应用数值分析西安电子科技大学课后答案

数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1（P10）5. 求2的近似值*x ，使其相对误差不超过%1.0。

解： 4.12=。

设*x 有n 位有效数字，则nx e -⨯⨯≤10105.0|)(|*。

从而，1105.0|)(|1*nr x e -⨯≤。

故，若%1.0105.01≤⨯-n，则满足要求。

解之得，4≥n 。

414.1*=x 。

（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12cm 。

解：设边长为a ，则cm a 100≈。

设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。

按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2105.0||-⨯≤e 。

Chapter 2（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A 。

解：设()γβα=-1A。

分别求如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010βA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100γA 。

先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。

即，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121012001L ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210111U 。

经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α，得，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100α；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323131β；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ly 和y U =γ，得，；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=313231γ。

所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3132132310313101A 。

（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816211515311401505231214321x x x x 解:平方根法：先求系数矩阵A 的Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121332100120001L ，其中，TL L A ⨯=。

第一章1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。

3.14,7/100)4(143.0,7/1)2(0031.0,1000/)3(1.3,)1(========x a x a x a x a ππ试估计x 的绝对误差和相对误差。

解：（1）0132.00416.01.3≈=≈-=-=a ee x a e r π （2）0011.00143.0143.07/1≈=≈-=-=a ee x a e r （3）0127.000004.00031.01000/≈=≈-=-=aee x a e r π （4）001.00143.03.147/100≈=≈-=-=aee x a e r2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。

试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。

解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10-4x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣∂f/∂x i ∣δx ie r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3/ x 1δx 4］ =0.5019373、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。

应用数值分析[研究报告课程]第07章课后练习答案应用数值分析[研究生课程]课后练习答案第07章第7章练习答案1.尝试证明牛顿-柯特斯求积公式中的求积系数是满足的。

证据:取插值节点，对应的插值基函数是，由插值基函数的性质可知，所以我们可以得到:经过验证。

2.用梯形公式和公式求出积分的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差范围。

解决方案:梯形公式的最大误差极限是:公式的最大误差限制为:3.当使用复数公式计算积分时，要求绝对误差极限小于，应采取什么步长？解决方案:从复杂公式的误差极限来看:结果如下:4.推导中点求积公式的证明:取具有高度和长度的矩形代替区间上由轴包围的区域，以获得中点求积公式，并设置一次多项式以满足，容易获得，设置，容易知道有双零点，所以有，记住，然后有三个零点，这是由广义定理知道的，也就是说，它们是可用的，因此有，另一方面，它们由一次多项式已知，因此由于区间上的常数符号，它们可以通过使用积分第二中值定理获得:经过验证。

5.对于变步长方法，事件后误差分析方法被用来解释为什么它可以被用作迭代终止条件。

解决方案:让我们假设精确的积分结果是复数求积公式的误差在上限内几乎没有变化，即两个公式可以比较并且可以得到解，或者，因此，在那个时候，它可以用作迭代终止条件。

6.要计算积分，如果分别使用复数梯形公式和复数公式，请询问至少应划分积分区间的几个相等部分，以确保六位有效数字。

解决方案:复杂梯形公式的误差极限；获得解决方案，即至少将213分成相等的部分；复杂公式的误差限制:溶液被分成至少4等份。

7.用算法计算积分(仅外推两次)。

解决方案:取、并外推如下:所以有8.尝试确定下列求积公式中的待定系数，并指出它们的代数精度。

①。

(2)解决方案:(1)代入求积公式，很容易知道求积公式是准确建立的。

代换能够精确地建立求积公式。

因此，存在可用的替代公式，因此，求积公式被建立、替代，并且求积公式没有被精确地建立。

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

数值分析参考答案数值分析参考答案数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。

它涉及到数值计算、数值逼近、数值解法等方面的内容。

在实际应用中，数值分析可以帮助我们解决各种各样的问题，如线性方程组的求解、非线性方程的根的求解、插值、数值积分等等。

本文将给出一些数值分析常见问题的参考答案。

1. 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。

常见的求解方法有直接法和迭代法。

直接法包括高斯消元法、LU分解法等，迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

2. 非线性方程的根的求解非线性方程的根的求解是数值分析中的另一个重要问题。

常见的求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。

其中，牛顿法是一种迭代法，通过不断迭代逼近方程的根。

3. 插值插值是数值分析中的一个常见问题，它可以用于构造函数的近似值。

常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。

这些方法通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而近似原函数。

4. 数值积分数值积分是数值分析中的另一个重要问题，它可以用于计算函数的定积分。

常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。

这些方法通过将定积分转化为求和的形式，从而进行数值计算。

5. 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法是数值分析中的一个重要问题。

常见的数值解法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。

这些方法通过将微分方程转化为递推关系，从而逐步逼近解。

6. 线性规划问题的求解线性规划问题是数值分析中的一个重要问题，它可以用于求解最优化问题。

常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。

这些方法通过不断迭代来逼近最优解。

7. 矩阵特征值和特征向量的计算矩阵特征值和特征向量的计算是数值分析中的一个重要问题。

常见的计算方法有幂法、反幂法、QR方法等。

这些方法通过迭代来逼近矩阵的特征值和特征向量。

总结起来，数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。

它涉及到线性方程组的求解、非线性方程的根的求解、插值、数值积分、常微分方程的数值解法、线性规划问题的求解以及矩阵特征值和特征向量的计算等方面的内容。

第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。

(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。

(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。

解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。

(2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表：于是可得插值多项式：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+-代入可得215135(.).N =。

(3)用事后误差估计的方法可得误差为1501511751350656304.(.)(..).R -=-=-◆ 2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()ni i l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nki i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。

证明：①由Lagrange 插值多项式的误差表达式101()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行插值，其误差为0，亦即0()()ni ii f x l x f==∑精确成立，亦即1()ni i l x ==∑。

题目要求1. 编制条件如图所示，用差分法求区域内的电压值。

0v10v0v0v0v0v解：由题意，我们将不规则部分补全，并进行等效处理，如下图结果所示，图示给出的是对整体补全后做3*3 的有限差分结果，当然网格化点数可以根据需要做改变，这里只是体现方法，故只取了 9 个点。

876 a11o a12=10v o-inf54 a21o a22=0v o a23=0v32 a31o a32o a331-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9根据拉普拉斯 5 点差分原理，可知得到关于电压变量 a(i, j 1, 2, 3) 的i , j方程如下：4a 1,1 a 2,110;a 1,1 4a 2,1 a 3,1 0; a 2,1 4a 3,1 a 3,2 0; a 3,1 4a 3,2 a 3,3 0; a 3,2 4a 3,30.4 1 0 0 0 10 1 4 1 00 0 写成矩阵的形式： Ax b ; 其中， A 0 1 4 10 ， b 0 。

0 0 1 41 0编写程序可以求得0 01 4a , a , a , a , a , 2.6790.7180.1920.0513 0.0132. 在区域一边有个源，边界为 PML 边界，用 FDTD 法求所研究区域的场分布。

建模说明：二维 TE 波在空间传播，采用 PML 边界吸收，点辐射源验证。

FDTD 基本差分方程Yee 采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节点的编号和其空 间坐标位置按照下面的方式对应起来()(),,,,i j k i x j y k z =∆∆∆ (2-1) 而该点的任意函数()x,y,z,F t 在时刻n t ∆的值可以表示为：()(),,,,,n F i j k F i x j y k z n t =∆∆∆∆ (2-2)式中x ∆、y ∆、z ∆分别为沿,,x y z 方向上离散的空间步长，t ∆是时间步长。

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

高等代数机算与应用作业题学号：姓名：成绩：一、机算题1．利用函数rand和函数round构造一个5×5的随机正整数矩阵A和B。

>> a=round(rand(5))a =0 0 1 1 11 1 0 1 01 0 1 0 10 1 1 0 00 0 1 0 1>> b=round(rand(5))b =0 0 0 0 00 1 1 0 10 1 1 1 01 1 0 1 00 1 1 1 0(1)计算A＋B，A－B和6A>> a+bans =0 0 1 1 11 2 1 1 11 12 1 11 2 1 1 00 1 2 1 1>> a-bans =0 0 1 1 11 0 -1 1 -1 1 -1 0 -1 1 -1 0 1 -1 0 0 -1 0 -1 1 >> 6*a ans =0 0 6 6 6 6 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 6 0 0 0 0 6 0 6 (2)计算()TAB ，TTB A 和()100AB>> (a*b)' ans =1 1 0 0 0 32 2 2 2 2 1 2 2 23 1 2 1 2 0 1 0 1 0 >> b'*a' ans =1 1 0 0 0 32 2 2 2 2 1 2 2 23 1 2 1 2 0 1 0 1 0 >> (a*b)^100 ans = 1.0e+078 *1.4732 7.6495 6.1764 5.52252.1271 1.0117 5.2535 4.24183.7927 1.4608 0.92294.7921 3.8692 3.4596 1.3325 0.9229 4.7921 3.8692 3.4596 1.3325 0.9229 4.7921 3.8692 3.4596 1.3325 (3)计算行列式A ，B 和AB >> det(a) ans =1 >> det(b) ans = 0 >> det(a*b) ans = 0(4)若矩阵A 和B 可逆，计算1A -和1B - >> inv(a) ans =0 0 1.0000 0 -1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 -2.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 3.0000 b 不存在逆矩阵(5)计算矩阵A 和矩阵B 的秩。

数值分析第5版课后答案本文是数值分析第5版课后答案。

以下是每章节课后习题的答案。

第一章：导论和误差分析1.什么是数值分析？数值分析是利用数学模型和离散数值计算方法进行科学计算的一门学科。

它通过建立数学描述、离散化、数值求解等步骤求解各种科学计算问题。

2.什么是误差？误差是实际值与理论值之间的差异。

误差分为绝对误差和相对误差。

3.什么是有效数字？有效数字是指一个数值中有效的数字位数，不包括前导0和末尾0。

第二章：计算机算术1.什么是机器数？机器数是计算机内部表示的数字。

它是由位组成的2进制数，可以表示整数和实数。

2.什么是补码？补码是表示负整数的一种方法。

它是将一个数反码后加1得到的数，也就是一个数与其相反数的和，是一种用来解决计算机计算负数的方法。

3.什么是浮点数？浮点数是一种可以表示任意大小的实数的计算机数据类型。

它由两部分组成：指数和尾数。

指数表示数的大小，尾数表示数的精度。

第三章：方程的解法1.什么是二分法？二分法是一种求解连续函数零点的方法。

它需要先确定一个区间，然后在该区间中搜索函数值为0的点。

2.什么是牛顿迭代法？牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法。

它利用函数的一阶导数和二阶导数近似表示函数，并利用初始值和迭代公式得到近似解。

3.什么是割线法？割线法是一种求解非线性方程的方法。

它是利用函数两点连线的斜率逼近函数的零点，并利用初始值和迭代公式得到近似解。

第四章：插值和逼近1.什么是插值？插值是利用已知数据点得到一个函数，使这个函数通过这些点。

2.什么是拉格朗日插值？拉格朗日插值是一种插值方法。

它利用数据点和插值点的函数值，通过拉格朗日插值公式得到通过插值点的函数。

3.什么是样条插值？样条插值是一种插值方法。

它是通过多项式连接各个区间，并满足一定条件得到一个光滑的函数。

第五章：数值积分1.什么是数值积分？数值积分是用数值计算方法来近似计算定积分的方法。

2.什么是梯形公式？梯形公式是数值积分的一种方法。

电⼦科技⼤学数值分析第⼋章思考题《数值分析》第⼋章思考题1.⼈⼝模型中马尔萨斯模型与逻辑斯蒂模型有何区别？答：马尔萨斯模型的微分⽅程建⽴如下:通过解微分⽅程得到⽅程的解为：世界⼈⼝曲线如下：逻辑斯蒂⼈⼝增长模型的微分⽅程如下：应⽤分离变量法微分⽅程的解为：该模型的中国⼈⼝曲线图如下：2．⽜顿谐振动和⼩阻尼振动的微分⽅程之间有何区别和联系？答：⽜顿谐振运动模型，根据⽜顿第⼆定律及胡克定律得到微分⽅程：⼀般形式为：⼩阻尼振动的微分⽅程为：区别：⽜顿⽅程谐振动为⼆阶⾮线性微分⽅程，⼩阻尼振动的微分⽅程为⼆阶线性微分⽅程。

联系：⽜顿振动⽅程的系数函数取常数时为⼩阻尼振动⽅程。

3．单摆的常微分⽅程如何求近似解？答：单摆的常微分⽅程如下：代⼊已知的初值，根据已经转化后的⼀阶常微分⽅程组，⽤⼆阶龙格-库塔⽅法计算数值解，并将⾓位移数值转换为直⾓坐标数据，可以绘出单摆运动⽰意图。

计算的结果时函数变量的组列数据，第⼀组是函数值本⾝，第⼆组是导函数。

数值解所绘图形如下：单摆问题的数值解4．求⼀阶常微分⽅程数值解的欧拉法与平⾯向量场图形有何联系？答：欧拉⽅法是求解⼀阶常微分⽅程初值问题简单数值⽅法.导出欧拉法的⼀条途径是⽤数值求导公式代替微分⽅程中导数。

导出⼀般的计算公式如下：这是求⼀阶常微分⽅程数值解的欧拉⽅法，也称为显式⽅法。

与平⾯向量场图像的联系，欧拉法的⼏何意义是过点（x0,y0)的⼀条特殊的积分曲线y=y(x),该曲线所经过的每⼀个点都与向量场在这⼀点的⽅向相切。

形象的说，解就是始终沿着向量场中的⽅向⾏进的曲线。

5．⼆阶龙格-库塔法和欧拉法有何联系？答：推导2-阶龙格-库塔⽅法，得到：当参数取特殊的值时，就是改进的欧拉⽅法。

6．⼀阶常微分⽅程组和⼀阶常微分⽅程在求数值解时⽤龙格-库塔⽅法有何区别？答：⼀阶常微分⽅程组与初值条件：常微分⽅程组：引进向量符号：初值问题可改写成向量形式：在利⽤龙格-库塔⽅法时，函数变成了向量函数。