分段函数及映射

课时作业(八) 分段函数及映射[学业水平层次]一、选择题1．设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤4}，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是() A ．f ：x →y ＝x 2 B ．f ：x →y ＝3x －2C ．f ：x →y ＝－x ＋4D ．f ：x →y ＝4－x 2【解析】 当x ∈[1，2]时，y ＝4－x 2∈[0，3]，故选项D 中的“f ”不能构成A 到B 的映射．【答案】 D2．已知f (x )＝⎩⎨⎧x －5 （x ≥6），f （x ＋2） （x ＜6），则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 ∵3＜6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.【答案】 A3．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1，3－y )对应，则与B 中元素(0，1)对应的A 中元素是( )A ．(－1，2)B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(－1，3)【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，3－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A 中的元素为(1，2)． 【答案】 C4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （2）的值为( ) A.1516B ．－2716 C.89 D ．18【解析】 ∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （2）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516. 【答案】 A二、填空题5．(2014·郑州高一检测)设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________．【解析】由f (2)＝3，得2a －1＝3∴a ＝2，∴f (x )＝2x －1，∴f (3)＝5.【答案】 56．(2014·镇江高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________． 【解析】 由题意知f (0)＝2，又f (2)＝22＋2a∴22＋2a ＝4a ∴a ＝2.【答案】 2图1-2-37．已知函数f (x )的图象如右图1-2-3所示，则f (x )的解析式是________．【解析】 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x ＜0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1.【答案】 f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1， －1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤1三、解答题8．a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a ，0}，f ：x →2x 表示把集合M 中的元素x ，映射到集合N 中为2x ，求a ＋b 的值．【解】 由题意知，集合M 中的元素1只能对应集合N 中的a ，故a ＝2，故N ＝{2，0}，而M 中的a b 可能对应集合N 中的2或0，当b a 对应2时，则b a ＝1，则b ＝2，此时M 中有两个相同元素，不合适，故b ＝2应舍去，当b a 对应0时，则b a＝0，则b ＝0，此时M ＝{0，1}，符合题意，综上可知a ＝2，b ＝0，即a ＋b ＝2. 9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋a ，x ≤1，x 2－2x ，x ≥1. (1)求a 的值；(2)求f (f (2))的值；(3)若f (m )＝3，求m 的值．【解】 (1)由函数定义，得当x ＝1时，应有1＋a ＝12－2×1，即a ＝－2.(2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1，x 2－2x ，x ≥1.因为2>1，所以f (2)＝22－2×2＝0，因为0<1，所以f (f (2))＝f (0)＝0－2＝－2.(3)当m ≤1时，f (m )＝m －2，此时m －2＝3得m ＝5，与m ≤1矛盾，舍去；当m ≥1时，f (m )＝m 2－2m ，此时m 2－2m ＝3得m ＝－1或m ＝3.又因为m ≥1，所以m ＝3.综上可知满足题意的m 的值为3.[能力提升层次]1．设f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数则 f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π【解析】 g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0，故选B.【答案】 B2．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{3，5}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射的个数是( )A ．4B ．6C ．8D ．9【解析】 ∵f (3)＝3，∴只需A 中的元素1，2都是B 中的唯一元素与之对应，1的象可以为3，5中的一个，2的象也可以为3，5中的一个，故满足条件的映射的个数为2×2＝4.故选A.【答案】 A3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 【解析】 当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0，时，1－a ＞1，1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.【答案】 －344．如图1-2-4在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，图1-2-4沿着折线BCDA 由点B (起点)向A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .试求：(1)y 与x 之间的函数关系式；(2)画出y ＝f (x )的图象．【解】 (1)①当点P 在线段BC 上运动时，S △APB ＝12×4x ＝2x (0≤x ≤4)．②当点P 在线段CD 上运动时，S △APB ＝12×4×4＝8(4＜x ≤8)．③当点P 在线段AD 上运动时，S △APB ＝12×4×(12－x )＝24－2x (8＜x ≤12)．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，（0≤x ≤4），8，（4＜x ≤8），24－2x ，（8＜x ≤12）.(2)画出y ＝f (x )的图象，如图所示：。

第2课时 分段函数及映射[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系.知识点一 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.思考 分段函数对于自变量x 的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？答 分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域.知识点二 映射映射的定义：设A 、B 是两个___的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的_______元素x ，在集合B 中都有_______的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射. 思考 函数与映射有何区别与联系？题型一 分段函数求值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52)]的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值.跟踪训练1 (1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f [f (－2)]等于( )A.2B.3C.4D.5(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x ＝________.题型二 分段函数的图象及应用例2 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， －1≤x ≤1，1， x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域.跟踪训练2 作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－7，x ∈(－∞，－2]，2x －3，x ∈(－2，5]，7，x ∈(5，＋∞)的图象，并求y 的值域.跟踪训练3 设x ∈(－∞，＋∞)，求函数y ＝2|x －1|－3|x |的最大值.题型三 映射的概念例3 判断下列对应是不是映射？(1)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}，f ：y ＝13x ，x ∈A ，y ∈B ；(2)A ＝N ，B ＝N *，f ：y ＝|x －1|，x ∈A ，y ∈B ；(3)A ＝{x |0<x ≤1}，B ＝{y |y ≥1}，f ：y ＝1x ，x ∈A ，y ∈B ；(4)A ＝R ，B ＝{y |y ∈R ，y ≥0}，f ：y ＝|x |，x ∈A ，y ∈B . 跟踪训练4 下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N .A.①②B.②③C.①④D.②④ 题型四 求某一映射中的像或原像例4 设f ：A →B 是A 到B 的一个映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y ).(1)求A 中元素(－1,2)的像；(2)求B 中元素(－1,2)的原像.跟踪训练5 设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 作用下，像(2,1)的原像是( ) A.(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D.(1,3)题型五 映射的个数问题例5 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,2}. (1)从A 到B 可以建立多少个不同的映射？(2)若f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，则从A 到B 的映射中满足条件的映射有几个？跟踪训练5 设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则从A 到B 的映射共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型六 分段函数与不等式(组)综合应用2232,1,6.()()223,1,x x x f x f x x x x⎧-≥=<⎨-+<⎩例已知函数求使的值得集合.题型七 分段函数的实际应用例7 为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水的水费为1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200％收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400％收费.如果某人本季度实际用水量为(7)x x ≤吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元).1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A.0B.13 C.1 D.22.下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x ，x >1，则f (f (3))等于( ) A.15 B.3 C.23 D.1394.如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为_____________.24||34.x m m x -+=5.若方程有个互不相等的实数根，求的取值范围1.对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合A 和B 必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合. (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达. 2.理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.一、选择题 1.以下几个论断①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈[－3,3)的图象是一条线段；③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅. 其中正确的论断有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A.100B.10C.－10D.－1003.已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( ) A.(1,3) B.(1,6) C.(2,4)D.(2,6)4.已知集合A ＝[0,4]，B ＝[0,2]，按照对应关系f 不能成为从集合A 到集合B 的一个映射的是( )A.f ：x →y ＝12xB.f ：x →y ＝x －2C.f ：x →y ＝xD.f ：x →y ＝|x －2|5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( )A. 3B.9C.－1或1D.－3或 3二、填空题7.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥1，1x ，x <1，则f (f (13))＝________.8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.9.设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________.10.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x ＜0的值域是________.三、解答题11.已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|.(1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域.12.如图所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，由点B (起点)沿着折线BCDA ，向点A (终点)运动.设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式.2,1,(1)13.()()141,x x f x f x x x ⎧<+⎪=≥⎨≥⎪⎩设函数求使的自变量的取值集合。

一、选择题1．给出下列四个命题：(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] B[解析]对于(1)f：A→B对应法则f：x→2|x|＋1故(1)错；(2)f：R→{1}，对应法则f：x→1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.2．(2012～2013瓮安一中周测试题)下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是()A．P＝N，Q＝N*，f：x→|x－8|B．P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4)C．P＝N*，Q＝{－1,1}，f：x→(－1)xD．P＝Z，Q＝{有理数}，f：x→x2[答案] A[解析] 对于选项A ，当x ＝8时，|x －8|＝0∉N *， ∴不是映射，故选A.3．已知集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中，不能看作从M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12x B ．f ：x →y ＝13x C ．f ：x →y ＝x D ．f ：x →y ＝16x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝6时，y ＝6，当6∉P ，故选C. 4．集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( )A ．5B ．6C ．8D ．9[答案] C[解析] 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d c →eb →e ⎩⎪⎨⎪⎧c →dc →ea →e ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d c →eb →e ⎩⎪⎨⎪⎧c →dc →e共8个．5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3 (x ＞0)，1(x ＝0)，x ＋4(x ＜0).则f (f (f (－4)))＝( ) A ．－4 B ．4 C ．3D ．－3[答案] B[解析] f (－4)＝(－4)＋4＝0， ∴f (f (－4))＝f (0)＝1，f (f (f (－4)))＝f (1)＝12＋3＝4.故选B.6．(2012～2013·潍坊一中月考试题)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f (1f (2))的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89 D ．18[答案] A[解析] f (2)＝4，1f (2)＝14，故f (1f (2))＝f (14)＝1－(14)2＝1516.7．(河南高中2012～2013高一第一次考试)已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应为f ：x →y ＝x 2－2x ＋2，若对实数k ∈B ，在集合中没有元素对应，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)[答案] B[解析] 设k ＝x 2－2x ＋2即x 2－2x ＋2－k ＝0，k 没有元素对应即上述方程无解Δ＜0，(－2)2－4(2－k )＜0，∴k ＜1故选B.8．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km 价为1.8元(不足1 km 按1 km 计价)，则乘坐出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为下列图中的( )[答案] B[解析] 由已知得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5(0<x ≤3)5＋[x －3]×1.8(x >3)＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (0<x ≤3)6.8 (3<x <4)8.6(4≤x <5).故选B.二、填空题9．已知M ＝{正整数}，N ＝{正奇数}，映射f ：a →b ＝2a －1，(a ∈M ，b ∈N )，则在映射f 下M 中的元素11对应N 中的元素是________．[答案] 21[解析] b ＝2×11－1＝21.10．(2012～2013山东泗水一中月考试题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________. [答案] 2[解析] 由题意得，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，a ＝2.11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤－1)x 2＋1(－1<x <2)，若f (x )＝3，则x 的值是________．[答案]2[解析] 当x ≤－1时，x －2＝3，∴x ＝5(舍)， 当－1<x <2时，x 2＋1＝3，∴x ＝±2，∴x ＝ 2.12.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．[答案] 2[解析] f (3)＝1，f (1)＝2，∴f (1f (3))＝2.三、解答题13．作出函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|的图象，并由图象求函数f (x )的值域．[解析]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 (x ≥2)1－2x (－1＜x ＜2)3 (x ≤－1)，图象如下图：由图象知函数f (x )值域为{y |－3≤y ≤3}．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1(x <1)，x 2－2x (x ≥1).(1)试比较f [f (－3)]与f [f (3)]的大小； (2)求使f (x )＝3的x 的值． [解析] (1)∵－3<1，∴f (－3)＝7， 又∵7>1，∴f [f (－3)]＝f (7)＝49－14＝35. ∵3>1，∴f (3)＝32－2×3＝3，∴f [f (3)]＝f (3)＝3. ∴f [f (－3)]>f [f (3)]．(2)当f (x )＝3时，有⎩⎨⎧ －2x ＋1＝3，x <1⇒⎩⎨⎧x ＝－1，x <1⇒x ＝－1.或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＝3，x ≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3或x 2＝－1，x ≥1⇒ x ＝3. ∴使f (x )＝3的x 的值为－1或3.15．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20 g 重付邮资80分，超过20 g 重而不超过40 g 重付邮资160分．试写出x (0≤x ≤40)克重的信应付的邮资y (分)与x (g)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．[解析]y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ＝0)80 (0＜x ≤20)，160 (20＜x ≤40)定义域为[0,40]，图象如下16．如图所示，二次函数y ＝－mx 2＋4m 的顶点坐标为(0,2)，矩形ABCD 的顶点B ，C 在x 轴上，A 、D 在抛物线上矩形ABCD 在抛物线与x 轴所围成的图形内．(1)求二次函数解析式；(2)设A (x ，y )，试求矩形ABCD 的周长P 关于x 的函数关系，并求x 的取值范围；(3)是否存在这样的矩形ABCD ，使它的周长为9？试证明你的结论．[解析] (1)∵抛物线y ＝－mx 2＋4m 的顶点为(0,2)，∴4m ＝2，m ＝12.∴二次函数解析式为y ＝－12x 2＋2. (2)∵AD ＝BC ＝2|x |，∴AD ＋BC ＝4|x |.∵AB ＝CD ＝|y |＝y (∵y ＞0)，∴AB ＋CD ＝2y ＝2(－12x 2＋2)＝－x 2＋4. ∴P ＝－x 2＋4|x |＋4.对于y ＝－12x 2＋2，令y ＝0， 即－12x 2＋2＝0，得x ＝±2.∴抛物线y ＝－12x 2＋2与x 轴的两个交点为(－2,0)，(2,0)． ∴函数P 的自变量x 的取值范围是 －2＜x ＜2，且x ≠0.(3)解法一：假设存在矩形ABCD ，它的周长为9. 当0＜x ＜2时，P ＝－x 2＋4x ＋4＝9， 即－x 2＋4x －5＝0.∵Δ＜0，∴方程无实数根．当－2＜x ＜0时，P ＝－x 2－4x ＋4＝9，即－x2－4x－5＝0∵Δ＜0，∴方程无实数根．综上，不存在周长为9的矩形ABCD.解法二：P＝－x2＋4|x|＋4＝－(|x|2－4|x|＋4－4)＋4＝－(|x|－2)2＋8，∵|x|＜2，∴P＜8.∴P≠9，即周长为9的矩形ABCD不存在．。

piecewise映射原理引言：在数学和计算机科学中，piecewise（分段函数）是一种特殊的函数形式，它在定义域上根据不同的条件采用不同的表达式。

piecewise 映射原理是指利用分段函数来描述一个整体函数的原理。

本文将简要介绍piecewise映射原理的基本概念、应用场景以及相关的数学推导。

一、基本概念1.1 分段函数分段函数是指在定义域上根据不同的条件使用不同的表达式来定义的函数。

一般情况下，分段函数由若干段不同的表达式组成，每一段表达式在定义域的某个子区间上有效。

1.2 piecewise映射原理piecewise映射原理是指利用分段函数来描述一个整体函数的原理。

它通过将整体函数的定义域划分成若干个子区间，并在每个子区间上定义相应的表达式。

这样，整体函数就可以通过组合这些子区间上的表达式来得到。

二、应用场景2.1 物理学中的运动方程在物理学中，运动方程往往是一个分段函数。

例如，自由落体运动的方程可以分为上升和下降两个阶段，每个阶段使用不同的表达式来描述。

2.2 金融学中的利率计算在金融学中，利率计算是一个常见的应用场景。

根据不同的时间段和利率类型，利率计算公式可能会有所不同，因此可以使用piecewise函数来描述不同时间段的利率计算方式。

2.3 图像处理中的像素映射在图像处理中，像素映射是一种常见的操作。

根据不同的像素值范围，可以使用不同的映射函数来调整图像的亮度、对比度等特性。

三、数学推导为了更好地理解piecewise映射原理，我们以一个简单的例子来进行数学推导。

假设我们要定义一个函数f(x)，在x小于0时值为0，在x大于等于0且小于1时值为x，在x大于等于1时值为1。

我们可以将定义域划分为三个子区间：x小于0的区间、x大于等于0且小于1的区间以及x大于等于1的区间。

对于x小于0的区间，f(x)等于0；对于x大于等于0且小于1的区间，f(x)等于x；对于x大于等于1的区间，f(x)等于1。