阿贝尔变换

从阿贝尔变换看定积分分部积分公式刘鹏飞 数学与应用数学专业 05级基地班指导老师 尹小玲2006年9月摘要:通过深入了解阿贝尔变换的几何意义,分析它与定积分存在某种联系;经过进一步探讨,得到由阿贝尔变换可以推导出定积分分部积分公式.关键词：阿贝尔变换，定积分，分部积分。

阿贝尔变换：设有两组数k k b a ,),,3,2,1(m k =为了求和数m m mk kk b a b a b a ba ++=∑=22111引入 m m b b b B b b b B b b B b B ++=++=+==21321321211,,,, 这样， 112211,,,--=-==m m m B B b B B b B b 把它代入和式中得)()()(1233122111-=-+-+-+=∑m m m mk kk B B a B B a B B a B a bam m m m m B a B a a B a a B a a +-+-+-=--11232121)()()( ∑-=++-=111)(m k m m k k kB a B a a这个变换式：∑∑-=+=+-=1111)(m k m m k k k mk kk B a B a a ba (1)就称为阿贝尔变换或和差变换。

上述阿贝尔变换，有一个简单的几何解释。

为了简单起见，以6=m 为例，设0≥k a ，且)6,5,4,3,2,1(0=≥k b k ，且k a 单调下降。

这时，∑=61k k k b a 在上图中就表示以k b 为底，ka 为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。

它显然等于以6543216b b b b b b B +++++=为底，以6a 为高的矩形面积，以及以kk b b b B +++= 21为底，1+-k k a a ),5,4,3,2,1(=k 为高的五个“扁”矩形的面积之和，可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。

数学分析第十二章数项级数阿贝尔判别法狄利克雷判别法第十四讲数学分析第十二章数项级数引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）阿贝尔判别法和狄利克雷判别法下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.=,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令=+++=12(1,2,,),k k v v v k n σ 121232111()()().(18)ni in n n n n i vεεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立:证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以=(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18).数学分析第十二章数项级数推论（阿贝尔引理）=12(i),,,max{};n k kεεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有≤≤≤=≤∑13.(19)nk kk v A εε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的.121232111()()()nk kn n n n nk v εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3.A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得数学分析第十二章数项级数定理12.15（阿贝尔判别法）且级数∑n b 收敛, {}n a 0,.n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有+=<∑.n p kk nbε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在正数N ,n n a b ∑则级数收敛.+=≤∑3.n p k kk na bM ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛.n n a b ∑数学分析第十二章数项级数定理12.16（狄利克雷判别法）若数列{a n }单调递减, →∞=lim 0,n n a 且∑n b 又级数的部分和数列有界, ∑n b 1n n n k V b ==∑证由于部分和数列有界,数M , 使||,n V M ≤因此当n , p 为任何正整数时,故存在正n n a b ∑则级数收敛.12||||2.n n n p n p n b b b V V M +++++++=-≤ {}n a →∞=lim 0,n n a 又由于数列单调递减, 且0,ε∀>对++++++11|| n n n p n p a b a b 6.M ε=,N ∃.n n N a ε><当时，有(19)于是根据式得到32M ε≤⋅数学分析第十二章数项级数有了阿贝尔判别法就知道: 若级数∑n u 收敛, 则(0),1n np u u p n n >+∑∑级数都收敛.例3 若数列{a n }具有性质:12,lim 0n n n a a a a ，→∞≥≥≥≥= sin cos (0,2π)n n a nx a nx x 则和对任何收敛.∈∑∑112sin cos 22nk x kx =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑11sin sin 22n x n x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦解因为1sin ,2n x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin sin sin 222x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭数学分析第十二章数项级数(0,2π),sin 0,2xx 当时故得到∈≠11sin 12cos .(21)22sin2nk n x kx x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-∑∑cos nx (0,2π)x ∈所以级数的部分和数列当时有sin .n a nx ∑理可证级数也是收敛的(0,2π).x 都收敛∈sin cos nx nxn n和对一切∑∑作为例3 的特例, 级数界，cos .n a nx ∑由狄利克雷判别法得级数收敛同数学分析第十二章数项级数*例4 级数21sin (1)nn nn ∞=-∑收敛但不绝对收敛. 解由于21sin (1)nn nn ∞=-∑的绝对值级数为211sin 11cos2,2n n n n n n n ∞∞==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∞=∑21sin n n n发散.21sin (1cos2),2n n =-又因得11n n ∞=∑其中发散，1cos23n nn ∞=∑收敛(根据例结论),故数学分析第十二章数项级数∞=-∑11(1),n n n 由于级数收敛而11cos 2cos(2π)(1),n n n n n n n ∞∞==+-=∑∑21sin (1)n n n n ∞=-∑所以级数为条件收敛.211sin 11cos2(1)(1)2nn n n n n n n n ∞∞==⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭∑∑，也收敛，根据例321sin (1).n n n n 因此级数收敛∞=-∑复习思考题数学分析第十二章数项级数n u ∑n v ∑1.假设级数绝对收敛, 级数条件收敛, 问级数()n n u v +∑是绝对收敛还是条件收敛?lim 0,2,nn n n nu u v l v →∞=≠∑∑对于一般项级数与从.能?n n u v ∑∑否得出与同敛散3.总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.。

12
咸宁师专学报 第 22 卷 生) 强烈地依赖于介质温度的这一特点 , 将 CH 基 作为火焰阵面的指示器 , 这很适合于爆炸的监视 、 发现以及燃烧过程的研究 . 112 CT 技术的重建算法 图像重建是光学 CT 技术的另一个重要内容 . 重建图像的质量强烈地依赖于重建算法 . 重建算法 大致可以分为两大类 ,即变换法和级数展开法[8 ] . 11211 变换方法 变换法最早是雷当 ( Radon) 在 1917 年提出的 , 现称之为雷当变换 . 在二维空间中 ,若用极坐标 ( r , β ) 代替直角坐标 ( x , y ) , 如图 1 所示 , 这时有 : x = rcosβ; y = rsinβ;β = arctan ( y/ x ) . 在 XOY 平面内 , ) 沿直线 S 的积分 某被测物理量 f ( r ,β
Ξ 收稿日期 :2002 - 05 - 20 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (69878007) . 作者简介 : 李春芳 (1965 - ) ,男 ,湖北嘉鱼人 ,华中科技大学博士生 1
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分为三大类 : 相位测量 、 吸收测量和发射测量 . 相位测量方法适合于任何位相型物体 . 当探测 光波通过相位场时 ,受到待测场的调制而携带其折 射率变化信息 . 由多方向的探测光所携带的信息就 可以重建出各层面的折射率分布 . 而流场的温度 、 密度 、 压力和速度等空气动力学和热力学量都和折 射率有关 ,从而可以求出所需的物理量 . 相位测量 有多种 ,常用的有全息干涉测量 、 光束偏转测量等 . 全息干涉测量利用全息干涉法对物场拍摄全息图 , 再对全息图进行多方位投影扫描测量 ,就可以重建 出物场某一层面的折射率分布 ,由此即可得到与相 位有关的其他物理量的场分布[3～7 ] . 全息干涉测量 可以采用多光束一次测量 ,这种方法采集数据所用 的时间很短 ,可以实现快速测量 , 提高了时间分辨 率 . 火焰 、 流体等因波动较大 ,特别适宜采用这种测 量方法 ,但是 ,它需要条纹计数 . 光束偏转测量方法 简便 ,不需要条纹计数 ,减少了数据的模糊性 ,增加 了动态测量范围 , 更适用于光纤一类的固体介质 . 光束偏转测量是指扫描激光光束通过介质时 ,因折 射率的不均匀性会引起光束的偏转 ,采用莫尔偏转 测量 、 纹影照相 、 阴影照相及偏转函数成像技术测 量出偏转角 ,从而重建出折射率及其相关的物理量 场分布 . 吸收测量方法是在多角度吸收光谱测量基础 之上发展起来的 ,它能够实现温度和浓度等物理量 场分布的快速 、 高精度 、 无干扰瞬态测量 ,其直接测 量量是原子或分子的某吸收光谱强度 . 国外早在 20 世纪 70 年代就开展了吸收光谱法的研究 , 并且 取得了较好的成果 . 但是这一方法要求采用双波 长 ,并且两波长的间隔要尽可能大 ; 另一方面双波 长的提供采用了二台激光器或染料激光调谐 . 若采

k=1
令 yk =
1 k
( x1
+
x2
+
…+
xk )
, k = 1 , 2 , …,
2 000
∑ 2 001. 求 | yk - yk + 1 | 的最大可能值. k =1 (2001 ,上海市高中数学竞赛)
讲解 :由于不知 xk 和 xk + 1 的大小关系 ,
2 000
∑ 可将差 xk - xk + 1 视为整体 ,将条件 | xk k=1
n
m
∑ ∑ 将取定的这组正数代入 ak ≤M ak
k=1
k=1
中 ,有
m+ (n-
m) ·( n -
m (2 cn - m - 1) m) ( n + m + 1 - 2 cn)
≤mM .
则
M
≥1
+
2 cn - m - 1 n + m + 1 - 2 cn
=n+
n m +1-
≥n 2 cn n + 1 -
xi ,
i= k i i= k+1 i
∑n
若令 yi =
xj , i = 1 ,2 , …, n ,则诸 yi ≥0.
j= i j
逆用阿 贝 尔 变 换 的 证 明 方 法 可 将 条 件 化 为
∑ ∑ n
n
y2i = 1. 再由 yi =
xj , i = 1 ,2 , …, n ,有
i =1
j= i j
xn = nyn , xi = i ( yi - yi + 1 ) , i = 1 ,2 ,
…, n - 1.

又由于bn收敛, 依柯西准则，对任意正数 , 存在
正数N, 使当 n >N 时,对任一正整数 p,都有
n p
bk .
kn
n p
(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到 akbk 3M .
这就说明级数 anbn 收敛.
kn
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
复习思考题
1. 假设级数 un 绝对收敛, 级数 vn条件收敛, 问
级数 (un vn )是绝对收敛还是条件收敛?
2.对于一般项级数
un与
vn ,
从 lim un v n
n
l
0, 能
否得出 un与 vn 同敛散?
3. 总结一般项级数条件收敛或绝对收敛的判别步骤.
k (k 1,2,, n), 整理后就得到所要证的公式(18).
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
推论（阿贝尔引理）
若 (i) 1 , 2 ,, n 是单调数组,记 max{ k }; k
(ii) 对任一正整数 k(1 k n) 有 k A, 则有
设 i ,vi (i 1,2,, n), 两组实数, 若令 k v1 v2 vk (k 1,2,, n),
则有如下分部求和公式成立:
n
ivi (1 2 )1 (2 3 ) 2 (n1 n ) n1 n n . (18)
i1
证 以 v1 1 ,vk k k1(k 2, 3,, n) 分别乘以
2

(0,2) 插值||(0,2) interpolation0#||zero-sharp; 读作零井或零开。

0+||zero-dagger; 读作零正。

1-因子||1-factor3-流形||3-manifold; 又称“三维流形”。

AIC准则||AIC criterion, Akaike information criterionAp 权||Ap-weightA稳定性||A-stability, absolute stabilityA最优设计||A-optimal designBCH 码||BCH code, Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codeBIC准则||BIC criterion, Bayesian modification of the AICBMOA函数||analytic function of bounded mean oscillation; 全称“有界平均振动解析函数”。

BMO鞅||BMO martingaleBSD猜想||Birch and Swinnerton-Dyer conjecture; 全称“伯奇与斯温纳顿－戴尔猜想”。

B样条||B-splineC*代数||C*-algebra; 读作“C星代数”。

C0 类函数||function of class C0; 又称“连续函数类”。

CA T准则||CAT criterion, criterion for autoregressiveCM域||CM fieldCN 群||CN-groupCW 复形的同调||homology of CW complexCW复形||CW complexCW复形的同伦群||homotopy group of CW complexesCW剖分||CW decompositionCn 类函数||function of class Cn; 又称“n次连续可微函数类”。

Cp统计量||Cp-statisticC。

阿贝尔变换在数列问题中的应用
阿贝尔变换是一种数学工具，可以将一个数列转化为另一个数列。

在数列问题中，阿贝尔变换可以用来求解一些复杂的问题，例如求和、求积、求倒数等。

阿贝尔变换的基本思想是将一个数列表示为一个幂级数的形式，然后对幂级数进行运算。

在数学和工程领域中，阿贝尔变换有广泛的应用。

在信号处理中，阿贝尔变换可以用来分析和处理信号，例如在音频处理中应用广泛。

在数论中，阿贝尔变换可以用来研究数列的性质，例如素数分布等。

阿贝尔变换的应用还包括解决一些著名的问题，例如费马小定理、欧拉定理等。

此外，阿贝尔变换还有许多变体和扩展，例如离散阿贝尔变换、快速傅里叶变换等。

总之，阿贝尔变换是一个非常有用的数学工具，在数列问题中有广泛的应用。

对于学习数学和工程的人们来说，学习和掌握阿贝尔变换的基本知识和应用是非常重要的。

- 1 -。

＋ Ｕ
ｎ一 １
解 记
一 一
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１ ＋ （ １ 一 １ ） ＋ （ １ 一 １ ） ＋ …一
所 以
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Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｘ ｘ ｙ ｕ ａ ｎ ＠ｃ ｕ ｇ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ａ
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６ ４
高 等 数 学 研 究
２ ０ １ ３年 ７月
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于是式 （ ５ ） 变 为
第 １ ６卷 第 ４期
２ Ｏ ｌ ３年 ７月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ ＥＳ Ｉ Ｎ ＣＯＬＬ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ １ ． １ ６ ， Ｎｏ ． ４ Ｊ ｕ １ ． ，２ ０ １ ３
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道 大 学 生数 学 竞赛 题 的 另解 Байду номын сангаас
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１ ＋ １ ） １ ｅ ＿ ｘ ｌ ｎ （ ２ ｋ ） ＋ ￥ ｈ ， ｘ １ ． ｌ ｍ
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求极 限
—
．
若 记
一

=
n（ ［
n
+
1） 2 ］
k=1
k=1
6
6
6
2
1. 2 Abel 变换在级数中的应用
利用 Abel 变换可以推导出判断数项级数收敛性与函数项级数一致收敛性的狄利克雷判别法与阿
贝尔判别法，相关结论与例题见文［3］． 下面利用 Abel 变换的思想，证明一些级数收敛问题．
∞
∞
例 3 {λn} 为单调增加并趋向于正无穷的正数序列，∑λkak 收敛，证： ∑ak 收敛．
1 ．
2
收稿日期： 2018－05－22 作者简介： 周蕊（ 1983－） ，女（ 汉族） ，河北承德人，东北大学秦皇岛分校数学与统计学院讲师，博士，主要研究方向： 组合数学． 通讯作者： 徐大树（ 1998－） ，男（ 汉族） ，江苏连云港人，东北大学秦皇岛分校数学与统计学院学生，主要研究方向： 分 析学．
数列极限、级数敛散性和函数项级数一致收敛性等问题．
m
∑ Abel 变换的形式如下： 设有两个序列 ｛ ak｝ ，｛ bk｝ ，为了求 akbk，引入： bk = Sk － Sk－1（ k = 1，2，…， k=1
m
m－1
∑ ∑ m） ，其中规定 S0 = 0． 这样 ak bk = （ ak － ak+1） Sk + amSm．
第1期
周蕊等： Abel 变换的应用
23
k
∑ 记 Sk =
xi ，Sk +
为{xi }
k i=
1
中所有正数的和，Sk －
为{xi }
k i=
1
中所有负数的和，则有：
Sn
= 0．
i=1

阿贝尔变换阿贝尔和式变换公式阿贝尔变换：设有两组数a k , b k (k =1, 2, 3, , m ) 为了求和数m∑a k bk=a 1b 1+a 2b 2+ a m b mk =1引入B 1=b 1, B 2=b 1+b 2, B 3=b 1+b 2+b 3, , B m =b 1+b 2+ b m 这样，b 1=B 1, b 2=B 2-B 1, , b m =B m -B m -1 把它代入和式中得m∑a k bk=a 1B 1+a 2(B 2-B 1) +a 3(B 3-B 2) + a m (B m -B m -1)k =1=(a 1-a 2) B 1+(a 2-a 3) B 2+ (a m -1-a m ) B m -1+a m B m m -1=∑(ak-a k +1) B k +a m B mk =1这个变换式：∑mm -1a kb k=∑(ak-a k +1) B k +a m B m k =1k =1就称为阿贝尔变换或和差变换。

(1)有一个简单的几何解释。

为了简单起见，以m 上述阿贝尔变换，6=6为例，设a k ≥0，且b k ≥0(k =1, 2, 3, 4, 5, 6) ，且a k 单调下降。

这时，∑a k b k 在上图中就表示以b k 为底，a kk =1为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。

它显然等于以以a 6为高的矩形面积，以及以B k =b 1+b 2+ +b k B 6=b 1+b 2+b 3+b 4+b 5+b 6为底，为底，a k -a k +1(k =1, 2, 3, 4, 5, ) 为高的五个“扁”矩形的面积之和，可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。

阿贝尔变换可以看作是求图形的面积，而定积分运算也是求图形的面积，因此二者之间有一定的联系。

从广义上看，定积分运算和阿贝尔变换一样都是一种求和的运算。

第二换元积分法主要是“一阶微分形式不变性”的体现，目的是简化被积 函数的结构，使得容易求解。这两类换元积分法可以推广到一元定积分理论中， 这里不细说了，详细内容请参考《数学分析新讲》。重积分中也有换元积分公式， 但根据经验，高维积分换元主要是为了将积分域变得简单，一维积分换元主要 是为了将被积函数变得简单，这一点区别要注意。
导、积分等光滑运算。其中有一种方法令笔者印象非常深刻，称之为收敛因子
法。下面用例子来说明，考虑广义积分
∫ +∞ sin x dx = ?
0x
我们引入一个收敛因子e−tx ，然后定义一个新的函数
∫ ϕ(t) = e +∞ −tx sin x dx
0
x
数学分析中证明了新函数ϕ(t) 有很好的性质，可以积分号下直接求导，于是
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数学分析三大基本思想之变换
SCIbird
说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结 论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。
本章介绍数学分析中的三大基本思想之变换。广义的变换应该作为一种思想 来理解，即对某个数学对象进行操作，转化为另一个对象，要求后者相对容易 处理。
函数，则存在有理函数h , 使得
∫ f (x )eg(x ) dx = h (x )eg(x ) +C .
这个定理的证明涉及微分代数，有兴趣的读者可自行查阅相关文献。
在积分理论中，有一类非常重要的变换，即含参数变换。
ϕ(t) = ∫ f (x)K (x , t) dx R
这里t 是参变量， K (x , t) 称为核函数。这种方法也是定义非初等函数的一种常
如果 Rn 的子集S 可以表示为有限个两两无公共内点的闭方块的并集，那么 我们就说S 是一个简单图形。任何简单图形当然都是闭若尔当可测集。新讲中 证明了：为证明重积分变量代换公式，只需要考虑积分区域最简单的情形。即 如下结论成立：

第三篇：级数理论第一部分：数项级数与广义积分第九章：数项级数1 预备知识：数列的上极限和下极限一、 定义：对于有界数列{}n a ，{}n a 未必收敛，但它有收敛的子列。

这里我们考虑数列{}n a 具有特殊性质的子列{}nj a ，它的极限值最大（或者最小）。

例如：{}(1)n-={}n a ，2na=1→1，21n a -=-1→-1。

在{}n a 去掉最前面的k 项以后 ，剩下来的仍是一个有界数列，证这个数列{}k ja +的上确界为kβ，下确界为k α，即：k β=sup n k>{}n a =sup {}1,2,k k a a ++L 随着k 的增大在变小k α={}{}1,2,inf inf k k k n ka a a ++>=L 随着k 的增大在变大令k=1,2,3,……，可得新的数列{}k β及{}k α。

显见，{}k β[，{}k αZ 。

由单调有界准则知{}k β，{}k α均收敛，分别证：,lim lim k k k k H h βα→∞→∞==分别称H ，h 为数列{}n a 的上极限与下极限，记为H=lim n n a →∞,h=lim n →∞n a 。

即：H=lim nx a →∞={}lim sup n k n ka →∞>；h=lim n →∞n a {}liminf n k n ka →∞>≤。

由上、下极限的定义，显然有：h H 。

（事实上，',k k ∀有{}{}'','''sup inf ,,lim H ,n n k k k k k k n kn ka a H k βαβαα→∞>>≥≥=≥≥→∞故故即：再令，有h H ≤）对于无界数列{},n a 可以补充规定：1;lim n a n =∞→∞______规定：（）如果数列无上界，级数H=（2）如果数列{}n a 无下界，级数.lim n n h a →∞==-∞这样，对于任何的数列，上极限和下极限h 均有定义。

阿贝尔变换数列求和
阿贝尔变换，也被称为阿贝尔求和法，是一种用于数列求和的经典方法。

其核心思想是将有限个两项乘积之和转换成含有其中一项部分和的乘积之和的过程。

这种方法在处理一些特定的数列求和问题时，具有独特的优势和简洁性。

阿贝尔变换的应用范围非常广泛，它不仅可以用于处理等差数列与等比数列的乘积求和，还可以应用于其他更复杂的数列求和情况。

通过阿贝尔变换，我们可以将复杂的数列求和问题转化为更简单、更直观的形式，从而更容易找到求和的公式或方法。

以等差数列与等比数列的乘积求和为例，我们可以使用阿贝尔变换来简化求和过程。

首先，我们将等差数列的每一项看作是一个小矩形的宽度，将等比数列的每一项看作是小矩形的高度。

然后，我们将这些小矩形按照一定的顺序排列起来，形成一个梯形图形。

接着，我们可以通过对这个梯形图形进行不同的分区域操作，得到两个不同的求和表达式。

这两个表达式之间的关系就是阿贝尔变换的核心内容。

在实际应用中，阿贝尔变换不仅可以用于求解数列的和，还可以用于求解数列的部分和、积的和等问题。

同时，阿贝尔变换还可以与其他数学方法相结合，如微积分、差分等，以处理更复杂的数学问题。

总之，阿贝尔变换是一种非常实用的数列求和方法，它不仅可以简化求和过程，还可以拓宽我们的数学视野。

通过学习和掌握阿贝尔变换，我们可以更好地理解和解决一些数学问题，提高我们的数学素养和思维能力。

后数据点数变为 N , 用于计算发射系数的投影值 I
与测量值 I E 的关系为 I = I E / ∃, 其中 ∃为常数, 由绝 对强度标定确定。又设 qij = - p ij / , 由( 4) 式可得绝
对发射系数的计算公式
∀ ( r i ) =
1 ∃E
Nj=
1
qij I
0
E(yj
)
.
( 6)
系数 qij 预先计算后保存, 将各组测量值的尾部补零
u0 ( i , j + 1) ,
1 # i # N - 1, j = i - 1
p ij = u0 ( i , j + 1) + u1 ( i , j ) ,
0 # i # N - 1, j = i
( 5)
u0 ( i , j + 1) + u1 ( i , j ) + u2 ( i , j - 1) ,
第 27 卷 第 9 期 2007 年 9 月
光学学报 ACT A OPT ICA SINICA
文章编号: 0253 2239( 2007) 09 1633 6
V ol. 27, No . 9 September , 2007
阿贝尔逆变换数据处理算法在电弧诊断中的应用
马税良 高洪明 张广军 吴 林
( 哈尔滨工业大学 现代焊接生产技术国家重点实验室, 哈尔滨 150001)
1引 言
等离子体在材料加工[ 1] 、材料制备、表面改性以 及废气废物处理等工业领域具有广泛的应用。等离 子体有关物理参量的径向分布, 是等离子体研究中 的重要内容。而在等离子体的诊断中, 测量到的许 多物理参量都是某一方向的投影值。对于柱对称的 等离子体, 实验测得的辐射强度是等离子体的发射 系数在一条直线上的积分值, 需要运用阿贝尔逆变

matlab 阿贝尔变换Matlab 阿贝尔变换阿贝尔变换（Abel Transform）是一种在物理学和数学领域中常用的数学变换方法，用于从一个空间域的函数转换到一个频率域的函数。

在Matlab中，我们可以使用不同的方法和函数来进行阿贝尔变换，以实现对信号或数据的分析和处理。

阿贝尔变换的应用十分广泛，尤其在光学、声学、核磁共振等领域中被广泛使用。

在光学中，阿贝尔变换可以用于恢复模糊图像或去除图像中的噪声，从而提高图像的质量和清晰度。

在声学领域，阿贝尔变换可以用于声波信号的频谱分析和声音的合成。

在核磁共振领域，阿贝尔变换可以用于对核磁共振信号进行解卷积和去噪，从而提取出样品的化学信息。

在Matlab中，我们可以使用Abel Transform Toolbox来进行阿贝尔变换的计算和分析。

该工具箱提供了多种不同的阿贝尔变换方法和函数，可以根据具体的应用需求选择合适的方法进行计算。

常用的阿贝尔变换方法包括直接法、逆阿贝尔变换法、雷德尔递推法等。

以直接法为例，假设我们有一个信号或数据集X，我们可以使用Matlab中的abel函数来进行阿贝尔变换的计算。

该函数接受一个输入信号和一个角度向量作为参数，并返回计算得到的阿贝尔变换结果。

我们可以通过指定不同的角度向量来实现不同方向的阿贝尔变换。

具体使用方法如下：```matlabX = ...; % 输入信号或数据集theta = ...; % 角度向量A = abel(X, theta); % 计算阿贝尔变换% 进一步的分析和处理...```除了直接法，Matlab中还提供了其他一些函数和工具箱来进行阿贝尔变换的计算和分析。

例如，我们可以使用Radon变换函数radon 来计算阿贝尔变换的投影，或者使用iradon函数来进行逆阿贝尔变换的重建。

这些函数和工具箱可以帮助我们更加方便地进行阿贝尔变换的计算和分析。

阿贝尔变换作为一种重要的数学变换方法，在信号处理和数据分析中具有广泛的应用。

在圆锥曲线里：设椭圆上有一定点有一动点，那么有变换得到时就可以瞧成这一点切线得斜率，写成导数得形式就就是函数不等式：拉格朗日中值定理，洛必达法则（在下面），柯西不等式得变式，赫尔德不等式，闵可夫斯基不等式，（安利一本贝肯鲍尔得《不等式入门》，小册子）第二数学归纳法（在下面）解析几何：极坐标系，参数方程，隐函数求导（在上面）（事实上背过切线公式与切点弦公式就好），各种二级结论做过得最好就背过。

立体几何：向量叉乘，暴力破解一个爽数列：各种二三级递推、递归，以及特征很方程选填最后一两题：高斯函数被考滥了，三角形四心得向量性质（在下面），一些典型得涂色问题，还有就就是一些几何性质，阿波罗尼斯圆（在下面）什么得，毕业久了记不得了“四心”1 若P就是△ABC得重心PA+PB+PC=02 若P就是△ABC得垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）3 若P就是△ABC得内心aPA+bPB+cPC=0(abc就是三边）4 若P就是△ABC得外心|PA|=|PB|=|PC|（AP就表示AP向量 |AP|就就是它得模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心8、若aOA=bOB+cOC,则0为∠A得旁心,∠A及∠B,∠C得外角平分线得交点洛必达法则0/0型不定式极限若函数与满足下列条件：⑴，；⑵在点得某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞ ），则∞/∞型不定式极限若函数与满足下列条件：⑴；⑵在点得某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为），则其她类型不定式极限不定式极限还有，，，，等类型。

经过简单变换，它们一般均可化为型或型得极限。