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实数指数幂及其运算学习目标：掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。
掌握根式和有理数指数幂的意义注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件 学习重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件 学习难点：实数指数幂的运算 学习过程：一、正整数指数幂（复习）：1．()n a n N +∈的意义： n na a a a =⋅L 142432．()n a n N +∈的运算：（1）m n m n a a a +⋅= （2）()m nm na a⋅=（3）(,0)m m n n a a m n a a-=>≠ （4）()m m ma b a b ⋅=⋅二、负整数指数幂（拓展）：规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n n a a a-=≠ 三、分数指数：1．复习：问题： 2x a = 3x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展：如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根； 求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。
叫做根式，n 叫做根指数。
3．根式性质：(1) (1,)na n n N +=>∈a n a n ⎧=⎨-⎩，当为正奇数时，当为正偶数时4．分数指数幂（有理指数幂）：（1）正分数指数幂：10)n a a =>0,,,)m nma a n m N n+=>∈且为既约分数 （2）负分数指数幂：1(0,,,)m nm nmaa n m N na-+=>∈且为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a b >>，,αβ是有理数 (1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅四、无理指数幂：1、0,0a b >>，,αβ是无理数 (1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数(1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅五、典型例题：例1、（整数指数幂）化简下列各式：（1）()03.14π- （2）512-⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）()42x - （4）))10922+-（5）()32212339a b a b a b-----⋅⋅- （6）()()()()33334411aa a a aa a a----+-++-练习： 一组：（1）57x x （2）232(2)a b --- （3）23(2)()x x -- （4）13()()a ab b- （5）2222(2)()a a a a ---+÷- （6）2222()()x y x y ---÷-二组：（1）若,m n Z ∈，满足5m a =，15n b=，则25m n -=. （2）已知21na=，*()n N ∈，则33n nn na a a a ---=-（3）已知11a a --=，则66a a -+的值为 例2、（根式）求下列各式的值：（1 （2（3（4)a b <练习：求下列各式的值（1）（2（3） 63⋅ （4）若42xa=，求x xxxa a a a--+-例3(3a =-成立的实数a 的取值范围=，求实数a 的取值范围 例4．（有理指数幂）计算下列各式：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-（2）20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+（3）141030.753327(0.064)()[(2)]16|0.01|8-----+-+--（4）2110323(3)(0.002)2)8----+-+练习：计算下列各式：（1）0212121236253----⨯⨯⨯-； （2）；（3）12113142[(1](111212---+÷ （4）2111333324()3a b a b ---÷-例5．（1）已知0x >，0y >，化简y xy x x y y x（2）已知22()xxa -+=常数，求88x x -+的值练习： （1）设0x >，0y >yyx x--=，求y y x x -+的值小结：1、根式和根式的性质：2、指数幂的拓展：3、实数指数幂的运算律：4、实数指数幂的运算律的应用。
3.1.2 指数函数课堂导学三点剖析一、指数函数的定义域、值域的求法 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y=241-x ;(2)y=(32)-|x|; (3)y=4x+2x+1+1.解析：(1)∵x -4≠0,∴x≠4. ∴定义域是{x∈R |x≠4}.∵41-x ≠0,∴241-x ≠1. ∴函数的值域是{y|y>0且y≠1}. (2)定义域为R . ∵|x|≥0,∴y=(32)|x|=(23)|x|≥(23)0=1. ∴y=(32)|x|的值域是{y|y≥1}. (3)定义域是R .∵y=4x +2x+1+1=(2x )2+2·2x +1=(2x +1)2,且2x>0,∴y>1.∴y=4x +2x+1+1的值域是{y|y>1}. 温馨提示(1)由于指数函数y=a x (a>0且a≠1)的定义域是R ,所以函数y=a f(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.(2)求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性. 二、比较两个数的大小问题【例2】比较下列各题中两个值的大小. (1)(41)0.8与(21)1.8; (2)(78)73-与(87)125;(3)1.70.3与0.93.1. 思路分析：同底数的幂比较大小,要用指数函数的单调性;对于底数和指数都不同的两个幂比较大小,要找到一个中间量搭桥,判断它们的大小. 解:(1)因为(41)0.8=(21)1.6,且函数y=(21)x 在R 上是减函数,所以(21)1.6>(21)1.8,即(41)0.8>(21)1.8.(2)因为(78)73-=(87)73,且函数y=(87)x 在R 上是减函数,所以(87)73<(87)125,即(78)73-<(87)125. (3)由指数函数的性质,得1.70.3>1.70=1,又0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1. 温馨提示两个幂值比较大小,要灵活运用指数函数的单调性.同底数而指数不同的,直接用单调性比较大小;对于底数和指数都不同的幂值比较大小,需找准“中间量”通过它的联系,而确定这两个值的大小.这个“中间量”常选取0、±1等. 三、复合函数的单调性【例3】求函数y=(21)176x -x 2+的单调区间.思路分析：函数y=(21)176x -x 2+可认为由y=(21)u ,u=x 2-6x+17“复合”而成,求单调区间要综合考虑u=x 2-6x+17与y=(21)u 的性质.解:函数u=x 2-6x+17在［3,+∞)上是增函数,即对任意的x 1、x 2∈［3,+∞)且x 1<x 2,都有u 1<u 2,∴(21)1u >(21)2u ,即y 1>y 2. ∴y=(21)176x -x 2+在［3,+∞)上是减函数.同理,y=(21)176x -x 2+在(-∞,3］上是增函数.温馨提示当a>1时,函数y=a f(x)与函数f(x)的单调性相同;当0<a<1时,函数y=a f(x)与函数f(x)的单调性相反. 各个击破 类题演练1 求函数y=211+-x x 的定义域与值域.解析：定义域{x∈R ｜x≠-1},令u=11+-x x . ∵u=11+-x x =112+-x , ∴u∈R 且u≠1. ∴y=2u>0且y≠2.∴值域为{y ｜y>0且y≠2}. 变式提升1已知指数函数f(x)=a x在［-1,1］上的最大值与最小值之差为1,求a 的值.解析：当a>1时,f(x)max =a,f(x)min =a -1,由a a 1-=1,知a 2-a-1=0,∴a=251+. 当0<a<1时,f(x)max =a -1,f(x)min =a,由a1-a=1,知a 2+a-1=0, ∴a=251+-. 因此a 的值为a=215±. 类题演练2 比较y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(21)-1.5的大小. 解析：将这三个数化同底得y 1=21.8,y 2=21.44,y 3=21.5,由于y=2x在(-∞,+∞)上是增函数且1.8>1.5>1.44,∴21.8>21.5>21.44. ∴y 1>y 3>y 2. 变式提升2将下列各数从小到大排列起来:(32)21-,(53)21,332,(52)21,(23)32,(65)0,(-2)3,(35)31-.解析：∵(65)0=1,∴可先将其余的数分成三类: (1)负数:(-2)3;(2)大于0小于1的数:(53)21,(52)21,(35)31-=(53)31;(3)大于1的数:(32)21-=(23)21,332,(23)32.在(2)中,(53)21÷(52)21=(53×25)21>1,∴(53)21>(52)21.∵0<53<1,31<21,∴(53)31>(53)21.故在(2)类中,有(52)21<(53)21<(53)31.在(3)中,(32)21-=(23)21<(23)32<332.由此可得(-2)3<(52)21<(53)21<(35)-31-<(65)0<(32)21-<(23)32<332.类题演练3求函数f(x)=(21)322--x x 的单调区间.解析：由x 2-2x-3≥0,得x≥3或x≤-1.又知g(x)=x 2-2x-3在［3,+∞)上是增函数, 在(-∞,-1］上是减函数. 又∵21<1,∴f(x)的递增区间为(-∞,-1］,递减区间为［3,+∞). 变式提升3方程2ax 2-x-1=0(a≠0)在［-1,1］上有且仅有一个实根,求函数y=a xx +-23(a>0且a≠1)的单调区间.解析：设f(x)=2ax 2-x-1.在［-1,1］上方程有且仅有一个实根, f(-1)f(1)≤0,即2a·(2a -2)≤0, ∴0≤a≤1.∵a>0,a≠1,∴0<a<1. y=axx +-23中,设u=-3x 2+x=-3(x 61-)2+121. y=a u是减函数,当x∈(-∞,61］时,u 是增函数, ∴y=axx +-23是减函数.当x∈［61,+∞)时,u 是减函数,∴y=a x x +-23是增函数. ∴该函数的单调增区间为［61,+∞),单调减区间为(-∞,61］.。
高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.1 实数指数幂及其运算学案新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.1 实数指数幂及其运算学案新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1.1 实数指数幂及其运算预习导航1n ＝1na思考1 根式与分数指数幂互化的条件是什么？提示：(1）引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即1na ,这时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然1na 是m na 当m ＝1时的特例．(2)分数指数幂的意义来源于根式,n ∈N ＋，且n >1都有意义，必须限定a>0，否则，当a＝0时，若m＝0或mn是分母为偶数的负分数,mna没有意义；当a〈0时,若m为奇数，n为偶数，mna没有意义．2．根式的性质(1）n＝a(n>1，且n∈N＋）；, ,1,,n.a n n n Na n n N+>∈⎧⎪⎨∈⎪⎩为奇数，且为偶数，且>1,思考2n?请举例说明．提示：n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性来决定:①当n为大于1的奇数时，a∈R.例如，3＝27，5＝－32,7＝0；②当n为大于1的偶数时，a≥0.例如,)4＝27，2＝3，)6＝0；若a〈0,式子n无意义．例如，2,4均无意义．因此,只要n有意义，其值恒等于a，即n＝a。
第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算【目标要求】1． 理解根式的概念。
2． 理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。
3． 掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。
4． 掌握用计算器计算有理指数幂的值。
【巩固教材——稳扎马步】 1．下列说法中正确的是( )A.-2是16的四次方根B.正数的 次方根有两个C. 的 次方根就是D.2．下列等式一定成立的是( )A ．2331a a ⋅=a B ．2121a a⋅-=0 C ．（a 3）2=a 9 D.613121a a a =÷3. 431681-⎪⎭⎫⎝⎛的值是（ ） A.278 B.278- C.23 D.23- 4.将322-化为分数指数幂的形式为( )A ．212-B ．312- C ．212--D.652-【重难突破——重拳出击】 5. 下列各式中，正确的是 （ ）A ．100= B ．1)1(1=-- C ．74471aa=-D ．53531aa=-6.设b ≠0,化简式子()()()61531222133ab baba ⋅⋅--的结果是 （ ）A.aB.()1-ab C.1-ab D.1-a。
3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。
二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。
b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。
②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。
探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。
②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。
你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。
（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。
新课标人教版数学B ·必修（1）第三章基本初等函数(Ⅰ) 3．1指数与指数函数 3．1．1有理指数幂及其运算教学目标：根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算． 教学重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质．本小节的难点是根式的概念和分数指数幂的概念．关键是理解分数指数幂和根式的意义． 教学过程：（1）指数概念的扩充：指数的概念是由乘方概念推广而来的。
相同因数相乘个n a aaa ⋅⋅⋅=n a 导出乘方，这里的n 为正整数。
从复习初中内容开始，首先将n 推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念.（2）分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．（3）随着指数范围的扩充，幂的运算性质逐步合并且简化．正整数指数幂的运算性质如下： ①； ②；③；④；⑤．当指数的范围扩大到整数集之后，幂的运算性质可由5条合并为3条，即：①； ②； ③．这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定． 当指数的范围扩充到有理数集以至实数集后，幂的运算性质仍然是上述3条，但要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定．（4）例1:先化简再用计算机求值（1）4.1213.2)549(+- （2）11(22--+-+m m m m （其中3.8=m ）例2：已知：22121=+-aa 求下列各式的值（1）22-+a a ；（2）33-+a a ；（3）44-+a a .例3：化简：332ba ab b a 课堂练习：第97页练习A,练习B小结：本节学习了根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算．课后作业：第100页习题3-1A 第1题3．1．2指数函数（1）教学目标：1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域.(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.教学重点：指数函数的图象、性质。
高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.2 指数函数教案新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.2 指数函数教案新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 指数函数错误!教学分析有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图象以及研究指数函数的性质．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质）等．同时，编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想．2．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．3．通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质．展示函数图象,让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用．教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1。
3.1.2 指数函数
预习导航
1．指数函数的定义
函数y ＝a x
(a >0，a ≠1，x ∈R )叫做指数函数，其中x 是自变量． 思考1 函数y ＝4－x
是指数函数吗？函数y ＝4x
＋9呢？
提示：函数y ＝
4－x
＝14x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
是指数函数，函数y ＝4x
＋9不是指数函数，判断一个函数是
否为指数函数关键是看是否能化为y ＝a x
(a >0，且a ≠1)的标准形式．
思考2 在指数函数的定义中，为什么规定a >0，且a ≠1?
提示：
2．指数函数的图象和性质
(0,1)
(－∞，＋∞)上是增函数－∞，＋∞)上是减函数
特别提醒 指数函数y ＝a x
(a ＞1)在R 上为增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大值、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s
；当x ＝t 时，函数有最大值a t
.指数函数y ＝a x
(0＜a ＜1)在R 上为减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大值、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s
；当x ＝t 时，函数有最小值a t
.
思考3 指数幂a x
(a >0，且a ≠1)与1的大小关系如何？
提示：当x <0,0<a <1或x >0，a >1时，a x
>1，即指数x 和0比较，底数a 和1比较，当不等号的方向相同时，a x
大于1，简称为“同大”．
当x <0，a >1或x >0,0<a <1时，a x
<1，即指数x 和0比较，底数a 和1比较，当不等号的方向相反(异)时，a x
小于1，简称为“异小”．
因此简称为“同大异小”．
思考4 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
①y ＝2x
；②y ＝5x
；③y ＝15x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；④y ＝12x
⎛⎫
⎪⎝⎭
.
观察四个函数图象，它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？
提示：(1)指数函数y=ax(a>0，且a ≠1)恒过两个点(0,1)和(1，a)．这四个函数都经过点(0,1)，又分别经过点(1,2)，(1,5)，10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.再由函数的单调性就可以画
出四个函数的大致图象(如图)．
(2)从上图中总结出一般性结论：
①指数函数的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以它既不是奇函数也不是偶函数．
②y=a x
(a>0，且a ≠1)与y=1x
a ⎛⎫
⎪⎝⎭
(a>0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称，分析指数函数
y=a x
(a>0，且a ≠1)的图象时，需找三个关键点：(1，a)，(0,1)，（-1，
1
a
）. ③指数函数的图象永远在x 轴的上方．当a>1时，图象越接近于y 轴，底数a 越大；当0<a<1时，图象越接近于y 轴，底数a 越小．
特别提醒 ①当底数a 的大小不确定时，必须分“a >1”和“0<a <1”两种情形讨论．
②当0<a<1时，x→＋∞，y→0；当a>1时，x→－∞，y→0.当a>1时，a的值越大，图象随x增大递增的速度越快；当0<a<1时，a的值越小，图象随x增大递减的速度越快．(其中“x→＋∞”的意义是：“x趋向于正无穷大”)。
