电子科技大学数值分析研究生期末考试习题二

一、Please answer T or F for each of the following statements to indicate whether thestatement is true or false1. An algorithm is an instance, or concrete representation, for a computer programin some programming language. ( F )2. The following problem is a Decision Problem: What is the value of a bestpossible solution? ( F )3. The dynamic programming method can not solve a problem in polynomial time.( F)4. Assume that there is a polynomial reduction from problem A to problem B. Ifwe can prove that A is NP-hard, then we know that B is NP-hard. ( F )5. If one can give a polynomial-time algorithm for a problem in NP, then all theproblems NP can be solved in polynomial time. ( F )6. In an undirected graph, the minimum cut between any two vertices a and b isunique. ( F)7. Linear programming can be solved in polynomial time, but integer linearprogramming can not be solved in polynomial time. ( T )8. We can solve the maximum independent set problem in a graph with at most100 vertices in polynomial time. ( T ) 结论9. If an algorithm solves a problem of size n by dividing it into two subproblems ofsize n/2, recursively solving each subproblems, and then combine the solutions in linear time. Then the algorithm runs in O(n log n) time. ( T )10. Neural Computation, Fuzzy Computation and Evolution Computing are thethree research fields of Computational Intelligence. ( T )二、Given the following seven functions f1(n) = n5+ 10n4, f2(n) = n2+ 3n, f3(n) =f4(n) = log n + (2log n)3, f5(n) = 2n+n!+ 5e n, f6(n) = 3log(2n) + 5log n, f7(n) = 2n log n+log n n. Please answer the questions:第 1 页共5 页(a) Give the tight asymptotic growth rate (asymptotic expression with θ) to eachof them; (7分)(b) Arrange them in ascending order of asymptotic growth rate。

2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷电子科技大学研究生试卷（考试时间： 14点 至 16 点 ，共 2小时）课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式： （学生填写）1．把方程22222320u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂化为标准型，指出其类型，求出其通解. (10分)2.设定解问题：(10分)2000(),0,0,,0(),(),0.tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ϕψ====⎧-=<<>⎪⎪==>⎨⎪==≤≤⎪⎩将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。

学 号 姓 学 院 教 座位……………………密……………封……………线……………以……………第 1页3．长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ϕ，求杆内温度分布(,)u x t .(20分)4．求下面的定解问题：（10分）22009,(,0)18,sin 18tttxx t t t u u x e x R t u x x u x ==⎧-=∈>⎪⎨=++=+⎪⎩.第2页5．求22cos()a e x d ϖτϖϖ+∞-⎰.（10分）6． 22223()(22)(25)s s F s s s s s ++=++++，求Laplace 逆变换1(())L F s -.（10分）第3页7．写出球形域的Dirichlets 问题对应的：(1) Green 函数及其定解问题. (2) Green 函数相对于边界外侧的方向导数.（10分）8．设n ϖ(n=1,2,…)是0()0J x =的所有正根，将函数2()1(01)f x x x =-<<展开为Bessel 函数0()n J x ϖ的级数.（10分）9．（1）写出Legendre 多项式的一般形式或罗德利克表示形式； （2）将函数2()23,1f x x x x =++≤用Legendre 多项式展开.（10分）第4页。

对于二元方程gxy0已知x附近有函数yyx则根据隐函数存在定理对于接近于x量x试构造牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式
《数值分析》复习题
Ex1.证明方程 1 – x – sin x = 0 在区间[0，1]上有一 根。使用二分法求误差不大于0.5×10-4的根需二分 多少次？
Ex2. 对于二元方程G(x，y)=0，已知（x0，y0）满 足方程。如果在点x0附近有函数y =y(x)，则根据隐 函数存在定理，对于接近于x0的自变量x，试构造 牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。
初值问题?
15/15
第五章 思考题 1. 代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的 2. 拉格朗日插值和牛顿插值方法各有何特点？ 3. Runge反例主要说明一个什么样的问题？ 第六章 思考题
1. 多项式拟合与代数插值问题有何差异？拟合函数 有何特点？
2. 曲线拟合的最小二乘法有何特点？ 3. 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？
Ex 27 将积分上限函数
f ( x) exp( x2 ) x exp( t 2 )dt 0
转化为常微分方程初值问题。并确定一种可求解的二 阶方法
11/15
第一章 思考题
1.在科学计算中，一般误差的来源有几种？列出部分 数值分析课中主要讨论误差。
2.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述 3.什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例
Ex 18.已知实验数据如下： x1 2 3 4
y 10 30 50 80
求二次多项式拟合函数P(x) = a + b x2 Ex 19 利用数据表 t –2 –1 0 1 2
y yk-2 yk-1 yk
yk+1 yk+2

数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。

3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差r i＝ (b i-a i1x1-a i2x2-…-a in x n)/a ii，(i=0,1,…,n)。

则由 v 2 到 v5 的途径长度为 2 的条数为 _________ 。 6 、 若 K n 为 欧 拉 图 ， 则 n= _________ ； 若 K n 仅 存 在 欧 拉 迹而 不 存 在 欧 拉 回 路 ，则 n= _________ 。 7、无向完全图 K n (n 为奇数)，共有 _________ 条没有公共边的哈密尔顿圈。 8 、设 G 是具 有二 分类 ( X , Y ) 的偶 图， 则 G 包含 饱和 X 的每 个顶 点的 匹配 当且 仅当
(A) (54221)
(B) (6654332)
(C) (332222)
（2）已知图 G 有 13 条边，2 个 5 度顶点，4 个 3 度顶点，其余顶点的的度数为 2，则图 G 有( A )个 2 度点。
(A) 2 ( B) 4 (C ) 8 (3) 图 G 如(a)所示，与 G 同构的图是( C )
vV ( G )

d (v) 6n 6n 12 m 3n 6, 这与 G 是简单连通平
面图矛盾。 六、证明：(1) 若 G 恰有两个奇度点 u 与 v，则 u 与 v 必连通； (2) 一棵树至多只有一个完美匹配 (10 分). 证明；(1) 因为任意一个图的奇度点个数必然为偶数个，若 G 恰有两个奇度点 u 与 v，且它们不连通，那么就会得出一个连通图只有一个奇度点的矛盾结论。所 以若 G 恰有两个奇度点 u 与 v，则 u 与 v 必连通。 (2) 若树 T 有两个相异的完美匹配 M 1 , M 2 ，则 M 1M 2 且 T [ M 1M 2 ] 中 的每个顶点的度数为 2，则 T 中包含圈，这与 T 是数矛盾！ 七、求图 G 的色多项式 Pk (G ) (15 分).
(A)

3、给定方程组 Ax b ，其中，
1 0 2 0
1
A
0 1
1 2
0 4
1
3
,
b
0 4
0
1
0
3
2
计算矩阵 A 的 LU 分解，并求出方程的解.
解：矩阵 A 的 LU 分解为
1
1 0 2 0
A
LU
0 1
1 2
1
1
0
1
2 1
0
1
0
1
2
方程组的精确解为 x （1，-1,1,1）T .
4. 给定求积公式 1 f (x)dx Af (0) Bf (0.5) Cf (0) ，试确定 A, B, C ，使其代数精度尽可能的高，并 0
指明此时求积公式的代数精度.
解：分别将 f (x) 1, x, x2 ，代入求积公式，可得
1
A B
1
2
B 1B 4
C
1 0
1 dx 1,
解：由于高斯求积公式为
1
f (x)dx
1
n
Ak
k 0
f (xk ) ,其中 xk 是 Pn1 (x) 的零点.
首先将积分区间转化
为[1,1] .令 x t 2 则 x [1,3] 时 t [1,1] .而
I 3 e x sin xdx 1 et2 sin(t 2)dt 令 g(t) et2 sin(t 2)
yn1
yn
h[f 2
(xn ,
yn )
f
(xn1, yn1)]
是二阶的，并求出局部截断误差的主项.
证：局部截断误差为
Tn1
y(xn1)
y(xn )

、已知方程 exp x gsin x 1
1、确定方程全部正根的隔根区间。

2、设最小正根为x *，取猜测值X o ，写出x *的牛顿迭代法计算格式。

1 1 1
2 3
1 1 1
2 3
1、求雅可比迭代矩阵h (I 1)1A 的范数G。

2、写出高斯-赛德尔迭代矩阵。

3、判定是否有R f''(x *)
2f'(x *
) 1求成立，并解释其意义。

的LU 分解，并求出用“込范数”计算矩阵 U 的条件数
1
Cond(U)。

四、给点数表
用最小二乘法确定线性拟合函数 x C 0 C 1x
五、根据等距结点：为1,X j ,X j 1 (满足X j 1 X j X j X j 1 h )，写出二次拉格朗日插值
三、求A 1
基函数：I j 1 X ,I j X ,I j ! x 。

求:
f k x xI k' x ' ,(k j 1,j,j 1) 在x X j处的值
六、将积分上限函数
x
y x exp x t exp t dt转换为一阶常微分方程初值冋题，取
1
h ，记x jh
n
j 0,1,2,..., n，写出用Euler方法计算y 1的计算公式。

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14. ((ρ==--=
→∞+→∞++lim lim
n n n
n n n n
n
u
u 11
1
14141
4
,收敛半径R ==14ρ
由x -<14得:-<<35x ,故收敛区间是(-3,5
15.特征方程为:r r 2
250-+=,特征根为r i 122420
2
12,=±-=±
通解为(y e c x c x x =+1222cos sin三.
x 'arctan arctan arctan =++⋅⋅+--+++2
2222
12211111221
(=+
-+x x x x arctan 2
2
1
1
所以dy y dx x x x x dx ==+-+⎡
⎣
⎢⎤
⎦⎥'(arctan 2211
13 x31 18.解：函数yxx 3在x0处不可导，y '1x 3( x0时1 2 x3 2 1令y'0得驻点x1，求得y (15 1，y (00，y2 2 5 2于是y在[1，1]上的最大值为y(00，最小值为y119.解：令xt，xt 2，dx2tdt，于是sin还原xdxsin t2tdt2t sin tdt2t (cos t ' dt2[t cos tcos tdt ]2[t cos tsin t ]c2 x cos x2 sin xc 20.解：令F ( x, y, zx 22 y 23z 2xyz9，则Fx '2 xy，Fy '4 yx，Fz '6z1于是，F'z 2xyxx Fz ' 6z1 Fy 'z 4yxy Fz 6z1 21.解：D用极坐标表示为(r ,02，0r101x D 1 2y 2 dxdyd21 rdr 1 rdr22 0 1r 0 1r2 1d (1r 2ln 1r 2 2 0 1r 11 0ln 2 y x2+y2≤1 O x 22.

y1 y2 y3


10 1360

，可得

y1 y2
y3
10 6 4
3
1 求解
1 1
5 3

x1


3
2 1

x2 x3


2
2 3



0 0
0 0
4 4
4 4

由
0 1 1 44
0 I B0 1
4
1 4
1 4
1 4 2 ( 1)( 1) 0 22
0
1 1 0 44
可知，
(B0
)

1 2
.
（b）由 G (D L)1U
1 0
0 0 01 0 0 1 1
1 axk1 (1 ax0 )2k1 , k 0,1,2,，解得
xk

1 a
[1

(1

ax0
)
2k
],
k 0,1,2, ，
lim
k
xk

1 a

lim(1
k

ax0
)2
k
0

1 1
ax0
1

0

x0

2 a
，
所以当 0

x0

2 a
时，方法收敛.
4 4

1 4
1 4
0 0 1 0
0
0 0
4 1 4 0
0

∑ A′
∑ ℓα (
)
µ(Iα) µ Jβxα,γ
≥
ε0 m
>
ε.
α=1 γ=1
α=1
γ=1
另 一 方 面， 对 于 每 个 xα， 存 在 一 个 Kk， 使 得 xα ∈ Kk。 因 为 P 是 利 用 K1, . . . , Kκ 的边界构造的网格分划，所以相应的 Iα × Jβxα,γ 一定包含在这个
恰好覆盖
Em，于是
∑A′
α=1
µ(Iα)
≥
ε0。对于每个
Iα (1 于是
≤ α ≤ A′)，取一个
∑ℓα
γ=1
µ(Jβxα ,γ
)
≥
1 m
xα ∈ Iα ∩ Em，设 ，所以我们有
Jβxα,1 , . . . , Jβxα,ℓα
恰好覆盖
Kxα ，
∑ A′ ∑ ℓα ( µ Iα
) × Jβxα,γ
=
i) 求证：
∫
∫
∫
ωi = ωi + ωi, i = 1, 2.
γ3
γ1
γ2
ii) 求证：
∫
lim
ωi = 0, i = 1, 2.
R→+∞ γ2
iii) 计算广义积分：
C = ∫ +∞ cos (x2) dx, S = ∫ +∞ sin (x2) dx
0
0
() 解答： i) 因为 ωi ∈ Ω1 R2 、dωi = 0 (i = 1, 2)，所以由 Green 公式可知结论
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是

一、填空题：（30分，每空3分）1. 迭代公式11,01n n n p p λλ-=<<，设01p =，若0p 有误差，按照迭代公式生成的数列误差随着n的增大而_____增大2. 线性方程组Ax b =，其中410141014A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，565b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，如果采用Jacobi 迭代法解该线性方程组，其迭代矩阵为00.2500.2500.2500.250-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3.一个问题是否病态与 问题本身 有关4.当1,3,4x =时，()3,6,2f x =，则()f x 的二次拉格朗日插值多项式2()L x =21153246x x -+- 5. 矩阵123635301⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的1l 范数等于 10 6. 三次样条插值具有 2 阶光滑性7. 如果插值求积公式()()1n b k k a k f x dx A f x =≈∑⎰为高斯公式，那么其求积公式具有 2n+1 次代数精度。

8. 线性方程组Ax b =中，1203A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则()A ρ= 3 9. 对于插值型积分公式，其积分节点越多，积分精度 不确定 。

(越高，越低，不确定)10.对于微分方程初值问题()2,01y xy y '=-=，取步长0.1h =，则其显式Euler 方法的计算公式为()10.201n n n n y y x y y +=-⎧⎨=⎩二、判断题：错误用“×”、正确用“√”示意（10分，每小题2分）1. 解线性方程组Ax b =的迭代法收敛的充分必要条件为()1A ρ< （ × ）2. 如果线性方程组Ax b =中矩阵A 为严格对角占优矩阵，那么对于任意迭代格式都是收敛的。

（ × ）3. 只要插值节点是互异的，则一定存在唯一的插值多项式满足插值条件。

（ √ ）4. 曲线拟合比三次样条插值好的一个原因是曲线拟合的计算量小。

西安电子科技大学何超电磁场数值分析考点1: 矩量法的一般过程（算子方程、离散化过程、选配过程、矩阵方程求解）。

给定算子方程和基函数，采用伽略金法，计算阻抗矩阵和激励电压矩阵,从而求得电流系数矩阵,即得到方程的近似解. (矩阵维数一般为2×2，或3×3，便于计算）。

1http://wenku.baidu。

com/link？url=oRwkn_6gajdEKC3YUFvvipOKLuZJXnVk43odUwyDWYRaonT1SlZLKEq9PCQba5xPYg _7mXpK8pZW0R—_RfT5EOXLvj0BKqKmQ6cfXMuW8P7有3个矩量法例题考点2：ScaLAPACK 的矩阵分布方式.给定进程网格，矩阵分块大小，要求能写出按ScaLAPACK矩阵分布方式，每个进程对应的矩阵元素。

？1 并行矩阵填充在PC集群系统中MPI并行矩量法研究36 37考点3：temporary block column 对active block column 分解产生的影响.对于当前活动列块（即正在进行LU分解的列块），要能够分析其左侧临时列块对其LU分解所产生的影响。

?英文书写得很详细了啊45-—55有lu分解将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵。

当A 的所有顺序主子式都不为0时,矩阵A可以分解为A=LU，且当L的对角元全为1时分解唯一.其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。

4阶矩阵的LU分解［1］高斯消元法见数值分析教材考点4：积分方程的建立要求掌握EFIE 、MFIF 、PMCHW（电场、磁场、表面积分方程）根据等效原理建立的过程，即对于给定的问题（PEC （理想导体）或介质）能根据等效原理建立积分方程（不要求写出场的位函数表达式,主要考察方程建立的思想）.看矩量法的书那个英文书只有EFIE等效原理EFIE考点 5：RWG 基函数考察 RWG 基函数的 表达式，以及其 特点，对于给定的一个三角形网格图要能够标出哪些地方（ 公共边上） 存在基函数。

电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时）课程名称 图论及应用 教师 学时 60 学分 3 教学方式 堂上授课 考核日期 2019 年 5 月 日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题(每空3分，共15分) 1. 图G 的邻接矩阵为0111101111001100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则G 的生成树的棵数为 8 . 2. 设1G 是11(,)n m 简单图,2G 是22(,)n m 简单图,则1G 和2G 的(Cartesian)积图12G G ⨯的边数()m G =1221n m n m +. 3. 图1中最小生成树T 的权值()W T = 23 .4. 图2中S 到T 的最短路的长度为 8 .5. 设G 是n 阶简单图,且不包含三角形,则其边数一定不超过24n ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 二．单项选择题(每题3分，共15分) 学号姓名学院……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………座位号 图1 图21. 关于彼得森(Petersen)图, 下面说法正确的是 ( B )A. 彼得森图是哈密尔顿图;B. 彼得森图是超哈密尔顿图;C. 彼得森图可1-因子分解;D. 彼得森图是可平面图.2. 下面说法正确的是 ( C )A. 有割点的三正则图一定没有完美匹配;B. 有割边的三正则图一定没有完美匹配;C. 存在哈密尔顿圈的三正则图必能1因子分解;D. 正则的哈密尔顿图必能2因子分解.3. 关于图的度序列, 下面说法正确的是 ( B )A. 任意两个有相同度序列的图都同构;B. 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数小于等于图H 的边数;C. 若非负整数序列12(,,,)n d d d π=满足1ni i d =∑为偶数，则它一定是图序列;D. 如果图G 所有顶点的度和大于或等于图H 所有顶点的度和，则图G 度优于图H.4. 关于图的补图, 下面说法错误的是 ( A )A. 若图G 连通，则其补图必连通;B. 若图G 不连通，则其补图必连通;C. 图G 中的一个点独立集，在其补图中的点导出子图必为一个团;D. 存在5阶的自补图.5. 关于欧拉图, 下面说法正确的是 ( D )A. 每个欧拉图有唯一的欧拉环游;B. 每个顶点的度均为偶数的图是欧拉图;C. 欧拉图中一定没有割点;D. 欧拉图中一定没有割边.(三).(10分)若阶为25且边数为62的图G 的每个顶点的度只可能为3，4，5或6，且有两个度为4的顶点，11个度为6的顶点，求G 中5度顶点的个数。

考试时间 120 分钟一、基础部分（共40分）1.（2分）完成下列数制转换：（25.25）10 = （ ）2= （ ）16 2.（2分）将十进制数转换为相应的编码表示。

（12）10 = （ ）8421BCD= （ ）余3码3.（4分）按照反演规则和对偶规则分别写出下列函数的反函数和对偶函数。

F =AB +E̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅∙D +BC F̅ =__________________________________ F ∗=_________________________________4.（3分）按照要求写出下列函数的等价形式：5.（9分）已知某逻辑函数F 表达式如下，试完成下列内容：F =A̅C ̅+A ̅B ̅+BC +A ̅C ̅D ̅（1）在下图基础上完成该逻辑函数的卡诺图（下画线处也需要填写）（3分）。

===+=BC B A F （或与式） （与非与非式） （与或非式）（2）用卡诺图化简，写出该逻辑函数的最简与或式（2分）。

（3）根据化简结果，列出函数F的真值表（2分）。

（4）根据最简与或式画出该逻辑函数的电路图（2分）。

6.（6分）下图所示电路用于产生2相时钟信号，按照要求完成下述内容。

CQ1Q2（1）分别写出该电路的输出Q1和Q2的逻辑表达式（2分）。

（2）完成下列波形图，并说明在A 取不同值的情况下电路功能（初态为0）（4分）。

C Q Q2AQ1该电路的功能：_______________________________________________________ ____________________________________________________________________。

7.（6分）74194是双向移位寄存器，试判断下列电路的功能，并画出其状态表和状态图。

1（1）在下表中填写电路的状态表，并画出状态图（4分）状态图如下：（2）该电路的功能是:__________________________；（2分）装 订 线8.（8分）阅读如下电路，完成各项以下内容。

研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。

x1 =
2
计算，只需取D= 56 − 4 ≈55.96 四位有效数字即可保证方程的两个根均具有四位有效数 字。此时有，x1=0.01786，x2=55.98。 7 设s =
1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有±0.1 秒的误差，证明当 t 增加时 s 的绝 2
对误差增加，而相对误差减小。 证明 由于e(s) = g t e(t)，er(s) = 2 e(t) / t。而 | e(t)|≤0.1，所以，对这一问题，当t 增加 时s的绝对误差增加，而相对误差减小。
所以，计算y100 的误差界为
ε (Y100 ) ≤ δ = 0.5 × 0.001 = 5 × 10 −4
6 求方程 x – 56x + 1 = 0 的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D= b − 4ac 至少
2
2
1
要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故 D= 56 − 4 ≈55.96427，取七位有效数字。 由求根公式
2
x1 =
− b + b 2 − 4ac − 56 + 55.96427 − 0.03573 = = 2a 2 2
具有四位有效数字，而
x2 =
− b − b 2 − 4ac − 56 − 55.96427 − 111.96427 = = 2a 2 2 1 2 = x 2 56 + 56 2 − 4
则具有八位有效数字。 如果利用韦达定理，首先计算出x2，利用
2
ln( x − x 2 − 1) = − ln( x + x 2 − 1)
计算，求对数时误差有多大？ 解 令 y = x − x − 1 ，则当 x=30 时，y=30 – 29.9833=0.0167 有三位有效数字，其相对 误差为 10-3。由第一题结论，求对数时误差为 10-3。

图1一、填空题1．五个变量构成的所有最小项之和等于 ( )。

2．已知某数的二进制原码表示为 ( 110110) 2 , 则其对应的8-bit 补码表示为 ( )2。

3．已知∑=CB A F ,,)3,0(，则∑='C B A F ,,（ ）。

4．要使D 触发器按'*Q Q =工作，则D 触发器的输入D=（ ）。

5．用移位寄存器产生1101010序列，至少需要（ ）位的移位寄存器。

二、单项选择题：1. 若要将一异或门当作反相器（非门）使用，则输入端A 、B 端的连接方式是（ ）。

A. A 或B 中有一个接“0”B. A 或B 中有一个接“1”C. A 和B 并联使用D. 不能实现 2．组合电路的竞争冒险是由于（ ）引起的。

A. 电路不是最简B. 电路有多个输出C. 电路中使用不同的门电路D. 电路中存在延时3．某一逻辑函数真值表确定后，下面描述该函数逻辑功能的表达式中，具有唯一性的是（ ）。

A ．该逻辑函数的最简与或式B ．该逻辑函数的积之和标准型C ．该逻辑函数的最简或与式D ．该逻辑函数的和之积式4．若最简状态转换表中，状态数为n ，则所需状态变量数K 为 （ ）的整数．A ．n K 2log =B ．n K 2log <C ． n K 2log ≥D ． n K 2log ≤5．某计数器的状态转换图如图1所示，其该计数器的模为（ ）。

A ． 八 B. 五 C. 四 D. 三三、 组合电路分析：1．求逻辑函数 Z Y X Y X Z X F ⋅'⋅+⋅+⋅'= 的最简积之和表达式。

2．已知逻辑函数∑=ZY X F ,,)7,5,1(， 请写出该函数的标准和（最小项之和）表达式：3．找出逻辑表达式X W Y W F ⋅+'⋅'=对应的电路的所有静态冒险。

四、组合电路设计：1、试用一片三输入八输出译码器74X138和适当的与非门实现函数：∑=Z Y X W F ,,,)15,14,10,6,3(画出电路连接图。