n f f R )()!22()(][)22(1ρξ ),(, )]())([(2 10b a dx x x x x x x n ∈---?ξ (2.3) 证明 取)(x f 的Hermite 插值多项式)(12x H n +，满足插值条件 .,,1,0),()(),()(12 12n k x f x H x f x H k k n k k n ='='=++ 由 ∑∑?==+==n k k k n k k k n b a x f A x H A dx x H x 0 1 2)()()()(ρ得 得 dx x x x x x x n f dx x H x f x f R b a n n b a n n ? ?---+=-=+++210)22(121)]())([()! 22() ()]()()[(][ ξρ 利用,0)]())([(2 10≥---n x x x x x x 由积分中值定理即得式（2．3）。 2．4 Gauss 求积公式的数值稳定性和收敛性 设n k x l k ,,1,0),( =为Lagrange 基函数。0)(2 ≥x l k 为n 2次代数理化多项式。于是 n k A x l A dx x l x k b a n i i k i k ,,1,0,)()()(00 22 =-= 由 ??∑===b a b a k n k k dx x A A )(||0 ρ 知Gauss 型求积公式是数值稳定的。 设],[b a 上关于权)(x ρ的1+n 次正交多项式根为b x x x a n n n n <<<<<+++) 1()1(1)1(0 ，对应的Gauss 求积公式为 ][)()()(10 ) 1()1(f G x f A dx x f x n b a n k n k n k +=++≡≈? ∑ρ 引理2 对于有限闭区间],[b a 上的任何连续函数)(x f 有 dx x f x f G b a n n )()(][lim 1?=+∞ →ρ 证明 ],[b a 上的连续函数)(x f 可以用代数多基式一致逼近。 对任意给定的,0>ε存在某个多项式)(x q m ，有 ?< -≤≤b a m b x a dx x x q x f )(2|)()(|max ρε 当2 m n ≥ 时，有 ∑?=++=n k n k m n k b a m x q A dx x q x 0) 1()1()()()(ρ 从而 ?∑=++=b a n k n k n k x f A dx x f x |)()()(|0 ) 1()1(ρ |)()]()([)(|)1(0 )1(+=+∑?--=n k n k n k m b a x f A dx x q x f x ρ|)]()1(+-n k m x q ∑???=+=+ ≤ n k n k b a b a b a A dt t dx dt t x 0 ) 1()(2))(2 )((ερε ρε ρ上面应用了 ?≤ -++b a n k m n k dt t x q x f )(2|)]()(|) 1() 1(ρε 及 ∑?=+=n k b a n k dt t A 0 )1()(ρ 由0>ε的任意性得（2．1）。证毕。 定理 6 Gauss 型求积公式是数值稳定的；且对（有限闭区间上的）连续函数，Gauss 求积的数值随节点数目的增加而收敛到准确积公值。 Gauss 型求积公式有很多优点，但对一般的权函数)(x ρ，Gauss 节点不容易求。Gauss 求积系数多为无理数，因此不如Newton- Cotes 求积公式的等距节点和Cotes 系数。当函数 )(x f 赋值计算量大或计算的积公多，这时Gauss 型求积公式常被优先选取。 2．5 几个常用的Gauss 型求积公式 常用Gauss 型求积公式有Gauss-Laguerre 求积公式和Gauss-Laguerre 求积公式等。 Gauss-Laguerre 求积公式： [-1，1]上关于权1)(≡x ρ的Gauss 型求积公式对应的Gauss 点和求积系数列在表4-3中 表4-3 对于一般区间[]b a ,上带权1)(≡x ρ的Gauss 权型求积公式，可通过变量变换，由Gauss-Legendre 求积公式得到： ?? -++---++dt a b b a f a b dx x f t a b b a b a )22(2)(112 2 ∑=≈n k k x Akf 0 ) ( n k A b A n k k ,,1,0,22) 1( =-= + n k t a b b a x n k k ,,1,0,22) 1( =-++=+ . ,,1,0,,)1() 1(点及求积系数求积公式的为Gauss Legendre Gauss n k A t n k n k -=++ 例5 用二点、三点Gauss 型求积公式计算 dx x x I ?=sin 10 解 令dt t t I t x 2 121) 221sin(21,212111 ++=+=?- 用二节点、三节点计算结果列在表4-4中。 表4-4 946083133 .03 946041136.02积分近似值节点数 与Newton-Cotes 公式相比较，近似值要精确得多。 Gauss-Chebyshev 求积公式： []求积公式 节点型求积公式的上关于函数Chebyshev Gauss n Gauss x x x -<<--=-)11(1/ 1)(1,12ρ )212(c o s 1)(12 1 1 ππ ∑? =--≈ -n k n k f n dx x x f Gauss-Laguerre 求积公式： []. 54.)(,0-=∞-点和求积系数列在表对应的公式的上关于权函数Gauss Gauss e x x ρ Gauss-Hermite 求积公式： ),(∞-∞上关于权函数2 )(x e x -=ρ的Gauss 型求积公式。对应的Gauss 点和求积系数列在表4-6中。 §3 复化数值求积公式 3.1 复化数值求积法 无论用Newton －Cotes 求积公式或Causs 型求积公式，提高数值积分精度的一个途径是增加求积节点数目。当n 增大时，Newton －Cotes 公式的数值稳定性变差，也不能保证能提高精度而Causs 型救只公式的Causs 点、求积系数通常是无理数，查找、计算都不方便。当 )(x f 的赋值不太复杂时，提高数值积分精度的另一个途径是利用复化求积公式。 复化求积公式的帮派则是把求积区间],[b a 进行等距细分： n i n a b i a x i ,,1,0, =-+= 在每个小区间],[1xi x i -上用相同的“基本”求积公式计算出 ? -xu xi x f 1 )(的近似值n i S i ,,2,1, =。并取 ? ++≈b a n S S S dx x f 21)( 当权函数1)(≠x ρ时，不易构造复化求积公式。下面讲座一些常用复化求积公式。 3.2 复化梯形公式 记,n a b h -= 在],[1xi x i -上采用梯形公式 ?-+≈-xi x i i i x f x f h dx x f 1 1)]()([2 )( 得 n n i i b a n i n i i x x x T b f x f a f h x f x f h dx x f dx x f i i ?? ?? ???++=+≈=∑? ∑∑? -===--1 11 11)(21)()(21)] ()([2 )()(1 即复化梯形求积公式为 ? ∑??? ???+-++-=≈-=b a n i n b f n a b i a f a f n a b T dx x f 1 1)(21)()(21)( （3.1） 设],,[)(2 b a C x f ∈由 i i i i x x i i x x f h x f x f h dx x f i i <<''-=+=--? -ξξ13 1),(12 )] ()([2 )(1 得 )(12 )(1 3 i b a n i n f h T dx x f ξ? ∑=''-= - 定理7 若],[)(2 b a C x f ∈，则复化梯形公式的余项为 b a f h a b T dx x f b a n <<''--=-? ξξ),(12 )()(2 （3.2） 及渐近估计式 0)),()((12 1 )(2 →'-'→ -? h b f a f h T xdx x f b a n （3.3） 当区间细分节点加密一倍时，得 ? ?? ???-+++-=∑-=1 212)2()(21)(212n i n n a b i a f b f a f n a b T )(2 1 n n H T += 其中 ∑=--+-=n i n a b i a f n a b Hn 1))21(( 为复化中矩求积公式. 3.3复化Simpson 公式 在每个小区间],[1i i x x -上采用Simpson 公式,得复化Simpson 求积公式 ? ∑-=-++=≈b a n k k n x f b f a f h S dx x f ])(2)()([6)(1 1 1 ∑-- +n k k x f 1 2 1 )(4 (3.4) 利用复化梯形公式n T 和复化中矩公式n H 有 )4(3 1 32312n n n n n T T H T S -=+= 其中.)21(,,2 1h k a x kh a x n a b h k k -+=+=-= - 对应于复化Simpson 公式有如下余项定理. 定理8 当],[)(1 b a C x f ∈时,复化Simpson 公式的余项有表达式 ? <<--= -b a n b a f h a b S dx x f ξξ),(2880 )()() 4(4 (3.5) 及渐近估计式 0)),()((2880 1 )()3()3(4 →-→ -? h b f a f h S dx x f b a n (3.6) 类似地我们可以建立复化Cotes 公式,复化Causs-Legendre 求积公式等,同时给出相应的余项估计. 例7 利用9点函数值,用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算 ?1 0sin dx x x 解 ,8,1,0,8/ ==i i xi 经计算得 T8=0.9456909, S4=0.9460832, C2=0.9460829 三种方法所用函数值个数一样多,与积分准确值0.9460831…相比较,复化Simpson 公式的结果与复化梯形公式的结果相比,复化Simpson 公式的结果要准确得多.故在实际使用中,复化Simpson 公式应用较广泛. 3.4复化求积公式的收敛阶 对],[b a 上的任何连续函数)(x f ,.都有 ?=∞ →b a n n dx x f T )(lim 但对代数多项式2 )(x x f = ? =≠-b a n n T dx x f ,2,1,0)( 因此复化求积公式不能用代数精度来决定其优劣.对复化求积公式我们用收敛阶来刻划其收敛性. 定义4 设n I 是将n b a ],[等分,n a b h -= ,用某一基本求积公式生成的复化求积公式,我们称该复化求积公式具有收敛阶ρ，若对充分光滑的被积函数)(x f ，有 ),|(|)(→∞<→-? h C C h I dx x f p p p b a n （3.7） 其中P C 独立于n ,依赖于)(x f . 根据定义,复化梯形公式的收敛阶是2(当)(')('b f a f =时收敛阶大于2);复化Simpson 公式的收敛阶是4(当)()(b f a f '''='''时大于4);复化m 节点Causs-Legendre 求积公式的收敛阶为m 2. 收敛阶越高,当区间划分加密时,积分近似值就越精确. §4 外推方法 在用复化梯形求积公式时,记n T 为)(h T ,其中n a b h -= .利用定积分定义有 )0()()(lim 0T dx x f h T b a h ? →==?+ 在数值计算中,经常会遇到类似情况:精确值)0(f 是所要求的,但不能用有限计算量算出来,而对某些0>h ,)(h f 却可以很方便地计算出来.如何从已知的0,,,2,1),(>=i i h n i h f 推出 )0(f 的近似值,为些介绍数值计算中的重要方法;外推方法. 4.1外推原理 定理9 若)(h f 逼近)0(f 有下述余项展开 )()0()(12211++++++=pn pn n p p h O h h h f h f ααα (4.1) 其中n i p p p i n ,,2,1,0,0121 =≠<<<<+α,设11,,+n h h 为相近的互异正数,则)0(f 可用 ∑+==1 1 )(~n k k k h f f λ (4.2) 来近似，其中n λλλ,,,21 满足 n j h h h j j j p n n p p n ,,2,101122111 21 ==+++++++++λλλλλλ （4.3） 而且),,max(),(~ )0(1211 +==-+n p h h h h h O f f n . 对于1,,2,1,1≠==+q i qh h i i 的情况,我们有： 定理10 若)(h f 逼近)0(f 的余项能写成渐近形式 ∑≥<<<=-1 21,0,)0()(k pk k p p h a f h f （4.4） ,2,1,0=≠k a k 及k p 是独立于h 的常数，则由 ?? ???=-?-==+ 2,1]1/[])()([)()()(11m q q h f qh f h f h f h f m m p p m m m （4.5） 定义的序列)}({h f m 随m 增大以更快的速度收敛于)0(f ： ∑≥++=-0 ) ()0()(k p m k m m k m h f h f α （4.6） 其中 1,11,) ()1()1(+≥?? ???--=≥=+m i q q q i m m i p p p m i m i i i αααα （4.7） 定理10也称Richardson 外推法。 4．2复化梯形公式余项的渐近展开 利用Euler-Maclaurin 求和公式，可以证明复化梯形公式的余项具有渐近展开。 定理11 若],,[)() 22(b a C x f m +∈则有 12)12()12(1 2])([)! 2()()(+--==-=-? ∑ m l l l b a m l l r h f a f l B h T dx x f (4.8) 其中 ,42 1 ,31,61642=-==B B B 为Bernoulli 数，而 b a h a b f m B r m m m m <<-+- =++++ξξ,))(()! 22(22)22(2 21 （4.9） 若记 m l b f a f l B C l l l l ,2,1)],()([)! 2()12()12(2 =-= -- 从而可用Richardson 外推法提高精度。 4．3 Romberg 算法 在复化梯形公式中，选取.,2,1,2/,10 ==-=-i h h a b h i i 记.,1,0)(,0, ==k T h T k k 注意到,2 1,,2,1,2= ==q l l p l 得 ],4[1 41,1--= k i k k k i T T （4.10） 计算顺序如表4-7所示。 表4-7 Romberg 算法： 1．输入外推次数0k （一般取为3），控制精度)0(>ε； 2．置,:,1:,1:a b h jj i -===计算)]()([2 0b f a f h T += ，取0:T T =； 3．计算])21(([21 ~1 00∑=-++=jj j h j a f h T T ； 4．对i k ,,2,1 =进行外推计算 )14/()~ 4(~11--=--k k k k k T T T ； 5．若ε<-T T i ~，输出数值积分值i T ~ ，停机； 6．置jj jj jj h h +==,2/:， ,,,1,0~:i k T T k k == ;:),1,m in(:0i T T i k i =+= 7．转3。 在Romberg 算法中，第一列对应于复化梯形序列，第二列对应于复化Simpson 序列，第三列对应于Cotes 序列，第四列称为Romberg 序列。在实际使用中常常只计算到第4段列（即取30=k ），更高的列较少用。Romberg 算法中止准则，一般取同列或同行相邻两高值的的误差绝以值小于事先给定的精度要求。 Romberg 算法是数值稳定的，且对任意连续函数，都能保证数值积分收敛到准确值。Romberg 算法程序简单，当)(x f 函数值不太复杂时，Romberg 算法是常用的实用方法。 §5 自适应求积方法 5．1自适应计算问题 若要计算 ? b a dx x f )(要求误差不超过ε，我们可以用Newton-Cotes 公式，Gauss 型求积 公式，复化求积公式,Romberg 算法等来实现。当)(x f 充分光滑时，利用余项公式可以确定 n 或区间等公数。这儿有些不足之外，首先高阶导数不易估计，即使给出了估计，估计式也 把误差放大到一个误差限；其次上述求积公方法全是把被积函数在整个区间上作整体处理的。函数)(x f 在],[b a 上性质可能差异很大。例如在不等长分划b x x x a n =<<<= 10下，若每个小区间],[1i i x x -上用Simpson 公式求积，有 数值分析上机题 第一章 17.（上机题）舍入误差与有效数 设∑=-= N j N j S 2 2 11 ，其精确值为）111-23（21+-N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 -1 ···1-311-21222N S N +++=，计算N S 的通用 程序； （2）编制按从小到大的顺序1 21 ···1)1(111 222-++--+ -=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时用单精度）； （4）通过本上机题，你明白了什么？ 解： 程序： （1）从大到小的顺序计算1 -1 ···1-311-21222N S N +++= ： function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long ; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end （2）从小到大计算1 21 ···1)1(111 2 22 -++--+-= N N S N function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end （3） 总的编程程序为： function p203() clear all format long; n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn fprintf('精确值为%f\n',sn); sn1=fromlarge(n); fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1); sn2=fromsmall(n); fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2); function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end end 运行结果： 北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设1 2A ?-=-?? ，则A 的奇异值为 。 (2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有 位有效数字。 (3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。 (4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,, ,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数， 则 20 (2)()n k k k x l x =+=∑ 。 (5) 插值型求积公式 2 2 =≈∑? ()()n k k k x f x dx A f x 的求积系数之和0 n k k A ==∑ 。 其中2x 为权函数，1≥n 。 （6）已知(3,4),(0,1)T T x y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。 H= 。 (7) 数值求积公式 1 1 2()((0)3f x dx f f f -?? ≈ ++???? ? 的代数精度为___。 (8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。 （输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:n if x (i) MATLAB 编程题库 1.下面的数据表近似地满足函数2 1cx b ax y ++=，请适当变换成为线性最小二乘问题，编程求最好的系数c b a ,,，并在同一个图上画出所有数据和函数图像. 625 .0718.0801.0823.0802.0687.0606.0356.0995 .0628.0544.0008.0213.0362.0586.0931.0i i y x ---- 解： x=[-0.931 -0.586 -0.362 -0.213 0.008 0.544 0.628 0.995]'; y=[0.356 0.606 0.687 0.802 0.823 0.801 0.718 0.625]'; A=[x ones(8,1) -x.^2.*y]; z=A\y; a=z(1); b=z(2); c=z(3); xh=-1:0.1:1; yh=(a.*xh+b)./(1+c.*xh.^2); plot(x,y,'r+',xh,yh,'b*') 2.若在Matlab工作目录下已经有如下两个函数文件，写一个割线法程序，求出这两个函数 10 的近似根，并写出调用方式： 精度为10 解： >> edit gexianfa.m function [x iter]=gexianfa(f,x0,x1,tol) iter=0; while(norm(x1-x0)>tol) iter=iter+1; x=x1-feval(f,x1).*(x1-x0)./(feval(f,x1)-feval(f,x0)); x0=x1;x1=x; end >> edit f.m function v=f(x) v=x.*log(x)-1; >> edit g.m function z=g(y) z=y.^5+y-1; >> [x1 iter1]=gexianfa('f',1,3,1e-10) x1 = 1.7632 iter1 = 6 >> [x2 iter2]=gexianfa('g',0,1,1e-10) x2 = 0.7549 iter2 = 8 思考题： 1. (b) 错 (Newton Cotes 点多了就不是好条件了) (c) 错 (d)错 2. 不会，需要用复化公式 习题： 2. 确定下列数值积分公式中的参数，使它具有尽可能高的代数精度 (1) ()()()()1010h h f x dx A f h A f A f h ??≈?++∫ 解 令 ()1f x = ()2h h f x dx h ?=∫ 故()()()10110102A f h A f A f h A A A h ???++=++= 令()f x x = ()0h h f x dx ?=∫ 故 ()()()1011100A f h A f A f h A h A h ???++=?+= 令()2f x x = ()323 h h f x dx h ?=∫ 故 ()()()22310111203 A f h A f A f h A h A h h ???++=?+= 联立上面三式得 11014 33 A A h A h ?=== (2) 同理：11028 33 A A h A h ?=== (3) ()()()()1 1211233f x dx f f x f x ?≈?++????∫ 解 令 ()1f x = ()112f x dx ?=∫ 故 ()12332++= 令()f x x = ()1 10f x dx ?=∫ 故 121230x x ?++= 令()2 f x x = ()1123f x dx ?=∫ 故 2212213x x ++= 联立上面二式得 115x ±= 2315 x =? (4) ()()()()()1234b a f x dx f a f b f a f b ωωωω′′≈+++∫ 解 令 ()1f x = ()b a f x dx b a =?∫ 故12b a ωω+=? 令()f x x = ()()2212b a f x dx b a =?∫ 故 ()22123412 a b b a ωωωω+++= ? 令()2f x x = ()()3313 b a f x dx b a =?∫ 故 ()223312341223 a b a b b a ωωωω+++=? 令()3f x x = ()()4414 b a f x dx b a =?∫ 故 ()33224412341334a b a b b a ωωωω+++=? 联立上面四式得 ()()()122122 233333224441110021112233314b a b a a b a b a b b a a b a b b a ωωωω?????????????????????????=???????????????????????? 或者能解出具体的值也可以。 3. 略 6. 证明 ( )(( )1 1158059f x dx f f f ???≈++??∫ 解 令 ()1f x = ()112f x dx ?=∫ 故(( )[]115805585299 f f f ??++=++=?? 令()f x x = ()110f x dx ?=∫ 故 ( 1580509 ?×+×+=? 令()2f x x = ()1123 f x dx ?=∫ 故 ( 2212580593??×+×+×=???? 东南大学数值分析上机作业 汇总 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 数值分析上机报告 院系： 学号： 姓名： 目录 作业1、舍入误差与有效数 (1) 1、函数文件cxdd.m (1) 2、函数文件cddx.m (1) 3、两种方法有效位数对比 (1) 4、心得 (2) 作业2、Newton迭代法 (2) 1、通用程序函数文件 (3) 2、局部收敛性 (4) （1）最大δ值文件 (4) （2）验证局部收敛性 (4) 3、心得 (6) 作业3、列主元素Gauss消去法 (7) 1、列主元Gauss消去法的通用程序 (7) 2、解题中线性方程组 (7) 3、心得 (9) 作业4、三次样条插值函数 (10) 1、第一型三次样条插值函数通用程序： (10) 2、数据输入及计算结果 (12) 作业1、舍入误差与有效数 设∑ =-=N j N j S 2 2 11 ，其精确值为?? ? ??---1112321N N . （1）编制按从小到大的顺序1 1 131121222-? ??+-+-=N S N ，计算N S 的通用程序； （2）编制按从大到小的顺序()1 21 11111222-???+--+-=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算642101010,,S S S ,并指出有效位数； （4）通过本上机你明白了什么？ 程序： 1、函数文件cxdd.m function S=cxdd(N) S=0; i=2.0; while (i<=N) S=S+1.0/(i*i-1); i=i+1; end script 运行结果（省略>>）： S=cxdd(80) S= 0.737577 2、函数文件cddx.m function S=cddx (N) S=0; for i=N:-1:2 S=S+1/(i*i-1); end script 运行结果（省略>>）： S=cddx(80) S= 0.737577 3、两种方法有效位数对比 第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。 MATLAB 编程题库 1.下面的数据表近似地满足函数2 1cx b ax y ++= ，请适当变换成为线性最小二乘问题，编程求最好的系数c b a ,,，并在同一个图上画出所有数据和函数图像. 625 .0718.0801.0823.0802 .0687 .0606 .0356 .0995.0628.0544.0008.0213.0362.0586.0931.0i i y x ---- 解： x=[-0.931 -0.586 -0.362 -0.213 0.008 0.544 0.628 0.995]'; y=[0.356 0.606 0.687 0.802 0.823 0.801 0.718 0.625]'; A=[x ones(8,1) -x.^2.*y]; z=A\y; a=z(1); b=z(2); c=z(3); xh=-1:0.1:1; yh=(a.*xh+b)./(1+c.*xh.^2); plot(x,y,'r+',xh,yh,'b*') 2.若在Matlab工作目录下已经有如下两个函数文件，写一个割线法程序，求出这两个函数 10 的近似根，并写出调用方式： 精度为10 >> edit gexianfa.m function [x iter]=gexianfa(f,x0,x1,tol) iter=0; while(norm(x1-x0)>tol) iter=iter+1; x=x1-feval(f,x1).*(x1-x0)./(feval(f,x1)-feval(f,x0)); x0=x1;x1=x; end >> edit f.m function v=f(x) v=x.*log(x)-1; >> edit g.m function z=g(y) z=y.^5+y-1; >> [x1 iter1]=gexianfa('f',1,3,1e-10) x1 = 1.7632 iter1 = 6 >> [x2 iter2]=gexianfa('g',0,1,1e-10) x2 = 0.7549 iter2 = 8 建设管理系2011年博士培养方案 管理科学与工程（工学门类） （2011年7月修订） 一、适用学科、专业: 管理科学与工程（一级学科，工学门类） 本一级学科不设二级学科，此方案适用于建设项目管理、房地产经济与管理研究方向，授工学学位。 二、学制年限 直博生和提前攻博生4-5年，普博生一般为3年，在职博士生可适当延长。 三、培养计划制定的主要原则与内容 博士生的培养计划包括课程学习计划和论文工作计划两部分。课程学习计划由：（1）公共必修课程；（2）学科专业要求的必修和限选课；（3）必修环节等组成。对外校及本校其他专业考入的博士生还需制定补修课程的具体内容及进度安排。课程学习计划一般在入学三周内在导师指导下完成，论文工作计划在博士生进行文献综述与选题报告时完成。 培养计划应考虑学科发展趋势的需要及研究生的具体情况，并使计划在以下几个方面得到充分的综合平衡：（1）管理科学的基础理论；（2）适当宽度和深度的建设与房地产管理专业知识；（3）一定的工程管理实践、计量经济模型计算、设计能力；（4）科学研究工作各主要环节所需的能力；（5）必要的相邻学科知识。 四、培养环节 博士生培养包括课程学习，资格考试，文献综述与选题报告，论文工作，最终学术报告，论文答辩等环节。 1、文献综述与选题报告 博士生应在导师指导下查阅文献资料，深入调查研究，确定具有理论和实践意义的具体课题，并尽早完成选题报告。选题报告应包括选题背景、文献综述、选题及其意义、研究目的、主要研究内容、技术路线和研究方法、工作特色及难点、预期成果及可能的创新点、论文工作计划等。文献综述应阅读不少于30篇与学位论文有关，且反映所研究内容最新状况的文献，其中50%应为外文文献。选题报告会应在二级（或一级）学科范围内相对集中、公开地进行，并以博士生导师为主的不少于3名教授（含导师）参加，并吸收有关教师和研究生参加。跨学科的论文选题应聘请相关学科的导师参加。若学位论文课题有重大变动，应重新作选题报告，以保证课题的前沿性和创新性。评审通过的选题报告，应以书面形式交系研究生业务办备案。 论文选题可由学生自己选题，也可结合指导教师的科研任务进行。鼓励博士生自己选择具有创新性的研究课题。研究生学位论文选题应紧密结合指导教师的研究方向和学术专长，从事交叉学科课题研究的学生应申请联合指导教师，学生应选择指导教师熟悉的研究领域从事学位论文工作。 选题报告时间由指导教师自行决定，但距离申请答辩的日期不少于12个月。 2、资格考试 资格考试在课程学习结束后进行，由系统一安排。按照土木工程学位分委员会《关于博士生资格考试规定》实施。 数值分析上机题1 设2 21 1N N j S j ==-∑ ，其精确值为1311221N N ??-- ?+?? 。 （1）编制按从大到小的顺序222 111 21311 N S N = +++---，计算N S 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序22 21111(1)121 N S N N =+++----，计算N S 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？ 程序代码（matlab 编程）： clc clear a=single(1./([2:10^7].^2-1)); S1(1)=single(0); S1(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S1(N)=a(1); for i=2:N-1 S1(N)=S1(N)+a(i); end end S2(1)=single(0); S2(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S2(N)=a(N-1); for i=linspace(N-2,1,N-2) S2(N)=S2(N)+a(i); end end S1表示按从大到小的顺序的S N S2表示按从小到大的顺序的S N 计算结果 通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。 华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。 （1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。 （1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。 同济大学课程考核试卷（B卷）（工科研究生）2011—2012学年第一学期 命题教师签名：审核教师签名： 课号：2102002课名：数值分析(工科研究生)考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考(√)试卷 （注意：本试卷共7大题，3大张，满分100分．考试时间为120分钟.要求写出解题过程，否则不予计分. 精确到小数点后3位） 一、(15分)设 212 233 618 A - ? ? ? =- ? ? - ?? , 2 5 b -?? ? =- ? ? ?? .将A进行 LU 分解，并由此求解线性方程组 AX b =. 二、(15分)用牛顿法求出方程x2 e2 x +=的二个实根(计算精度为ε=10-3). 三、(10分) 四、(15分) 构造三点积分公式： 1 2 012 1 ()((0) x f x dx f f f ωωω - ≈++ ? 使该积分公式有尽可能高的代数精度.并指出该公式的代数精度.它是Gauss公式吗？ 由此公式计算积分1 2 1 x x e dx - ?的近似值,并与积分的精确值比较,从而得到误差值. 五、(15分)写出求解方程组Ax b =的Jacobi迭代格式，初始迭代向量为 x ?? ? = ? ? ?? ，计算迭 代3次的数值结果.其中 210 131 012 A - ?? ? =-- ? ? - ?? ， 1 8 5 b ?? ? = ? ? -?? 六、(15分) 取步长0.2h =,用欧拉(尤拉)公式计算下列微分方程在节点 0.2n x n =(n=1,2,3,4,5)上的近似值. 并与精确解y =比较各节点上的误差. 2, 01 (0)1dy x y x dx y y ?=-≤≤???=? 以下为Matlab 编程题 七、(15分)用改进的乘幂法计算矩阵 213116282A ?? ? = ? ??? 的主特征值和相应的特征向量(取初 始向量00(1,1,1)T v u ==计算精度为3 10ε-=). 2015.1.9 上机作业题报告 JONMMX 2000 1.Chapter 1 1.1题目 设S N =∑1j 2?1 N j=2 ，其精确值为 )1 1 123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 1.2程序 1.3运行结果 1.4结果分析 按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。 按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。 可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。 2.Chapter 2 2.1题目 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。 （2）给定方程03 )(3 =-=x x x f ,易知其有三个根3,0,3321= *=*-=*x x x ○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。 ○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 2.2程序 第一章 一、题目 设∑ =-=N j N j S 22 1 1，其精确值为)11 123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算SN 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-=N N S N ，计算SN 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 二、MATLAB 程序 N=input('请输入N(N>1)：'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); %single 使其为单精度 Sn1=single(0); %从小到大的顺序 for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); %从大到小的顺序 for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('Sn 的值 (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('精确值 %f\n',AccurateValue); fprintf('从大到小计算的结果 %f\n',Sn1); fprintf('从小到大计算的结果 %f\n',Sn2); disp('____________________________________________________') 2015计算方法复习 1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组 2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项 3. 会Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性 4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速 5. 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题 6. 会最小二乘法多项式拟合 7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式 第1章、数值计算引论 (一)考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。 (二) 复习要求 1.了解数值分析的研究对象与特点。 2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。 （三）例题 例1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有2位有效数字。 例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为 )1ln(2++-x x 。 例3. 3 *x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍. 第2章、非线性方程的数值解法 (一)考核知识点 对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。 (二) 复习要求 1.了解求根问题和二分法。 2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。 3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。 5.了解弦截法。 （三）例题 1.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( ) (A) (B) 11,1112-=-= +k k x x x x 迭代公式21211,11k k x x x x +=+=+迭代公式 数值分析上机题(matlab版)(东南大学) 数值分析上机报告 第一章 一、题目 精确值为)1 1 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序 1 1 131121222-+??+-+-= N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序 1 21 1)1(111222-+??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算6 42 10,10, 10S S S ,并指出有效位 数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 clear N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn using different algorithms (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2); 西北工业大学数值分析习题集 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 第七章 偏微分方程数值解法 ——Crank-Nicolson 格式 ****（学号） *****（姓名） 上机题目要求见教材P346,10题。 一、算法原理 本文研究下列定解问题(抛物型方程) 22(,) (0,0)(,0)() (0) (0,)(), (1,)() (0)u u a f x t x l t T t x u x x x l u t t u t t t T ?αβ???-=<<≤≤???? =≤≤??==<≤?? (1) 的有限差分法，其中a 为正常数，,,,f ?αβ为已知函数，且满足边界条件和初始条件。关于式(1)的求解，采用离散化方法，剖分网格，构造差分格式。其中，网格剖分是将区域{}0,0D x l t T =≤≤≤≤用两簇平行直线 (0) (0)i k x x ih i M t t k k N τ==≤≤?? ==≤≤? 分割成矩形网格，其中,l T h M N τ==分别为空间步长和时间步长。将式(1)中的偏导数使用不同的差商代替，将得到不同的差分格式，如古典显格式、古典隐格式、Crank-Nicolson 格式等。其中，Crank-Nicolson 格式具有更高的收敛阶数，应用更广泛，故本文采用Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程。 Crank-Nicolson 格式推导：在节点(,)2 i k x t τ +处考虑式(1)，有 22(,)(,)(,)222 i k i k i k u u x t a x t f x t t x τττ??+-+=+?? (2) 对偏导数 (,)2 i k u x t t τ ?+?用中心差分展开 []2311+13 1(,)(,)(,)(,) ()224k k i k i k i k i i k i k u u x t u x t u x t x t t t t ττηητ++??+=--< 4.(1)T=1/2(3+1)=2 S=1/6(3+8+1)=2 计算其准确的结果为2 与精确值比较，T的误差为0 S的误差为0 7（1）复合梯形公式T2n的matlab 实现： function I= trapezoid(fun,a,b,n) n=2*n; h=(b-a)/(n-1); x=a:h:b; f=feval(fun,x); I=h* (0.5*f(1)+sum(f(2:n-1))+ 0.5*f(n)); function trapezoid_and_sinpsom clc; format long syms x Iexact= int(x*exp(x^2),x,0,1); a=0; b=1; for n=2:1:4 t=trapezoid(@f,a,b,n) s=simpson(@f,a,b,n) err1=vpa(Iexact-t,5) err2=vpa(Iexact-s,5) end function y=f(x)y= x*exp(x^2); return 从而得出的结果： n=2 t=1.000576811286697 s=0.860997139578795 err1=-0.14144 err2=-0.0018562 n=3 t=0.923798756293777 s=0.859533825596209 err1=-0.064658 err2=-0.00039291 n=4 t=0.895892057505771 s=0.859268455239111 err1=-0.036751 err2=-0.00012754 13.function [Dc,err]=dfDc(f,x0,h) d0=1/x0; Dc=(f(x0+h)-f(x0-h))/(2*h); err=Dc-d0; return function [Sc,err]=dfSc(f,x0,h) d0=1/x0; Sc=4/3*dfDc(f,x0,h/2)... -1/3*dfDc(f,x0,h); err=Sc-d0; return function [Cc,err]=dfCc(f,x0,h) d0=1/x0; Cc=16/15*dfSc(f,x0,h/2)... -1/15*dfSc(f,x0,h); err=Cc-d0;return f=@(x)log(x); x0=2;h=0.1; [Dc,err]=dfDc(f,x0,h) [Sc,err]=dfSc(f,x0,h) [Cc,err]=dfCc(f,x0,h) Dc=0.500417292784913 err=4.172927849132035e-04 Sc=0.499999843400513 err= -1.565994868224507e-07 Cc=0.500000000017481 err=1.748101663423540e-11 14. 3.示位法的MATLAB实现：Function [c,k]=fapo(f,a,b,epsilon,max1) Use false position to find the toot of function Input:f=the function a,b=left and right brachets of root 东南大学数值分析上 机题答案 数值分析上机题 第一章 17.（上机题）舍入误差与有效数 设∑=-= N j N j S 2 2 11 ，其精确值为）111-23（21+-N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 -1 ···1-311-212 22N S N +++=，计算N S 的通用程序； （2）编制按从小到大的顺序1 21 ···1)1(111 222 -++--+-=N N S N ，计 算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时用单精度）； （4）通过本上机题，你明白了什么？ 解： 程序： （1）从大到小的顺序计算1 -1 ···1-311-212 22N S N +++= ： function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long ; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end （2）从小到大计算1 21 ···1)1(111 222-++--+ -= N N S N function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end （3） 总的编程程序为： function p203() clear all format long; n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn fprintf('精确值为%f\n',sn); sn1=fromlarge(n); fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1); sn2=fromsmall(n); fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2); function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end end 运行结果： 数值分析上机报告 姓名： 学号： 专业： 2013年10月27日 第一章 舍入误差与有效数 设2 21 1N N j S j ==-∑ ，其精确值为1311221N N ??-- ? +?? 。 （1）编制按从大到小的顺序222 111 21311 N S N = +++---，计算N S 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121N S N N =+++----，计算N S 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？ 解： （1） #include 410S =0.749900 有效位数6位 610S =0.749999 有效位数6位 (4)通过上述实验数据可以看出此次算法使用从小到大的顺序进行得到的数据相对而言更精确，可以得到这样的启示：在计算数值时，要先分析不同算法对结果的影响，避免大数吃小数的现象，找出能得到更精确的结果的算法。 第二章 （上机题）Newton 迭代法 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制Newton 法解方程()0f x =根的通用程序。 （2）给定方程3 ()/30f x x x =-=，易知其有三个根1x *=，20x * =，3x * = 1．由Newton 方法的局部收敛性可知存在0δ>，当0(,)x δδ∈-时，Newton 迭代序列收敛于根2x * 。试确定尽可能大的δ。 2．试取若干初始值，观察当0(,1)x ∈-∞-，(1,)δ--，(,)δδ-，(,1)δ，(1,)∞时Newton 序列是否收敛以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 解： （1）#include东南大学数值分析上机题答案
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