两个正态总体均值差和方差的假设检验2
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两个正态总体的假设检验
由样本观察值算出的 F 满足
F0.95 (9 , 9) 1 3.18 F 1.95 3.18 F0.05 (9 , 9) .
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设 H0 ：σ12 = σ22 ，
从而认为两个总体的方差无显著差异。
注意：在 μ1 与 μ2 已知时，要检验假设 H0 ：σ12 = σ22 ，其
检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
1 n1
2
(
X
)
i 1
n1 i 1
F
1 n2
2
(
Y
)
i 2
n2 i 1
其拒绝域参看表8-5。
( 2 )单边检验可作类似的讨论。
F0.05 (n1 , n2 ) .
8-5
概率学与数理统计
体的样本，且 μ1 与 μ2 未知。现在要检验假设 H0 ： σ2 = σ02 ；
H1： σ2 ≠ σ02 。在原假设 H0 成立的条件下，两个样本方差的
比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小。
于是我们选取统计量
S12
F 2.
S2
( 8.21 )
显然，只有当 F 接近1时，才认为有 σ12 = σ22 。
10 10 2
18
由( 8.20 )式计算得
2.063 2.059
t0
3.3 .
0.0000072 (2 10)
对于 α =0.01，查自由度为18的 t 分布表得 t 0.005( 18 )=2.878。
由于| t0|=3. 3 > t 0.005( 18 )=2.878 ，于是拒绝原假设 H0 ：μ1 = μ2 。
两个正态总体方差的假设检验
两个正态总体方差的假设检验1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个在统计学中非常重要，但听起来可能有点儿复杂的话题——两个正态总体方差的假设检验。
别担心，我们会用通俗易懂的方式，把这个问题掰开了揉碎了讲清楚。
你可能会问，“这跟我有什么关系呢？”其实，这些统计方法不仅仅是数学家的专属，很多实际问题都可以通过这些方法得到解决。
好比你买衣服时，会比较不同品牌的裤子，看哪个更适合你，其实也是在做“检验”。
所以，搞懂这个概念，绝对会让你在数据分析的世界里如鱼得水。
我们从最基本的概念开始聊起，循序渐进，一步一步深入。
2. 正态总体和方差2.1 正态总体是什么？首先，让我们搞清楚什么是“正态总体”。
简单来说，正态总体就是数据分布呈现钟形曲线的情况。
在生活中，很多自然现象都符合这种分布，比如人的身高、体重、考试分数等等。
正态分布的特点就是数据集中在中间，向两边渐渐减少，就像一个标准的山峰。
想象一下你在玩飞盘，飞盘从空中下落时的轨迹，就是一个典型的钟形曲线。
2.2 方差的作用接下来，我们来谈谈方差。
方差是用来衡量数据的离散程度的，换句话说，就是数据离中间值的远近程度。
方差大的话，数据就会分布得比较散，方差小的话，数据就比较集中。
好比你家里那只爱乱跑的猫，方差大，它就到处跑；而如果它安安静静地待在一个角落，那就是方差小了。
3. 假设检验的基本概念3.1 什么是假设检验？好，接下来进入正题：假设检验。
假设检验就像是在做一个“真心话大冒险”，我们要通过数据来验证某个“假设”是否成立。
比如你和朋友讨论哪家餐馆的菜最好，你们就会提出一个假设，然后用实际的体验来检验这个假设。
统计学中的假设检验也是类似的，只不过我们用的是数字和公式来做这个验证。
3.2 两个正态总体方差的假设检验现在，我们要做的是两个正态总体方差的假设检验。
这就像是比较两个篮球队的实力，看看哪个队更强。
假设我们有两个正态分布的数据集，我们的任务就是判断这两个数据集的方差是否相同。
双正态总体的假设检验
1. 方差 , 已知情形
2 1 2 2
(1) 双侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 0 , 其中 0 为已知常数. 当 H 0 为真时，
x y 0 U ~ N (0,1), 2 2 1 专业课件讲义教材 / n1 2 / n文档 PPT 2
P{| U | k } 查标准正态分布表 k u / 2 u0.025 1.96, 从而拒绝域 为 | u | 1.96. 由于 x 1295, y 1230, 1 84, 2 96, 所以
u
x y
n1
2 1
n2
2 1
3.95 1.96,
x1 , x2 ,, xn1
和
专业课件讲义教材PPT文档
y1 , y2 ,, yn2 ,
3
计算出 U 的观察值 u,若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H 0 , 若 u u / 2 , 则接受原假设 H 0 .
类似地，对单侧检验有： (2) 右侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 可得拒绝域为 其中 0 为已知常数，
H 0 : 1 2 2 , H1 : 1 2 2 ,
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8
解 检验假设 H 0 : 1 2 2 , 2 4 22 X 2Y ~ N 1 2 2 , . n1 n2
在 H 0 成立下
1
记其观察值为 u, 相应的检 选取 U 作为检验统计量， 验法称为 u 检验法. 由于 X 与 Y 是 1 与 2 的无偏估计量, 当 H 0 成立时,
u 不应太大, 当 H1 成立时, u 有偏大的趋势, 故拒绝
2 1 2 2
(1) 双侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 0 , 其中 0 为已知常数. 当 H 0 为真时，
x y 0 U ~ N (0,1), 2 2 1 专业课件讲义教材 / n1 2 / n文档 PPT 2
P{| U | k } 查标准正态分布表 k u / 2 u0.025 1.96, 从而拒绝域 为 | u | 1.96. 由于 x 1295, y 1230, 1 84, 2 96, 所以
u
x y
n1
2 1
n2
2 1
3.95 1.96,
x1 , x2 ,, xn1
和
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y1 , y2 ,, yn2 ,
3
计算出 U 的观察值 u,若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H 0 , 若 u u / 2 , 则接受原假设 H 0 .
类似地，对单侧检验有： (2) 右侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 可得拒绝域为 其中 0 为已知常数，
H 0 : 1 2 2 , H1 : 1 2 2 ,
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8
解 检验假设 H 0 : 1 2 2 , 2 4 22 X 2Y ~ N 1 2 2 , . n1 n2
在 H 0 成立下
1
记其观察值为 u, 相应的检 选取 U 作为检验统计量， 验法称为 u 检验法. 由于 X 与 Y 是 1 与 2 的无偏估计量, 当 H 0 成立时,
u 不应太大, 当 H1 成立时, u 有偏大的趋势, 故拒绝
8.3两个正态总体参数的假设检验
方差
12
2 2
2
未知
1.H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
由于
Sw2
1 n1 n2
n1
[ 2 i1
(Xi
X )2
n2 i1
(Yi
Y )2]
是
2 的无偏估计
检验统计量：T
Sw
X Y 1 n1
1 n2
~ t(n1 n2 2)
检验问题的拒绝域为：| T | t (n1 n2 2)
X Y H0
2 1
2 2
~ N (0,1)
n1 n2
检验问题的拒绝域为：|U | Z
2
方差
12 ,
2 2
已知
2.
检验统计量：U
X Y
2 1
2 2
n1 n2
检验问题的拒绝域为：U Z1
3. H0 : 1 2 0
方差
12 ,
2 2
已知
H1 : 1 2 0
检验统计量：U
X Y
2 1
2 2
n1 n2
检验问题的拒绝域为：U Z
例：设可乐厂车间使用灌装机生产的可乐容量服从正态分布， 方差为1。某天计量检验人员随机抽取10瓶可乐，容量数据如下 （单位：毫升）：
499.5 496.3 500.5 499.1 499.3 499.2 499.0 500.2 500.1 499.8 另一可乐厂生产的可乐容量服从正态分布，方差为1.5。计 量检验人员随机抽取了的9瓶可乐，容量数据如下（单位：毫 升）：
2. H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
3. H0 : 1 2 0 H1 : 1 2 0
问题1称为双侧检验问题，问题2、3称为单侧检验问题。
正态总体均值和方差的假设检验
给定检验水平，查t(n-1)表得, t1-/2(n-1),使
得,
P{| T | t (n 1)}
即得,
1 2
P{|
x s
0
|
t 1
(n 1)}
n
2
拒绝域： 即
算出|Ｔ|与 t1比较，若 2 否则，接受H 0.
T ， t1拒 绝 ， H 0 2
例３ 在某砖厂生产的一批砖中,随机地抽取6块进 行抗断强度试验,测得结果(单位:kg/cm2)如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03, 设砖的抗断强度服从正态分布．问这批砖的 平均抗断强度是否为32.50 (kg/cm2)？(=0.05)。
2 0
,
H1
:
2
2 0
给定检验水平 ，查 2 n 1 分布表得
2 (n 1),
使得 P 2 2 (n 1)
根据样本值计算统计量的值.
如果 2 2 (n 1)
则拒绝 H 0 , 接受 H1.
第一类错误
弃真错误
第二类错误
取伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 真实情况
H0 为真 H0 为假
接受 H0
拒绝 H0
正确
第二类错误 (取伪)
第一类错误 (弃真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为 犯第二类错误的概率通常记为
P
否定H0
H
为真
0
P第一类错误
P
不否定H0
H
为假
0
P第二类错误
若 T t，1拒绝 ，H接0 受
H1
T t1 ，接受 H，0 拒绝 H。1
３，４形式的检验成为右边检验．
数理统计习题答案
数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布，试写出样本n X X X ,,,21 的联合分布律. 解:()的分布律为：即X P X ,~λ ()!k e k X P k λλ-==, ,,,2,1,0n k =n X X X ,,,21 的联合分布律为：()n n x X x X x X P ===,,,2211 = ()()()n n x X P x X P x X P === 2211=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n xx x e x x x n-+++!!!2121, n i n x i ,,2,1,,,2,1,0 ==2. 设总体X 服从()1,0N 分布，试写出样本n X X X ,,,21 的联合分布密度. 解：()1,0~N X ，即X 分布密度为：()2221x e x p -=π，+∞<<-∞xn X X X ,,,21 的联合分布密度为： ()∏==ni i n x p x x x p 121*)(,...,=22222221212121n x x x eee--⋅-πππ=()}21exp{2122∑=--n i ix n π n i x i ,,2,1, =+∞<<-∞.3. 设总体X 服从()2,σμN 分布,试写出样本n X X X ,,,21 的联合分布密度. 解：()2,~σμN X ，即X 分布密度为：()x p =()}2exp{2122σμσπ--x ，∞<<-∞xn X X X ,,,21 的联合分布密度为：()()∏==ni inx p x x x p 121*,...,=)})(21exp{21122∑--⋅⋅=-ni i n n x μσσπ, n i x i ,,2,1, =+∞<<-∞.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解：频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小，可以估计X 取值的位置与集中程度，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位：kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9，试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设9.50,8.47,5.54,3.51,2.5354321=====x x x x x()7.257151=∑=i ix，()54.51251==∑=i ixx(3) ss =()2512512x n xx xi ii i-=-∑∑===13307.84－5×51.542=25.982(4)2s =()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6)s s * =ss n 11-=6.4955 (7)*s =2.5486; (8)cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数. (10)中位数为3x =51.3; (11)极差为54.5－47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2.2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设组中值依次为921,,,x x x ,频数依次为921,,,n n n ,=+++=921n n n n 100,()=∑=911i ii x n 3950;()=+=∑=919112i ii xn n n x 39.5;()()=-=-=∑∑==29129123x n xn x x n ss i ii i i i 25.39100166300⨯-=10275;()==ss s 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()42379或众数是(),50210=n ;中位数为5.3924237=+;()11极差为:62-22=40;()4775.0,83,6812621521分位数为∴=+++=+++n n n n n n .3.略.4. 设n x x x ,,,21 是一组实数，a 和b 是任意非零实数，bax y i i -=(n i ,,1 =)，x 、y 分别为i x 、i y 的均值，2xs =∑-iix xn2)(1，2ys =1n()y y i i-∑2，试证明：① b a x y -=；② 222b s s x y =. 解①：∑∑==-==ni i ni i b a x ny ny 1111= ()∑=-ni i a x bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i na x nb 11= b a x -; ②2ys =1n∑-ii y y 2)(=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---ni i b a x b a x n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n 121=221x s b .习题5.3解答1.求分位数（1）()8205.0x ，（2）()12295.0x 。
双正态总体参数的假设检验
§7.3 双正态总体参数的假设检验设样本1,,1n X X 取自正态总体211(,)N μσ，样本2,,1n Y Y 取自总体222(,)N μσ，两样本相互独立，它们的样本均值分别为∑==1111n i iX n X ，∑==2121n j jYn Y ，样本方差分别为∑=--=112121)(11n i i X X n S ，∑=--=212222)(11n j j Y Y n S 。
一、 关于两个正态总体方差比的假设检验以双侧检验：2221122210::σσσσ≠↔=H H 为例 选用检验统计量2221S S F =，它在原假设0H 成立的条件下服从F 分布)1,1(21--n n F ；记2221s s f O =表示检验统计量F 的样本观测值，则检验的P 值为⎪⎩⎪⎨⎧<=≥≥=≥=1),/1/1(21),(222212221O O O O f f F P f f F P P 如果如果σσσσ这种检验方法通常称为“F 检验”。
例7.3.1 甲乙两台车床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布),(211σμN ，),(2σμN ，从各自加工的轴中分别抽取若干根，测得其直径如下表所示：试问在显著性水平05.0=α下，两台车床加工的精度是否有显著差异？解：（1）依题意，考虑假设检验问题2221122210::σσσσ≠↔=H H （2）用F 检验，检验统计量为)6,7(~02221F S S F H =或)7,6(~/102122F S S F H =；（3）由样本观测值可得2164.021=s ，2729.022=s ，检验统计量的值为793.0/2221==s s f O 。
故检验的P 值为76.038.02)793.0/1/1(22221=⨯==≥=σσF P P 。
（4） 因为05.0>P ，所以不拒绝原假设0H ，即没有充分理由认为两种机床所加工轴的精度有显著差异。
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表
（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
两个正态总体均值的检验.
解 依题意, 两总体 X 和 Y 分别服从正态分布
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的
两个正态总体的均值检验、配对样本均值检验
参数假设与检验统计量
参数假设
假设两个正态总体具有相同的方差 （即方差齐性），并且两个总体均值 的差值μ1-μ2为0（即无差假设）。
检验统计量
常用的检验统计量有t检验和z检验。t 检验适用于小样本或方差未知的情况 ，而z检验适用于大样本且方差已知的 情况。
实例分析
实例1
比较两组人群的身高均值是否存在显著差异。
两个正态总体的均值 检验、配对样本均值
检验
目录
• 两个正态总体的均值检验 • 配对样本均值检验 • 两种检验方法的比较与选择 • 相关统计概念与术语解释
01
两个正态总体的均值检验
定义与原理
定义
两个正态总体的均值检验是指比较两个独立正态总体均值的差异是否显著。
原理
基于大样本近似或中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于 正态分布。通过比较两个独立样本的均值，可以推断两个总体的均值是否存在 显著差异。
参数假设
假设两个总体具有相同的方差，即方差齐性；两个总体均服 从正态分布。
检验统计量
配对样本均值检验的检验统计量一般为差值的平均值除以差 值的标准差，即z统计量或t统计量。
实例分析
实例1
比较两种新药对血压的影响。选取两组高血压患者，分别给予两种新药进行治疗，然后比较治疗前后血压的变化 差值是否具有统计学差异。
配对样本
配对样本是指两个或多个相关联的观测值，它们之间存在一定的关联或相似性。
在配对样本中，每个观测值都与其对应的另一个观测值有关联，因此它们的取值之间存在一定的依赖 关系。
THANKS
感谢观看
实例2
比较两种不同处理下植物的高度均值是否存在显著差异。
02
配对样本均值检验
正态总体均值与方差的假设检验
, 其中 Sw2
(n1
1)
S* 1n1
2
(n2
1)
S* 2 n2
2
.
n1 n2 2
当H0为真时,根据第二章§2.3定理2.9知, 定理2.9
t ~ t(n1 n2 2).
其拒绝域旳形式为
|x y|
W {x: sw
1
1
t (n1 n2 2)},
2
n1 n2
第一类错误旳概率为：
P{H0 为真拒绝
问全部住户消费数据旳总体方差为0.3是否可信?
解 按题意要检验 H0 : 2 0.3, H1 : 2 0.3, n 9, x 5.91, sn*2 6.05 / 9,
查表得
2 0.975
(8)
2.18,
2 0.025
(8)
17.5,
于是
(n 1)sn*2
02
6.05 20.17 17.5, 0.3
此处 k 的值由下式确定 :
P12＝
2 2
S* 2 1n1
S* 2 2 n2
k1
P12＝
2 2
S* 2 1n1
S* 2 2 n2
k2
要使 P{H0 为真拒绝 H0} , 为了计算
简单，令
P
S* 2 1n1
2 1
S* 2 2n
22
22 ,
H1:
2 1
22
,
当 H0 为真时,
E
(
S* 1n1
2
)
12
2 2
E
(
S* 1n2
2
),
当 H1 为真时,
E( S12 )
2 1
2 2
8.9双正态总体均值差的检验(方差未知且相等)
当2已知时，检验统计量为
( X Y ) ~ N (0,1) 1/n1/m
拒绝域为
(x y)
W {
1 / n 1 / m z 2 }
H0: μ1−μ2 = δ
H1 : μ1−μ2 ≠ δ
W
(x y)
c
s 1 / n 1 / m
S 1 / n 1 / m
H0: μ1−μ2 ≥ δ H1 : μ1−μ2 < δ
P{ | (X Y ) | c}
S 1 / n 1 / m
所以 { ( X Y ) c} { ( X Y ) (1 2 ) c}
S 1 / n 1 / m
均值差的检验法(方差未知但相等)
原假设H0 备择假设H1
检验统计量
μ1−μ2 = δ
μ1−μ2 ≠ δ
T (X Y)
S 1 / n 1 / m
μ1−μ2 ≥ δ
μ1−μ2 < δ 其中
μ1−μ2 ≤ δ
μ1−μ2 > δ
S2
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
t /2 (n m 2)
2.关于均值差的假设检验 H0: μ1−μ2 ≥ δ H1 : μ1−μ2 < δ
用如下t统计量作为检验统计量 T ( X Y )
S 1 / n 1 / m
其中
S2
(n 1)S12 (m 1)S22 nm2
X Y
S 1 / n 1 / m
拒绝域为 | t | s
x y 1/ n1/ m
t /2 (n m 2)
82两个正态总体均值差和方差的假设检验2-精选文档
二.基于成对数据的检验
2.单边假设检验 未知方差2，H0: 0 ,H1: > 0 (1) 提出原假设H0: 0 ,H1: > 0.
(2) 选择统计量
X T S n
(4) 选择检验水平 ,查正态分布表,得临界值z/2， 即
K由下式确定：
P { ( X Y ) ( ) K } 1 2
: ,H : . 0 1 2 (1) 提出原假设 H 1 1 1 SW n1 n 2
2 2 ( n 1 ) S ( n 1 ) S 1 1 2 2 其中 S W n n 2 1 2
§8.2 两个正态总体均值差 和 方差的假设检验（2） 一.两个正态总体均值是否相等的 检验 二.未知两个正态总体方差的 检验
一.两个正态总体均值差的检验
2 2 两个正态总体 N ( , ), N ( , ) 1 1 2 2
X X 是来自于第一个 样总 本体 ；的 1, X 2,..., n 1
（≥50） 检验对象H0：μ1＝μ2 X Y U 选择统计量： 2 2
S1 S2 n1 n2
~ N0,1
2 2 S S 2 于是 K 1＋ Z , 否定域约为 X Y K 2 n n 1 2
（3）t检验
2 2 2 未知（称方差齐性） 1 2
检验对象H0：μ1＝μ2 选择统计量：
21 . 5 18 . 0 t 2 . 245 . 30 . 02 7078 1 1 7 5 4 由于t 2 .245 2 .3646 W，因此 ， 。即 t
接受原假设 H 0 即认为两矿煤的含灰率无显 著差异。
但是由于 2.245 与临界值 2.3646比较接近，
正态总体的均值和方差的假设检验
χ
2
(x)
2
2
O 12 /2(n 1) 2 / 2(n 1)
x
P{ χ 2
χ12α / 2(n 1)}
P{ χ 2
χα2/ 2n 1}
α, 2
拒绝域：
W 1 {( x1, x2, , xn ) : χ 2 χ12α / 2(n 1)}
U{( x1,
x2 , ,
xn )
:
2
2 /2
是否可以认为由新工艺炼出的铁水含碳质量分
数的方差仍为0.1082（ = 0.05）？
解 检验假设
(1)H0 : 2 0.1082, H1: 2 0.1082 ,
(2)取检验统计量：
χ2
(n 1)Sn*2 σ02
~
χ 2(n 1),(当H0为真时)
由n = 5, = 0.05算得,
χα2/ 2n 1 χ02.0254 11.1, χ12α / 2n 1 χ02.9754 0.484.
问： 若总体的均值 已知,则如何设计假设检验？
n
( Xi μ)2
构造χ 2 i1 σ2
~ χ 2(n)可类似进行检验.
例3 某炼钢厂铁水含碳质量分数X在正常情况下
服从正态分布 N ( μ,σ 2 ),现对操作工艺进行了改 革又测量了5炉铁水,含碳质量分数分别为：
4.421，4.052，4.357，4.287，4.683
t/2 n1 n2 2 t0.025 18 2.10
由| t | 2.49 2.10 t0.025 18 W1,
故拒绝假设H0,认为物品处理前后含脂率的均值 有显著差异。
3. 两正态总体方差的检验
设总体
X
~
N
2
(x)
2
2
O 12 /2(n 1) 2 / 2(n 1)
x
P{ χ 2
χ12α / 2(n 1)}
P{ χ 2
χα2/ 2n 1}
α, 2
拒绝域：
W 1 {( x1, x2, , xn ) : χ 2 χ12α / 2(n 1)}
U{( x1,
x2 , ,
xn )
:
2
2 /2
是否可以认为由新工艺炼出的铁水含碳质量分
数的方差仍为0.1082（ = 0.05）？
解 检验假设
(1)H0 : 2 0.1082, H1: 2 0.1082 ,
(2)取检验统计量：
χ2
(n 1)Sn*2 σ02
~
χ 2(n 1),(当H0为真时)
由n = 5, = 0.05算得,
χα2/ 2n 1 χ02.0254 11.1, χ12α / 2n 1 χ02.9754 0.484.
问： 若总体的均值 已知,则如何设计假设检验？
n
( Xi μ)2
构造χ 2 i1 σ2
~ χ 2(n)可类似进行检验.
例3 某炼钢厂铁水含碳质量分数X在正常情况下
服从正态分布 N ( μ,σ 2 ),现对操作工艺进行了改 革又测量了5炉铁水,含碳质量分数分别为：
4.421，4.052，4.357，4.287，4.683
t/2 n1 n2 2 t0.025 18 2.10
由| t | 2.49 2.10 t0.025 18 W1,
故拒绝假设H0,认为物品处理前后含脂率的均值 有显著差异。
3. 两正态总体方差的检验
设总体
X
~
N
两个正态总体的均值检验、配对样本均值检验
原理
基于独立双样本均值检验的原理，通 过配对样本的差值来减少误差，提高 检验的精确度。
参数设置与假设
参数设置
需要设定两个正态总体的均值差（μ1 - μ2）和方差（σ1^2 和 σ2^2）。
假设
H0（零假设）为两个总体的均值相等（μ1 = μ2），H1（对立假设）为两个总体的均值不相等或存在一定的差 异。
两个正态总体的均值检验、配 对样本均值检验
目录
CONTENTS
• 两个正态总体的均值检验 • 配对样本均值检验 • 两种检验方法的比较 • 结论
01
CHAPTER
两个正态总体的均值检验
定义与原理
定义
两个正态总体的均值检验是用来比较两个正态分布总体的均值是否相等的一种 统计方法。
原理
基于正态分布的性质，如果两个总体的均值相等，那么它们的概率密度函数在 均值处的值也相等。因此，可以通过比较两个总体在均值处的概率密度函数值 来判断它们的均值是否相等。
对未来研究的建议
考虑非正态分布
探索其他统计方法
考虑样本大小和方差齐性
实际应用研究
虽然上述两种方法主要针对正 态分布，但在实际应用中，数 据可能并不总是正态分布。未 来研究可以考虑这些方法在非 正态分布数据上的适用性和稳 健性。
除了上述两种检验方法，还有 许多其他统计方法可用于均值 比较。未来研究可以探索这些 方法的优缺点，并确定它们在 不同情况下的适用性。
统计量与决策准则
统计量
配对样本均值检验的统计量一般为差值的均值和标准差，以及差值的正态分布检 验。
决策准则
根据统计量的值和临界值进行决策，如果统计量值大于临界值，则拒绝零假设， 认为两个总体的均值存在显著差异；否则，接受零假设。
基于独立双样本均值检验的原理，通 过配对样本的差值来减少误差，提高 检验的精确度。
参数设置与假设
参数设置
需要设定两个正态总体的均值差（μ1 - μ2）和方差（σ1^2 和 σ2^2）。
假设
H0（零假设）为两个总体的均值相等（μ1 = μ2），H1（对立假设）为两个总体的均值不相等或存在一定的差 异。
两个正态总体的均值检验、配 对样本均值检验
目录
CONTENTS
• 两个正态总体的均值检验 • 配对样本均值检验 • 两种检验方法的比较 • 结论
01
CHAPTER
两个正态总体的均值检验
定义与原理
定义
两个正态总体的均值检验是用来比较两个正态分布总体的均值是否相等的一种 统计方法。
原理
基于正态分布的性质，如果两个总体的均值相等，那么它们的概率密度函数在 均值处的值也相等。因此，可以通过比较两个总体在均值处的概率密度函数值 来判断它们的均值是否相等。
对未来研究的建议
考虑非正态分布
探索其他统计方法
考虑样本大小和方差齐性
实际应用研究
虽然上述两种方法主要针对正 态分布，但在实际应用中，数 据可能并不总是正态分布。未 来研究可以考虑这些方法在非 正态分布数据上的适用性和稳 健性。
除了上述两种检验方法，还有 许多其他统计方法可用于均值 比较。未来研究可以探索这些 方法的优缺点，并确定它们在 不同情况下的适用性。
统计量与决策准则
统计量
配对样本均值检验的统计量一般为差值的均值和标准差，以及差值的正态分布检 验。
决策准则
根据统计量的值和临界值进行决策，如果统计量值大于临界值，则拒绝零假设， 认为两个总体的均值存在显著差异；否则，接受零假设。
两个正态总体均值差和方差的假设检验
方差齐性检验是检验 两个正态总体方差是 否相等的统计方法。
常用的方差齐性检验 方法有：Levene检验、 Bartlett检验和Welch 检验。
Levene检验基于方差 分析，通过比较不同 组间的方差来判断方 差是否齐性。
Bartlett检验基于 Kruskal-Wallis秩和 检验，通过比较不同 组间的中位数和四分 位距来判断方差是否 齐性。
独立样本的均值检验
1
独立样本的均值检验是用来比较两个独立正态总 体的均值是否存在显著差异的统计方法。
2
常用的独立样本均值检验方法包括t检验和z检验， 其中t检验适用于小样本和大样本，而z检验适用 于大样本。
3
在进行独立样本均值检验时，需要满足独立性、 正态性和方差齐性的假设，以确保检验结果的准 确性和可靠性。
根据研究目的和数据类型，选择合适的统计量 来描述样本数据。
确定临界值
根据统计量的分布和显著性水平，确定临界值。
计算样本统计量
根据样本数据计算所选统计量的值。
做出决策
将样本统计量的值与临界值进行比较，做出接受 或拒绝原假设的决策。
解读结果
根据决策结果解读研究问题，给出结论和建议。
Part
02
两个正态总体均值的假设检验
Part
05
结论与展望
假设检验的优缺点
理论基础坚实
假设检验基于概率论和统计学原理，具有坚实的理论基础。
操作简便
假设检验提供了清晰的步骤和标准，方便研究者进行操作。
假设检验的优缺点
• 实用性强：假设检验广泛应用于各个领域，为科学研究和实践提供了有效的工具。
假设检验的优缺点
01
对数据要求较高
假设检验对数据的分布、样本量 等有一定的要求，不符合条件的 样本可能导致检验结果不准确。
两正态分布均值差检验
两正态总体均值差的假设检验基于Wolfram Mathematica ,给出了两正态分布Ν[μ1,σ1]、Ν[μ2,σ2]总体均值差μ1-μ2在两总体方差已知、未知但相等、未知但样本量相等、未知但已知方差比、未知近似、未知精确的假设检验方法。
"一.两总体方差σ12=σ102、σ22=σ202已知,Z 检验"定理1:U =X 1--X 2--(μ1-μ2)σ12Ｎ[0,1],σ12=需要Needs ["HypothesisTesting`"]σ1=1;σ2=2;X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,σ1],1000];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,σ2],1500];μ0=1.02;α=0.01;n1=长度Length [X1];n2=长度Length [X2];m =平均值Mean [X1]-平均值Mean [X2];σ=u =m -μ0σ;"1.双侧Z 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [正态分布NormalDistribution [0,1],绝对值Abs [u ]]ZTest {X1,X2}, σ12,σ22 ,μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal" "2.右侧Z 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [正态分布NormalDistribution [0,1],u ]Z 检验ZTest {X1,X2}, σ12,σ22 ,μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater" "3.左侧Z 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [正态分布NormalDistribution [0,1],u ]Z 检验ZTest {X1,X2}, σ12,σ22 ,μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"1.双侧Z 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0.6402322.右侧Z 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0.3201163.左侧Z 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.679884"二.两总体方差σ12=σ22未知,T 检验"定理2:T =X 1--X 2--(μ1-μ2)S Wt n 1+n 2-2 ，S W =2 正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb需要Needs ["HypothesisTesting`"]σ1=σ2=2;X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,σ1],1000];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,σ2],1500];μ0=1.05;α=0.01;n1=长度Length [X1];n2=长度Length [X2];m =平均值Mean [X1]-平均值Mean [X2];V1=方差Variance [X1];V2=方差Variance [X2];Sw =t =m -μ0Sw;"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1+n2-2],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1+n2-2],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1+n2-2],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.1818342.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.9090833.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.0909169正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb3"三.两总体方差σ12、σ22未知,但样本容量n1=n2=n,T检验"定理3:T=X-(μ1-μ2)S X n t n-1 ,X=X1-X2.4正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb需要Needs ["HypothesisTesting`"]n =1000;X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,2],n ];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,1],n ];μ0=1.0;α=0.01;X =X1-X2;m =平均值Mean [X ];S =标准偏差StandardDeviation [X ];t =m -μ0Sn;"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n -1],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n -1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n -1],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.3169872.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.8415063.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.158494"四.两总体方差σ12、σ22未知,但已知方差比σ12σ22=r,T 检验"正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb5定理4:X 1--X 2--(μ1-μ2)S X 1t n 1-1 ,X 1--X 2--(μ1-μ2)S X2t n 2-1 ,X 1--X 2--(μ1-μ2)t n 1+n 2-2 .需要Needs ["HypothesisTesting`"]X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,2],1200];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,1],2500];μ0=1.1;α=0.01;r =4;n1=长度Length [X1];n2=长度Length [X2];m =平均值Mean [X1]-平均值Mean [X2];S1=标准偏差StandardDeviation [X1];S2=标准偏差StandardDeviation [X2];"(一) X 1--X 2--(μ1-μ2)S X1t (n 1-1)"Sw =S1t =m -μ0Sw;"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]"(二) X 1--X 2--(μ1-μ2)SX 2t (n 2-1)"Sw =S2t =m -μ0Sw;6 正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]"(三X 1--X 2--(μ1-μ2)t (n 1+n 2-2)"Sw = 1n1+(n2-1)S12++(n2-1)S22;t =m -μ0Sw;"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n2-1],t]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"](一)X 1--X 2--(μ1-μ2)S X 1t (n 1-1)1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.05165612.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.974172正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb73.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.0258281(二)X 1--X 2--(μ1-μ2)S X 2t (n 2-1)1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.04846952.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.9757653.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0.0242347(三X 1--X 2--(μ1-μ2)t (n 1+n 2-2)1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.09177842.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H1:μ1-μ2>μ00.9541113.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.0458892"五.两总体方差σ12、σ22未知,近似T检验"定理5:X --Y --(μ1-μ2)~t (n ),n =舍入Round++.8 正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb需要Needs ["HypothesisTesting`"]X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,2],1800];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,1],1000];μ0=1.0;α=0.01;m =平均值Mean [X1]-平均值Mean [X2];V1=方差Variance [X1];V2=方差Variance [X2];n =舍入Round+2+;t =m -μ0"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n ],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n ],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n ],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.6178232.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.6910893.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ00.308911"六.两总体方差σ12、σ22未知,T 检验(n 1<n 2)"正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb9定理6:T =X 1--X 2--(μ1-μ2)S X nt n 1-1 ,X 3i =X 2i i =1,2,⋯,n 1 ,X i =X 1iX 3i+X 3-X 2,X =1n 1i =1n 1X i ,S X =需要Needs ["HypothesisTesting`"]X1=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [3,2],1200];X2=伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [2,1],1500];μ0=1.0;α=0.01;n1=长度Length [X1];n2=长度Length [X2];m1=平均值Mean [X1];m2=平均值Mean [X2];X3=X2[[1;;n1]];m3=平均值Mean [X3];X =X1-平方根Sqrt n1 n2 X3+平方根Sqrt n1 n2 m3-m2;m =平均值Mean [X ];S =标准偏差StandardDeviation [X ];t =m -μ0Sn1;"1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ0"p =2 1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],绝对值Abs [t ]]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"不等Unequal"]"2.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ0"p =1-⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],t ]TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"大于Greater"]"3.左侧T 检验H 0:μ1-μ2≥μ0,H 1:μ1-μ2<μ0"p =⋯CDF [学生t 分布StudentTDistribution [n1-1],t ]T 检验TTest [{X1,X2},μ0,"TestDataTable",备择假设AlternativeHypothesis →"小于Less"]1.双侧T 检验H 0:μ1-μ2=μ0,H 1:μ-μ2≠μ00.6180772.右侧T 检验H 0:μ1-μ2≤μ0,H 1:μ1-μ2>μ00.30903810 正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb正态分布\\正态分布统计分析\\两正态分布均值差检验.nb113.左侧T检验H0:μ1-μ2≥μ0,H1:μ1-μ2<μ00.690962。
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~Fn11,n21
在H0成F 立情SS况1222下~，F 1222n1 1 1，,n故2：1
接收域为[F 1 2( n 1 1 ,n 2 1 )F ,2( n 1 1 ,n 2 1 )]
否定域为
S12 S22
F 2
(n11,n2
1)
或S12 S22
F12(n11,n2
1)
例3 机器包装食盐，假设每袋盐的净重服 从正态分布，规定每袋标准重量为1市斤， 标准差不能超过0.02市斤，某天开工后，为 检查其机器工作是否正常，从装好的食盐 中随机抽取9袋，测其净重（单位：市斤） 为：
的分布： XY
t
SW
11 n1 n2
~tn1 n2
2
(4)对于检验水平=0.05 , n15,n24,
查t-分布表,得临界值t/2(n1+n2-2)，
即 t1 2n 1 n 2 2 t0 .97 7 5 2 .36 , 46
使 P t 2 .36 0 4 .06 .5
所以该检验的拒绝域为
WT2.364 . 6
S12 S22 n1 n2
于K 是 Sn112＋ S n2 22Z2,否定域 X约 YK 为
（3）t检验
2 1
22
2未知（称方差齐性）
检验对象H0：μ1＝μ2
选择统计量：
t
(XY)
SW
11 n1 nS12(n21)S22 n1n22
例2 某厂计划投资一万元的广告费以提高 某种糖果的销售量，一位商店经理认为此 项计划可使平均每周销售量达到450斤，实 行此项计划一个月后，调查了16家商店， 计算得平均每周的销售量为418斤，标准差 为84斤，问在0.05水平下，可否认为此项 计划达到了该商店经理的预期效果。
(3) 在假设H0成立的条件下，确定该统计量服从
的分布：t (XY)
11
~tn1
n2
2
SW
n1 n2
(4) 选择检验水平 ,查t-分布表,得临界值t/2(n1+n2-2)，
即
(XY)
P{|
1 1 |t2(n1n22)
}
SW
n1 n2
(5) 根据样本值计算统计量的观察值t0,给出拒绝或 接受H0的判断：当| t0 | t/2(n1+n2-2)时,则拒绝H0 ； 当| t0 |< t/2(n1+n2-2)时,则接受H0 。
2．两个正态总体方差是否相等的假 设检验（方差比是否为1的检验）
已 X n知l为总X体的X样～本N，（Yμ1～，N（12）μ2，，X 122，）X，2，Y1…，，
Y检 由2验第，对七…象章，H定Y0n理：l为512知Y的样22 （本或，X与1222 Y1独）立
统计量
FS S122 2
2 2 2 1
n＝16 x ＝418 s＝84 α＝0.05 t0.05（15）＝
1于而.7是5x31K－=μ0s＝n t4α1(8n－-1)4=50844＝×－13.725＞3－1=3366..8822
（＝－K）
x 说明 在接收域内，故在α＝0.05下， 接受H0，否定H1，认为该经理的预期 效果达到 了。如图8—6。
X ~N 1,1 2乙矿煤的含灰率
Y~N2,
2 2
。
要检验假设H 0 :12 ; H 1 :12 .
(1) 提出原假设 H0:12, H1:12.
(X Y )
(2)选择统计量：t
SW
11 n1 n2
其S中 W
(n11)S12(n21)S22 n1n22
(3) 在假设H0成立的条件下，确定该统计量服从
注意 0常用.
例1 从两处煤矿各抽样数次，分析其 含灰率（%）如下：
甲矿： 24.3, 20.3, 23.7, 21.3, 17.4 乙矿: 18.2, 16.9, 20.2, 16.7 假定各煤矿的煤含灰率都服从正态分布，且 方差相等。问甲、乙两矿煤的含灰率有无显
著差异 0.05？
解 根据题意，设甲矿煤的含灰率
两个样本相互独立, X ,Y 分别为样本均值，
S2 1
,
S22分别为样本方差.
给定置信度1-,
t检验
已知 2 1
22
2
检验对象H 0:12,H 1:12,(为已知常数)
(1) 提出原假设 H 0:12, H 1:12.
(2)选择统计量：t ( X Y )
SW
11 n1 n2
其S中 W
(n11)S12(n21)S22 n1n22
K由下式确定：
P {(X Y ) (1 2)K }
即
P{XYK}P
XY
2
2
1 2
n1 n2
K
2
2
1 2
n1 n2
于K 是 n1 1 2＋ n2 2 2Z 2,否定 XY 域 K
（2）U检验，12
,
2 2
未知，但n1，n2均较大
（≥50）
检验对象H0：μ1＝μ2 选择统计量：U X Y ~ N0,1
但是由于 2.245 与临界值 2.3646比较接近， 为稳妥起见，最好再抽一次样，重作一次 试验。
二.基于成对数据的检验
2.单边假设检验 未知方差2，H0: 0 ,H1: > 0
(1) 提出原假设H0: 0 ,H1: > 0. (2) 选择统计量 T X
S n
(4) 选择检验水平 ,查正态分布表,得临界值z/2， 即
§8.2 两个正态总体均值差 和 方差的假设检验（2）
一.两个正态总体均值是否相等的 二检.未验知两个正态总体方差的 检验
一.两个正态总体均值差的检验
两个正N态 (1,1 总 2),N(体 2,2 2)
X1, X2,...X , n1是来自于第一个样 总本 体； 的
Y1,Y2,...Y,n2是来自于第二个样 总体 本； 的
解：根据题意要求是达到或达不到两种结 果，所谓达到就是指，每周平均销售量 ≥450斤，只要＝450斤就算达到预期效果。 所谓没有达到是平均每周销售量＜450斤， 所以该项目为单边左侧检验问题。
设H0：μ＝μ0＝450斤（达到预期效果）
H1：μ＜μ0＝450斤（未达到预期效果）
根据实际经验，销售量服从正态分布，即设X为 每周销售量，则X～N（μ，σ2），此处σ2未知， 故用t检验，已知
(5)由样本值计算得：
x 2 . 5 ,y 1 1 . 0 , 8 n 1 1 s 1 2 3 . 0 , 0 2
n21s2 27.77 , 8 得 T 的观察值
t 21.518.0 2.24.5
30.02707811
7
54
由于t 2.2452.364。6即 tW，因此 ，
接受原假设 H 0 即认为两矿煤的含灰率无显 著差异。