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东北大学数值分析 总复习+习题

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东北大学-数值分析-课后习题答案

东北大学-数值分析-课后习题答案
一.习题1（第10页） 习题1 10页
1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数. x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6×105. 解 绝对误差限分别为: ε1=0.5×10-3,ε2=0.5×10-4, ε3=0.5×10-5,ε4=0.5,ε5=0.5×104 . 相对误差限分别为: εr1=0.5×10-3/5.420=0.00923%, εr2=0.00923%,εr3=0.0923%,ε4=0.0083%,ε5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有 几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032 解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.
2-4.对矩阵A进行LDM A LDM分解和Crout分解，其中 LDM
2 1 2 A = 4 5 6 6 15 15
解
2 1 2 A = 4 5 6 6 15 15
2 1 1 2 2 → 4 3 3 6 12 1
(2) 因为 ||x||=||(x-y)+y||≤||x-y||+||y|| 所以 ||x||-||y||≤||x-y|| ,同理可证 ||y||-||x||≤||x-y|| 于是有 |||x||-||y|||≤||x-y|| .
2-11.设||•||为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义||x||p= P x ||Px 证明||x||p 也是一种向量范数. Px||, Px x 证明 (1)||x||p=||Px x Px||≥0,而且||Px Px||=0⇔Px 0⇔x=0 Px=0 x 0 Px Px Px (2)||αx||p=||P(αx)||=||αPx x Px||=|α|||Px Px||=|α|||x||p P x Px Px x (3)||x+y||p=||P(x+y x y x+y)||=||Px+Py Px Py x||p+||y||p Px+Py||≤||Px Py||=||x P x+y Px+Py Px||+||Py y 所以||x||p是一种向量范数. x 2-12.设A为对称正定矩阵,定义||x||A= x T Ax ,证明||•||A x 是一种向量范数. 证明 由Cholesky分解有A=GGT,所以||x||A = A=GG x

东北大学10数值分析B(研)答案

东北大学10数值分析B(研)答案
y f ( x, y ) , x [ a , b ] y (a)
为什么？ 解 由于 f ( x, y ) xye y 关于 y 满足 Lipschitz 条件， 2分 5分 的差分公式：
所以，改进 Euler 法收敛。
h y n 1 y n 4 (3k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n 2h, y n 2hk1 ) y0
1 3 1 3 ， x2 2 6 2 6
4分
1 1 1 3 1 3 ) f( )] 积分公式为： f ( x)dx [ f ( 0 2 2 6 2 6
6分
解得： a 1 / 3, b 13 / 18 0.7222 ， 拟合曲线为: y
13 2 1 x 18 3
y ( x n 1 ) y ( x n ) y ( x n )h
y n hf n
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6
5分
h 2 f n f n ( fn ) 2 x y

2 fn 2 f n 2 f n f n f h3 2 f n [ 2 2 fn fn ( n ) 2 f h ] O(h 4 ) 2 6 x xy x y y y

。
解
3 2 4.(6 分)设 xk 1 xk axk bxk c, k 0,1,2,... 是求方程根 1 的迭代法，试确定
1/ 3 1/ 3 0 0 1 / 3 ,所以 B 由于 B 13 1/ 2 1/ 4 0
1 1 9 所以， H 3 ( x) ( x 2)( x 2 4 x 1) x 3 3x 2 x 1 2 2 2 9． 分）给定离散数据 （7

2012数值分析试题及答案

2012数值分析试题及答案


aii
(bi

n
aij
x
(k j
)
)
,
j 1
i 1,2,, n
(1) 求此迭代法的迭代矩阵 M ；
(2) 证明：当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，此迭代格式收敛.
解：迭代法的矩阵形式为：
x(k1) x(k) D 1 (b Ax (k) ) D 1 (D A)x(k) D 1b
x2 3/5
）.
线 …
8．对离散数据 xi yi
1 0 1 2 的拟合曲线 y 5 x 2 的均方差为( 2.5 1.58 ).
2 1 1 3
6
…
…
…
9．设求积公式
2
f (x)dx
1
A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1) 是插值型求积公式，则积分系
… 数 A0 3/ 4 , A1 0 , A2 9 / 4 .
2
2
2
2
2
2
R[ f ] 0 f (x)dx 0 p1 (x)dx 0 f (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 p1(x)dx
2 f (4) ( x ) (x 1 )2 (x 1 )2 dx f (4) () 2 (x2 1)2 dx
…
四、(10 分)利用复化 Simpson 公式 S2 计算定积分 I
2
cos
xdx
的近似值，并估
0
… 计误差。
… …
解：
I

S2

1 [cos0 6
cos2

东北大学数值分析考试题解析

东北大学数值分析考试题解析

数值分析提供了许多实用的算法， 这些算法可以解决各种实际问题， 如线性方程组、微分方程、积分 方程等。这些算法在科学计算、 工程仿真、数据分析等领域都有 广泛的应用。
数值分析在解决实际问题时具有 高效、精确和可靠的特点。通过 数值分析，我们可以快速地得到 问题的近似解，并且可以通过误 差分析来控制解的精度。这使得 数值分析成为解决实际问题的重 要工具。
详细描述
数值分析是一门应用广泛的学科，它通过数学方法将实际问题转 化为可计算的数学模型，并寻求高效的数值计算方法来求解这些 问题。数值分析在科学计算、工程、经济、金融等领域中发挥着 重要的作用，为实际问题的解决提供了有效的工具。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程、经济、金融等。
非线性方程组的求解精度和速 度取决于所选择的方法和初值 条件。
非线性方程组的求解在科学计 算、工程技术和计算机图形学 等领域有广泛应用。
最优化方法
最优化方法是寻找使某个 函数达到最小或最大的参 数值的方法。
最优化方法的效率和精度 取决于所选择的算法和初 始参数值。
常用的最优化方法包括梯 度下降法、牛顿法和拟牛 顿法等。
数值分析在人工智能领域的应用
总结词
数值分析在人工智能领域的应用关键，涉及深度学习、神经 网络等领域。
详细描述
数值分析为人工智能提供了理论基础和算法支持，特别是在 深度学习和神经网络方面。通过数值分析的方法，可以优化 神经网络的参数和结构，提高人工智能的性能和准确性。
数值分析在金融领域的应用
总结词
常见的迭代法有雅可比迭代法 、高斯-赛德尔迭代法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数 的迭代方法，用于求解非线 性方程的根。

东北大学09数值分析(研)答案

东北大学09数值分析(研)答案
1+ n
。 2 − n ,...,2,1 = k � 0 =
i≠ j
k
i
∑ �即
) 4 h(O + ) 2n f
2 n
x∂ 61 y∂ y∂x∂ y∂ x∂ 2 + n fh + n y = + ) nf n + n ( + nf n 2 + n2 ( f 2∂ f 2 ∂ 3 h3 f 2∂ f∂ f∂ 2 h
3 n 2
1+ k
i)
1= i j − i 1= j 1= i ∏ ( ∑ = i y ) x ( i l ∑ = ) x ( nL = ) x ( f = j −x n n n
x
�有性一唯的式项多值插由
i≠ j
j i 1= j j − i 1= j ∏ x− x∏ = = )x ( il jx − x j −x n n
x−
) k(
x 使若� T )4 / 3 ,3 / 2 ,2 / 1( =
)1(
x �得步一代迭
解
�有且而。3�n 取应�故
4
� 4 /1 − 2 /1 − � � � 0 6 0 3 / 1 − � = B 为阵矩代迭 . = 1 B, � 3 / 1 − i b o c a J 于由 5 � � � 2 /1 2 /1 − 0 �
2
解
。线曲合拟的 2 xb + a = y 如形求试 1 0 3 1�
i y
… … … … 密 … … … …
○
。步 2 5 代迭应即。 2 5� k 取�以所
1
4 2
2 1
82.15 ≈
ix
x − )1( x 6 21 / 32 )0 ( nl ÷ nl = 1 B nl ÷ 1 nl > k 5 6 / 3− 01 ) B − 1( ε

东北大学 数值分析 08数值分析(研)答案

东北大学 数值分析 08数值分析(研)答案
0 1
y n1 y n
f 1 h 2 f n hfn ( n fn ) 3 3 x y ( 2
2 2 fn 2 fn 2 fn 2 f f n2 ) O(h 4 ) n xy x 2 y 2
问应取 n 为多少？并求此近似值。 2 2 1．由 A0 A1 A2 , A0 A1 x1 A2 0, A0 A1 x12 A2 , 3 5 1 4 3 A0 A1 x1 A2 0, 可得： A0 A2 , A1 , x1 0 ，具有 3 次代数精度。 5 15 2． n 4
五、 （12 分）已知求解常微分方程初值问题：
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
的差分公式：
h y n 1 y n 3 (k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n h, y n hk1 ) y0
( A)
5 33 ， Cond( A)1 21。 2
6．求区间[0，1]上权函数为 ( x) 1 的二次正交多项式 P2 ( x) 。
P0 ( x) 1， P1 ( x) x
9 x 3 3． x 为何值时，矩阵 A x 8 4 可分解为 GG T ，并求 x 6 时的分解式，其中 3 4 3
由 A 正定可得， 0 x 8 ， x 6 时有：
9 6 3 3 3 2 1 A 6 8 4 ＝ 2 2 2 1 3 4 3 1 1 1 1
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。 由于 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 ，所以 0 (1,1,1,1)T ,1 (1,0,1,4)T , f (2,1,3,2)T

东北大学数值分析答案

第一周解答：π=0.31415926×10M=1|π-3.141|=0.0005926<1/2 ×10m−n=0.5 ×101−n≤0.5×10−2所以n=3|π-3.142|=0.0004074<1/2 ×10m−n=0.5 ×101−n≤0.5×10−3所以n=4即3.141作为π的近似值具有3位有效数字3.142 有4位解答：√3=1.73205081…=0.173205081…M=1|√3−x|≤0.5×101−n|n=2时0.5×101−n=0.051.73205-x≤0.05x≥1.68205x=1.68205|√3−x|≤0.5×101−n|n=3时0.5×101−n=0.0051.73205-x≤0.005x≥1.72705x=1.72705解答：2256=2128×2128=264×264×2128=232×232×264×2128=216×216×232×264×2128=2×2×22×24×28×216×232×264×2128共计算8次乘法第二周解答：因为在n取一定位数时，1/n过于小导致系统计算为0.因此计算机求和在一定位数以后其余的数字都是0，结果为一常数解答：由于y0=28没有误差，可见误差是由√783引起的，设x=27.982σ=x-√783利用已知的递推算法，y n=y n−1−√783100和实际计算中的递推公式Y n=Y n−1−x/100(Y0=y0)两公式相减，e(Y n)=Y n−y n=Y n−1−y n−1−x−√783100e(Y n)= e(Y n−1)- σ/100此为绝对误差因为σ=x-√783数值恒定不变，因此该递推过程稳定解答：(1)原式=2x2(1−2x)(1−x)(2)e x 在x=0处的泰勒展开式可得： e x =1+x +12!x 2+⋯1n!x 2+R n (x) 所以1−e x x=x+12!x 2+⋯1n!x2x=1+12!x 2+⋯1n!x n−1第三周解答：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡61-12001-101-1131-11-301-101-11101112-2-211-11消元消元回代得解，;3,2,2321===x x x解答：1. 使用条件：当系数矩阵 A 的各阶顺序主子式非零时，顺序高斯消去法可以顺利进行；而一般只要系数矩阵 A 的行列式非零，列主元高斯消去法就可以顺利进行。

东北大学数值分析 总复习+习题


(2)构造迭代格式:
xk1 1 sin xk
由于|(x)|=|
cos x|/<12,故1此迭si代n法x收敛.
k 0,1,2,...
取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.0035<10-2 , 故可取 根的近似值x2=1.40983.
容易验证公式对(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。
六、(12分)设初值问题
y f (x, y)

y(a)


(1)试证单步法
a xb
K1 f (xn , yn ),
K2

f
(xn

2 3
h,
yn

2 3
hK1
)

y
n
1

yn

h 4
(
K
1

3K 2 )
2.了解数值计算中应注意的一些问题.
二、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围
顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.
主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
2.掌握矩阵的直接三角分解法。
会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。
(3)因为0<</2,所以() 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
0
cos / 2 1 sin
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3

东北大学数值分析3.26

xi
( k 1)
x
(k ) i
i 1 n 1 ( k 1) (bi a ij x j a ij x (jk ) ) j 1 j i a ii
, i 1,2, n, k 0,1,2,
或写成向量形式 x（k+1）=x（k）+D-1(b+Lx(k+1)+(U-D)x(k)) , k=0,1,2,…
det(£ ) =det[(D-L)-1 ((1-)D+U)] =det[(E-D-1L)-1 ]det[(1-)E+D-1U)] =(1-)n 于是 |1-|<1, 或 0<<2
定理3.8 设A是严格对角占优矩阵,则解方程组Ax=b 的SOR方法,当0<1时收敛. 定理3.9 证 于是 (1-)(Dy,y)+(Uy,y)=[(Dy,y)-(Ly,y)]
(3.3)
, k 1,2,3,
或写成： 其中
0 a 21 B a 22 a n1 a nn
x(k+1)=Bx(k)+g
a12 a11 0 a n2 a nn a1n a11 a 2n a 22 0
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n (D L) U a n1 a n 2 a nn
若||1, 则矩阵(D-L)-U 是严格对角占优矩阵, 这与
det((D-L)-U)=0矛盾, 所以||<1,于是(G)<1.
由于迭代矩阵的行范数小于1,故此迭代法收敛.
§4 逐次超松弛迭代法---SOR方法
将Jacobi迭代法

数值分析复习题及答案

数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有〔 〕和〔 〕位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，那么A ＝〔 〕A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足〔 〕A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，那么它具有〔 〕敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程〔 〕.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，那么所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--那么二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 那么2||||X = ，=∞||||X 。

4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。

5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。

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局部平方收敛.
五、矩阵特征值问题
1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值. 2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.
六、插值与逼近
1.了解差商的概念和性质. 2.会建立插值多项式并导出插值余项. Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法 及待定系数法。
总复习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差 限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。 会计算误差限和有效数字。
一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其 绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限 是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数 字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。
推论 若1.a(x)b; 2.|(x)| L<1, x[a,b]. 则xk+1=(xk),x0[a,b]都收敛于方程的唯一根.
推论 若(x)在附近具有一阶连续导数,且|()|<1,
则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛. 3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.
a
2
12
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] (b a)5 f (4) ()
a
6
2
2880
2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法
确定求积公式。
3. 了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造。 4. 了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。 5.了解微分公式建立形式，会求简单的微分公式。
4.求 3 a 的Newton迭代格式为_x_k_1 __xk__x_3k3_xk_2 a_或_x_k_1__32_x_k __a3_x_k2_.
解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x3/a. 5.设(x)=x3+x2-3,则差商[3,32,33,34]=__1_____.
2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。
x(k ) x* M k x(1) x(0) 1 M
四、解非线性方程的迭代法
1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(k+1)(b-a). 2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收 敛性。 定理 若(x)为I上的压缩映射, 则对任何x0I,迭代 格式xk+1=(xk)均收敛于(x)在I上的唯一不动点.
3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。
4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。
5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方 误差.
七、数值积分
1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.
掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)] (b a)3 f ()
三、解线性方程组的迭代法
1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭 代方法的收敛性。
（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1. （2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1. （3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(0<1)收敛. （4）A对称正定,则GS法,SOR法(0<<2)收敛.
了解Aitken加速技巧.
(1)
xkp阶收敛于是指:
lim
k
xk 1 xk p
C
(2) 若()0,则迭代法线性收敛.
4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺
点.了解Newton迭代法的变形.
xk 1
xk

f (xk ) f (xk )
a 0 1
为GGT,其中G为下三角矩阵.
1aa
解
令
1 a
a 1 a 2 0, a 1
a
1 0
0 1 2a 2 0, 得： 1 a 1
1
2
2
3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向 量范数__是____,而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数_不_是___.
2.了解数值计算中应注意的一些问题.
二、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零. 主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
2.掌握矩阵的直接三角分解法。 会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout 分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。了解它们之间的关系。熟 练掌握用三角分解法求方程组的解。了解平方根法和追赶 法的思想。
定理 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在 唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU .
3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素 非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和 矩阵的范数； 了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。
4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。
6.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点

解 由于
1 A E
2 2 4 7 0
2 3
得特征值: 1 2 3i, 2 2 3i
又A-1= 1 3
72
2 1
,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7.
2.设矩阵A=
1 a
a 1
a 0

,当值解法
1.了解构造数值解法的基本思想及概念。 2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念，会求差分 公式的局部截断误差。 3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。
考试题解析
一、填空题（每空3分,共30分)
1.设矩阵A= 1
2
2 3
,则(A)=____7___,Cond(A)1=___2_5 /_7 __.