新广东高考数学理科步步高二轮复习热点突破2.1函数、基本初等函数的图象与性质(含答案解析)

第二编 函数与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数及其表示基础自测1. 与函数f (x )=|x |是相同函数的是 （ ） A .y =2x B .y =xx2C .y =e ln xD .y =log 22x答案 A2.设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关 系的有 （ ）A .0个B .1个C .2个D .3个 答案 C3.若对应关系f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法错误的是 （ ） A .A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素 B .A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同C .B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同D .B 中的元素在A 中可能没有对应元素答案 B4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系，则有 （ ）A .都表示映射，且①③表示y 为x 的函数B .都表示y 是x 的函数C .仅②③表示y 是x 的函数D .都不能表示y 是x 的函数答案 C 5.已知f （x1）=x 2+5x ,则f (x )= .答案251xx +(x ≠0)例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式.解（1）令t =x +1,≨t ≥1，x =(t -1)2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+≦). （2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),≨f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c , 则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2. ≨⎩⎨⎧=+=22444b a a ， ≨⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,≨f (x )=x 2-x +3.例2（1）求函数f (x )=229)2(g 1xx x --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即 解得-3<x <0或2<x <3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).（2）≧y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,≨21≤2x ≤2.≨函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,≨2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例3 (12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x , 同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价-投入成本)³年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x (万元)，而出厂价为1.2(1+0.75x ) (万元)， 销售量为1 000(1+0.6x )(辆).故利润y =［1.2×(1+0.75x )-(1+x )］×1 000×(1+0.6x ), 4分 整理得y =-60x 2+20x +200 (0<x <1). 6分 （2）要保证本年度利润比上一年有所增加，则y -(1.2-1)×1 000>0, 8分 即-60x 2+20x +200-200>0,即3x 2-x <0. 10分 解得0<x <31，适合0<x <1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0<x <31. 11分答 （1）函数关系式为y =-60x 2+20x +200 (0<x <1). （2）投入成本增加的比例x 的范围是(0,31) 12分例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x（1）画出函数的图象；（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值.解 （1）分别作出f (x )在x >0,x =0, x <0段上 的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1, f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）；（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x2+1=t ，则x =12-t ，≨f （t ）=lg 12-t ，≨f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+≦).（2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17，≨a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x 1）=3x ， ①把①中的x 换成x1，得2f （x1）+f （x ）=x 3 ② ①×2-②得3f （x ）=6x -x3，≨f （x ）=2x -x1.2. 求下列函数的定义域： （1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x，得≨定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,251120120432x ，x x ，x x x 得≨定义域为（-21,0）∪（0,25）.3.等腰梯形ABCD 的两底分别为AD =2a ，BC =a ，∠BAD =45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM =x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域. 解 作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足， 依题意，则有AH =2a ，AG =23a .（1）当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB ，≧AM =x ，∠BAD =45°. ≨MN =x .≨y =S △AMN =21x 2（0≤x ≤2a ）.（2）当M 位于HG 之间时， 由于AM =x ，≨MN =2a ，BN =x -2a .≨y =S 直角梯形AMNB =221a ∙［x +（x -2a ）］=21ax -).232(82a x a a≤<（3）当M 位于点G 的右侧时，≧AM =x ，MN =MD =2a -x . ≨y =S 梯形ABCD -S △MDN =).223(45221)44(2143)2(21)2(221222222a x a a ax xx ax aa x a a a a ≤<-+-=+--=--+∙综上：y =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x aax a x x2,2345221.23,28212,02122224.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形。

第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质(推荐时间：40分钟)一、选择题1．下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( ) A ．f (x )＝12B ．f (x )＝x 2－4x ＋4C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x答案 C解析 函数f (x )满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”等价于x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)的值的符号相同，即可化为f x 1 －f x 2x 1－x 2>0，表示函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由此可得只有函数f (x )＝2x 符合．故选C.2．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )答案 D解析 方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a 递增较慢，所以选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．3．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于( ) A.1lg 2 B ．－1lg 2 C ．lg 2 D ．－lg 2 答案 D解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln b B ．0.3a >0.3b C ．1122a b > D.3a >3b答案 D解析 因为a >b ，而对数的真数为正数，所以ln a >ln b 不一定成立； 因为y ＝0.3x 是减函数，又a >b ，则0.3a <0.3b ，故B 错；因为y ＝12x 在(0，＋∞)是增函数，又a >b ，则1122a b >不一定成立，故C 错； y ＝13x 在(－∞，＋∞)是增函数，又a >b ，则1133a b >，即3a >3b 成立，选D. 5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 答案 B解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0， 即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0，|x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4. 于是有{x |f (x －2)>0}＝{x |x <0或x >4}，故选B. 6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0)D ．[－2,0)答案 A解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.7．下列函数中，与函数f (x )＝2x －1－12x ＋1的奇偶性、单调性均相同的是()A ．y ＝e xB ．y ＝ln(x ＋x 2＋1)C ．y ＝x 2D ．y ＝tan x答案 B解析 因为函数f (x )＝2x －1－12x ＋1＝12(2x －12x )，可知函数f (x )在定义域上是奇函数，且单调递增，y ＝e x 为非奇非偶函数，y ＝x 2为偶函数，y ＝tan x 在定义域上是奇函数，但不单调递增，只有y ＝ln(x ＋x 2＋1)在定义域上是奇函数，且单调递增，故选B.8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2]答案 C解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )．∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，选C. 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13e x x ≥2f x ＋1 x <2 ，则f (ln 3)＝________.答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e.10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －a ，x ≥a －x x －a ，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________． 答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)，f (7)＝f (4＋3)＝f (3)， f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)．又f (x )在[0,2]上为增函数． 所以作出其在[0,4]上的图象知 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋ －1 x2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋ －1 x ＋12＋1＋ －1 x 2＝1＋ －1 x ＋1＋ －1 x2＝1，③正确．14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x )＝e x ＋e －x②f (x )＝ln5－x5＋x③f (x )＝tan x2④f (x )＝4x 3＋x答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

第二编 函数与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数及其表示基础自测1. 与函数f (x )=|x |是相同函数的是 （ ） A .y =2x B .y =xx 2 C .y =eln xD .y =log 22x答案A2.设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关 系的有 （ ）A .0个B .1个C .2个D .3个 答案C3.若对应关系f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法错误的是 （ ） A .A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素 B .A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同C .B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同D .B 中的元素在A 中可能没有对应元素答案B4.如图所示，①②③三个图像各表示两个变量x ,y 的对应关系，则有 （ ）A .都表示映射，且①③表示y 为x 的函数B .都表示y 是x 的函数C .仅②③表示y 是x 的函数D .都不能表示y 是x 的函数答案C5.已知f （x1）=x 2+5x ,则f (x )= . 答案251x x (x ≠0)例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式.解（1）令t =x +1,∴t ≥1，x =(t -1)2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(g 1xx x --（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域.解 （1）,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即-3＜x ＜0或2＜x ＜ 3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).（2）∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x ≤2.∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤ 4. 故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例3 (12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x , 同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x (万元)，而出厂价为1.2(1+0.75x ) (万元)，销售量为1 000(1+0.6x )(辆).故利润y =［1.2×(1+0.75x )-(1+x )］×1 000×(1+0.6x), 4整理得y =-60x 2+20x +200 (0＜x ＜1). 6分 （2则y -(1.2-1)×1 000＞0, 8即-60x 2+20x +200-200＞0,即3x 2-x ＜0. 10分0＜x ＜31，适合0＜x ＜ 1. 故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x 的取值范围是0＜x ＜31. 11分答 （1）函数关系式为y =-60x 2+20x +200 (0＜x ＜1). （2）投入成本增加的比例x 的范围是(0,31). 12分 例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x （1）画出函数的图像（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值.解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上的图像，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x（3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）. 解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t∴f （t ）=lg12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x+17∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ，把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1.2.（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;（2）y =log (2x +1)(32-4x).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).（2）由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,251120120432x ，x x ，x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.3.等腰梯形ABCD 的两底分别为AD =2a ，BC =a ，∠BAD =45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM =x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域.解 作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G依题意，则有AH =2a，AG =23a.（1）当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB由于AM =x ，∠BAD =45°. ∴MN =x .∴y =S △AMN =21x 2（0≤x ≤2a）.（2）当M 位于HG由于AM =x ，∴MN =2a ，BN =x -2a.∴y =S 直角梯形AMNB =221a ∙［x +（x -2a ）］=21ax -).232(82a x a a ≤<（3）当M 位于点G由于AM =x ，MN =MD =2a -x . ∴y =S 梯形ABCD -S △MDN=).223(45221)44(2143)2(21)2(221222222a x a a ax x x ax a a x a a a a ≤<-+-=+--=--+∙ 综上：y =⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-+-⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈a a x a ax x a a x a ax a x x 2,2345221.23,28212,02122224.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形.设直线x =t (0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f (t ),则函数y =f (t )的图像（如下图所示）大致是 （ ）答案D一、选择题1.下列函数中，与函数y =x 相同的函数是 （A .y =x x 2B .y =(x )2C .y =lg10xD .y =x2log2答案C2.设M ={x |-2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图像可以是图中的（ ）答案B3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 （A .1B .2C .3 D.4答案C4.已知f (2211)11x x x x +-=+-，则f(x )的解析式可取为 （ ）A .21x x+ B .-212x x+ C .212x x + D .-21x x +答案C5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 （ ）A .（-∞,-31）B .（-31,31）C .（-31，1）D .（-31,+答案C6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=2,则f (-3)等于（A .2B .3C .6 D.9答案C二、填空题7.已知函数f (x ),g (x)则f ［g (1)］的值为 ，满足f ［g (x )］＞g ［f (x )］的x 的值是. 答案 1 28.已知函数ϕ(x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ(31)=16, ϕ(1)=8, 则ϕ(x )= . 答案 3x +x5三、解答题 9.求函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域.解 由,110010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、b ,有f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x );（2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解 （1）依题意令a =b =x ,则f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x ,而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ① 又2f (x )-f (-x )=lg(1+x ) ②两式联立消去f (-x )得3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ), ∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1). 11.如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径,且上底CD 的端点在圆周上，写出梯形周长y 关于腰长x 的函数关系式，并求出它的定义域.解 AB =2R ，C 、D 在⊙O的半圆周上，设腰长AD =BC =x ，作DE ⊥AB，垂足为E ，连接BD ，那么∠ADB 是直角， 由此Rt △ADE ∽Rt △ABD.∴AD 2=AE ×AB ，即AE =R x 22，∴CD =AB -2AE =2R -Rx 2，所以y =2R +2x +（2R -R x 2）,即y =-Rx 2+2x +4R.再由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->>0202022R x R R x x ,解得0＜x ＜2R .所以y =-R x 2+2x +4R ,定义域为（0，2R ）. 12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为5000036003-=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )=（100-500003)150)(500003----x x x ×50. 整理得f (x )=-502x +162x -21 000=-501(x -4 050)2+307 050. 所以，当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.§2.2 函数的单调性与最大（小）值基础自测1.已知函数y =f (x )是定义在R 上的增函数，则f (x )=0的根 （ ）A .有且只有一个B .有2个C .至多有一个D .以上均不对答案C2.（2008·保定联考）已知f (x )是R 上的增函数，若令F （x ）=f （1-x ）-f （1+x ），则F （x ）是R 上的 （ ）A .增函数B .减函数C .先减后增的函数D .先增后减的函数答案B3.若函数f (x )=x 2+(a 2-4a +1)x +2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是 （ ）A .［-3，-1］B .（-∞，-3］∪［-1，+∞）C .［1，3］D .（-∞，1］∪［3，+∞）答案C4.函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，其中a 、b 、c ∈R ，则a 2-3b ＜0时，f (x )是 （ ）A .增函数 B .减函数C .常数函数D .单调性不确定的函数答案A5.(2009·文登月考)若函数f (x ) =1222--+aax x 的值域为[)+∞,0，则实数a 的取值范围是 .答案(][)+∞--∞,01,例1已知函数f (x )=a x +12+-x x (a ＞1).证明：函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数.证明 方法一 任取x 1,x 2∈(-1,+∞),不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,12x x a -＞1且1x a ＞0,∴a 0)1(12112>-=--x x x x x a a a ，又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x ＞0, 于是f (x 2)-f (x 1)=a12x x a -+12121122+--+-x x x x ＞0,故函数f (x )在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 f (x )=a x +1-13+x (a ＞1), 求导数得)(x f '=a x ln a +2)1(3+x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a x ln a ＞0,2)1(3+x ＞0,)(x f '＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f (x )在（-1,+∞）上为增函数.方法三 ∵a ＞1,∴y =a x 为增函数，又y =13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数. ∴y =a x +12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数. 例2判断函数f (x )=12-x 在定义域上的单调性.解 函数的定义域为{x |x ≤-1或x ≥1}, 则f (x )= 12-x , 可分解成两个简单函数.f (x )=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时，u (x )为增函数，)(x u 为增函数.∴f （x ）=12-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u (x )为减函数，)(x u 为减函数，∴f (x )=12-x 在（-∞,-1］上为减函数. 例3（1）y =4-223x x -+;（2）y =2x -x 21-;（3）y =x +x4;(4)y =4)2(122+-++x x .解 （1）由3+2x -x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t =3+2x -x 2=4-(x -1)2.∴t ∈［0，4］，t ∈［0，2］，从而，当x =1时，y min =2.当x =-1或x =3时，y max =4.故值域为［2，4］. （2） 方法一 令x 21-=t (t ≥0),则x =212t -.∴y =1-t 2-t =-（t +)212+45.∵二次函数对称轴为t =-21,∴在［0，+∞）上y =-(t +)212+45故y max =-(0+)212+45=1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.方法二 ∵y =2x 与y =-x 21-均为定义域上的增函数，∴y =2x -x 21-是定义域为{x |x ≤21}上的增函数， 故y max =2×212121⨯--=1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］. (3)方法一 函数y =x +x4是定义域为{x |x ≠0}上的奇函数,故其图像关于原点对称,故只讨论x ＞0时,即可知x ＜0时的最值.∴当x ＞0时,y =x +x 4≥2xx 4⋅=4，等号当且仅当x =2时取得.当x ＜0时，y ≤-4,等号当且仅当x =-2时取得. 综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值. 方法二 任取x 1,x 2,且x 1＜x 2,因为f (x1)-f (x 2)=x 1+14x -(x 2+24x )=,)4)((212121x x x x x x --所以当x ≤-2或x ≥2时，f (x )递增,当-2＜x ＜0或0＜x ＜2时，f (x )递减. 故x =-2时，f (x )最大值=f (-2)=-4,x =2时，f (x )最小值=f (2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （4y =2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ,可视为动点M （x ,0）与定点A （0，1）、B （2，-2）距离之和，连结AB ，则直线AB 与x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.y min =|AB |=13)21()20(22=++-，可求得x=32时，y min =13. 显然无最大值.故值域为［13，+∞）.例4 (12分)函数f (x )对任意的a 、b ∈R ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )-1,并且当x ＞0时，f (x )＞1.（1）求证：f (x )是R（2）若f (4)=5,解不等式f (3m 2-m -2)＜3.解 （1）设x1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＞1. 2分f (x2)-f (x 1)=f ((x 2-x 1)+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-1-f (x 1)=f (x 2-x 1)-1＞0. 5分∴f （x2）＞f (x 1).即f (x )是R 上的增函数. 6分 （2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5∴f （2）=3， 8分∴原不等式可化为f (3m 2-m -2)＜f (2),∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2-m -2＜2, 10分解得-1＜m ＜34,故解集为（-1,34）. 12分1.讨论函数f （x ）=x +xa（a ＞0）的单调性.解 方法一 显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，设x 1＞x 2＞0,f (x 1)-f (x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a ）=(x 1-x 2)·（1-21x x a）.∴当0＜x 2＜x 1≤a 时，21x x a＞1, 则f （x 1）-f （x 2）＜0，即f (x 1)＜f (x 2),故f （x ）在（0，a ］上是减函数.当x 1＞x 2≥a 时，0＜21x x a＜1，则f （x 1）-f （x 2）＞0,即f (x 1)＞f (x 2), 故f （x ）在［a ，+∞）上是增函数.∵f （x ） ∴f （x ）分别在（-∞，-a ］、［a ，+f （x ）分别在［-a ，0）、（0，a ］上为减函数. 方法二 由)(x f '=1-2x a =0可得x =±a当x ＞a 时或x ＜-a 时，)(x f '＞0,∴f （x ）分别在（a ，+∞）、（-∞，-a ］上是增函数. 同理0＜x ＜a 或-a ＜x ＜0时，)(x f '＜0即f （x ）分别在（0，a ］、［-a ，0）上是减函数. 2.求函数y =21log （4x -x 2）的单调区间.解 由4x -x 2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t =4x -x 2，则y =21log t .∵t =4x -x 2=-(x -2)2+4，∴t =4x -x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.又y =21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y =21log （4x -x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).3.在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )=f (x +1)-f (x ).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x (x ＞0)台的收入函数为R (x )=3 000x -20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )=500x +4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.（1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )（2）利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )解 （1）P (x )=R(x )-C (x )=（3 000x -20x 2）-（500x +4 000）=-20x 2+2 500x -4 000（x ∈［1，100］且x ∈N ） MP (x )=P (x +1)-P (x )=-20(x +1)2+2 500（x +1）-4 000-（-20x 2+2 500x -4 000） =2 480-40x （x ∈［1，100］且x ∈N ）. （2）P (x )=-20(x -)21252+74 125，当x =62或63时，P (x )max =74 120（元）. 因为MP (x )=2 480-40x 是减函数，所以当x =1时，MP (x )max =2 440(元）. 因此，利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值. 4.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f (x )满足f ()21x x =f (x 1)-f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0. （1）求f (1)（2）判断f (x（3）若f (3)=-1,解不等式f (|x |)＜-2.解 （1）令x 1=x 2＞0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则21x x ＞1,由于当x ＞1时，f (x )＜0, 所以f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21xx ＜0,即f (x 1)-f (x 2)＜0,因此f (x 1)＜f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21xx =f (x 1)-f (x 2)f ⎪⎭⎫⎝⎛39=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. 由于函数f (x )在区间（0,+由f (|x |)＜f (9),得|x |＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x |x ＞9或x ＜-9}.一、选择题1.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是 （ ）A .（-∞,23］ B .［23，+∞） C .（-1，23］ D .［23，4） 答案D2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上 （ ）A .至少有一实根B .至多有一实根C .没有实根D .必有惟一的实根答案D3.函数y =lg(x 2+2x +m )的值域是R ,则m 的取值范围是 （ ）A .m ＞1B .m ≥1C .m ≤1D .m ∈R答案C4.函数f (x )(x ∈R )的图像如图所示，则函数g (x )=f (log a x ) (0＜a ＜1)的单调减区间是 （ ）A .［0,21］ B .（-∞,0）∪［21，+∞） C .［a ,1］ D .［a ,1+a ］答案C5.已知f (x )=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）A .（0，1）B .（0，31） C .［71，31） D .［71，1） 答案C6.设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥,1||,,1||,2x x x x g (x )是二次函数.若f (g (x ))的值域是［0,+∞）,则g (x )的值域是 （ ）A .(-∞,-1］∪［1，+∞）B .（-∞，-1］∪［0，+∞）C .［0，+∞）D .［1，+∞）答案C二、填空题7.已知y =f (x )是定义在（-2，2）上的增函数，若f (m -1)＜f (1-2m )，则m 的取值范围是. 答案 (-)32,21 8.已知下列四个命题：①若f (x )为减函数，则-f (x )为增函数；②若f (x )为增函数，则函数g (x )=)(1x f 在其定义域内为减函数；③若f (x )与g (x )均为(a ,b )上的增函数，则f (x )·g (x )也是区间（a ,b ）上的增函数；④若f (x )与g (x )在(a ,b )上分别是递增与递减函数，且g (x )≠0，则)()(x g x f 在（a ,b )上是递增函数.其中正确命题的序号是. 答案 ① 三、解答题9.已知f (x )在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,试解不等式f (x )+f (x -8)≤2. 解 根据题意，由f (3)=1,得f (9)=f (3)+f (3)=2. 又f (x )+f (x -8)=f ［x (x -8)］,故f ［x (x -8)］≤f (9).∵f （x ）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,9)8(080x x x x ，，解得8＜x ≤9.10.函数f (x )对任意的实数m 、n 有f (m +n )=f (m )+f (n ),且当x ＞0时有f (x )＞0. （1）求证：f (x )在（-∞,+∞)上为增函数；（2）若f (1)=1,解不等式f ［log 2(x 2-x -2)］＜2. （1）证明 设x 2＞x 1,则x 2-x 1＞0.∵f (x 2)-f (x 1)=f (x 2-x 1+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)＞0, ∴f (x 2)＞f (x 1),f (x )在（-∞,+∞)上为增函数. （2）解 ∵f (1)=1,∴2=1+1=f (1)+f (1)=f (2). 又f ［log 2(x 2-x -2)］＜2,∴f ［log 2(x 2-x -2)］＜f (2).∴log 2(x 2-x -2)＜2,于是⎪⎩⎪⎨⎧<-->--.060222x x x x ，∴⎩⎨⎧<<->-<,32,21x x x 或即-2＜x ＜-1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集为{x |-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}. 11.（2008·青岛调研）已知f (x )=ax x-(x ≠a). （1）若a =-2,试证f (x )在（-∞,-2）内单调递增；（2）若a ＞0且f (x )在（1,+∞）内单调递减，求a 的取值范围.（1）证明 任设x 1＜x 2＜-2,则f (x 1)-f (x 2)=.)2)(2()(22221212211++-=+-+x x x x x x xx∵(x 1+2）(x 2+2)＞0,x 1-x 2＜0,∴f (x 1)＜f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. （2）解 任设1＜x 1＜x 2,则f (x 1)-f (x 2)=.))(()(21122211a x a x x x a a x x a x x ---=---∵a ＞0,x 2-x 1＞0,∴要使f (x 1)-f (x 2)＞0,只需(x 1-a )(x 2-a )＞0恒成立， ∴a ≤1.综上所述知0＜a ≤1.12.已知函数y =f (x )对任意x ,y ∈R 均有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x ＞0时，f (x )＜0,f (1)=-32. (1)判断并证明f (x )在R上的单调性；（2）求f (x )在［-3，3］上的最值.解 （1）f (x )在R 上是单调递减函数证明如下：令x =y =0,f (0)=0,令x =-y 可得：f (-x )=-f (x ),在R 上任取x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, ∴f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2-x 1).又∵x ＞0时，f (x )＜0,∴f (x 2-x 1)＜0,即f (x 2)＜f (x 1).由定义可知f (x )在R 上为单调递减函数. （2）∵f (x )在R 上是减函数，∴f （x ）在［-3，3］上也是减函数.∴f （-3）最大，f (3)最小.f (3)=f (2)+f (1)=f (1)+f (1)+f (1)=3×（-)32=-2.∴f (-3)=-f (3)=2.即f (x )在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.§2.3 函数的奇偶性基础自测1.（2008·福建理，4）函数f （x ）=x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （-a ）的值为 （ ） A .3 B .0 C .-1 D .-2答案B2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (6)的值为 （ ） A .-1 B .0 C .1 D .2答案B3.设偶函数f (x )=log a |x -b |在（-∞,0）上单调递增，则f (a +1)与f (b +2)的大小关系为 （ ）A .f (a +1)≥f (b +2)B .f (a +1)≤f (b +2)C .f (a +1)＜f (b +2)D .f (a +1)＞f (b +2) 答案D4.已知f （x ）=122)12(+-+x a 是奇函数，则实数a 的值等于 （ ）A .1B .-1C .0D .±1答案A5.（2009·文登月考）定义域为R 的函数f (x )满足f (-4-x )=f (x +8),且y =f (x +8)为偶函数，则f (x ) （ ）A .是周期为4的周期函数B .是周期为8的周期函数C .是周期为12的周期函数D .不是周期函数答案C例1 判断下列函数的奇偶性. （1）f (x )=2211x x -⋅-;(2)f (x )=log2(x +12+x ) (x ∈R );(3)f (x )=lg|x -2|.解 （1）∵x 2-1≥0且1-x 2≥0,∴x =±1,即f (x )的定义域是{-1，1}. ∵f （1）=0，f (-1)=0,∴f (1)=f (-1),f (-1)=-f (1), 故f (x )既是奇函数又是偶函数. （2）方法一 易知f (x )的定义域为R ， 又∵f (-x )=log 2［-x +1)(2+-x ］=log 2112++x x =-log 2(x +12+x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.方法二 易知f (x )的定义域为R ，又∵f （-x ）+f （x ）=log 2［-x +1)(2+-x ］+log 2(x +12+x )=log 21=0,即f (-x )=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.（3）由|x -2|＞0，得x ≠2.∴f （x ）的定义域{x |x ≠2}关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数. 例2 已知函数f (x ),当x ,y ∈R 时，恒有f (x +y )=f (x )+f (y ).(1)求证：f (x )（2）如果x ∈R +，f （x ）＜0,并且f (1)=-21,试求f (x )在区间［-2，6］上的最值. （1）证明 ∵函数定义域为R ，其定义域关于原点对称.∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），令y =-x,∴f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0, ∴f (0)=f (0)+f (0),得f (0)=0.∴f （x ）+f （-x ）=0，得f (-x )=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.（2）解 方法一 设x ,y ∈R +，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y∴f （x +y ）-f （x ）=f （y ）.x ∈R +，f （x ）＜0,∴f (x +y )-f (x )＜0,f (x +y )＜f (x ).∵x +y ＞x ,f (x )在（0，+∞）上是减函数.又∵f （x ）为奇函数，f （0）=0∴f （x ）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f （-2）为最大值，f (6)为最小值.∵f (1)=-21,∴f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1,f (6)=2f (3)=2［f （1）+f （2）］=-3. ∴所求f (x )在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二 设x1＜x 2,且x 1,x 2∈R .则f (x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1).∵x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＜0.∴f (x 2)-f (x 1)＜0.即f (x )在R 上单调递减. ∴f （-2）为最大值，f （6）为最小值.∵f （1）=-21∴f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1,f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3.∴所求f (x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 例3（12分）已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x +2)=-f (x ).（1）求证：f (x )（2）若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )=21x ,求使f (x )=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明 ∵f （x +2）=-f （x∴f （x +4）=-f （x +2）=-［-f （x ）］=f （x ）， 2分∴f （x ）是以4为周期的周期函数. 3（2）解 当0≤x ≤1时，f (x )=21x , 设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f （-x ）=21（-x ）=-21x . ∵f (x )是奇函数，∴f （-x ）=-f （x ）, ∴-f （x ）=-21x ，即f (x )=21x. 5 故f (x )=21x (-1≤x ≤1) 6又设1＜x ＜3,则-1＜x -2＜1, ∴f (x -2)=21(x -2), 7分 又∵f （x -2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x∴-f （x ）=21（x-2∴f （x ）=-21（x -2）（1＜x ＜3）. 8分 ∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x9由f (x )=-21,解得x =-1. ∵f （x ）是以4为周期的周期函数. 故f (x )=-21的所有x =4n -1 (n ∈Z ). 10分0≤4n -1≤2 009,则41≤n ≤20051,又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 （n ∈Z ）, ∴在［0，2 009］上共有502个x 使f (x )=-21. 12分1.（1）f （x ）=（x -2）xx -+22（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---xx（3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x解 （1）由xx-+22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数. （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠---.02|2|0122x ＞x ，得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f （x ）=2222)1lg(2)2()1lg(x x x x --=----.∵f （-x ）=-[]),()1lg()()(1lg 2222x f x x x x =--=---∴f （x ）为偶函数.（3）x ＜-1时，f （x ）=x +2，-x ＞1, ∴f （-x ）=-（-x ）+2=x +2=f （x ）. x ＞1时，f （x ）=-x +2-x ＜-1，f (-x )=x +2=f (x ). -1≤x ≤1时，f （x ）=0，-1≤-x ≤1f （-x ）=0=f （x ）.∴对定义域内的每个x 都有f （-x ）=f （x ）. 因此f （x ）是偶函数.2.已知函数y =f (x )的定义域为R ，且对任意a ,b ∈R ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )，且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)=-3. (1)证明：函数y =f (x )是R(2)证明：函数y =f (x )(3)试求函数y =f (x )在［m ,n ］（m ,n ∈Z ）上的值域.(1)证明 设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2,f (x 2)=f ［x 1+(x 2-x 1)］=f (x 1)+f (x 2-x 1). ∵x 2-x 1＞0,∴f (x 2-x 1)＜0.∴f (x 2)=f (x 1)+f (x 2-x 1)＜f (x 1). 故f (x )是R 上的减函数.(2)证明 ∵f (a +b )=f (a )+f (b )恒成立，∴可令a =-b =x ,则有f (x )+f (-x )=f (0)又令a =b =0,则有f (0)=f (0)+f (0),∴f (0)=0.从而任意x ∈R ，f (x )+f (-x )=0 ∴f (-x )=-f (x ).故y =f (x )是奇函数. (3)解 由于y =f (x )是R∴y =f (x )在［m ，n ］上也是减函数，故f (x )在［m ，n ］上的最大值f (x )max =f (m ),最小值f (x )min =f (n ). 由于f (n )=f (1+(n -1))=f (1)+f (n -1)= =nf (1),同理f (m )=mf (1). 又f (3)=3f (1)=-3,∴f (1)=-1,∴f (m )=-m ,f (n )=-n . ∴函数y =f (x )在［m ,n ］上的值域为［-n ,-m ］.3.设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)， 且f (1)=a ＞0. （1）求f (21)及f (41) （2）证明：f (x )（3）记a n =f (2n +)21n，求a n . （1）解 ∵对x 1、x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)∴f (x )=f ()2()2()22xf x f x x ⋅=+≥0，x ∈［0，1］. ∴f (1)=f (,)21()21()21()21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+f f ff (2)41()41()41()4141()21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+=f f f f .f (1)=a ＞0, ∴f .)41(,)21(4121a f a ==（2）证明 ∵y =f (x )的图像关于直线x =1∴f (x )=f (1+1-x )，即f (x )=f (2-x )，x ∈R . 又由f (x )是偶函数知，f (-x )=f (x )，x ∈R∴f (-x )=f (2-x )，x ∈R .将上式中-x 用x 代换，得f (x )=f (x +2)，x ∈R .这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. （3）解 由（1）知f (x )≥0，x ∈［0，1］.∵f (⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+=⋅=n n nf nn f 21)1(21)21()21=f (=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅n n f n 21)1()21…=f (⋅⋅)21()21nf n …·f (.)21()21nn f n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=又f (.2121)21(,)21n a n f a =∴=∵f (x )的一个周期是2，∴a n =f (2n +n 21)=f (n21),∴a n =a n 21.一、选择题1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的 （ ）A .充要条件B .C .必要而不充分的条件D .答案B2.（2008·重庆理，6）若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是 （ ） A .f （x ）为奇函数 B .f （x ）为偶函数C .f （x ）+1为奇函数D .f （x ）+1为偶函数答案C3.已知函数f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数，且g （x ）=f （x -1），若f （0）=2，则f （2 008）的值为（ ）A .2B .0C .-2D .±2答案 A4.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （ ） ①y =f (|x |);②y =f (-x );③y =x ·f (x );④y =f (x )+x .A .①③B .②③C .①④D .答案D5.设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 （ ） A .f (x1)＞f (-x 2) B .f (-x 1)=f (-x 2) C .f (-x1)＜f (-x 2) D .f (-x 1)与f (-x 2)大小关系答案A6.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在R 上f (x )的表达式为 （ ）A .-x (x -2)B .x (|x |-2)C .|x |(x -2)D .|x |(|x |-2)答案B二、填空题7.已知函数f (x )=g (x )+2,x ∈［-3，3］，且g (x )满足g (-x )=-g (x ),若f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N = .答案 48.f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )=3f (x )+5g (x )+2,若F (a )=b ,则F (-a )= .答案 -b +4三、解答题9.已知f (x )是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ,f (x )=f (x +1)+f (x -1)恒成立. (1)求证：f (x )是周期函数. (2)已知f (3)=2，求f (2 004).（1）证明 ∵f (x )=f (x +1)+f (x -1),∴f (x +1)=f (x )-f (x -1),则f (x +2)=f []).1()()1()()()1(1)1(--=---=-+=++x f x f x f x f x f x f x ∴f (x +3)=f [][]).(1)1(2)1(x f x f x -=-+-=++ ∴f (x +6)=f []).()3(3)3(x f x f x =+-=++ ∴f (x )是周期函数且6是它的一个周期. (2)解 f (2 004)=f (334×6)=f (0)=-f (3)=-2.10.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式.解 ∵f （x ）是奇函数，可得f (0)=-f (0),∴f (0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),∴-f （x ）=x lg （2+x ），即f （x ）=-x lg （2+x ）（x ＞0）.∴f (x )=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x即f (x )=-x lg(2+|x |)(x ∈R ). 11.已知函数f (x )=x 2+|x -a |+1,a ∈R .（1）试判断f (x )的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f (x )的最小值. 解 (1)当a =0时，函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ),此时,f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1, f (a )≠f (-a ),f (a )≠-f (-a ),此时，f (x ) 为非奇非偶函数. (2)当x ≤a 时,f (x )=x 2-x +a +1=(x -21)2+a +43, ∵a ≤21,故函数f (x )在（-∞，a ］上单调递减， 从而函数f (x )在（-∞，a ］上的最小值为f (a )=a 2+1.当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43, ∵a ≥-21，故函数f (x )在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f (x )在［a ，+∞)上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上得，当-21≤a ≤21时，函数f (x )的最小值为a 2+1. 12.设函数f (x )在（-∞,+∞)上满足f (2-x )=f (2+x )，f (7-x )=f (7+x )，且在闭区间［0，7］上，只有f (1)=f (3)=0. （1）试判断函数y =f (x )的奇偶性；（2）试求方程f (x )=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论.解 （1）由),10()()14()4()14()()4()()7()7()2()2(+=⇒-=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f从而知函数y =f (x )的周期为T =10.又f (3)=f (1)=0,而f (7)≠0,故f (-3)≠0. 故函数y =f (x )是非奇非偶函数.（2）由（1）知y =f (x )的周期为10.又f （3）=f (1)=0,f (11)=f (13)=f (-7)=f (-9)=0,故f (x )在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y =f (x )在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005，0］上有 400个解，所以函数y =f (x )在［-2 005，2 005］上有802个解.§2.4 二次函数基础自测1.方程a 2x 2+ax -2=0 (|x |≤1)有解，则 （ ）A .|a |≥1B .|a |＞2C .|a |≤1D .a ∈R答案A2.已知函数f (x )=4x 2-mx +5在区间［-2，+∞）上是增函数，则f (1)的范围是 （ ）A .f (1)≥25B .f (1)=25C .f (1)≤25D .f (1)＞25答案A3.若函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (4)=f (1),那么 （ ）A .f (2）＞f (3)B .f (3)＞f (2)C .f (3)=f (2)D .f (3)与f (2)的大小关系不能确定答案C4.若二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1,则f (x )的表达式为 （ ） A .f (x )=-x 2-x -1 B .f (x )=-x 2+x -1C .f (x )=x 2-x -1D .f (x )=x 2-x +1答案D5.（2008·湖北理，13）已知函数f （x ）=x 2+2x +a ，f （bx ）=9x 2-6x +2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f （ax +b ）=0的解集为 . 答案 ∅例1 已知f (x )=-4x 2+4ax -4a -a 2在区间［0，1］内有一最大值-5，求a 的值及函数表达式f (x ).解 ∵f （x ）=-42)2(a x --4a ，此抛物线顶点为)4,2(a a-.当2a ≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值-4-a 2.令-4-a 2=-5,得a 2=1,a =±1＜2(舍去). 当0＜2a ＜1,即0＜a ＜2时，x =2a 时，f (x )取最大值为-4a .令-4a =-5,得a =45∈(0,2).当2a≤0,即a ≤0时，f (x )在［0，1］内递减，∴x =0时，f (x )取最大值为-4a -a 2,令-4a -a 2=-5,得a 2+4a -5=0,解得a =-5,或a =1，其中-5∈（-∞，0］. 综上所述，a =45或a =-5时,f (x )在［0，1］内有最大值-5. ∴f (x )=-4x 2+5x -16105或f (x )=-4x 2-20x -5. 例2 设二次函数f (x )=x 2+ax +a ,方程f (x )-x =0的两根x 1和x 2满足0＜x 1＜x 2＜1. （1）求实数a 的取值范围； （2）试比较f (0)f (1)-f (0)与161的大小，并说明理由.解 方法一 （1）令g (x )=f (x )-x =x 2+(a -1)x +a ,则由题意可得,.2230223,223,11,00)0(,0)1(,1210,0-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧+>-<<<->⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆a a a a a g g a 或 故所求实数a 的取值范围是（0，3-22）. （2）f (0)·f (1)-f (0)=f (0)g (1)=2a 2,令h (a )=2a 2.∵当a ＞0时，h (a )单调递增，∴当0＜a ＜3-22时，0＜h (a )＜h (3-22)2(3-22)2=2(17-122)=2·,161212171<+即f (0)·f （1）-f （0）＜161. 方法二 （1）同方法一.（2）∵f （0）f （1）-f （0）=f （0）g （1）=2a 2，则由(1)知0＜a ＜3-22,∴42a -1＜122-17＜0.又42a +1＞0,于是2a 2-161=161(32a 2-1)=161 (42a -1)(42a +1)＜0, 即2a 2-161＜0,即2a 2＜161,故f (0)f (1)-f (0)=2a 2＜161. 方法三 (1）方程f (x )-x =0⇔x 2+(a -1)x +a =0由韦达定理，得x 1+x 2=1-a ,x 1x 2=a ,于是0＜x 1＜x 2＜1.2230.223,223,1,00)1)(1(,0)1()1(,0,0,021212121-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧+>-<<>⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-+->>+>∆⇔a a a a a x x x x x x x x或故所求实数a 的取值范围是（0,3-22）.（2）依题意可设g (x )=(x -x 1)(x -x 2)，则由0＜x 1＜x 2＜1,得f (0)f (1)-f (0)=f (0)g (1)=g (0)g (1)=x 1x 2(1-x 1)(1-x 2)=［x 1(1-x 1)］［x 2(1-x 2)］＜,161)21(·)21(222211=-+-+x x x x 故f (0)f (1)-f (0)＜161. 例3 （14分）已知二次函数y =f (x )的图像与x 轴交于A ，B 两点，且|AB |=23，它在y 轴上的截距为4,又对任意的x 都有f (x +1)=f (1-x ).（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图像都在直线l :y =x +c 的下方，求c 的取值范围.解 （1）方法一 ∵f （x +1）=f （1-x ），∴y =f （x ）的对称轴为x =1，又f (x )为二次函数，可设f (x )=a (x -1)2+k (a ≠0),又当x =0时，y =4,∴a +k =4,得f (x )=a (x -1)2-a +4, 令f (x )=0,得a (x -1)2=a -4. ∴x =1±,4aa - ∴|AB |=2aa 4-.6分∵|AB |=23,∴a =-2.即f (x )=-2(x -1)2+6=-2x 2+4x +4. 8分方法二 令二次函数y =f (x )的图像与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），（x 2＞x 1）, ∵f （x +1）=f （1-x ），|AB |=23.∴x 1+x 2=2，x 2-x 1=23，得x 1=1-3,x 2=1+3. 3分设二次函数f (x )=a ［x -(1-3)］［x -(1+3)］. 又f (0)=4,则a =-2.即f (x )=-2(x -1)2+6=-2x 2+4x +4. 8分(2)由条件知-2x 2+4x +4＜x +c 在x ∈R 上恒成立. 即2x 2-3x -4+c ＞0对x ∈R 恒成立. Δ=9+8（4-c ）＜0，得c ＞841, 12分 ∴c 的取值范围是（841，+∞）. 14分1.已知二次函数f （x（1）f （1+x ）=f （1-x （2）f （x ）的最大值为15（3）f （x ）=0的两根的立方和等于17，求f （x ）的解析式.解 ∵f （1+x ）=f （1-x ），∴函数f （x ）关于直线x =1对称，又f （x ）的最大值为15，故可设f （x ）=a （x -1）2+15（a ＜0). ∴f （x ）=ax 2-2ax +a +15，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=1+a15，∴x 31+x 32=（x 1+x 2）3-3x 1x 2（x 1+x 2）=23-3×2（1+a15）=2-a 90=17.∴a =-6.故所求函数的解析式为f （x ）=-6x 2+12x +9. 2.已知函数f (x )=|x 2-2ax +b | (x ∈R ).给出四个命题：①f (x )必是偶函数；②若f (0)=f (2),则f (x )的图像必关于直线x =1对称；③a 2-b ≤0，则f (x )在［a ，+∞）上是增函数；④f (x )有最小值|a 2-b |.其中正确命题的序号是 .答案3.（2009·武汉武昌区模拟）已知a 、b 、c 、d 是不全为零的实数，函数f (x )=bx 2+cx +d ,g (x )=ax 3+bx 2+cx +d ,方程f (x )=0有实数根，且f (x )=0的实数根都是g (f (x ))=0的根，反之，g (f (x ))=0的实数根都是f (x )=0的根.（1）求d（2）若a =0，求c 的取值范围.解 （1）设r 为f (x )=0的一个根，即f (r )=0,则由题意得g (f (r ))=0，于是,g (0)=g (f (r ))=0,即g (0)=d =0.所以，d =0.（2）由题意及(1)知f (x )=bx 2+cx ,g (x )=ax 3+bx 2+cx . 由a =0得b ,c 是不全为零的实数，且g (x )=bx 2+cx =x (bx +c ), 则g (f (x ))=x (bx +c )［bx (bx +c )+c ］=x (bx +c )(b 2x 2+bcx +c ).方程f (x )=0就是x (bx +c )=0. ① 方程g (f (x ))=0就是x (bx +c )(b 2x 2+bcx +c )=0. ②(ⅰ)当c =0，b ≠0时，方程①②的根都是x =0符合题意. (ⅱ)当c ≠0,b =0时，方程①②的根都是x =0符合题意. (ⅲ)当c ≠0,b ≠0时，方程①的根为x 1=0,x 2=-bc. 也都是②的根，但不是方程b 2x 2+bcx +c =0的实数根. 由题意方程b 2x 2+bcx +c =0无实数根，∴Δ=(bc )2-4b 2c ＜0,得0＜c ＜4.综上所述：c 的取值范围为［0，4）.一、选择题1.不等式f (x )=ax 2-x -c ＞0的解集为{x |-2＜x ＜1}，则函数y =f (-x )的图像为 （答案C2.若函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间（-∞，4］上是减函数，那么实数a 的取值范围是 （A .a ≥3B .a ≤-3C .a ＜5D .a ≥-3答案B3.设函数f (x )=⎩⎨⎧>≤++),0(,2),0(,2x x c bx x 若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为 （ ） A .1 B .2C .3D .4。

第4讲函数、基本初等函数I的图象与性质高考研究一、【考纲要求】1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.7．导数及其应用（1）了解导数概念的实际背景.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.（3）根据导数的定义求函数(c为常数)的导数.（4）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数.常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；, n∈N+；；; ;(a>0,且a≠1); ; (a>0,且a≠1).常用的导数运算法则：（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（6） 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. （7） 会用导数解决某些实际问题..（8） 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. （9） 了解微积分基本定理的含义. 【命题规律】二、【基础知识整合】1．函数的奇偶性：（1）定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫做偶函数；如果都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 叫做奇函数,函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称. (2)图象特征：函数()f x 是偶函数图像关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数图像关于原点对称.（3）奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且如果在0x =处有定义，有(0)0f =， 即其图像过原点（0,0）.，偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反，且()()()f x f x f x -==，这样就可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分（一半）区间上，是 简化问题的途径，切记！2.函数的单调性判断方法：（1）定义法：对于定义域内某一个区间D 内任意的12,x x ，且12x x <，若12()()f x f x < f(x)在D 上单调递增；若12()()f x f x >f(x)在D 上单调递减.（2）导数法：若函数在某个区间D 可导，如果'f (x)>0，那么函数f(x)在区间D 内单调递增；如果'f (x)<0，那么函数f(x)在区间D 内单调递减.(3)图像法：先作出函数的图像，再根据图像的上升或下降，从而确定单调区间.（4）()()()F x f x g x =+，若(),()f x g x 都是增函数，则()F x 在其公共定义域内是增函数；若(),()f x g x 都是减函数，则()F x 在其公共定义域内是减函数.()()()F x f x g x =-，若()f x 是增函数，()g x 是减函数，则()F x 在其公共定义域内是增函数；若()f x 是减函数，()g x 是增函数，则()F x 在其公共定义域内是减函数.同时要充分利用函数的奇偶性、函数的周期性、函数图象的直观性分析转化，函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用. 3．函数的图像：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成. （２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.()f x 的图像的画法：先画0x ≥时()y f x =，再将其关于y 对称，得y 轴左侧的图像.()f x 的图像画法：先画()y f x =的图象，然后位于x 轴上方的图象不变，位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折上去.()()f a x f a x +=-()y f x =的图象关于x =a 对称；()()f a x f a x +=--()y f x =的图象关于(a,0）点对称.()y f x =的图象关于x 轴对称的函数图象解析式为(y f x =-）；关于y 轴对称的函数解析式为(-y f x =）；关于原点对称的函数解析式为-(-y f x =）. (3)熟记基本初等函数的图象，以及形如1y x x=+的图象 4．周期性：（1）定义：对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()y f x =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期. f(x ）是偶函数，且图象关于1x =对称，则f(2+x)=f(-x)=f(x)，所以f(x)周期是2.5．指数函数、对数函数、幂函数的性质：幂函数y x α=图象永远过（1,1），且当0α>时，在(0,)x ∈+∞时，单调递增；当0α<时，在(0,)x ∈+∞时，单调递减.６.函数与方程 （１）方程()0f x =有实根函数()y f x =的图象与x 轴有交点函数()y f x =有零点．（２）如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c (a b)∈，，使得f (c) = 0，这个c 也就是方程f (x) = 0的根（5）函数的零点就是函数()y f x =的图象与x 轴有交点的横坐标，所以往往利用导数结合极值和单调性画出函数大致图像，并结合零点存在定理判断零点所在的区间. 7．导数的几何意义（1）函数()y f x =在点0x 处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率，则'0()k f x = （2）函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-.(3)在关于函数图象的切线问题中，如果涉及确定参数值的问题，首先设切点，然后注意三个条件的使用，其一切点在切线上，其二切点在曲线上，其三切线斜率'0()k f x =.8．导数与单调性的关系（1）若函数在某个区间D 可导，'f (x)>0 f(x)在区间D 内单调递增；'f (x)<0f(x)在区间D 内单调递减.(4)若已知单调性确定参数的范围，一种方法是结合基本函数图像或熟悉的函数的图象求解；另一种方法是转化为'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立.9．导数和函数极值、最值的关系（1）求极值的步骤：①先求'()0f x =的根0x （定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析0x 两侧导数'()f x 的符号：若左侧导数负右侧导数正，则0x 为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则0x 为极大值点.（2）对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要而不充分条件.（3）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在,a b （）内可导，则()y f x =在[,]a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点取得，所以只需比较极值点和端点函数值即得到函数的最值.（4）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域. 10．利用定积分求曲边梯形的面积 （1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积 ()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a).（2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]baS f x g x dx =-⎰三、【高频考点突破】 考点1 函数及其表示【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数ln(1)y x x =-的定义域为 （ ）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]【例3】【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．【规律方法】1、若已知解析式求函数定义域，只需列出使解析式有意义的不等式（组）即可.2、对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3、对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.【举一反三】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】设36log (1)(6)()31(6)x x x f x x --+>⎧=⎨-≤⎩满足8()9f n =-，则(4)f n +=( ) A ．2 B ．2- C ．1D ．1-考点2 函数的图象【例1】【湖北省荆门市龙泉中学2014届高三8月月考数学（理）】已知函数()()()f x x a x b =--（a b >）的图象如下面左图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数cos sin y x x x =+的图象大致为【例3】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=（ ）A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --【规律方法】1.正确的作图必须做到：①熟练掌握常见的一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数及形如(0,0)by ax a b x=+>>的函数图象；②掌握图象变换的方法来简化作图过程. 2．正确的识图是解题的关键，在观察和分析图象时，要注意图象的分布和变化趋势，要结合函数的性质，或者特殊点，以及函数值的正负来判断. 【举一反三】考点3 函数的性质【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为______. 【例3】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，2()2f x x x =-，那么当1x >时，()f x 的递增区间是（ ）A ．5[,)4+∞ B ．5(1,]4 C ．7[,)4+∞ D ．7(1,)4【规律方法】重视对函数概念和基本性质的理解，包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、图像变换、基本初等函数（载体），研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意图象（形）的作用，善于从形的角度研究函数的性质. 【举一反三】【广东省佛山市一中2014届高三10月段考（理）】已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，在(0,)+∞上单调递减，且0)3()21(>->f f ，则方程()0f x =的根的个数为_________.考点4 指数函数、对数函数、幂函数【例1】【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若2(2)()f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）(A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)- (D) (2,1)-【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知映射:f A B →，其中[0,1]A =，B R =，对应法则是121:log (2)()3xf x x →--，对于实数k B ∈，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是 ..【例3】【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c == ()f d =，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是 .【规律方法】1.对数函数的定义域为{}0x x >，指数函数的值域{}0y y >.2．熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.3. 注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题. 【举一反三】已知函数2232(0)()log (0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，则此函数的“和谐点对”有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对考点5 函数的零点【例1】【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是 （ ）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.31,2⎛⎫⎪⎝⎭【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【规律方法】1、确定函数()f x 的零点所在的区间：第一种方法是解方程()0f x =的根；第二种方法是如果方程容易解出，可转化为两个函数交点横坐标问题，通过检验交点左侧和右侧函数值的大小关系，进而得出两点所在的区间；第三种方法是利用零点存在定理.2.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.3、方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 【举一反三】【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】直线y x =与函数⎩⎨⎧<++≥=m x x x mx x f ,24,2)(2的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围（ ）A ．[1,2)- B. [1,2]- C. ]2,1(- D. [2,)+∞考点6 函数模型及其应用【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ） (A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]【例2】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【规律方法】解与函数有关的应用题一般程序为：审题建模求解反馈，审题就是理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；关键一步是设定变量，寻找其内在的等量关系或者不等关系，然后准确建立相关的函数解析式（标明定义域），再应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解决.【举一反三】【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】（本小题满分13分）预计某地区明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量)(x f （万件）近似满足：∈-+=x x x x x f )(235)(1()(N *，且12≤x ）考点7 导数的运算及其意义【例1】【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知函数x x x f 3)(3-=，若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是( )A.3-B.3C.6D.9【例2】【江西省2014届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数21()4ln 2f x x x =+，若存在满足013x ≤≤的实数0x ，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线100x my +-=垂直，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[5,)+∞B ．[4,5]C ．13[4,]3D ．(,4)-∞ 【规律方法】1.导数的几何意义是'()k f x =.2.从近几年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程以及与切线有关的问题是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义，切点既在曲线上，又在切线上.【举一反三】已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A. [0,)4πB. [,)42ππC. 3[,)4ππD. 3(,]24ππ 考点8 导数的应用（单调性、极值、最值）【例1】【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测数学】设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（ ） A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =C. 3(ln 2)2(ln3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定【例2】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】已知函数2()ln(1)f x ax x =++．（Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【规律方法】1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式'()0f x >和定义域求交集得单调递增区间；解不等式'()0f x <和定义域求交集得单调递减区间.2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.3、求函数的极值，先求'()0f x =的根0x ，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断是否有极值.4、求函数的最值和求极值类似，先求'()0f x =的根0x ，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑0x 两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.【举一反三】【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（理）】已知函数1()ln x f x x ax -=+ （1）当1a =时，求()f x 在1[,2]2上的最小值；（2）若函数()f x 在1[,+)2∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程12ln 20x x x mx -+-=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围． 考点9 定积分的计算及应用【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶 的距离（单位：m ）是（ ）125ln5+ B ．11825ln 3+ C ．425ln5+ D ．450ln2+ 【规律方法】1、求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.2、定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.【举一反三】【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x = 处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为 焦．三．错混辨析A. (1,)+∞B. (,0)-∞C. (1,)+∞(,0)-∞ D. (,)e +∞2.概念不清致误【例2】已知322()+f x x ax bx a =++在1x =处有极值为10，则a b +的值=__________.3.导数和函数单调性不清致误 【例3】已知222()2x ax a f x x+-=区间[1,)+∞是增函数，求实数a 的取值范围.。