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正态总体均值的假设检验.

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正态总体均值的假设检验

正态总体均值的假设检验
t 检验 用 t 分布
2 用 分布
检验
下，若能求得检验统计量的 极限分布，依据它去决定临界值C.
例 1 (用例中数据,但未知)
n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622
X 10.05,S2 0.05, S 0.224 X 10 0.05 , 即未落入拒绝域为 S 10 2.262 0.160 S 10 2.262
抽取 样本
检验 假设
拒绝还是不能 拒绝H0
P(T W)=
类错误的概率， W为拒绝域
对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 显著性 水平
还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）
-----犯第一

一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为 U 检验 用正态分布
以上检验法叫U检验法.
X ～tn 1 S/ n
0
于是当原假设 H0:μ =μ X 0 ～tn 1 S/ n
成立时,有:
X 0 P tn 1 2 S / n S 即P X 0 tn 1 n 2 S 拒绝域为 X 0 tn 1 n 2 以上检验法叫t检验法.
第八章 第二节
正态总体均值的假设检验
一、单个正态总体N(,2)均值的检验
(I) H0:μ = μ
0
H1:μ ≠ μ
0
设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验. 方差2已知的情况
根据第一节例1,当原假设 H0:μ =μ , 有:

正态总体均值的假设检验

正态总体均值的假设检验

上一段中， H0:μ=μ0 ; H1: μ≠μ0 的对立假设为H1:μ≠μ0 ,该假设称为双边对立假设。

2. 单边检验 H0: μ=μ0; H1: μ>μ0而现在要处理的对立假设为 H1: μ>μ0, 称为右边对立假设。

类似地，H0: μ=μ0; H1: μ<μ0 中的对立假设H1: μ<μ0，假设称为左边对立假设。

右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。

例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为µ。

我们想了解“µ是否显著地大于μ”,即产品的质量指标是否显著地增加了。

8.2.2 两个正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)均值的比较在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题。

例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。

将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)。

比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值µ1和µ2的的问题。

上面，我们假定 σ12=σ22。

当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的 t 检验。

在实用中，只要我们有理由认为σ12和σ22相差不是太大，往往就可使用上述方法。

通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节), 就认为σ12和σ22相差不是太大。

J 说明小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。

正态总体的假设检验

正态总体的假设检验
(Xi μ)2
n
(Xi μ)2
P { i1
σ
2 0
χ
2 1
α 2
(
n)}
P{
i 1
σ
2 0
χ
2
α
(
n)}
α
2
所以拒绝域为： W
{
χ2
χ
2 1
α 2
(
n)
，χ
2
χ
2
α
(n)
}
2
2. μ未知时，总体方差σ2的假设检验 χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边 检验
σ2
σ
2 0
σ2
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，
问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的
标准差显著地偏大？
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本，
样本均值 X样，本方差S2
1．已知
T t（α n 1）
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？

概率论与数理统计02-82.2 两个正态总体均值的检验_70

概率论与数理统计02-82.2 两个正态总体均值的检验_70

第八章假设检验第二节正态总体均值的假设检验2. 两个正态总体在寿命问题中提出了两个正态总体均值是否相等的假设012:H μμ=112:H μμ≠这种情形经常发生在当研究对象的外界条件发生了改变时，判断研究对象是否受到了这种影响.检验统计量如何构造呢？例3对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗拉强度试验，得到的试验数据如下：方法Ⅰ：31，34，29，26，32，35，38，34，30，29，32，31方法Ⅱ：26，24，28，29，30，29，32，26，31，29，32，28设两种热处理加工的金属材料的抗拉强度都服从正态分布，且方差相等．比较两种方法所得金属材料的平均抗拉强度有无显著差异（）.05.0=α).,(),,(2221σμσμN N 解：记两总体的正态分布为.:,:211210μμμμ≠=H H 本题是要检验假设关键问题在于找到拒绝域12k μμ->X Y k->121212()()~(2),11w X Y t n n S n n μμ---+-+222112212(1)(1)2w n S n S S n n -+-=+-其中12221212()()~(0,1)X Y N n n μμσσ---+).,(),,(2221σμσμN N 解：记两总体的正态分布为.:,:211210μμμμ≠=H H 本题是要检验假设1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+检验统计量为21212||(2)11w x y t t n n S n n α-=≥+-+拒绝域为,1221==n n ,75.31=x .67.28=y ,25.112)1(211=-s n ,64.66)1(222=-s n .85.2=w s .647.26185.2|67.2875.31|11||||21=-=+-=n n s y x t w 计算统计值074.2)22()2(025.0212==-+t n n t α查t 分布表，得/212||(2)t t n n α>+-统计判决：由于故拒绝H 0.即认为两种热处理方法加工的金属材料的平均抗拉强度有显著差异．解：休息一下吧。

第二节 正态总体均值的假设检验

第二节 正态总体均值的假设检验
α 2 α 2
σ
~ N(0,1)
n
（σ 2 已知)
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
=0 ≠0
X 0 T= ~ T(n 1) S n
接受域
x 0 s n
≤ tα
（σ 2未知）
2
待估参数
枢轴量及其分布 置信区间
X 0 T= ~ T(n 1) S n
( x tα
2
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
U=
X 0
σ
U ≥ zα
2
n
U ≤ zα
N(0,1)
U ≥ zα
未知) T 检验法 (σ2 未知) 原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
= 0 ≥ 0 ≤ 0
≠ 0 < 0 > 0
X 0 T= S n ~ t(n 1)
（2）关于 σ
2
χ2检验法 的检验
拒绝域
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
σ
2=σ 2 0
σ
2≠σ 2 0
χ =
2
∑(X )
i=1 i
n
χ ≤ χ (n)
2 2 1α 2
2
或 χ 2 ≥ χα2 (n)
2
σ 2≥σ 02 σ 2<σ 02
σ
2 0
~ χ (n)
2
χ ≤ χ (n)
(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
1 – 2 = δ 1 – 2 ≠ δ 1 – 2 ≥ δ 1 – 2 < δ 1 – 2 ≤ δ 1 – 2 > δ

正态总体均值的假设检验

正态总体均值的假设检验
t不落在拒绝域中，故接受 H 0
即认为元件的平均寿 命不大于 225小时。
二、两个正态总体均值差的检验（t 检验N）o:
Image
设X1,X2,,Xn1是 来 自 正 态 总 体 N(m1,s2)的 样 本Y；1,Y2,,Yn2是 来 自 正 态 总 体 N(m2,s2)的 样 本 ， 且 设 两 样 立本 。独 又 分 别 记 它 们
1)
s
2 2
10 10 - 2
= 2.775,
t0.05 (18) = 1.7341,
故拒绝域为：
T = X -Y
Sp
11 10 10
- t 0.05 (18 ) = -1.7341 ,
可算得 T = -4.295 < -1.7341 , 故拒绝 H 0 ,
即 认为新方法能提高得率。
已知总 例体服从2正态某分布地，且区方差大高致相考同，负由抽样责获得人资料想如下：知道某年来自城市中学考生
当H0成 立 时T，~ t(n1 n2 -2)， 对 于 给 定 a 的
P{|T |>ta/2(n1 n2 -2)}=a,
故 拒 绝 域 为|T |>t a/2(n1 n2 -2).
说明： 1. 对于单侧检验 “ H0 : m1 - m2 ≤ m0 ” 和 “ H0 : m1- m2 ≥ m0 ”, 可以类似地讨论。 常用的是 m0 = 0。 2. 对于两个正态总体的方差均为已知时,
的 样 本 均 值 X，Y为， 样 本 方 差 S12为 ,S22， 并 设 m1,m2,s2 均未知。
检验H： 0:m1-m2 =m0，H1:m1-m2 m0,
取统2
其
中
S2p
=
(n1
-1)S12 (n2 -1)S22 n1 n2 -2

正态总体均值及方差的假设检验表


或
2 ≤ 02
2 ≥ 02
2 > 02
2 < 02
2 个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 a1=a2
2 12 ， 2
备择假设 H1 a1≠a2 a1>a2 a1<a2 a1≠a2 a1>a2
检验统计量
拒绝域 |U|≥ u( n - 1) a
a=a0 已 知 方差 2
c2 =
1 n 2 x - a0 ) ～c (2n) 2 å ( i s i =1
轾n n 2 2 犏 x i - a0 ) x i - a0 ) 邋 ( ( 犏 i =1 , i =1 犏 骣 骣 a a 犏 c2 琪 c (2n) 琪 1琪 犏 ( n) 琪 2 桫 桫 2 臌
( )
U≥ u( n - 1) 2a
( ) ( )
U≤- u( n - 1) 2a |T|≥ t( n - 1) a
( )
σ 未知
2
a≤a0 a≥a0
T=
x - a0 ～ t( n- 1) S n- 1
T≥ t( n - 1) 2a
( )
( )
T≤- t( n - 1) 2a
2 = 02
a= a0 已 知
(
已知
( )
( )
2 12 = 2
a1≤a2 a1≥a2
T=
未知
Z ～ t( n- 1) S n- 1
T≥ t( n - 1) 2a
( )
( )
T≤- t( n - 1) 2a
单正态总体均值及方差的区间估计(置信度 1-α)
待估参数 条件 检验统计量 拒绝域

正态总体均值和方差的假设检验


给定检验水平，查t(n-1)表得, t1-/2(n-1),使
得,
P{| T | t (n 1)}
即得,
1 2
P{|
x s
0
|
t 1
(n 1)}
n
2
拒绝域： 即
算出|Ｔ|与 t1比较，若 2 否则，接受H 0.
T ， t1拒 绝 ， H 0 2
例３ 在某砖厂生产的一批砖中,随机地抽取6块进 行抗断强度试验,测得结果(单位:kg/cm2)如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03, 设砖的抗断强度服从正态分布．问这批砖的 平均抗断强度是否为32.50 (kg/cm2)？(=0.05)。
2 0
,
H1
:
2
2 0
给定检验水平 ，查 2 n 1 分布表得
2 (n 1),
使得 P 2 2 (n 1)
根据样本值计算统计量的值.
如果 2 2 (n 1)
则拒绝 H 0 , 接受 H1.
第一类错误
弃真错误
第二类错误
取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第二类错误 (取伪)
第一类错误 (弃真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
P
否定H0
H
为真
0
P第一类错误
P
不否定H0
H
为假
0
P第二类错误
若 T t，1拒绝 ，H接0 受
H1
T t1 ，接受 H，0 拒绝 H。1
３，４形式的检验成为右边检验．

单个正态总体均值的假设检验

得否定域W: |t |>4.0322
使 P t t 2 5
(4) 将样本值代入算出统计量 t 的实测值, 没有落入 | t |=2.997<4.0322 拒绝域 故不能拒绝H0 .
这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显
著, 不足以否定H0 .
练习 生产葡萄糖的重量X ~ N 5， 2 , 观察 25个样本 的重量,得X 5.5, S 1, 问生产机器是否正常? 取 0.05
2. 从某批矿砂中，抽取10样本，检验这批砂矿的含 铁量是否为3%？ 双侧检验
H 0 : 0 3%, H1 : 3%
3.某学校学生英语平均分65分, பைடு நூலகம்抽取某个班的平均 分，看该成绩是否显著高于全校整体水平？ 单侧检验
H 0 : 0 65, H1 : 65
解 提出假设 H 0 : 5 H1 : 5 X 5 确定统计量 T ~ t 24 S 25 确定临界值 t 2 24 t0.025 24 2.0639 得否定域W : T 2.0639
由样本值计算T 2.5 t0.025 24
=0.01下, 新生产织物比过去的织物强力是否有提高
? 解 提出假设, H 0 : 21 H1 : 21
X 21 取统计量 U ~ N (0,1) n
否定域为W : U u0.01 =2.33
单侧检验
{U > u0.01}是 小概率事件
解 提出假设, H 0 : 21 H1 : 21
假设强力指标服从假设强力指标服从n2且??12公斤问在显著性水平??001下新生产织物比过去的织物强力是否有提高新生产织物比过去的织物强力是否有提高

§正态总体均值的假设检验


1 , 2 , 2 未知,
问新操作方法是否会增加钢的得率? (α=0.05)
解:
H 0 : 1 2 0,
n1 10, n2 10,
H 1 : 1 2 0
2 s1
x 76.23,
3.325,
y 79.43,
2 s2 2.225,
2 2 ( n 1 ) s ( n 1 ) s 2 1 2 2 sw 1 2.775, n1 n2 2
H1 : 0
(2) 选取检验统计量
X 0 Z n
在 H 0 成立的条件下， Z ~ N (0,1) (3) 给定的显著性水平α ,查正态分布表得临界值 z
2
P{ Z z 2 }
(4) 计算检验统计量与临界值比较；
(5) 拒绝域
x 0 z 2 , n
(1) 提出假设
H0 : 0 ,
H1 : 0
(2) 选取检验统计量
X 0 t S n
在 H 0 成立的条件下， t ~ t ( n 1) (3) 给定的显著性水平α ,找临界值
t 2 (n 1)
使
P{ t t 2 ( n 1)}
x 0 t 2 ( n 1), 下结论. s n
解：设两种方法处理后的羊皮含脂率分别为X 和Y，
X ~ N ( 1 , 2 ), Y ~ N ( 2 , 2 )
x 16.375, y 14.857,
sw 2.945,
H 0 : 1 2 0, H1 : 1 2 0
在H0成立下,
X Y T ~ t ( n1 n2 2) 1 1 SW n1 n2
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