人教新课标版数学高一-必修1课时作业 .2分段函数及映射

活页作业(九) 分段函数、映射知识点及角度难易度及题号基础中档稍难分段函数4、67、912分段函数的图象38 11映射的概念及应用1、2、5 101．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能构成M到P 的映射的是( )A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝x D．f：x→y＝16x解析：由映射定义判断，选项C中，x＝6时，y＝6∉P.答案：C2．在给定映射f：A→B即f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)的条件下，与B中元素⎝⎛⎭⎪⎫16，－16对应的A中元素是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫16，－136B．⎝⎛⎭⎪⎫13，－12或⎝⎛⎭⎪⎫－14，23C.⎝⎛⎭⎪⎫136，－16D．.⎝⎛⎭⎪⎫12，－13或⎝⎛⎭⎪⎫－23，14解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y＝16，xy＝－16，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝13，y＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x＝－14，y＝23.故选B.答案：B3．下列图象是函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x＜0x－1，x≥0的图象的是( )解析：由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分．因此只有图象C符合．答案：C4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5，x ≥6，f x ＋2，x <6，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：f (3)＝f (5)＝f (7)＝7－5＝2. 答案：A5．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是________．解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x ＜0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，∴f (x )＝－x .综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，-1≤x <0－x ，0≤x ≤1答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤1.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1x 2＋x －2，x ＞1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2的值为________．解析：f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f 2＝14， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.答案：15167．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数解析式． (2)求f (－3)，f (1)的值． (3)若f (x )＝16，求x 的值．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去) 若x ＜1，则x 2＋2＝16， 解得x＝14(舍去)或x ＝－14. 综上，可得x ＝2或x ＝－14.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2 －1＜x ＜0，－12x 0≤x ＜2，3 x ≥2.则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3}解析：对f (x )来说，当－1＜x ＜0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x ＜2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D. 答案：D9．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a ＜b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＜1，2－x ，x ≥1画函数f (x )的图象，得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]10．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x2＋1)，求A中元素2在B中的对应元素和B中元素⎝⎛⎭⎪⎫32，54在A中的对应元素．解：将x＝2代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋1＝32，x2＋1＝54，得x＝12.所以2在B中的对应元素为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎪⎫32，54在A中的对应元素为12.11．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系，试写出y＝f(x)的函数解析式．解：当∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝0，30k1＋b1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k1＝115，b1＝0，∴y＝115x.当x∈(30,40)时，y＝2；当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k2＋b2＝2，60k2＋b2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k2＝110，b2＝－2，∴y＝110x－2.综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧115x，x∈[0，30]，2，x∈30，40，110x－2，x∈[40，60].12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x ＞1或x ＜－1，(1)画出f (x )的图象．(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围．(3)求f (x )的值域． 解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1. 所以f (x )的值域为[0,1]．1．对分段函数的三点认识(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样． (2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．(3)分段函数的图象应分段来作，它可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、一些线段或曲线段等．作图时，要特别注意各段两端点是用实点还是用空心圈表示．2．对映射概念的三点认识(1)映射包括非空集合A ，B 以及对应关系f ，其中集合A ，B 可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何非空的集合．(关键词：非空集合)(2)集合A ，B 是有先后顺序的，即A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的．(关键词：顺序)(3)集合A 中每一个元素在集合B 中必有唯一的元素和它对应(有，且唯一)，但允许B中元素在A中无元素与之相对应．(关键词：唯一)。

2021年高中数学 1.2第8课时 分段函数及映射课时作业 新人教A 版必修1 1.2014·泰安高一检测下列对应关系f 中，能构成从集合A 到集合B 的映射的是( )A ．A ＝{x |x ＞0}，B ＝R ，f ：x →|y |＝x 2B ．A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝R ，B ＝{y |y ＞0}，f ：x →y ＝1x 2D ．A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x 2解析：对于A ，集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应；对于B ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应；对于C ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应．故A ，B ，C 均不能构成映射．答案：D2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析：由题设，g (π)＝0，f [g (π)]＝0，故选B.答案：B3．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )A. B.C. D.解析：∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≥1，1－x ，x ＜1，x ＝1时，f (1)＝0可排除A 、C.又x ＝－1时f (－1)＝2，排除D ，故选B.答案：B4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (a )＝4，则实数a ＝( ) A ．－4或－2 B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析：当a ≤0时，f (a )＝－a ＝4，∴a ＝－4；当a ＞0时，f (a )＝a 2＝4，∴a ＝2或－2(舍去)，故选B.答案：B 5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0≤x ≤1，2 1＜x ＜2，3 x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．[0,2]∪{3}解析：作出y ＝f (x )的图象，如下图所示．由图象知，f (x )的值域 是[0,2]∪{3}．故选D.答案：D6.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( ) A ．－13 B.13C ．－23 D.23解析：由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13，故选B. 答案：B7．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：∵f (3)＝3，∴共有如下4个映射答案：B8．已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ b a＝0，a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0，a ＝1.∴a ＋b ＝1.答案：19．已知A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，从A 到B 的映射f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )，A 中元素(m ，n )与B 中元素(4，－5)对应，则此元素为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，xy ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5. 答案：(5，－1)或(－1,5)10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解析：当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得a ＝－32，b ＝－72，即f (x )＝－32x －72. 当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)．将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得c ＝32，d ＝－12，即f (x )＝32x －12；当1≤x ＜2时，f (x )＝1. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.B 组 能力提升11.2014·天津高一检测集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数是( )A ．2B ．3C ．5D ．8解析：由f (a )＝0，f (b )＝0得f (a )＋f (b )＝0；f (a )＝1，f (b )＝－1，得f (a )＋f (b )＝0；由f (a )＝－1，f (b )＝1得f (a )＋f (b )＝0.共3个．答案：B12．(xx·太原高一检测)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收文由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b,2b ＋c,2c ＋3d,4d .例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收文收到密文14,9,23,28时，解密得到的明文为( )A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7解析：由题意得a ＋2b ＝14,2b ＋c ＝9,2c ＋3d ＝23,4d ＝28，解得d ＝7，c ＝1，b ＝4，a ＝6.答案：C13．画出函数y ＝|1－x 2|1＋|x |的图象．解析：当x ∈(－∞，－1)时，y ＝|1－x 2|1＋|x |＝x 2－11－x＝－x －1. 当x ∈[－1,0)时，y ＝1－x 21－x＝1＋x . 当x ∈[0,1)时，y ＝1－x 21＋x＝1－x . 当x ∈[1，＋∞)时，y ＝x 2－11＋x＝x －1. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，x ∈－∞，－1，x ＋1，x ∈[－1，0，－x ＋1，x ∈[0，1，x －1，x ∈[1，＋∞.图象如图所示．14．已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2＜x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出函数的图象；(3)写出该函数的值域．解析：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x 2＝1，当－2＜x ＜0时，f (x )＝1＋－x －x 2＝1－x . ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2＜x ＜0.(2)函数f (x )的图象如图所示： (3)由(2)知，f (x )在(－2,2]15.附加题·选做如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．(1)求f [f (0)]的值；(2)求函数f (x )的解析式．解析：(1)直接由图中观察，可得f [f (0)]＝f (4)＝2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝b ，0＝2k ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，k ＝－2. ∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2＜x ≤6)． 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2＜x ≤6.;23958 5D96 嶖34227 85B3 薳33250 81E2 臢23149 5A6D 婭22703 58AF 墯F +21448 53C8 又730740 7814研 '。

第2课时 分段函数及映射[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系．[知识链接]1．函数的定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2．作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线． [预习导引] 1．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．映射的概念映射的定义：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．要点一 分段函数求值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52)]的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)， －52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4， f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2， ∴f [f (－52)]＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝⎝⎛⎭⎫－322＋2×⎝⎛⎭⎫－32＝94－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2＞－2，不合题意，舍去．当－2＜a ＜2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. 所以(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2.规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值． 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 跟踪演练1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13 C ．1 D ．2答案 C 解析 f (2)＝2－1＝1.要点二 分段函数的图象及应用例2 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (－1≤x ≤1)，1 (x ＞1或x ＜－1)，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．跟踪演练2作出y＝错误!的图象，并求y的值域．解y＝错误!值域为y∈[－7,7]．图象如下图．要点三映射的概念例3以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪演练3 下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N .A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④ 答案 D解析 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.1．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )答案 D解析 在A 、B 选项中，由于集合A 中的元素2在集合B 中没有对应的元素，故构不成映射，在C 选项中，集合A 中的元素1在集合B 中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D 符合映射的定义，故选D.2．函数y ＝|x |的图象是( )答案 B解析 ∵y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，∴B 选项正确．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析 ∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0. 若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2 答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α＞0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2或－2(舍去)．5．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤10010＋0.4x ，x >100解析 由题意得，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .1.对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合A 和B 必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达． 2．理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、基础达标 1．以下几个论断①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段；③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅. 其中正确的论断有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 C解析 函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100 答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0， ∴f (－7)＝10.f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100. 3．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，画出f (x )的图象可知选C.4．已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( ) A ．(1,3) B ．(1,6) C ．(2,4) D ．(2,6) 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.5．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________. 答案 5解析 由f (2)＝3，可知2a －1＝3，∴a ＝2， ∴f (3)＝3a －1＝3×2－1＝5.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≥0)，2－x (－2≤x ＜0)的值域是________．答案 [1，＋∞)解析 当x ≥0时，f (x )≥1， 当－2≤x ＜0时，2＜f (x )≤4，∴f (x )≥1或2＜f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2.(1)求f (2)，f [f (2)]的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0， f [f (2)]＝f (0)＝02－4＝－4. (2)当0≤x 0≤2时， 由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4. 二、能力提升8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5，x ≥6，f (x ＋2)， x ＜6，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 f (3)＝f (3＋2)＝f (5)， f (5)＝f (5＋2)＝f (7)， ∴f (7)＝7－5＝2.故f (3)＝2.9．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f [f ⎝⎛⎭⎫13]等于( )A ．－13 B.13C ．－23 D.23答案 B解析 由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，∴f ⎝⎛⎭⎫13＝13－1＝－23，∴f [f ⎝⎛⎭⎫13]＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝－23＋1＝13. 10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1， 则f ⎝⎛⎭⎫1f (2)的值是________．答案1516解析 f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f (2)＝14，∴f ⎝⎛⎭⎫1f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－⎝⎛⎭⎫142＝1516. 11．已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域．解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)， 所以已知函数可写为分段函数形式： y ＝|x －1|＋|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1 (x ≤－2)，3 (－2<x ≤1)，2x ＋1 (x >1).在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图．(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，＋∞)． 三、探究与创新12．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．解由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x，当5＜x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6.当6＜x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.所以y＝⎩⎪⎨⎪⎧1.2x，0＜x≤5，2.4x－6，5＜x≤6，4.8x－20.4，6＜x≤7.13．如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，由点B(起点)沿着折线BCDA，向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数解析式．解当0≤x≤4时，S△APB＝12×4x＝2x；当4＜x≤8时，S△APB＝12×4×4＝8；当8＜x≤12时，S△APB＝12×4×(12－x)＝24－2x.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(0≤x≤4)，8 (4＜x≤8)，24－2x(8＜x≤12).。

第一章 1.2 1.2.2 分段函数与映射第二课时基础巩固一、选择题1．下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是( )A ．A ＝B ＝N ＋，对应关系f ：x →y ＝|x －3|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，1，x ＜0. C ．A ＝{x |x ＞0}，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应关系f ：x →y ＝1x[答案] B[解析] 对A 选项，当x ＝3时，y ＝0∉B ，排除A 选项；对于C 选项，对x 的每一个值y 有两个值与之对应，排除C 选项；对于D 选项，当x ＝0时，在B 中没有元素与之对应，排除D 选项；只有B 选项符合映射的概念，故选B.2．下列给出的函数是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1<x ≤5，2x ，x ≤1， ②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2， ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1， ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x ＜0，x －1，x ≥5. A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④[答案] B [解析] 对于②取x ＝2，f (2)＝3或4，对于③取x ＝1，f (1)＝5或1，所以②、③都不合题意．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43等于( ) A ．－2B ．4C ．2D ．－4[答案] B[解析] f ⎝⎛⎭⎫43＝83，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝43. ∴f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝4.4．已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( )A ．(1,3)B ．(1,6)C ．(2,4)D ．(2,6)[答案] A [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，5．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地前往B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5，150－50t ，t ＞3.5 D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ，0≤t ≤2.5，150，2.5＜t ≤3.5，150－50(t －3.5)，3.5＜t ≤6.5[答案] D [解析] 由于在B 地停留1小时期间，距离x 不变，始终为150千米，故选D.6．集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数是( )A ．2B ．3C ．5D ．8[答案] B[解析] 由f (a )＝0，f (b )＝0得f (a )＋f (b )＝0；f (a )＝1，f (b )＝－1得f (a )＋f (b )＝0；由f (a )＝－1，f (b )＝1得f (a )＋f (b )＝0，共3个，故选B.二、填空题7．已知a，b为实数，集合M＝{ba，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为________．[答案] 1[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ba＝0，a＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b＝0，a＝1.∴a＋b＝1.8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x∈[－1，1]，x，x∉[－1，1]，若f(f(x))＝2，则x的取值范围是________．[答案]{2}∪[－1,1][解析]设f(x)＝t，∴f(t)＝2，当t∈[－1,1]时，满足f(t)＝2，此时－1≤f(x)≤1，无解，当t＝2时，满足f(t)＝2，此时f(x)＝2即－1≤x≤1或x＝2.三、解答题9．如下图，函数f(x)的图象是由两条射线y1＝k1x＋b1(x≤1)，y2＝k2x＋b2(x≥3)及抛物线y3＝a(x －2)2＋2(1＜x＜3)的一部分组成，求函数f(x)的解析式．[解析]由图知⎩⎪⎨⎪⎧k1＋b1＝1b1＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧k1＝－1b1＝2所以左侧射线的解析式为y1＝－x＋2(x≤1)，同理x≥3时，右侧射线的解析式为：y2＝x－2(x≥3)．再设抛物线对应的二次函数的解析式为：y3＝a(x－2)2＋2(1＜x＜3，a＜0)，所以a＋2＝1，a＝－1，所以抛物线的解析式为y3＝－x2＋4x－2(1＜x＜3)．综上所述，函数解析式为y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x＋2，x≤1－x2＋4x－2，1＜x＜3x－2，x≥3.10．(2015·湖北黄冈期末)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x2(x＞0)，2(x＝0)，1－2x(x＜0).(1)求f(f(－2))的值；(2)求f(a2＋1)(a∈R)的值；(3)当－4≤x＜3时，求f(x)的值域．[解析](1)∵f(－2)＝1－2×(－2)＝5，∴f(f(－2))＝f(5)＝4－52＝－21.(2)当a∈R时，a2＋1≥1＞0，∴f(a2＋1)＝4－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋3(a∈R)．(3)①当－4≤x＜0时，f(x)＝1－2x，∴1＜f(x)≤9；②当x＝0时，f(x)＝2；③当0＜x＜3时，f(x)＝4－x2，∴－5＜f(x)＜4.故当－4≤x＜3时，函数f(x)的值域是(－5,9]．能力提升一、选择题1．(2015·安庆高一检测)设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成A到B的映射的是()A．f：x→y＝x2B．f：x→y＝3x－2C．f：x→y＝－x＋4 D．f：x→y＝4－x2[答案] D[解析]对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2，得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成A到B的映射．2．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的()[答案] B[解析] 由已知得y ＝⎩⎨⎧ 5(0<x ≤3)5＋[x －3]×1.8(x >3)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5 (0<x ≤3)6.8 (3<x <4)8.6 (4≤x <5).故选B.3．(2015·海兴中学高一第一次考试)已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应为f ：x →y ＝x 2－2x ＋2，若对实数k ∈B ，在集合中没有元素对应，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) [答案] B[解析] 设k ＝x 2－2x ＋2即x 2－2x ＋2－k ＝0，k 没有元素对应即上述方程无解Δ＜0，(－2)2－4(2－k )＜0，∴k ＜1故选B.4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，x ，x ＜0，φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x 2，x ＜0，则当x ＜0时，f [φ(x )]为( ) A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2[答案] B [解析] x ＜0时，φ(x )＝－x 2＜0，∴f (φ(x ))＝－x 2.二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________． [答案] {x |x ≤1}[解析] 当x ≥0时，f (x )＝1，由xf (x )＋x ≤2，知x ≤1，∴0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，∴x ＜0.综上，不等式的解集为{x |x ≤1}．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．[答案] 3[解析] 由f (4)＝f (0)⇒(－4)2＋b ×(－4)＋c ＝c ，f (－2)＝－2⇒(－2)2＋b ×(－2)＋c ＝－2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x ＞0. 由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ⇒x 2＋3x ＋2＝0⇒x ＝－2或x ＝－1，即当x ≤0时，有两个实数解；当x ＞0时，有一个实数解x ＝2.综上，f (x )＝x 有3个实数解．三、解答题7．已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2＜x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域．[解析] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x 2＝1； 当－2＜x ＜0时，f (x )＝1＋－x －x 2＝1－x ， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2＜x ＜0.(2)函数f (x )的图象如图所示：(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．8．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左向右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左侧部分的面积y 关于x 的函数解析式．[解析] 如图所示，过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝22cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm.又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.当点F 在BG 上时，即x ∈(0,2]时，y ＝12x 2； 当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝12×2×2＋2(x －2)＝2x －2； 当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10. 综上，y ＝⎩⎨⎧12x 2，x ∈(0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].。

1.2.2.2分段函数及映射一、选择题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f (f (f (－2)))等于( )A ．πB ．0C ．2D ．π＋1 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D解析 f (－2)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，得α＝2或α＝－2(舍)．∴α＝－4或α＝2. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 等于( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D 解析 f (－1)＝－(－1)＝1.∴f (a )＋f (－1)＝f (a )＋1＝2. ∴f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a ＝1，② 解①得a ＝1，解②得a ＝－1. ∴a ＝±1.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}考点 分段函数题点 分段函数的定义域、值域 答案 D解析 值域为[0,2]∪{3,2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，－1≤x ≤1，x ，x <－1或x >1，若f (f (x ))＝2，则x 的取值范围是( )A ．∅B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．{2}∪[－1,1]考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D解析 若x ∈[－1,1]，则f (x )＝2，f (f (x ))＝f (2)＝2，符合题意；若x >1，则f (x )＝x ，f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，此时只有x ＝2符合题意；若x <－1，则f (x )＝x ， f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，但因为x <－1，此时没有x 符合题意．故选D.6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．18立方米 D ．26立方米考点 分段函数 题点 分段函数应用问题 答案 A解析 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．7．著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则D ()D (x )等于( )A ．0B ．1C.⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为无理数，0，x 为有理数 D.⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 B解析 ∵D (x )∈{0,1}，∴D (x )为有理数，∴D ()D (x )＝1.8．若集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }，则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9 考点 映射的概念 题点 映射个数问题 答案 C解析 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ，b →e ⎩⎪⎨⎪⎧c →d ，c →e ，a →e ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ，b →e ⎩⎪⎨⎪⎧c →d ，c →e ，共8个．二、填空题9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的定义域是________．考点 分段函数题点 分段函数的定义域、值域 答案 [0，＋∞)解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．10．分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，－x ，x ≤0可以表示为f (x )＝|x |，分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤3，3，x >3可表示为f (x )＝12(x ＋3－|x －3|)，仿照上述式子，分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x <6，x ，x ≥6可表示为f (x )＝________.考点 题点答案 12(x ＋6＋|x －6|)解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤3，3，x >3可表示为f (x )＝12(x ＋3－|x －3|)，其分界点为3，从而式子中含有x ＋3与x －3，并通过|x －3|前面的“－”构造出需要的结果的形式．所以，对于分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x <6，x ，x ≥6，其分界点为6，故式子中应含有x ＋6与x －6.又x <6时f (x )＝6，故|x－6|的前面应取“＋”．因此f (x )＝12(x ＋6＋|x －6|)．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．考点 分段函数题点 分段函数与不等式结合 答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1. 三、解答题12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫－32，f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫92，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12； (2)若f (a )＝6，求a 的值． 考点 分段函数 题点 分段函数求值解 (1)∵－32∈(－∞，－1)，∴f ⎝⎛⎭⎫－32＝－2×⎝⎛⎭⎫－32＝3. ∵12∈[－1,1]，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2. 又2∈(1，＋∞)，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (2)＝2×2＝4. ∵92∈(1，＋∞)，∴f ⎝⎛⎭⎫92＝2×⎝⎛⎭⎫92＝9. (2)经观察可知a ∉[－1,1]，否则f (a )＝2.若a ∈(－∞，－1)，令－2a ＝6，得a ＝－3，符合题意； 若a ∈(1，＋∞)，令2a ＝6，得a ＝3，符合题意． ∴a 的值为－3或3.13．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．考点 分段函数 题点 分段函数应用问题 解 当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.四、探究与拓展14．若定义运算a⊙b＝⎩⎪⎨⎪⎧b，a≥b，a，a<b，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．考点分段函数题点分段函数的定义域、值域答案(－∞，1]解析由题意知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x≥1，x，x<1.画出图象如图所示：由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．15．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)>0；(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．考点分段函数题点分段函数的综合应用解若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；若－1<x≤3，则x－3≤0，x＋1>0，f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；若x>3，则x－3>0，x＋1>0，f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x≤－1，－2x＋2，－1<x≤3，－4，x>3.(1)当－1<x≤3时，－4≤－2x＋2<4.∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．(2)f (x )>0，即⎩⎨⎧x ≤－1，4>0①或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤3，－2x ＋2>0② 或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，－4>0，③ 解①得x ≤－1，解②得－1<x <1， 解③得x ∈∅.∴f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)． (3)f (x )的图象如下：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点．。

第2课时 分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应_____________________________________________________． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中____________确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的__________．一、选择题1．已知，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 2．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A ．100元B ．90元C ．80元D ．60元4．已知函数，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－525．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．18立方米 D ．26立方米6．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝x二、填空题7．已知，则f (7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题10．已知，(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( ) A．∅ B．∅或{1}C．{1} D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． (2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况． 2．对映射认识的拓展映射f ：A →B ，可理解为以下三点：(1)A 中每个元素在B 中必有唯一的元素与之对应；(2)对A 中不同的元素，在B 中可以有相同的元素与之对应；(3)A 中元素与B 中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多． 3．函数与映射的关系映射f ：A →B ，其中A 、B 是两个“非空集合”；而函数y ＝f (x )，x ∈A 为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射． 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2，若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ， x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.]7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6. 8.32{x |x ≥－1且x ≠0} 解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x <0，－x ， 0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. 当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入， 则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时， f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]． 11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2.所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合． 无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝kv 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 v <25212 500v 2Sv ≥252.。

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课时达标训练1.设函数f(x)=则f的值为( )A.-1B.C.D.4【解析】选C.f(2)=22+2-2=4,=,f=1-=.2.下列对应为A到B的函数的是( )A.A=R,B={y|y>1},f:x→y=|x|B.A=Z,B=N*,f:x→y=x2C.A=Z,B=Z,f:x→y=D.A=[-1,1],B={0},f:x→y=0【解析】选D.由函数的定义可知,对于A,0∈R,且|0|=0∉B,故A不是A到B的函数;对于B,0∈Z,且02=0∉N*,故B不是A到B的函数;对于C,当x<0时,如-2∈Z,但无意义,故C不是A到B的函数;对于D,是多对一的情形,符合函数的定义,是A到B的函数.3.已知f(x)=则f(x)的定义域为( )A.RB.(-∞,1]C.(-∞,2)D.(1,+∞)【解析】选C.分段函数的定义域是每段定义域的并集,故f(x)的定义域为{x|x≤1}∪{x|1<x<2}={x|x<2}.4.设函数f(x)=则f(f(2))=________;函数f(x)的值域是________.【解析】f(2)=,f(f(2))=f=-,当x>1时,f(x)∈(0,1),当x≤1时,f(x)∈[-3,+∞),所以f(x)∈[-3,+∞).答案:-[-3,+∞)5.设A=Z,B={x|x=2n-1,n∈Z},且从A到B的映射是x→2x-1,则A中的元素1在B中与之对应的元素是________.【解析】与A中元素1对应的B中元素为2×1-1=1.答案:16.已知y=f(x)的图象如图,则f(x)=________.【解析】当0≤x≤1时,设y=kx,将(1,1)代入得k=1,所以y=x;当1≤x≤2时,设y=k′x+b,将(1,1),(2,0)代入得k′=-1,b=2,所以y=2-x.故f(x)=答案:7.设函数f(x)=若方程f(x)=t有三个不等实根,求t的取值范围.作出函数f(x)=的图象如图,【解析】故t的取值范围是(0,1).关闭Word文档返回原板块。

[A 基础达标]1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f （x －1），x ≥2，则f (2)＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2解析：选A.f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2.下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2. ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1. ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5. A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④解析：选B.对于①，符合函数的定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系．对于②，当x ＝2时，f (2)＝3或4，故不是函数．对于③，当x ＝1时，f (1)＝5或1，故不是函数．对于④，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系．3．函数y ＝x ＋|x |x的图象是( )解析：选D.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ＞0，x －1，x ＜0.4．a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a ，0}，f ：x →2x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中为2x ，则a ＋b ＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．±2解析：选C.由题意知M 中元素b a只能对应0，1只能对应a ，所以2b a＝0，a ＝2， 所以b ＝0，a ＝2，因此a ＋b ＝2，故选C.5．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，1}，则从A 到B 的映射共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：选C.如图．6．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]的定义域为________，值域为________． 解析：函数定义域为[0，1]∪(1，2]＝[0，2]．当x ∈(1，2]时，f (x )∈[0，1)，故函数值域为[0，1)∪[0，1]＝[0，1]．答案：[0，2] [0，1]7.已知A ＝B ＝R ， x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b ，5→5且7→11.若x →20，则x ＝________． 解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－10. 所以y ＝3x －10.由3x －10＝20，得x ＝10.答案：108.已知函数f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________．解析：因为f (x )的图象由两条线段组成，由一次函数解析式求法可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤19．已知A ＝B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →2x －1.(1)求与A 中元素3相对应的B 中的元素；(2)求与B 中元素3相对应的A 中的元素．解：(1)将x ＝3代入对应关系f 可得2x －1＝2×3－1＝5，即与A 中元素3相对应的B 中的元素为5.(2)由题意可得2x －1＝3，解得x ＝2，所以与B 中元素3相对应的A 中的元素为2. 10.写出下列函数的解析式，并作出函数图象．(1)设函数y ＝f (x )，当x <0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2.(2)设函数y ＝f (x )，当x ≤－1时，f (x )＝x ＋1；当－1<x <1时，f (x )＝0；当x ≥1时，f (x )＝x －1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x <0，2，x ≥0.图象如图(1)所示． (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1，0，－1<x <1，x －1，x ≥1.图象如图(2)所示．[B 能力提升]1.函数f (x )＝|x －1|的图象是( )解析：选B.f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，由f (x )的解析式易知应选B. 2.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x ＞1或x ＜－1， (1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围． 解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f ⎝⎛⎭⎫±12＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 4.(选做题)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋ax (a ∈R)．(1)画出当a ＝2时的函数f (x )的图象；(2)求a ＝2时函数f (x )在[－3，6]上的值域．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|x ＋1|＋2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≥－1，x －1，x <－1，其图象如图所示．(2)由图可知在[－3，6]上函数分为[－3，－1)，[－1，6]两段，当x＝－3时，f(－3)＝－4，当x＝6时，f(6)＝19.由图象的大致趋势可得，此函数在[－3，6]上的值域为[－4，19]．。

第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.2 函数的表示法第2课时式分段函数及映射A级基础巩固一、选择题1．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧π＋1，x>0，π，x＝0，0，x<0，则f(f(f(－1)))＝() A．π＋1B．0C．πD．－1解析：f(f(f(－1)))＝f(f(0))＝f(π)＝π＋1.答案：A2.如图所示的函数的解析式为()A．y＝32|x－1|(0≤x≤2)B．y＝32－32|x－1|(0≤x≤2)C．y＝32－|x－1|(0≤x≤2)D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)解析：由图象易得点(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在函数图象上，代入可排除A ，C ，D.答案：B3．下列集合M 到集合P 的对应f 是映射的是( )A ．M ＝{－2，0，2}，P ＝ {－4，0，4}，f: M 中数的平方B ．M ＝{0，1}，P ＝ {－1，0，1}，f ：M 中数的平方根C ．M ＝Z ，P ＝Q ，f ：M 中数的倒数D ．M ＝R ，P ＝{x |x >0}，f ：M 中数的平方解析：根据映射的概念可知选项A 正确．答案：A4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2（0<x ≤3），x 2＋6x （－2≤x ≤0）的值域为( ) A ．RB ．[－9，＋∞)C ．[－8，1]D ．[－9，1]解析：当－2≤x ≤0时，函数f (x )的值域为[－8，0]；当0<x ≤3时，函数f (x )的值域为[－3，1]．故函数f (x )的值域为[－8，1]．答案：C5．已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( )A ．(1，3)B ．(1，6)C ．(2，4)D ．(2，6)解析：由题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3.答案：A二、填空题6．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________．解析：因为f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，f (2)＝3，所以2a －1＝3，得a ＝2，所以f (3)＝2×3－1＝5.答案：57．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－3≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，4<x ≤5，则f (f (f (5)))＝________． 解析：因为4<5≤5，所以f (5)＝－5＋2＝－3，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1，又因为0<1≤4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝1－2＝－1.答案：－18．设f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，－1≤x <0，－12x ，0<x <2，3，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝________，f (x )的定义域是______________． 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2＝32. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝32；函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．答案：32{x |x ≥－1且x ≠0} 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2，若f (a )＝3，求a 的值． 解：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ， x ≥2， 所以当x ≤－1时，f (x )≤1，当－1<x <2时，0≤f (x )<4，当x ≥2时，f (x )≥4.又因为f (a )＝3，所以a 2＝3且－1<a <2，所以a ＝ 3.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（－1≤x ≤1），1（x <－1或x >1）.(1)画出f (x )的图象；(2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0，1]．B 级 能力提升1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2（x ≥10），f （f （x ＋6））（x <10），则f (5)的值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13解析：f (5)＝f (f (5＋6))＝f (11－2)＝f (f (9＋6))＝f (13)＝13－2＝11. 答案：B2．若定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊗(2－x )的解析式是______________．解析：当x <2－x ，即x <1时，f (x )＝x ；当x ≥2－x ，即x ≥1时，f (x )＝2－x .所以f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤1，2－x ，x ≥1.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <12－x ，x ≥1 3.如图所示，动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过顶点B ，C ，D 再回到A .设x 表示P 点的路程，y 表示PA的长度，求y 关于x 的函数关系式．解：当P 点从A 运动到B 时，PA ＝x ； 当P 点从B 运动到C 时， PA ＝AB 2＋BP 2＝12＋（x －1）2＝x 2－2x ＋2； 当P 点从C 运动到D 时， PA ＝AD 2＋DP 2＝12＋（3－x ）2＝x 2－6x ＋10； 当P 点从D 运动到A 时，PA ＝4－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ， 3<x ≤4.。

课时作业(九) 分段函数和映射一、选择题1. 设集合A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →(x －1)2B ．f ：x →(2x －3)2C ．f ：x →－2x －1D ．f ：x →2x －3答案：A2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18答案：A 解析：f (2)＝22＋2－2＝4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f ：x →x 2是集合A 到集合B ＝{0,1,4}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C 解析：令x 2＝0,1,4，解得x ＝0，±1，±2.故选C.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4答案：B 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，又∵x ≤0时，f (x )＝f (x ＋1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝43. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 5．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－x ＋1，x ＜1，1x ，x ＞1的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ B ．(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 D ．(0，＋∞)答案：D 解析：当x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，当x ＞1时，f (x )＝1x ∈(0,1)，∴f (x )的值域(0,1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞＝(0，＋∞)．6．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x ＞0，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52 C ．2或－2D ．2或－2或－52答案：A 解析：若x 2＋1＝5，则x 2＝4， 又∵x ≤0，∴x ＝－2；若－2x ＝5，则x ＝－52，与x ＞0矛盾．故选A. 二、填空题7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜0，x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．答案：4 解析：当x ＜0时，2x ＝16，无解； 当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4.8．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b ，已知函数f (x )＝x 2⊕x ，则f (2)＝________.答案：4 解析：根据已知条件有f (2)＝4⊕2＝4.9．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，则B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54与A 中________对应．答案：12解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，解得x ＝12.10．设f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，－1≤x ＜0，－12x ，0＜x ＜2，3，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝________，f (x )的定义域是________．答案：32 {x |x ≥－1且x ≠0} 解析：∵－1＜－34＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12. 而0＜12＜2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14.∵－1＜－14＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x ＜0}∪{x |0＜x ＜2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ＜0，－x ＋1，0＜x ≤1，则f (x )－f (－x )＞－1的解集为________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1] 解析：当－1≤x ＜0时，f (x )＝－x －1，f (－x )＝x ＋1，∴原不等式为－x －1－(x ＋1)＞－1， 解得x ＜－12，因此－1≤x ＜－12.当0＜x ≤1时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝x －1， ∴原不等式化为－2x ＋2＞－1，解得x ＜32， 因此0＜x ≤1.综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0,1]． 三、解答题12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ≥0，x (x －4)，x ＜0，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．解：f (1)＝1×(1＋4)＝5， ∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0. 当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)； 当a ＋1＜0，即a ＜－1时， 有(a ＋1)(a －3)＝0，无解． 综上可知，a ＝－1.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x <0，x 2，0≤x <1，x ，1≤x ≤2.(1)求f (－8)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值；(2)作出函数的简图； (3)求函数的值域．解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]． (1)因为－8∉[－1,2]，所以f (－8)无意义． 因为当－1≤x <0时，f (x )＝－x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝23.因为当0≤x <1时，f (x )＝x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.因为当1≤x ≤2时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32.(2)在同一坐标系中分段画出函数的图象，如图所示． (3)由(2)中画出的图象可知，函数的值域为[0,2]． 14．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1， 当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． 尖子生题库15．规定：区间[m，n]的长度为n－m(n＞m)，设A＝[0，t](t＞0)，B＝[a，b](b＞a)，从A到B的映射f：x→y＝2x＋t，A中元素在映射f下对应元素的集合为B，且B比A的长度大5，求实数t的值．解：由于A和B均是数集，则该映射f：x→y是函数，且f(x)＝2x＋t.当x∈A时，f(x)的值域为[f(0)，f(t)]，即[t,3t]，所以B的长度为3t－t＝2t，又A的长度为t－0＝t，则2t－t＝5，解得t＝5.。