5.独立重复试验解析

高三数学独立重复试验某事件发生的概率试题答案及解析1.在乒乓球比赛中，甲与乙以“五局三胜”制进行比赛，根据以往比赛情况，甲在每一局胜乙的概率均为．已知比赛中，乙先赢了第一局，求：(Ⅰ)甲在这种情况下取胜的概率；(Ⅱ)设比赛局数为X，求X的分布列及数学期望（均用分数作答）。

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ) 由题知，在乙先赢了第一局的情况下，甲取胜是两个互斥事件的和，其概率用互斥事件的和概率公式计算，其中一个事件，比赛四局，第一局乙赢的条件下，后三局甲赢，因甲每局胜的概率相同，其概率按独立重复试验计算，另一事件为，比赛五局，在第一局乙胜的条件下，中间三局甲胜二局，其概率按独立重复试验计算，与最后一局甲胜是相互独立事件，用相互独立事件的积概率公式计算；(Ⅱ)由题意知找出X的所有可能取值，分析X取每个值时的情况，将其分解成若干个互斥简单事件的和，利用和概率公式计算，分析每个简单事件分成若干个相互独立事件的积，利用积概率公式计算其概率，列出分布列，求出期望．试题解析：(Ⅰ)甲取胜的概率为＝（4分）(Ⅱ)由题意知X=3，4，5，的分布列为：345．12分【考点】独立重复试验，互斥事件的和概率公式，相互独立事件的积概率公式，离散型随机变量分布列及其期望，应用意识2.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6， 0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.【答案】（1）0.31 （2）3【解析】（1）至少3人需使用设备分为恰好有3人使用的设备和4个人使用设备.这两个是事件是互斥事件，首先利用独立事件的概率公式分别求出恰好有3人使用的设备和4个人使用设备的概率，最后相加即可.利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式计算出同一工作日4人需使用设备的概率.然后结合（1）的结论即可得出结论.表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.试题解析：记AiB表示事件：甲需使用设备.C表示事件：丁需使用设备.D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E 表示事件：同一工作日4人需使用设备.F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k. （1）D=A 1·B·C+A 2·B+A 2··C P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A i )=.所以P(D)=P(A 1·B·C+A 2·B+A 2··C)= P(A 1·B·C)+P(A 2·B)+P(A 2··C) = P(A 1P)·P(B)·P(C)+P(A 2)·P(B)+P(A 2)·p()·p(C)=0.31. (2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1. 又E=B·C·A 2,P(E)=P(B·C·A 2)= P(B)·P(C)·P(A 2)=0.06；若k=4，则P(F)=0.06<0.1. 所以k 的最小值为3.【考点】1.独立事件的概率；2.互斥事件的概率.3. 如图，从A 1(1，0，0)、A 2(2，0，0)、B 1(0，1，0)、B 2(0，2，0)、C 1(0，0，1)、C 2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．(1)求V ＝0的概率；(2)求V 的分布列及数学期望E(V)． 【答案】（1）（2）V 的分布列为【解析】(1)从6个点中随机选取3个点总共有＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有＝12种，因此V ＝0的概率为P(V ＝0)＝＝.(2)V 的所有可能取值为0、、、、，因此V 的分布列为的数学期望 E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×＝4.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．【答案】（1）分布列如下：）0.667.【解析】(1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X服从超几何分布，分布列如下：(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝≈0.667.5.江西某品牌豆腐食品是经过、、三道工序加工而成的，、、工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．（1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率；（2）生产一袋豆腐食品，设为三道加工工序中产品合格的工序数，求的分布列和数学期望．【答案】（1）产品为废品的概率为；（2）的分布列数学期望．【解析】（1）产品为废品包含三道工序加工的产品都不合格，三道工序加工的产品有一道工序合格，其他两道工序不合格，而三道工序加工的产品有一道工序合格，其他两道工序不合格又包含，三道工序加工的产品有第一道工序合格，其他两道工序不合格，三道工序加工的产品有第二道工序合格，其他两道工序不合格，三道工序加工的产品有第三道工序合格，其他两道工序不合格，显然彼此互斥，有互斥事件与独立事件的概率求法，即可求出；（2）设为三道加工工序中产品合格的工序数，求的分布列和数学期望，由题意可知，三道加工工序中产品合格的工序数为，分别求出概率，即得分布列，从而得数学期望．试题解析：（1）产品为废品的概率为：6分（2）由题意可得故， 9分得到ξ的分布列如下：12分【考点】互斥事件的概率，独立事件的概率，分布列与期望．6.为了研究性别不同的高中学生是否爱好某项运动,运用列联表进行独立性检验,经计算,则所得到的统计学结论是:有______的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.附:0.0500.0100.001【答案】﹪【解析】根据独立性检验的基本思想，由于，而，所以认为“爱好该项运动与性别有关”错判的概率不会超过0.01.即有﹪的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.【考点】独立性检验的基本思想7.如图；现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等机会地进入相邻的任意一格（如若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入l，2，4，5处），则它在第三次跳动后，进入5处的概率是A．B．C．D．【答案】C【解析】小青蛙的跳动路线：第一次跳动后由3到1,2,4,5的任意位置，第二次跳回3，第三次跳回5依据相互独立事件同时发生的概率可知所求概率为【考点】相互独立事件同时发生的概率点评：若A ，B 是两个相互独立事件，则A,B 同时发生的概率为8. 高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这3名男生报此所大学的概率都是，这1名女生报此所大学的概率是．且这4人报此所大学互不影响。

独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。

二项分布前提：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X。

符号含义：p：每次试验中事件A发生的概率。

k：在n次独立重复试验中事件A发生的次数。

公式：$C_k^n p^k(1-p)^{n-k}$结论：随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率。

明确该公式中各量表示的意义：n为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数。

判断正误1) n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种。

×2) n次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同。

×3) 二项分布与超几何分布是同一种分布。

×4) 两点分布是二项分布的特殊情形。

√已知随机变量X服从二项分布，X～B(6，3)，则P(X＝2)等于$\frac{15}{64}$。

任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为$\frac{3}{8}$。

设随机变量X～B(2，p)，若P(X≥1)＝$\frac{3}{4}$，则$p=\frac{1}{3}$。

探究点1：独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。

1) 求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率。

记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故$P(A_1)=1-P(A_0)=1-(\frac{2}{3})^3=\frac{19}{27}$。

2) 求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率。

记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A。

“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B，则$P(A_2)=C_2^2(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^0=\frac{4}{9}$，$P(B_1)=C_2^1(\frac{3}{4})^1(\frac{1}{4})^1=\frac{3}{8}$。

独立重复试验概率公式的全面阐述季　强(常州高级中学数学组,江苏　213003)中图分类号:G 633.6 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2003)13-0013-02收稿日期:2003-04-14作者简介:季强(1965—),男,江苏徐州人,江苏常州高级中学高级教师,学士. 高中数学教科书第二册(下B )P132“独立重复试验”一节的概率公式,要作深入理解和全面阐述,否则学生处理这类问题时容易程式化,硬套公式,条件稍作变化便不知所措.1　独立重复试验的概率公式有一定的局限性1.1　概念的理解一般地讲,独立重复试验应符合三个条件:①任两次试验之间是相互独立的;②每一次试验都有两个事件,且这两个事件是相互对立的;③每次试验中的每个事件发生的概率是相同的.这是判定是否为独立重复试验的三个条件.在判定一个概率问题是独立重复试验问题后,我们再用其公式求概率.1.2　公式P n (k )=C k n P k (1-P )n -k的理解独立重复试验概率公式P n (k )=C k n P k(1-P )n -k,用于计算一次试验中事件发生的概率是P 时,n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概率,这k 次是哪k 次呢?它有C k n 种可能的情况,从而这个问题转化为C kn个互斥事件的和,每一个互斥事件又是n 个相互独立的事件的积,其中该事件发生k次,其对立事件发生n -k 次,概率都为P k(1-P )n -k,这样,n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概率为P n (k )=C kn P k(1-P )n -k.必须特别明确的是:C kn 有特定的意义,是具有相同概率P k (1-P )n -k的互斥事件发生k 次的所有可能数目.例1　某人射击一次命中目标的概率是12,求此人射击6次恰好3次命中目标的概率.分析　这是独立重复试验问题,分为C 36个互斥事件的和,每一事件的概率都是(12)3(1-12)6-3.解　依题意,此人射击6次恰3次命中目标的概率为P 6(3)=C 36(12)3(1-12)6-3=516.1.3　公式P n (k )=C k n P k(1-P )n -k的局限性例2　某人射击一次命中目标的概率为12,求此人射击6次3次命中且恰有两次连续命中的概率.分析　这是独立重复试验问题,但是6次射击命中三次时又有了限制条件“恰有两312003年第13期 数学通讯次连续命中”,这样,这个问题就不是C36个互斥事件的和了,当然就不能用该公式计算概率了.从该题可以看到,公式P n(k)=C k n P k(1 -P)n-k的应用有一定的局限性,C k n是这“k 次”不附带其他限制条件的互斥事件的个数,当这“k次”有附带的限制条件时,互斥事件的个数就不是C k n了,当然这个公式就不能用了,但每一个互斥事件的概率还是P k(1-P)n-k.例2如何解决呢?我们要对这个问题进行一定的探讨.2　附带限制条件的独立重复试验问题解决例2的概率问题,就必须求问题可以转化为多少个互斥事件的和,这两次连续命中与另一次命中是间隔排列问题,共有A24种可能情况,从而该问题可以转化为A24个互斥事件的和,故“6次射击三次命中且恰有两次连续命中”的概率为A24(12)3(1-12)3=316.由上可知,公式P n(k)=C k n P k(1-P)n-k只能用于计算不附带限制条件的独立重复试验问题,附带限制条件的独立重复试验问题关键是求出可以转化为互斥事件的个数,而每一个互斥事件的概率都还是P k(1-P)n-k.3　独立重复试验问题概率的一般公式不论是无限制条件的概率问题,还是有限制条件的概率问题,都必须求出问题转化出来的互斥事件的个数,前者为C k n,后者不妨记为n(k),这样我们就有如下结论:一次试验中,某事件的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰发生k次的概率为P n(k)=n(k)P k(1-P)n-k.当这“k次”不附带限制条件时,n(k)=C k n否则n(k)≠C k n.例3　某人射击一次命中目标的概率是12,求此人射击6次三次命中目标且不连续命中的概率.分析　这是独立重复试验问题,可转化为C34个概率为(12)3(1-12)3的互斥事件的和,此时n(k)=C34.解　此人射击6次三次命中且不连续命中的概率为:P6(3)=C34(12)3(1-12)3=116.例4　某产品的出厂要经过五个指标的抽检,有两项或两项以上指标的抽检不合格时,该产品不能出厂,每项指标不合格的概率都为13,试求该项产品经过五项指标的抽检,恰有连续三项不合格而不能出厂的概率.分析　是独立重复试验问题,共有三种可能的情况.解　相邻三项为:1,2,3;2,3,4;3,4,5;此时n(k)=3.故所求概率为:P5(3)=3(13)3(1-13)2=481.综上所述,我们在解决n次独立重复试验中某事件恰发生k次的概率问题,就要注意“k次”有无限制条件,再求出这个问题转化出来的互斥事件的个数n(k),切忌不理解C kn或n(k)的意义而硬套公式,把问题程式化.41数学通讯 2003年第13期。

知识讲解独立重复试验与二项分布(理)(提高)(共12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--独立重复试验与二项分布【学习目标】1．理解n 次独立重复试验模型及二项分布．2．能利用n 次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题． 【要点梳理】要点一、n 次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果A 与A ，并且事件A 发生的概率相同。

在相同的条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验。

要点诠释：在n 次独立重复试验中，一定要抓住四点： ①每次试验在同样的条件下进行；②每次试验只有两种结果A 与A ，即某事件要么发生，要么不发生； ③每次试验中，某事件发生的概率是相同的； ④各次试验之间相互独立。

总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。

要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k k n kn n P k C p p -=-（k=0，1，2，…，n ）． 令0k =得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的．．．．．概率为．．．00(0)(1)(1)n nn n P C p p p =-=-令k n =得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．．0()(1)n n n n n P n C p p p =-=。

要点诠释：1. 在公式中，n 是独立重复试验的次数，p 是一次试验中某事件A 发生的概率，k 是在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生的次数，只有弄清公式中n ，p ，k 的意义，才能正确地运用公式．2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．要点三、n 次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击 要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理； ②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。

独立重复试验、二项分布学案重点： 独立重复试验、二项分布的理解及应用会用二项分布模型解决一些简单的实际问题难点： 二项分布模型的构建 关键:二项分布的特征案例欣赏：有八张外表一样的卡片,其中四张写“大”,另四张写“小”;依次反扣在桌面上。

游戏规则：每次取其中的一张猜测，对比结果后反扣，放回桌面，重新按排好顺序，这样连续猜测8次。

甲、乙两人打赌．若甲猜对其中的四次就获胜，否则乙胜。

思考：１、前一次猜测的结果是否影响后一次的猜测？也就是每次猜测是否相互独立？ 2、 游戏对双方是否公平？归纳总结：试验1: 重复抛一枚硬币 8 次,其中有2次正面向上. 试验2 : 重复掷一粒骰子6次,其中有2次出现 1 点. 指出以上试验的共同点：独立重复试验 ：____________________________________________________ ____________________________________________________________。

独立重复试验又叫贝努里（瑞士数学家和物理学家）试验.对比分析，感知概念：在下列试验中, 是独立重复试验的有____________.①某射手射击1次，击中目标的概率是0.9,他连续射击4次； ②某人罚球命中的概率是0.8，在篮球比赛中罚球三次；③袋中有五个红球，两个白球，采取有放回的取球，每次取一个，取5次； ④袋中有五个红球，两个白球，采取无放回的取球，每次取一个，取5次； 一般地有，n 个相互独立的事件n n A A A A ,,,121 同时发生的概率为： ________________________________________________.问题回顾：甲猜测卡片的过程是否可以看成是独立重复试验？我们可用X 表示甲猜对的卡片数，下面探讨X 的取值和相应的概率，完成填空与表格。

X 的所有可能取值为：_____________________________. 对每次抽出的卡片猜对的概率均为p= ； 猜错的概率为q=1-p= 。