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2.8.1 边角网按条件平差(1) 边角网中的条件边角网的建网方法有四种，即在测角网的基础上加测部分边;在测边网的基础上加测部分角;观测部分边和部分角;观测全部边长和角度。
由于边角网既测边长又测角度，因此它具有三角网条件，测边网条件及由边、角两类观测量共同组成的边角条件，具体有以下几种：a. 独立三角网条件用角度组成的三角网图形、圆周闭合和极三种条件;b.独立测边网条件用边长组成的测边网的图形条件;c.边、角条件由观测边长和观测角度共同组成的正弦条件或余弦条件;d. 附合网条件它包括测角网或测边网中的坐标方位角(固定角)、坐标及基线(固定边)(测边网除外)三种条件。
在以上条件中，a、b、d三类条件分别在测角网、测边网及导线网中做了讨论，现讨论C种条件式的组成。
①正弦条件方程式的组成正弦条件是指平差图形中观测角和观测边的平差值应满足正弦定理。
在图2.8-1中，测角网中加测了边长Dcd。
则其正弦条件为：其线性形式为：(2.8-4)式中：很显然，边角网中正弦条件同三角网中基线条件式是相似的，所不同的是在基线条件式的基础上，增加了边长改正数这一项，因此边角网中正弦条件式是三角网中基线条件式的扩展。
在图2.8-1中，如果边长ab也是观测边，那么在(2.8-4)式中还要加一项VDab，其条件方式程形式为：图2.8-1 边角条件基本图形(2.8-5)作为特例，当在一个边角网三角形中(见图2.8-1)，显然有两个正弦条件式，其形式为：(2.8-6)式中：式(2.8-6)亦可写成下列形式：(2.8-7)式中：W1＝D1sinβ2-D2sinβ1W2＝D2sinβ3-D3sinβ2在特殊情况下，如果在测三条边及两个角的三角形中，此时显然有两个正弦条件，其中一个与式(2.8-6)或(2.8-7)式中第一式相同，而第二个条件式则不同，设β3＝180°-β1-β2，其条件方程式形式为：(2.8-8)式中：或表达为：(2.8-9)式中：W=D2sin(β1+β2)-D3sinβ2。
本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；（2）测量平差的随机模型。
本节教学思路：首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。
教学内容：一、平差模型的定义与分类1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；二、各类函数模型的建立（一）概述1．函数模型定义：在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。
2．函数模型的意义与特点函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。
对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。
函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。
（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。
1. 条件平差法及其函数模型首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。
在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：令=[1 1 1]=[ ]=[-180]则上式为（2-2-1）再如图2-2水准网， D 为已知高程水准点，A 、B 、C 均为待定点，观测值向量的真值为]其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性 无关的条件方程，它们可以是：令0180~~~321=-++L L L 31⨯A13~⨯L1~L 2~L 3~L T0A 0~0=+A L A 116~[~h L =⨯2~h 3~h 4~h 5~h 6~h 0~~~)~(4211=--=h h h L F 0~~~)~(5322=+-=h h h L F 0~~~)~(6313=--=h h h L F 图2-2AB则上面条件方程组可写为（2-2-2） 一般而言，如果有n 个观测值，必要观测个数为t ，则应列出r=n-t 个条件方程，即（2-2-3）如果条件方程为线性形式，则可以直接写为（2-2-4）将代入（2-2-4）式，并令（2-2-5）则（2-2-4）式为（2-2-6）（2-2-4）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。
经典平差函数模型的概括形式分析刘志平;张书毕;卞和方【摘要】Two generalized forms of classical adjustment models are reviewed and analyzed ,and then the third generalized form of classical adjustment models is presented based on null‐space operator .At the meantime ,it is pointed out the proposed form plays an important role in helping students understand classical adjustment models .Finally ,it is suggested that different generalized form of classical adjustment model can be introduced and discussed in the teaching practice for undergraduate because it is helpful to inspire students to investigate actively the inner‐link of different classical adjustment modes by themselves .%对经典平差函数模型的两种概括形式进行回顾和总结，基于零空间投影算子导出经典平差函数模型的第三种概括形式－等价条件平差模型，教授学生理解该概括形式平差模型的作用及特点。
提出在本科教学实践中以不同的平差模型概括形式开展课堂讨论，有利于启发学生对平差模型内在联系的自觉发现。
【期刊名称】《测绘工程》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】3页(P78-80)【关键词】经典平差模型;概括平差模型;零空间投影算子;等价条件平差模型【作者】刘志平;张书毕;卞和方【作者单位】中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室，江苏徐州 221116;中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室，江苏徐州 221116;中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘地理信息局重点实验室，江苏徐州 221116【正文语种】中文【中图分类】P207.2《误差理论与测量平差基础》是测绘专业的八大公共专业基础课之一，该课程教学内容受到高度重视［1－2］。
第八章 概括平差函数模型§8.1概述在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。
若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下：（1）、条件平差：0)ˆ(=L F ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=t n r -= （2）、间接平差：)ˆ(ˆX F L=，选函数独立未知数t u =，方程数n t r u r c =+=+= （3）、附有参数的条件平差：0)ˆ,ˆ(=X LF ，选择t u <个函数独立参数，除应列出r 个条件方程外，还要附加u 个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出u r c +=个条件方程。
（4）、附有限制条件的间接平差：)ˆ(ˆX F L =，0)ˆ(=ΦX 。
选择t u >个参数，参数间存在t u s -=个函数关系。
所以除列出n 个误差方程)ˆ(ˆX F L=（也可视为特殊形式的条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s 个限制条件方程0)ˆ(=ΦX。
方程数c=n ＋s 。
由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差方法的纽带。
另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。
为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。
在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内： t u ≤≤0。
也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出t u =个函数独立的参数。
在不选择参数时，一般条件方程数c 等于多余观测数t n r -=，若又选用了u 个函数独立参数，则总共应当列出u r c +=个一般条件方程。
由于t u ≤，因此一般条件方程的个数总是介于n c r ≤≤范围，即一般条件方程总数不超过n 个。
第八章 概括平差函数模型§8.1概述在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。
若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下：（1）、条件平差：0)ˆ(=LF ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=t n r -=（2）、间接平差：)ˆ(ˆX F L=，选函数独立未知数t u =，方程数n t r u r c =+=+=（3）、附有参数的条件平差：0)ˆ,ˆ(=X L F ，选择t u <个函数独立参数，除应列出r 个条件方程外，还要附加u 个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出u r c +=个条件方程。
（4）、附有限制条件的间接平差：)ˆ(ˆX F L =，0)ˆ(=ΦX 。
选择t u >个参数，参数间存在t u s -=个函数关系。
所以除列出n 个误差方程)ˆ(ˆX F L=（也可视为特殊形式的条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s 个限制条件方程0)ˆ(=ΦX。
方程数c=n ＋s 。
由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差方法的纽带。
另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。
为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。
在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内：t u ≤≤0。
也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出t u =个函数独立的参数。
在不选择参数时，一般条件方程数c 等于多余观测数t n r -=，若又选用了u 个函数独立参数，则总共应当列出u r c +=个一般条件方程。
由于t u ≤，因此一般条件方程的个数总是介于n c r ≤≤范围，即一般条件方程总数不超过n 个。
注意：并非选u ＝t 或u ＞t 个参数，u 个参数间就一定彼此函数独立，选u ﹥t 个参数，也不一定包含t 个函数独立参数。
对于任意一个平差问题，若选用了u 个参数，不论t u <、t u =还是t u >，也不论参数是否函数独立，每增加1个参数则相应地增加1个方程，故方程总数为c=u r +。
如果在u 个参数中存在有s 个函数不独立的参数，或者说，在这u 个参数（包括t u <、t u =以及t u >，但是其中没有t 个独立参数的情况）之间存在s 个函数关系式，则方程总数c 中除s u r -+个一般条件方程外，还包含s 个限制条件方程。
若将一般条件方程与限制条件方程统称为条件方程（包括参数形式的条件方程－误差方程），方程数就是u r c +=，也就是条件方程数c 等于多余观测数r 与所选参数u 之和。
平差时必须正确列出足数并且函数独立的条件方程。
少列不能消除所有不符值；足数但是函数不独立，则相当于不足数；多列并且函数独立条件方程足数，则能得出正确解，但增加了计算工作量。
§8.2 基础方程和它的解将平差函数模型：0)ˆ(=LF ，)ˆ(ˆX F L =视为0)ˆ,ˆ(=X L F 的特殊形式，则各种平差函数模型可统一表示为：线性化后表示为⎪⎭⎪⎬⎫=+=++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111100s s x u u s c c u u c n n c W x C W x B V A δδ(8-2-3)而平差的随机模型是在这一函数模型中，待求量是n 个观测值的改正数v 和u 个参数，而方程的个数是u n s c +<+，所以有无穷多组解。
为此，应当在无穷多组解中求出满足min =PV V T 的特解。
按照求条件极值的方法组成函数，设：令:022=-=∂Φ∂A K P V VT T 022=--=∂Φ∂C K B K x TS T δ，转置后得：于是统一平差模型的基础方程为其中方程数u n s c +++，未知数是n 个V 、u 个 未知参数、c 个对应于一般条件式的联系数K 、s 个对应于限制条件式的联系数s K ，方程数与未知数相等，方程取的唯一解。
解基础方程，由（3）得K QA V T =带入（1）式得：0=++W x B K AQA T δ则得统一模型的法方程⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=++000X S T T T W x C K C K B W x B K AQA δδ （8－2－10）或者000000111111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯s X u c s S u c s s us cs s u T u u c u T s c u c c c aaW W K x K CC B B N δ，其中Tcc aa AQA N =⨯ 由此可以得到：X cc T bb aa T bb cc T bb bbW N C N W N B CN N C N N x 1111111----------=)(δ 以上述统一函数模型进行平差的方法称为附有限制条件的条件平差法，第4－7章所介绍的4中平差方法均可看作这一平差方法的特例。
例如：（1）、若没有选未知数，即1⨯u x δ=0，则函数模型变为AV ＋W=0,基础方程中（2）、（4）不存在，平差方法为普通条件平差。
（2）、若所选未知数u ＝t 且函数独立，则条件方程取得特殊形式111⨯⨯⨯⨯+=c u u c n l x B V δ，基础方程（2）、（3）不存在，（4）取得特殊形式0=PV B T ，这是间接平差法。
（3）、若选u<t ，且未知数参数独立，条件方程中含未知参数x δ，线性形式为11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++c c u u c n n c W x B V A δ。
这时基础方程（2）不存在，0=S k ，基础方程（4）变为110,,,u c c u T K B =这是附有参数的条件平差法。
（4）、如果选t u >，且包含t 个函数独立的未知参数，则同样Lˆ可表示所有x δ的函数，)ˆ(ˆX F L=成立，条件方程取得特殊形式l x B V +=δ。
同时由于t u >，存在s t u =-个多余参数，产生限制条件方程s 个，线性形式0W x =+x c δ。
基础方程中（1）变为l x B V +=δ，（3）不存在，（4）取得特殊形式0=PV B T ，这是附有限制条件的间接平差法。
由此可见，四种平差的函数模型都可看作统一函数模型（8-2-3）的特殊形式，只有当选取未知数中存在函数关系，并且函数独立的数目不足t 时,平差方法取得（8－2－10）的形式，称为附有限制条件的条件平差法。
显然，这种方法作为一种概括模型，可以帮助我们理解各种平差方法的差异及其内在联系，其本身无实际应用的价值。
§8.3 精度评定一、单位权方差的估计值公式其中，c 是一般条件方程数，为多余观测数加独立参数个数。
二、协因素阵统一将各基本向量W, x δ,K, S K ,V, Lˆ表示为L 的线性函数。
已知1-=P Q LL ,应用协因数传播律求各向量的自协因数阵和两两向量间互协因数阵，结果列于表8-1（P140）。
三、平差值函数的协因素设有未知数向量函数并且线性化后得：x F f X X X f T u δϕ+==021)ˆ,,ˆ,ˆ(Λ＋…。
则：四、概括平差的公式汇编函数模型：11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++c c u u c n n c W x B V A δ ，),(0X L F W =平差的随机模型是：12020-==P Q D σσ法方程：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111110000s X u c s S u c s s us cs s u T u u c u Ts c u c cc aa W W K x K CC B B N δ 其中T cc aa AQA N =⨯，B N B N aaT uu bb 1-⨯=，T bb ss cc C CN N 1-⨯= 单位权方差：)(ˆ2s u c PVV r PV V T T --==σ平差值函数的权倒数和中误差：XF T ˆ=ϕ §8.4各种平差方法的共性和特性迄今为止，已经介绍了5种不同的平差方法，不同的平差方法源于采用了不同的函数模型，但是对同一个平差问题而言，无论采用什么平差方法，平差后的结果是一致的 。
目前较多的使用的是间接平差法或附有限制条件的间接平差法。
原因是（1）、误差方程形式统一，规律性强，便于编程电算。
（2）、所选参数通常为平面控制网待定点坐标或高程控制网待定点高程，即控制测量工作所要得到的最终结果，另外法方程系数阵的逆阵本身或者其中的一部分，就是所选未知数的协因数阵，即X X Q N ˆˆ1=-，因此评定精度较简单。
条件平差法及附有参数的条件平差法，由于条件方程式不规范，不便于计算机编程，加之精度评定困难的缺点，目前应用较少，至于附有限制条件的条件平差法，在此仅仅是作为能概括上述4种平差方法的平差模型介绍，目的是帮助理解各种平差方法差异及内在联系，本身更没有什么实用价值。
§8.5 平差结果的统计性质参数估计最优性质具有三个判别标准：无偏性，一致性和有效性： 1、θθ=)ˆ(E2、1)ˆ(lim =+-∞→εθθεθππP n 3、min )ˆ(=θD本节证明:按最小二乘原理进行平差计算所求得结果具有上述最优性质。
由于各种平差方法都是概括平差模型的特殊情况，所以仅就概括函数模型进行证明。
一、估计量Lˆ和X ˆ具有无偏估计 证：L LE ~)ˆ(=，.~)(~)ˆ(x x E X X E =⇒=δ 根据概括平差的函数模型：11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++c c u u c n n c W x B V A δ ，),(0X L F W =。
对应11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++∆c c u u c n n c W x B A ~（8-2-1）a1110⨯⨯⨯⨯=+s s X u u s W x C δ， )(0X W X Φ= 。
对应 1110⨯⨯⨯⨯=+s s x u u s W x C ~ (8-2-1）b分别对（8-2-1）a ，（8-2-1）b 取期望，并顾及0)(=∆E ，得：)(~W E x B =-，－X X W W E x C ==-)(~， 其中)(0X W X Φ=，不是随机变量。
对X cc T bb aa T bb cc T bb bbW N C N W N B CN N C N N x 1111111----------=)(δ取期望，顾及到B N B N aa T bb =，得到：即x δ是x ~得无偏估计值。
