阿贝尔变换

从阿贝尔变换看定积分分部积分公式刘鹏飞 数学与应用数学专业 05级基地班指导老师 尹小玲2006年9月摘要:通过深入了解阿贝尔变换的几何意义,分析它与定积分存在某种联系;经过进一步探讨,得到由阿贝尔变换可以推导出定积分分部积分公式.关键词：阿贝尔变换，定积分，分部积分。

阿贝尔变换：设有两组数k k b a ,),,3,2,1(m k =为了求和数m m mk kk b a b a b a ba ++=∑=22111引入 m m b b b B b b b B b b B b B ++=++=+==21321321211,,,, 这样， 112211,,,--=-==m m m B B b B B b B b 把它代入和式中得)()()(1233122111-=-+-+-+=∑m m m mk kk B B a B B a B B a B a bam m m m m B a B a a B a a B a a +-+-+-=--11232121)()()( ∑-=++-=111)(m k m m k k kB a B a a这个变换式：∑∑-=+=+-=1111)(m k m m k k k mk kk B a B a a ba (1)就称为阿贝尔变换或和差变换。

上述阿贝尔变换，有一个简单的几何解释。

为了简单起见，以6=m 为例，设0≥k a ，且)6,5,4,3,2,1(0=≥k b k ，且k a 单调下降。

这时，∑=61k k k b a 在上图中就表示以k b 为底，ka 为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。

它显然等于以6543216b b b b b b B +++++=为底，以6a 为高的矩形面积，以及以kk b b b B +++= 21为底，1+-k k a a ),5,4,3,2,1(=k 为高的五个“扁”矩形的面积之和，可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。

数学分析第十二章数项级数阿贝尔判别法狄利克雷判别法第十四讲数学分析第十二章数项级数引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）阿贝尔判别法和狄利克雷判别法下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.=,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令=+++=12(1,2,,),k k v v v k n σ 121232111()()().(18)ni in n n n n i vεεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立:证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以=(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18).数学分析第十二章数项级数推论（阿贝尔引理）=12(i),,,max{};n k kεεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有≤≤≤=≤∑13.(19)nk kk v A εε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的.121232111()()()nk kn n n n nk v εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3.A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得数学分析第十二章数项级数定理12.15（阿贝尔判别法）且级数∑n b 收敛, {}n a 0,.n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有+=<∑.n p kk nbε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在正数N ,n n a b ∑则级数收敛.+=≤∑3.n p k kk na bM ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛.n n a b ∑数学分析第十二章数项级数定理12.16（狄利克雷判别法）若数列{a n }单调递减, →∞=lim 0,n n a 且∑n b 又级数的部分和数列有界, ∑n b 1n n n k V b ==∑证由于部分和数列有界,数M , 使||,n V M ≤因此当n , p 为任何正整数时,故存在正n n a b ∑则级数收敛.12||||2.n n n p n p n b b b V V M +++++++=-≤ {}n a →∞=lim 0,n n a 又由于数列单调递减, 且0,ε∀>对++++++11|| n n n p n p a b a b 6.M ε=,N ∃.n n N a ε><当时，有(19)于是根据式得到32M ε≤⋅数学分析第十二章数项级数有了阿贝尔判别法就知道: 若级数∑n u 收敛, 则(0),1n np u u p n n >+∑∑级数都收敛.例3 若数列{a n }具有性质:12,lim 0n n n a a a a ，→∞≥≥≥≥= sin cos (0,2π)n n a nx a nx x 则和对任何收敛.∈∑∑112sin cos 22nk x kx =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑11sin sin 22n x n x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦解因为1sin ,2n x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin sin sin 222x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭数学分析第十二章数项级数(0,2π),sin 0,2xx 当时故得到∈≠11sin 12cos .(21)22sin2nk n x kx x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-∑∑cos nx (0,2π)x ∈所以级数的部分和数列当时有sin .n a nx ∑理可证级数也是收敛的(0,2π).x 都收敛∈sin cos nx nxn n和对一切∑∑作为例3 的特例, 级数界，cos .n a nx ∑由狄利克雷判别法得级数收敛同数学分析第十二章数项级数*例4 级数21sin (1)nn nn ∞=-∑收敛但不绝对收敛. 解由于21sin (1)nn nn ∞=-∑的绝对值级数为211sin 11cos2,2n n n n n n n ∞∞==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∞=∑21sin n n n发散.21sin (1cos2),2n n =-又因得11n n ∞=∑其中发散，1cos23n nn ∞=∑收敛(根据例结论),故数学分析第十二章数项级数∞=-∑11(1),n n n 由于级数收敛而11cos 2cos(2π)(1),n n n n n n n ∞∞==+-=∑∑21sin (1)n n n n ∞=-∑所以级数为条件收敛.211sin 11cos2(1)(1)2nn n n n n n n n ∞∞==⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭∑∑，也收敛，根据例321sin (1).n n n n 因此级数收敛∞=-∑复习思考题数学分析第十二章数项级数n u ∑n v ∑1.假设级数绝对收敛, 级数条件收敛, 问级数()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛?lim 0,2,nn n n nu u v l v →∞=≠∑∑对于一般项级数与从.能?n n u v ∑∑否得出与同敛散3.总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.。

(0,2) 插值||(0,2) interpolation0#||zero-sharp; 读作零井或零开。

0+||zero-dagger; 读作零正。

1-因子||1-factor3-流形||3-manifold; 又称“三维流形”。

AIC准则||AIC criterion, Akaike information criterionAp 权||Ap-weightA稳定性||A-stability, absolute stabilityA最优设计||A-optimal designBCH 码||BCH code, Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codeBIC准则||BIC criterion, Bayesian modification of the AICBMOA函数||analytic function of bounded mean oscillation; 全称“有界平均振动解析函数”。

BMO鞅||BMO martingaleBSD猜想||Birch and Swinnerton-Dyer conjecture; 全称“伯奇与斯温纳顿－戴尔猜想”。

B样条||B-splineC*代数||C*-algebra; 读作“C星代数”。

C0 类函数||function of class C0; 又称“连续函数类”。

CA T准则||CAT criterion, criterion for autoregressiveCM域||CM fieldCN 群||CN-groupCW 复形的同调||homology of CW complexCW复形||CW complexCW复形的同伦群||homotopy group of CW complexesCW剖分||CW decompositionCn 类函数||function of class Cn; 又称“n次连续可微函数类”。

Cp统计量||Cp-statisticC。

阿贝尔变换在数列问题中的应用
阿贝尔变换是一种数学工具，可以将一个数列转化为另一个数列。

在数列问题中，阿贝尔变换可以用来求解一些复杂的问题，例如求和、求积、求倒数等。

阿贝尔变换的基本思想是将一个数列表示为一个幂级数的形式，然后对幂级数进行运算。

在数学和工程领域中，阿贝尔变换有广泛的应用。

在信号处理中，阿贝尔变换可以用来分析和处理信号，例如在音频处理中应用广泛。

在数论中，阿贝尔变换可以用来研究数列的性质，例如素数分布等。

阿贝尔变换的应用还包括解决一些著名的问题，例如费马小定理、欧拉定理等。

此外，阿贝尔变换还有许多变体和扩展，例如离散阿贝尔变换、快速傅里叶变换等。

总之，阿贝尔变换是一个非常有用的数学工具，在数列问题中有广泛的应用。

对于学习数学和工程的人们来说，学习和掌握阿贝尔变换的基本知识和应用是非常重要的。

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阿贝尔变换阿贝尔和式变换公式阿贝尔变换：设有两组数a k , b k (k =1, 2, 3, , m ) 为了求和数m∑a k bk=a 1b 1+a 2b 2+ a m b mk =1引入B 1=b 1, B 2=b 1+b 2, B 3=b 1+b 2+b 3, , B m =b 1+b 2+ b m 这样，b 1=B 1, b 2=B 2-B 1, , b m =B m -B m -1 把它代入和式中得m∑a k bk=a 1B 1+a 2(B 2-B 1) +a 3(B 3-B 2) + a m (B m -B m -1)k =1=(a 1-a 2) B 1+(a 2-a 3) B 2+ (a m -1-a m ) B m -1+a m B m m -1=∑(ak-a k +1) B k +a m B mk =1这个变换式：∑mm -1a kb k=∑(ak-a k +1) B k +a m B m k =1k =1就称为阿贝尔变换或和差变换。

(1)有一个简单的几何解释。

为了简单起见，以m 上述阿贝尔变换，6=6为例，设a k ≥0，且b k ≥0(k =1, 2, 3, 4, 5, 6) ，且a k 单调下降。

这时，∑a k b k 在上图中就表示以b k 为底，a kk =1为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。

它显然等于以以a 6为高的矩形面积，以及以B k =b 1+b 2+ +b k B 6=b 1+b 2+b 3+b 4+b 5+b 6为底，为底，a k -a k +1(k =1, 2, 3, 4, 5, ) 为高的五个“扁”矩形的面积之和，可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。

阿贝尔变换可以看作是求图形的面积，而定积分运算也是求图形的面积，因此二者之间有一定的联系。

从广义上看，定积分运算和阿贝尔变换一样都是一种求和的运算。