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第八章 概括平差函数模型§8.1概述在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。
若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下：（1）、条件平差：0)ˆ(=LF ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=t n r -=（2）、间接平差：)ˆ(ˆX F L=，选函数独立未知数t u =，方程数n t r u r c =+=+=（3）、附有参数的条件平差：0)ˆ,ˆ(=X L F ，选择t u <个函数独立参数，除应列出r 个条件方程外，还要附加u 个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出u r c +=个条件方程。
（4）、附有限制条件的间接平差：)ˆ(ˆX F L =，0)ˆ(=ΦX 。
选择t u >个参数，参数间存在t u s -=个函数关系。
所以除列出n 个误差方程)ˆ(ˆX F L=（也可视为特殊形式的条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s 个限制条件方程0)ˆ(=ΦX。
方程数c=n ＋s 。
由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差方法的纽带。
另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。
为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。
在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内：t u ≤≤0。
也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出t u =个函数独立的参数。
在不选择参数时，一般条件方程数c 等于多余观测数t n r -=，若又选用了u 个函数独立参数，则总共应当列出u r c +=个一般条件方程。
由于t u ≤，因此一般条件方程的个数总是介于n c r ≤≤范围，即一般条件方程总数不超过n 个。
注意：并非选u ＝t 或u ＞t 个参数，u 个参数间就一定彼此函数独立，选u ﹥t 个参数，也不一定包含t 个函数独立参数。
对于任意一个平差问题，若选用了u 个参数，不论t u <、t u =还是t u >，也不论参数是否函数独立，每增加1个参数则相应地增加1个方程，故方程总数为c=u r +。
如果在u 个参数中存在有s 个函数不独立的参数，或者说，在这u 个参数（包括t u <、t u =以及t u >，但是其中没有t 个独立参数的情况）之间存在s 个函数关系式，则方程总数c 中除s u r -+个一般条件方程外，还包含s 个限制条件方程。
若将一般条件方程与限制条件方程统称为条件方程（包括参数形式的条件方程－误差方程），方程数就是u r c +=，也就是条件方程数c 等于多余观测数r 与所选参数u 之和。
平差时必须正确列出足数并且函数独立的条件方程。
少列不能消除所有不符值；足数但是函数不独立，则相当于不足数；多列并且函数独立条件方程足数，则能得出正确解，但增加了计算工作量。
§8.2 基础方程和它的解将平差函数模型：0)ˆ(=LF ，)ˆ(ˆX F L =视为0)ˆ,ˆ(=X L F 的特殊形式，则各种平差函数模型可统一表示为：线性化后表示为⎪⎭⎪⎬⎫=+=++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111100s s x u u s c c u u c n n c W x C W x B V A δδ(8-2-3)而平差的随机模型是在这一函数模型中，待求量是n 个观测值的改正数v 和u 个参数，而方程的个数是u n s c +<+，所以有无穷多组解。
为此，应当在无穷多组解中求出满足min =PV V T 的特解。
按照求条件极值的方法组成函数，设：令:022=-=∂Φ∂A K P V VT T 022=--=∂Φ∂C K B K x TS T δ，转置后得：于是统一平差模型的基础方程为其中方程数u n s c +++，未知数是n 个V 、u 个 未知参数、c 个对应于一般条件式的联系数K 、s 个对应于限制条件式的联系数s K ，方程数与未知数相等，方程取的唯一解。
解基础方程，由（3）得K QA V T =带入（1）式得：0=++W x B K AQA T δ则得统一模型的法方程⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=++000X S T T T W x C K C K B W x B K AQA δδ （8－2－10）或者000000111111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯s X u c s S u c s s us cs s u T u u c u T s c u c c c aaW W K x K CC B B N δ，其中Tcc aa AQA N =⨯ 由此可以得到：X cc T bb aa T bb cc T bb bbW N C N W N B CN N C N N x 1111111----------=)(δ 以上述统一函数模型进行平差的方法称为附有限制条件的条件平差法，第4－7章所介绍的4中平差方法均可看作这一平差方法的特例。
例如：（1）、若没有选未知数，即1⨯u x δ=0，则函数模型变为AV ＋W=0,基础方程中（2）、（4）不存在，平差方法为普通条件平差。
（2）、若所选未知数u ＝t 且函数独立，则条件方程取得特殊形式111⨯⨯⨯⨯+=c u u c n l x B V δ，基础方程（2）、（3）不存在，（4）取得特殊形式0=PV B T ，这是间接平差法。
（3）、若选u<t ，且未知数参数独立，条件方程中含未知参数x δ，线性形式为11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++c c u u c n n c W x B V A δ。
这时基础方程（2）不存在，0=S k ，基础方程（4）变为110,,,u c c u T K B =这是附有参数的条件平差法。
（4）、如果选t u >，且包含t 个函数独立的未知参数，则同样Lˆ可表示所有x δ的函数，)ˆ(ˆX F L=成立，条件方程取得特殊形式l x B V +=δ。
同时由于t u >，存在s t u =-个多余参数，产生限制条件方程s 个，线性形式0W x =+x c δ。
基础方程中（1）变为l x B V +=δ，（3）不存在，（4）取得特殊形式0=PV B T ，这是附有限制条件的间接平差法。
由此可见，四种平差的函数模型都可看作统一函数模型（8-2-3）的特殊形式，只有当选取未知数中存在函数关系，并且函数独立的数目不足t 时,平差方法取得（8－2－10）的形式，称为附有限制条件的条件平差法。
显然，这种方法作为一种概括模型，可以帮助我们理解各种平差方法的差异及其内在联系，其本身无实际应用的价值。
§8.3 精度评定一、单位权方差的估计值公式其中，c 是一般条件方程数，为多余观测数加独立参数个数。
二、协因素阵统一将各基本向量W, x δ,K, S K ,V, Lˆ表示为L 的线性函数。
已知1-=P Q LL ,应用协因数传播律求各向量的自协因数阵和两两向量间互协因数阵，结果列于表8-1（P140）。
三、平差值函数的协因素设有未知数向量函数并且线性化后得：x F f X X X f T u δϕ+==021)ˆ,,ˆ,ˆ(Λ＋…。
则：四、概括平差的公式汇编函数模型：11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++c c u u c n n c W x B V A δ ，),(0X L F W =平差的随机模型是：12020-==P Q D σσ法方程：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111110000s X u c s S u c s s us cs s u T u u c u Ts c u c cc aa W W K x K CC B B N δ 其中T cc aa AQA N =⨯，B N B N aaT uu bb 1-⨯=，T bb ss cc C CN N 1-⨯= 单位权方差：)(ˆ2s u c PVV r PV V T T --==σ平差值函数的权倒数和中误差：XF T ˆ=ϕ §8.4各种平差方法的共性和特性迄今为止，已经介绍了5种不同的平差方法，不同的平差方法源于采用了不同的函数模型，但是对同一个平差问题而言，无论采用什么平差方法，平差后的结果是一致的 。
目前较多的使用的是间接平差法或附有限制条件的间接平差法。
原因是（1）、误差方程形式统一，规律性强，便于编程电算。
（2）、所选参数通常为平面控制网待定点坐标或高程控制网待定点高程，即控制测量工作所要得到的最终结果，另外法方程系数阵的逆阵本身或者其中的一部分，就是所选未知数的协因数阵，即X X Q N ˆˆ1=-，因此评定精度较简单。
条件平差法及附有参数的条件平差法，由于条件方程式不规范，不便于计算机编程，加之精度评定困难的缺点，目前应用较少，至于附有限制条件的条件平差法，在此仅仅是作为能概括上述4种平差方法的平差模型介绍，目的是帮助理解各种平差方法差异及内在联系，本身更没有什么实用价值。
§8.5 平差结果的统计性质参数估计最优性质具有三个判别标准：无偏性，一致性和有效性： 1、θθ=)ˆ(E2、1)ˆ(lim =+-∞→εθθεθππP n 3、min )ˆ(=θD本节证明:按最小二乘原理进行平差计算所求得结果具有上述最优性质。
由于各种平差方法都是概括平差模型的特殊情况，所以仅就概括函数模型进行证明。
一、估计量Lˆ和X ˆ具有无偏估计 证：L LE ~)ˆ(=，.~)(~)ˆ(x x E X X E =⇒=δ 根据概括平差的函数模型：11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++c c u u c n n c W x B V A δ ，),(0X L F W =。
对应11110⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++∆c c u u c n n c W x B A ~（8-2-1）a1110⨯⨯⨯⨯=+s s X u u s W x C δ， )(0X W X Φ= 。
对应 1110⨯⨯⨯⨯=+s s x u u s W x C ~ (8-2-1）b分别对（8-2-1）a ，（8-2-1）b 取期望，并顾及0)(=∆E ，得：)(~W E x B =-，－X X W W E x C ==-)(~， 其中)(0X W X Φ=，不是随机变量。
对X cc T bb aa T bb cc T bb bbW N C N W N B CN N C N N x 1111111----------=)(δ取期望，顾及到B N B N aa T bb =，得到：即x δ是x ~得无偏估计值。
