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第一章(近代平差理论简介)

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测量平差知识大全

测量平差知识大全

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

1.误差理论与测量平差基础第一章-绪论

1.误差理论与测量平差基础第一章-绪论
➢ 高斯的成就遍及数学的各个领域,在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数 论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用,并且在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
➢ 在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二 乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法,显著的提高了测量的精度。
➢ 高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测,夜晩计算。五六年间,经他亲自计算过的大地测 量数据,超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后,高斯就把主要精力 转移到处理观测成果的计算上来,并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。
1.3 测量平差的简史和发展
1.3 测量平差的简史和发展
•采用适当的观测方法校正 仪器 •计算加改正
尺长误差 i角误差
粗差 Gross error 即大的偏差或错误
•重复观测 •严格检核 •发现舍弃或重测
大数读错 输入错误 照错目标
1.1 观测误差 1.2 测量平差学科的研究对象 1.3 测量平差的简史和发展 1.4 本课程的任务和内容
1.2 测量平差学科的研究对象
系统误差处理 1.利用系统误差的规律性建立函数模 型，对观测中的误差进行改正。 2.采用相应的观测手段。 3.现代系统误差处理理论
1.1 观测误差
偶然误差—在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、 符号上 都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的 统计规律，这种误差称为偶然误差。
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差, 或两种兼有。

21间接平差--求平差值一般原理

21间接平差--求平差值一般原理

Lˆ1 a1Xˆ1 b1Xˆ 2 t1Xˆ t d1 Lˆ2 a2 Xˆ1 b2 Xˆ 2 t2 Xˆ t d2


Lˆn an Xˆ1 bn Xˆ 2 tn Xˆ t dn
纯量形式
令
Lˆn an Xˆ1 bn Xˆ 2 tn Xˆ t dn
带入
v1 a1xˆ1 b1xˆ2 t1xˆt l1
v2 a2 xˆ1 b2 xˆ2 t2 xˆt l2
Lˆi Li vi
存在
令
解得
xˆ

N
W 1
bb
或 xˆ (BT PB)1 BT Pl
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
5.计算参数平差值
6. 计算观测值平差值
参数平差值计算：
Xˆ X 0 xˆ 令
观测值改正数计算
V Bxˆ l
令 观测值平差值计算
Lˆ L V
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
X
0 2
BXˆ d
平差值误差方程
矩阵形式
V Bxˆ l
改正数误差方程
记 L0 BX 0 d 令 l L L0
n,1
间接平差求平差值一般原理（第一任务）
2.基础方程
转化
问题
V Bxˆ l
？ n<n+t，得不到唯一解
为此按最小二乘原理，
BT PV 0 V Bxˆ l
得 BT PBxˆ BT Pl 0
令
令
Nbb
t ,t
BT PB,
W BT Pl
t ,1

测量平差基础参考资料

测量平差基础参考资料

第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。

二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。

只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。

2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。

3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。

第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。

第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。

重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。

难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。

要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。

第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。

重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。

难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。

要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。

第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。

重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。

难点：函数模型的线性化，随机模型。

要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。

条件平差的基本原理

条件平差的基本原理
r1v1 r2v2 rnvn wr 0
v1
V
n ,1
v2
vn
wa F1L1, L2 ,, Ln
wb F2 L1, L2 ,, Ln
wr Fr L1, L2 ,, Ln
则相应方程的矩阵表达式分别为
F Lˆ 0
AV W 0 W FL
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数
5）求观测值的平差值； Lˆ L V
6）检核。 F (Lˆ) 0
7）检核。
3. 实例分析 例6-1水准网如右图：观测值及其权矩阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
P diag1 1 1 2.5 2.5 2.5
求各水准路线的最或然值。
解： 1）列出条件方程
或
v1 v2 v3 v2
0 0 v4 4 0
v1
1 0
1 1
1 0
0 1
v2 vv43
0 4
0 0
令c=1，则由定权公式
，有 pi
C Si
1 Si
P 1
1 p1
0
0
0
0
1 p2
0
0
0
0
1 p3
0
0 s1 0 0 0 2 0 0 0
0 0
0 0
1 p4
0
K
r ,1
ka
kb
kr T
，称为联系数向量。组成函数
V T PV 2K T AV W
将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得
d dV
2V T P
2KT
A
0
两边转置，得

间接平差

间接平差

b1t xˆt d1 2 b2t xˆt d
2
L1 Vn bn1xˆ i bn2 xˆt bmt xˆt d n
（1）
6
§4-1 间接平差原理
L1
L
L2
Ln
V1
V
V2 Vn
Xˆ1
Xˆ
Xˆ
2
Xˆ
n
b11
B
b21
b12
b22
b1t b2t
bn1 bnt bnt
d1
d
d2
dn
（2）
2020/7/20
7
§4-1 间接平差原理
则平方值方程的矩阵形式为:
L V BXˆ d （3）
令 式中
Xˆ X 0 xˆ
l L BX 0 d （4）
n,1
为X参0 数的近似值，于是得误差方程为:
V Bxˆ l （5）
的，故平差值 不Lˆ因方L法不V 同而异。
单位权方差 的 02估值 ，计ˆ 02算式是
除以其自由度，即：
V T PV
ˆ
2 0
V T PV
r
V T PV
nt
2020/7/20
13
§4-1 间接平差原理
三、精度评定
1、单位权中误差的计算
中误差为 ˆ 0
V T PV nt
计算VTPV，可将误差方程代入后计算，即
2020/7/20
8
§4-1 间接平差原理
按最小二乘原理，上式的 必xˆ须满足 V T PV min
的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函
数自由极值的方法，得：
V T PV 2V T P V V T PB 0 （6）

测量平差知识大全

测量平差知识大全

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

02 平差计算的基本理论

02 平差计算的基本理论

0 ρ ′′∆ Y jk
(S )
jk
0 2
ˆ xk +
ρ ′′∆ X 0 jk
(S )
jk
0 2
ˆ y k − l jk
或
″ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v jk ＝ − z j + a jk x j + b jk y j − a jk x k − b jk y k − l jk
ajk、bjk称j、k方向的方向系数。
ˆ = − Z 0 − z j + α 0 + δ α JK j jk
ˆ ⇒ L jk + V jk = − Z 0 − z j + α 0 + δ α jk j jk
l jk = L jk − ( − Z 0 + α 0 ) j jk −−
ˆ ⇒ V jk = − z j + δ α JK − l jk
常数项
其中
α
0 jk
= arctan
Y k0 − Y j0 X k0 − X
0 j
主讲人：王 华
11
ˆ ″ ∂ α jk δ α jk ＝ ˆ ∂X j = =
ˆ xj +
ˆ X =X
0
ˆ ∂α
jk ˆ X =X
0
∂ Yˆ j
X
0 jk
ˆ ∂ α jk ˆ yj + ˆ ∂X
k
0 jk
ˆ X =X
ˆ ˆ X ＝ X 0＋ x
ˆ V＝ Bx − l
主讲人：王 华
ˆ L＝ L＋ V
5
4.精度评定
验后单位权方差：
V PV ˆ σ0 ＝ r
2
T
平差参数的协方差矩阵：

测量平差知识大全

测量平差知识大全

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

平差

平差

停止
返回
误差的分类
偶然误差/随机误差：在相同的观测条件
下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号 上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何 规律，但从大量误差上看有一定的统计规律， 这种误差称为偶然误差。 不可避免，测量平差研究的内容
粗差：错误
停止
返回
测量平差的任务：
♠对一系列带有观测误差的观测值，运用
0 ⋯ 0 a22 ⋯ a2n ⋮ 0 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯⋮⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann ⋮ 0 0 ⋯ 1 a12 ⋯ a1n ⋮ 1 0 ⋯ 0 ⋮b b ⋯ b n 11 12 1 1 ⋯ 0 ⋮b21 b22 ⋯ b2n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 1 ⋮bn1 bn2 ⋯ bnn
−1
停止
返回
矩阵求逆方法
（2）初等变换法：
a11 a 21 A = n×n ⋯ an1 a11 a 21 ⋯ an1 1 0 ⋯ b n 0 1 b2n ⋯ bnn
a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann
停止 返回
补充知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵
（1）由 m× n 个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵 通常用一个大写字母表示，如：
a11 a12 a a22 21 A= m×n ⋯ ⋯ am1 am2 ⋯ a1n ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ amn
停止
返回
(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann 称为对角元素。 (3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。 (4)对于 n× n 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对 角矩阵。如：

测量平差知识大全

测量平差知识大全

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

近代平差

近代平差

2秩亏自由网的直接解法 根据广义逆理论, N^ x - W= 0 虽然有无穷多组 解,但它有唯一的最小范数解,即:
式 矩阵 N 的最小范数逆。代入( 5)式得:
为
最小范数逆并不唯一, 但不论哪个最小范数逆代 入公式( 5) ,其最小范数解却是唯一的。
3 实例验证 如图1 水准网, A、 B、 C 点全为待定点,同精度独立高 差观测值测得如下: h1 = 12. 345m, h2 = 3. 478m, h3 = - 15. 817m 平差时选取A、 B、 C 三个待定点的高程平差值为未知 参数X ^ 1、 X ^ 2、 X ^ 3 , 求解参数的平差值。
解:取各点近似高程为 H 01 = 0,H 02 = 12. 345m,H 03 = 15. 823m 误差方程为：
法方程为：
为验证不同最小范数逆得出相同的最小范数解, 用两种方法 计算 从而得出两个不同的 。
4结语 在秩亏自由网中, 如果像经典平差那样,只要求遵循最小二 乘原则求未知参数的解, 将不可能取得唯一确定的估计量。 为了确定唯一的估计量,需要在遵循平差基本原则! ! ! 最 小二乘原则基础上附加另外条件,这个条件就是最小范数条 件,即它保证了所求得的未知参数的估计量是最优的。满足 最小范 数条件的最小范数逆并不是唯一的, 但不论哪个最小范数 逆代入 X= N-mATPl 中, 其最小范数解都是唯一的。
式中的 B 产生列亏,列亏数为d。这种没有足够 起始数据的平差问题, 就是 20 世纪70 年代发 展起来 的秩亏自由网平差问题。 秩亏自由网平差的函数模型和随机模型仍是 ( 1)、 ( 2)式, 其误差方程为
式中 u 为网中全部点坐标参数的个数, 系数阵 的秩R( B) = t< u, 秩亏数 d = u- t , 按最 小二乘原理,,VTPV= min, P 为非奇异,所得法 方程为 W N^ x = W= BT PB, R ( N ) = t < u, N 奇由网平差中最小范数解的唯一性分析前言在线性模型下在经典平差基础上发展起来的秩亏自由网平差最小二乘滤波推估和配置拟合推估具有奇异协方差阵的平差等方法一般称其为现代最小二差方法

间接平差的基本原理

间接平差的基本原理

5.组成法方程，求参数改正数
2.9
1 0 0
1 NBB BT PB 0
0
1 1 0
0 1 0
0 1 1
100
3.7 2.5 3.3
1 1
0
0 1 0
0
1 1
4.0 0 0 1
6.6 3.7 0 3.7 9.5 3.3
0 3.3 7.3
2.9
0
1 W BT Pl 0
14
l5 h5
X
0 3
H
A
0
4.列误差方程，确定观测值的权：
v1 xˆ1 v2 xˆ1 xˆ2
v3
xˆ2
v4
xˆ2 xˆ3
v5
xˆ3
0
203
14
或
v1 1 0
v2
1 1
vv43
0 0
1 1
0
0
0
0
1
xˆ1 xˆ2 xˆ3
23
0
14
0
23
0
14
9
2mm
9
v5 0 0 1
0 7
hhˆˆ12
h1 v1
h2
v2
5.847 3.791
hhˆˆ43
hh43
v3 v4
9.638m 7.375
hˆ5 h5 v5 2.263
Hˆ
Hˆ Hˆ
B C
Xˆ Xˆ
1 2
X X
h1 5.835m, s1 3.5km; h2 3.782m, s2 2.7km; h3 9.640m, s3 4.0km; h4 7.384m, s4 3.0km, h5 2.270m, s4 2.5km

(完整版)测量平差知识大全汇总

(完整版)测量平差知识大全汇总

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

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1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P满秩 Q ， P奇异（奇异权逆阵的最小二乘）
V T QV min
1971年劳（Rao）广义高斯——马尔柯夫
ˆ V AX L
R ( A) t
D 0 Q
2
det(Q) 0
2.4 最小二乘滤波、推估和配置
最小二乘平差：X未知参数是非随机的量，不具有随机 的性质 1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）提出了 带随机性的未知参数的平差； 根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波：L BY 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L BY' ' 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号 Y；未 知参数与观测值没有建立函数模型。
随机模型的验后估计的方法有: ① 赫尔默特估计法： 2 T 建立各类观测值 Vi PVi 与对应的 i 的关系式，通过平差 求得的 ViT PVi ,求 i2 i2 i , ②MINQUE估计法（Rao 1970）： 最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性， 最小范数。把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的 极值问题，求极值的解。 BIQUE法（Koch 1980） ③库贝克（Kubik ）最大似然法： 假设随机变量服从正态分布，然法函数可表示为方差— 协方差的数学期望的函数，然后使该函数为最大。
ˆ BV AX f ˆ W CX E 0
当B=-E,C=0时,间接平差（参数平差） ˆ ˆ ( V BX l ) V AX f 当A=0,C=0时,条件平差： BV f ( AV W 0 ) 当B=-E时,带约束的间接平差：
ˆ V AX f
经典平差模型
n1
L AX
nu u 1
2 0 2 0
n1
1
D Q P
R（A）=U R（Q）=n
X为非随机参数
ˆ ˆ V T PV ( AX L) T P ( AX L) min
经典平差公式
ˆ X ( AT PA) 1 AT P N 1 AT P ˆ V AX ( L - AX o ) ˆ L LV 1 Q XX N ˆˆ V T PV 2 ˆ 0 nu D Xˆ 02 Q XˆXˆ
ˆ ˆ ⑥ E 0 E X X 无偏估计 E 0 E X X有偏估计 ⑦仅处理几何数据几何数据，物理数据联合（整体大地网平 差） ⑧二维平差向三维平差发展； ⑨静态平差动态平差，考虑时间参数t (参数随时间的变化)； ⑩按经验设计大地网最优设计大地网（大地网优化设计）线性 代数，泛函分析，近代回归分析，多元统计分析，随机数学， 计算机理论。


参数估计主要进展
非随机参数估计 顾及随机参数的Bayes估计、滤波、 以及拟合推估（或称最小二乘配 置—collocation） 抗差估计、自适应估计
最小二乘平差原则
ˆ CX W
当C=0时，带未知数的条件平差： ˆ ˆ BV AX f ( AV BX W 0) 当P，Q对角阵则对应经典平差； 当P，Q满秩阵则对应相关平差； 相关平差使最小二乘原理平差概念广义化，是测量平差 理论的一大进展。
2.3 秩亏平差：（1962年）迈塞尔（Meissl）
内可靠性：不可发现的最大粗差对平差结果的影响（优 化设计中用）定网形态，观测量多少。 测量实用上，研究在平差过程中自动剔除粗差方法,即粗 差定位 粗差定位分为两种： ①粗差归入函数模型的数据探测法（识别法） ②粗差归入随机模型的稳健估计法（调节法）（Robust） 优缺点： ①识别法：可以剔除粗差。依靠V最小二乘将大改正数分 配到许多观测值上。 ②调节法：不能剔除粗差，改正数、权合理分配。
③最小二成配置（拟合推估）： 即包含最小二乘中的非随机未知数，又包含随机未知参数（信 号） L AX BY
2.5整体大地测量：
传统数据处理：平面与高程位置分开处理，没有充分发挥不同类 观测数据对平差结果的效益。 沃尔夫1963导出了符合三维大地测量的误差方程式。 海兹1973提出了联合水准数据的平差方法。 霍丁的（Mathematical Geodesy）是三维大地测量的基本文献。 水平方向，天顶距，斜距，天文经纬度，方位角，水准数据 GPS测量 重力数据，物理量和几何量的相互——整体平差 时间——动态平差。
2 近代测量平差进展
2.1 前言
随着电子计算机，矩阵代数，泛函分析，最优化理论以 及概率统计的发展和完善,经典平差逐渐发展到近代平差. 2.2 相关平差：（1947年）田斯特拉（Tienstla） 高斯—马尔柯夫模型,Q，D，P是满秩的. 观测独立 相关, 直接观测值 导出量 相关平差对测量平差理论研究有重大促进作用，推动 了测量平差的发展,它有着强的概括性，和统一的形式。
S为附加参数向量 ②剔除粗差的平差方法； 测量中除了有偶然误差，还有粗差，导致平差结果失 真、不可靠。传统中采用在测量工作中剔除粗差。例 如，增加多余观测，闭合差检验。检验方法，统计检 验粗差，仅说明有无粗差。无法剔除粗差。 1968年，巴尔达提出“数据探测”法和可靠性理论。 可靠性（理论上研究）外可靠性：平差系统发现观测值 最小粗差的能力。
ˆ 有偏估计： E X

X
准确度：（精度好，准确度差）
ˆ 偏差：Bias X

ˆ E X X

ˆ ˆ 有偏估计： MSE X t r ( D( X )) T
基本思想：方差和偏差都要小，或适当增大，换取的减小 岭估计：广义岭估计、主成分估计、特征根估计。

2.9大地网优化设计 传统大地网设计，仅凭经验进行，只要满足要求，并不最优 科学。 随着电子计算机、数理统计、矩阵代数、优化方法在测量中 的应用，现在已经可能采用科学的方法，设计出满足精度要 求、成本低、可靠性强的最优大网，此过程称为—大地网优 化设计 大地网优化设计与最小二乘平差紧密相关，统一起来。 平差——测量成果的后处理。 设计——测量前的计划。
T 2
1.2 测量平差数学模型
平差数学模型
函数模型是描述观测量与待求参数间的数学函 数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的 模型。 随机模型是描述平差问题中的随机量（如观测 量）及其相互间统计相关性质的模型。
平差函数模型
经 典 平 差 函 数 模 型
条件平差模型
间接平差模型 附有参数的条件平差模 型 附有限制条件的间接平 差模型
L AX
E () 0 2 2 1 D 0 Q 0 P
( 无偏估计）
X—非随机，L—随机独立，A—列满秩，P—对角方阵；
近代平差：使观测值概念广义化。 ①L随机独立随机相关，P—对称方阵（相关平差）。 ②A列满秩A秩亏，秩亏自由网平差； ③X非随机参数具有各态经历性的平稳随机函数（拟合推 估）最小二乘配置； ④仅考虑研究函数模型（各种平差方法）考虑研究随机 模型（方差分量估计）； ⑤不考虑模型误差（系统差，粗差）顾及模型误差（附 加系统参数的平差，可靠靠性理论，数据探测，稳 健估计）
近代数据处理理论与方法
长安大学地质工程与测绘学院
赵超英
zhaochaoying@
一、近代平差理论简介
1. 经典平差
1.1最小二乘原理 测量平差：求含有随机误差的观测值及其 函数的平差值即求定未知参数的最佳估值. 最小二乘原理：观测值改正数的平方和等 于最小,如下所示 :
V PV min, (V min)
附有限制条件的条件平 差模型
经 典 平 差 概 括 模 型
间接平差函数模型
• 方程个数n<n+t未知数个数 (观测值改正数n；参数改正数t)
n1
~ L
B
nt
t 1
~ X
d0
t 1
n1
~) d L B (X x 0
o n1 nt
n1
n1
~ l Bx
随机模型
方差分量估计理论基本方法
方 差 协 方 差 分 量 估 计
Helmert法 最小二次无偏估计——MINQUE法 最优不变二次无偏估计——BIQUE法 极大似然估计法等
-
2.7考虑系统误差、粗差的平差方法；
观测误差：按性质分：
g s h 粗差 g、系统误差 s、偶然误差 K
nt t 1
n1
l BX d 0 L
o
高斯——马尔柯夫模型：
பைடு நூலகம்
马尔柯夫（1912） 测量平差模型： L 函数模型： AX EL AX
随机模型：
E 0 （观测值应满足的随机性质） 2 2 1 D0 0 P 0 Q
Q，D，P是 或L的对角阵. 由于绝大多数情况真值不知所以 不知，用改正数V代替 :
2.8 有偏估计： 经典平差——最小二乘原理——最优无偏估计。 ˆ E X X

ˆ lim( E X X ) 0
Tr E X X ˆ


ˆ X X min
T
当平差中含有较多未知参数的大型线性模型，未知参数 可能近似线性相关，法方程性态不好（病态）—接近奇 异，按最小二乘平差将导致虽满足最小二乘最优条件。 方差最小，但值都很大，精度差，相当不稳定。
②加权秩亏自由网平差： 在 V T PV min 最小二乘，加权最小范数条件下
ˆ T P X min X X ˆ
③拟稳平差：将网中的未知数分为两类:
ˆ XI Z ˆ X II ˆ ˆ X 是非稳定点， 是稳定点； X
V T PV min 在 ˆ T ˆ 部分参数最小范数 X II X II min