人教B版选修22高中数学111《函数的平均变化率》同步练习

§1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率一、基础过关1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A．在[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化率D．以上都不对2．函数f(x)＝2x2－x在x＝2附近的平均变化率是( )A．7 B．7＋ΔxC．7＋2Δx D．7＋2(Δx)23．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是( )A.v＝＋Δ－ΔtB.v＝ΔΔtC.v＝t D.v＝＋Δ－ΔΔt4. 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )A．1B．－1C．2D．－25．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在[2,2.1]时间内的平均速度为( )A．0.41 B．3C．4 D．4.16．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k＝________.二、能力提升7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，则________跑得快． 8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀 率为28π3，则m 的值为________．9．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y＝x ，②y＝x 2，③y＝x 3，④y＝1x 中，平均变化率最大的是________． 10．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．11．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．12．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r(V)；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？三、探究与拓展13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？答案1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．2.1 7．乙 8．2 9．③10．解 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为 sin π2－sinπ3π2－π3＝－3π.∵2－3<1，∴3π>－3π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为－3π，且在0到π6之间的平均变化率较大．11．解 因为Δy ＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx)2， 所以函数在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率为 Δy Δx ＝－8Δx －Δ2Δx＝－8－2Δx.12．解 (1)∵V＝43πr 3，∴r 3＝3V4π，r ＝33V 4π，∴r(V)＝33V 4π.(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为－1－0＝33×14π－01≈0.62(dm/L)，函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为－2－1＝33×24π－33×14π≈0.16(dm/L)．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．13．解 山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为 h BC ＝Δy Δx ＝20－1070－50＝12，∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．。

选修2-2函数的平均变化率课时作业work Information Technology Company.2020YEAR课时作业1 函数的平均变化率时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A ．Δx ＜0B ．Δx ＞0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0【答案】 D【解析】 自变量的增量Δx 可正、可负，但不可为0.2．已知函数f (x )＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx ＝( )A ．2B ．2ΔxC ．Δx ＋2D ．(Δx )2＋2【答案】 C【解析】 先算Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－12－1＝(Δx )2＋2(Δx )，再算Δy Δx ＝Δx ＋2，从而选C.3．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)【答案】 D【解析】 当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，因变量y 的改变量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( ) A ．④B ．③C ．②D ．①【答案】 B【解析】 ①的平均变化率为1，②的平均变化率为0.69，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.5．一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )A ．3B ．4C ．4.1D ．0.41【答案】 C【解析】 Δs ＝(3＋2.12)－(3＋22)＝0.41，Δt ＝2.1－2＝0.1，所以Δs Δt ＝4.1.6．已知函数y ＝2x 2＋5的图象上一点(1,7)及其邻近一点(1＋Δx,7＋Δy )，则Δy Δx ＝( )A ．2ΔxB ．4ΔxC ．2Δx ＋4D ．4Δx ＋2【答案】 C【解析】 ∵Δy ＝2(1＋Δx )2＋5－(2×12＋5)＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4＋2Δx .二、填空题(每小题10分，共30分)7．物体运动方程为s (t )＝t 2＋3t ，则物体在时间段[2,4]上的平均速度为________．【答案】 9【解析】 平均速度＝(42＋3×4)－(22＋3×2)4－2＝9. 8．已知函数y ＝x 3，当x ＝1时，Δy Δx ＝________. 【答案】 (Δx )2＋3Δx ＋3【解析】 因为Δy ＝(1＋Δx )3－13＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx ，所以Δy Δx ＝(Δx )2＋3Δx ＋3.9．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．【答案】 283π【解析】 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴V ′＝Δy Δx ＝28π3＝283π.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)(1)求y ＝2x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．(2)求y ＝2x 2＋5在2到2＋Δx 之间的平均变化率．【分析】 函数的平均变化率的简单求解要紧扣定义式Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx进行操作．【解析】 (1)当自变量从x 0变到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝[2(x 0＋Δx )2＋1]－(2x 20＋1)Δx＝4x 0＋2Δx .(2)∵Δy ＝2(2＋Δx )2＋5－(2×22＋5)＝8Δx ＋2(Δx )2，∴平均变化率为Δy Δx ＝8＋2Δx .【规律方法】 由于平均变化率是函数值的增量与自变量的增量的比，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，就是求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值． 11．(13分)自由落体的运动方程为S ＝12gt 2，计算t 从3s 到3.1s ，3.01 s,3.001s 各段内的平均速度(位移S 的单位为m)．【解析】 设在[3,3.1]内的平均速度为v 1，则Δt 1＝3.1－3＝0.1(s)，ΔS 1＝S (3.1)－S (3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g (m)．∴v 1＝ΔS 1Δt 1＝0.305g 0.1＝3.05g (m/s)； 同理，得v 2＝3.005g (m/s)；v 3＝3.000 5g (m/s)．【规律方法】 求平均速度就是求位置增量(ΔS )与时间增量(Δt )的比．12．(14分)试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的绝对值哪一个大？【解析】 设函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率为k 1，则k 1＝cos π3－cos0π3－0＝－32π.函数y ＝cos x 在π3到π2之间的平均变化率为k 2，则k 2＝cos π2－cos π3π2－π3＝－3π.∵k 2<k 1<0，∴|k 1|<|k 2|，∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率的绝对值小于π3到π2之间的平均变化率的绝对值．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.1 函数的平均变化率课后知能检测 新人教B 版选修2-2一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12＋1－(22＋1) ＝0.41，故选B. 【答案】 B2．若已知函数f (x )＝2x 的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 的值为( )A ．4B ．4xC ．2＋ΔxD ．2【解析】Δy Δx＝21＋Δx －2Δx＝2.【答案】 D3．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间3到3＋Δt 之间的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt【解析】 平均速度等于ΔsΔt ＝3＋Δt2＋3－32＋3Δt＝6＋Δt .【答案】 A4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1、k 2的大小关系是( )A ．k 1<k 2B ．k 1>k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 ∵k 1＝ΔyΔx＝x 0＋Δx2－x 2Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝Δy Δx＝x 02－x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .又∵k 1－k 2＝2Δx ，∴k 1与k 2无法比较大小．故选D. 【答案】 D5．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】 ∵①Δy Δx ＝Δx Δx ＝1；②ΔyΔx＝1＋Δx 2－12Δx＝2＋Δx ＝2.3；③ Δy Δx ＝1＋Δx 3－13Δx＝3＋3Δx ＋Δx 2＝3.99； ④Δy Δx ＝11＋0.3－10.3＝－1013，所以平均变化率最大的是③.故选C. 【答案】 C 二、填空题6．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx ＝________.【解析】 Δy Δx ＝2＋Δx 3－2－23＋2Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12.【答案】 (Δx )2＋6Δx ＋127．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (3,2)，B (3＋Δx,2＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________．【解析】 ∵Δx ＝1，∴k ＝3＋Δx 2－32Δx ＝6Δx ＋Δx2Δx＝6＋Δx ＝7.【答案】 78．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率94，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝a 2－2a ＋3－22－2×2＋3a －2＝a ，由题意得Δy Δx ＝94，∴a ＝94.【答案】 94三、解答题9．求函数y ＝－x 2，y ＝2x ＋1，y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率，当Δx 很小时，哪一点附近的平均变化率最大？【解】 y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx )；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝Δx1＋Δx ＋1.当Δx 很小时，k 1＜0，k 2＜1，0＜k 3＜1，∴最大的是k 2，即y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率最大．10．求f (x )＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．【解】 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0Δx＝x 0＋Δx 3－x 3Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2.当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋(12)2＝194.11．2010年冬至2011年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－2所示，据图回答：图1－1－2(1)2010年11月至2010年12月间，小麦受害面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受害面积增幅最大？(3)从2010年11月到2011年2月，与从2011年1月到2011年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受害面积增幅较大？【解】 (1)在2010年11月至2010年12月间，Δs 变化不大，即小麦受害面积变化不大．(2)由图形知，在2011年1月至2011年2月间，平均变化率ΔsΔt 较大，故小麦受害面积增幅最大．(3)在t ∈[2010.11,2011.2]时，平均变化率＝S B －S A3，在t ∈[2011.1,2011.2]时，平均变化率＝S B －S C1＝S B －S C ，显然S B －S C ＞S B －S A3，∴在2011年1月至2011年2月间，小麦受害面积增幅较大.。

函数的平均变化率第1题. 2007海南、宁夏文)设函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．答案：解：的定义域为．（Ⅰ）．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．又．所以在区间的最大值为．第2题. （2002海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ第3题. （2007海南、宁夏理）设函数．（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．答案：解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为．第4题. （2007湖南理）函数在区间上的最小值是．答案：第5题. (2007湖南文)已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．答案：解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点．而，且．若，则和都是的极值点．所以，即．又由，得．故．解法二：同解法一得．因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）．当时，，当时，；或当时，，当时，．设，则当时，，当时，；或当时，，当时，．由知是的一个极值点，则．所以．又由，得，故第6题. (2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．答案：第7题. (2007江西理)设在内单调递增，，则是的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：B第8题. （全国卷I理）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围答案：解：（Ⅰ）的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．第9题. (2007全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：A第10题. (2007全国I文)设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．答案：（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为．第11题. (2007全国II理)已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．答案：解：（1）求函数的导数：．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．第12题. (2007陕西理)设函数，其中为实数．（I）若的定义域为，求的取值范围；（II）当的定义域为时，求的单调减区间．答案：解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，，即当时的定义域为．（Ⅱ），令，得．由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为．第13题. (2007浙江理)设，对任意实数，记．（I）求函数的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．答案：（I）解：．由，得．因为当时，，当时，，当时，，故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得．当时，，当时，，所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．方法二：对任意固定的，令，则，由，得．当时，．当时，，所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．（ii）方法一：．由（i）得，对任意正实数成立．即存在正实数，使得对任意正实数成立．下面证明的唯一性：当，，时，，，由（i）得，，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立．故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．方法二：对任意，，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．第14题. (2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）．答案：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，第15题. (2007安徽文)设函数，，其中，将的最小值记为．（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值．答案：解：（I）我们有．由于，，故当时，达到其最小值，即．（II）我们有．由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．第16题. 设，．（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当时，恒有答案：（Ⅰ）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（Ⅱ）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．第17题. (2007天津理)已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．答案：（Ⅰ）解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．第18题. (2007天津理)已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．答案：（Ⅰ）解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．第19题. (2007福建理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．答案：解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．（Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，．（2）当即时，，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．第20题. (2007广东文)函数的单调递增区间是．答案：第21题. (2007广东文)已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．（1）求的值；（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．答案：解：(1) 由得(2)又数列是一个首项为，公比为2的等比数列；第22题. (2007山东理)设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．答案：解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，．当时，，即在上恒成立，当时，，当时，函数在定义域上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，即，．时，由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，，，此时，综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点．（Ⅲ）当时，函数，令函数，则．当时，，所以函数在上单调递增，又．时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数取，则有．所以结论成立．第23题. (2007四川理)设函数（Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数，证明（是的导函数）；（Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。

【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章1.1第1课时函数的平均变化率课时作业新人教B版选修2-2基础矶固、选择题f X o+A x —f X o1. ------------------------------ 在表达式-- A中，A X的值不可能(A. 大于0C.等于0［答案］C［解析］A x可正，可负，但不为0,故应选C.1 2 2 S 1 + A t —S 12. 自由落体运动的公式为s(t) = q gt(g= 10m/s)，若v= A t ，则下列说法正确的是()A. v是在0〜1s这段时间内的速率B. v是从1s到(1 +A t)s这段时间内的速率C. 5A t + 10是物体在t = 1s这一时刻的速率D. 5A t + 10是物体从1s到(1 +A t )s这段时间内的平均速率［答案］D由平均速度的定义可知选 D.3. —质点运动的方程为s= 5—3t2，则在一段时间［1,1 +A t］内相应的平均速度为( )A.3A t + 6B. —3A t + 6C.3A t —6D. —3A t —6［答案］D.一 A s s1+A t —s 1［解析］—A t A t5—3 1 + A t2—5 + 3A t——3A t —6.4.1函数y— -在xx—1到x—2之间的平均变化率为()B.小于0D.大于0或小于0［解析］1 + A t —sA t=5A t + 10 ,1 A.—1 B.—-2C.—2D. 2［答案］［解析］1 2—15.函数f(x) = 2x+ 1 在区间［1,5］上的平均变化率为(11A.—5 B.11"5C. 2 D. ［答案］［解析］△ y f X2 —f X1X2—X i2△y6.在曲线y= x + 1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1 +△ x, 2 +△ y)，则△丄为(x 1A. △ x+亦 + 21B △ x—&—1C.A x+ 2D. △ x［答案］C2 2…△ y 1 + △ x +1 — 1 —1［解析］= =△ x+ 2.△ x7. 一质点的运动方程是s = 4 —2t2,则在时间段［1,1+ △ t］内相应的平均速度是(A. 2A t + 4B. —2AC. 2A t —4D. —2A［答案］D2 2"丄厂△S 4—2 1 + A t —4+ 2X1［解析］= =—2A t — 4.△t △t 1 & 在x= 1附近，取△ x = 0.3，在四个函数①y=x:②y = x2:③y = x3；④y=j中，平均变化率最大的是(A.④C.②［答案］［解析］△ x = 0.3时，①y=x在x= 1附近的平均变化率k1 = 1 ；②y= x2在x= 1附近的平均变化率k2= 2+A x = 2.3 ;③y = x3在x = 1 附近的平均变化率k s= 3 + 3A x+ ( △ x)2=3.99 :④y= 1在x= 1附近的平均变化率k4= —厂△厂x 1 +△ x 10后.二雇> k2> kA k4.故选B.［解析］由平均变化率的概念知 C 正确，故应选C.9•一物体运动方程是 s = 2t 2,则从2s 到(2 +△ t )s 这段时间内位移的增量△ s 为［答案］［解28A t + 2( A t ) A s = 2(2 + A t )2— 2(22)2=2［4 + 4A t + ( △ t ) ］ — 82=8A t + 2( A t ).10.函数f (x ) = 8x — 6在区间［m n ］上的平均变化率为 ［答案］8 ［解析］ f n — f m 8n — 6 — 8m — 6 — —8. n — m n — m11.已知函数 y = x 3— 2,当x = 2时,2［答案］(A x ) + 6A x + 12 ［解析］ 弓=2" % 人—2 — 2 + 2 = ( A x )2+ 6A x + 12.A xA x112 .函数y =护在x = 1附近，当A x = §时平均变化率为 _____________ ［答案］— 2三、解答题__ 213.求函数f (x ) = x + 3在［3,3 +A x ］内的平均变化率.2 23+A x + 3—3— 3A x6A x +=A x + 6.能力提升、选择题1.函数y = f (x )，当自变量从x o 到刘时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函 数()A. 在区间［x o , X 1］上的平均变化率B. 在X 。

第一章 1.1 第1课时一、选择题1．(2013·临沂高二检测)在表达式f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 的值不可能( ) A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0[答案] C[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选C.2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D3．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．3Δt ＋6B ．－3Δt ＋6C ．3Δt －6D ．－3Δt －6 [答案] D4．函数y ＝1x在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为( ) A ．－1B ．－12C ．－2D ．2 [答案] B5．函数f (x )＝2x ＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )A.115B ．－115C ．2D ．－2 [答案] C[解析] Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (1)5－1＝2. 6．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx＋2 B ．Δx －1Δx －1 C ．Δx ＋2 D ．Δx －1Δx＋2[答案] C[解析] Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－12－1Δx＝Δx ＋2. 7．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度是( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4[答案] D[解析] Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt ＝－2Δt －4. 8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4.故选B. 二、填空题9．一物体运动方程是s ＝2t 2，则从2s 到(2＋Δt )s 这段时间内位移的增量Δs 为________．[答案] 8Δt ＋2(Δt )2[解析] Δs ＝2(2＋Δt )2－2(22)＝2[4＋4Δt ＋(Δt )2]－8＝8Δt ＋2(Δt )2.10．函数f (x )＝8x －6在区间[m ，n ]上的平均变化率为________．[答案] 8[解析] f (n )－f (m )n －m ＝(8n －6)－(8m －6)n －m ＝8. 11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. [答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－23＋2Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 12．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时平均变化率为________． [答案] 6－2[解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2. 三、解答题13．求函数f (x )＝x 2＋3在[3,3＋Δx ]内的平均变化率．[解析] Δy Δx ＝f (3＋Δx )－f (3)Δx＝(3＋Δx )2＋3－(3)2－3Δx＝6Δx ＋(Δx )2Δx＝Δx ＋6.一、选择题1．函数y ＝f (x )，当自变量从x 0到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在[x 0，x 1]上的变化率 [答案] A2．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(Δx )2 C.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C 3．函数y ＝－x 2、y ＝1x 、y ＝2x ＋1、y ＝x 在x ＝1附近(Δx 很小时)，平均变化率最大的一个是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x[答案] C [解析] y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx )；y ＝1x在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝－11＋Δx；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 4＝11＋Δx ＋1；当Δx 很小时，k 1<0，k 2<0,0<k 4<1，∴最大的是k 3.故选C. 4．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )A ．v 0B ．Δt s (t 0＋Δt )－s (t 0) C.s (t 0＋Δt )－s (t 0)ΔtD ．s (t )t[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.二、填空题5．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x的平均变化率为________． [答案] －29[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx＝－29. 6．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．[答案] 2π＋πΔr[解析] ΔS Δr ＝(1＋Δr )2·π－π·12Δr ＝2π＋π·Δr . 7．函数y ＝cos x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时的变化率为________；在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时的变化率为________．[答案] 33－6π －3π[解析] 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，Δy Δx ＝cos π6－cos0π6－0＝33－6π；当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，Δy Δx ＝cos π2－cos π3π2－π3＝0－12π6＝－3π. 因此，y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π6和区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上的平均变化率分别是33－6π和－3π. 三、解答题8．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析] (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2， g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)(－1)－(－3)＝[－2×(－1)]－[－2×(－3)]2＝－2. (2)函数f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝(2×5＋1)－(2×0＋1)5＝2， g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2×5－(－2×0)5＝－2. 9．过曲线f (x )＝x 3上两点P (2,8)和Q (2＋Δx,8＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．[解析] ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝(2＋Δx )3－8＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx ＝Δx 3＋6Δx 2＋12Δx Δx＝Δx 2＋6Δx ＋12. 设Δx ＝0.1时割线的斜率为k 1，则k1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.。

函数的平均变化率一、选择题(共12小题，每题5分,共60分)y=x2co sx的导数为…………………………………………………………………【】A. y′=2x co sx－x2s i nxB. y′=2x co sx+x2s i nxC. y′=x2co sx－2xs i nxD. y′=x co sx－x2s i nx ……………………………………………………………………【】A. 导数为零的点确定是极值点…………………………………………………………【】B. 假设在四周的左侧，右侧，那么是极大值C. 假设在四周的左侧，右侧，那么是微小值D. 假设在四周的左侧，右侧，那么是极大值3. 曲线与坐标轴围成的面积是…………………………………【】A.4B.，的最大值是…………………………………………【】A.1B. C5. 假设10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，那么抑制弹力所做的功为…………………………………………………………【】A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J6. 给出以下命题：⑴假设，那么f(x)>0；⑵;⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，那么；其中正确命题的个数为…【】A. 1B. 2C. 3D. 07. 假设函数是R上的单调函数，那么实数m的取值范围是………【】A. B. C. D.8.设0<<b，且f (x)＝，那么以下大小关系式成立的是…………………………【】.A.f ()< f ()<f ()B. f ()<f (b)< f ()C. f ()< f ()<f ()D. f (b)< f ()<f ()9. 函数在区间内是减函数，那么应满足………………………【】Ａ．且Ｂ．且Ｃ．且Ｄ．且10. 与是定义在上的两个可导函数，假设与满足，那么与满足…………………………………………………………………………………………【】Ａ．Ｂ．为常数函数Ｃ．Ｄ．为常数函数11. (2007江苏)二次函数的导数为，，对于任意实数，有，那么的最小值为…………………………………………………………………【】Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．12. (2007江西理)设函数是上以5为周期的可导偶函数，那么曲线在处的切线的斜率为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题(共4小题，每题5分,共20分)y=2x3－3x2共有____个极值.14．为一次函数，且，那么=_______..15. 假设，那么___________.16. 函数处取得极值，并且它的图象与直线在点〔1，0〕处相切，那么函数的表达式为__ __m2.三、解答题〔共74分〕17．〔本小题总分值10分〕一物体沿直线以速度〔的单位为:秒,的单位为:米/秒〕的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?18. 〔本小题总分值12分〕曲线y = x3 + x－2 在点P0 处的切线平行直线4x－y－1=0，且点P0 在第三象限,⑴求P0的坐标; ⑵假设直线 , 且l 也过切点P0 ,求直线l的方程.19. 〔本小题总分值12分〕函数的图象关于原点成中心对称, 试推断在区间上的单调性,并证明你的结论.20．〔本小题总分值14分〕函数,函数⑴当时,求函数的表达式;⑵假设,函数在上的最小值是2 ,求的值;⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.21．〔本小题总分值12分〕设，．〔Ⅰ〕令，争辩在内的单调性并求极值；〔Ⅱ〕求证：当时，恒有．22．〔本小题总分值14分〕函数〔Ⅰ〕假设，试确定函数的单调区间；〔Ⅱ〕假设，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；〔Ⅲ〕设函数，求证：．导数及其应用?章节测试题答案一、选择题〔60分〕1－5：ABCAD 6－10：BCD B B 11—12：C B二、填空题〔16分〕13. 2 14.15. 〔或〕 16、三、解答题〔共74分〕17.解:∵当时,; 当时,.∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程=(米)18.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由得3x2+1=4，解之得x=±x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)∴直线l的方程为即.19. 解: 答f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.证明:∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称,那么f(x)是奇函数,所以a=1,b=0,于是f(x)=∴当又∵函数在上连续所以f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.20.解:⑴∵,∴当时,; 当时,∴当时,; 当时,.∴当时,函数.⑵∵由⑴知当时,,∴当时, 当且仅当时取等号.∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.⑶由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积=21. 本小题主要考察函数导数的概念与计算，利用导数争辩函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考察综合运用有关学问解决问题的力气．本小题总分值14分．〔Ⅰ〕解：依据求导法那么有，故，于是，列表如下：〔Ⅱ〕证明：由知，的微小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．22．本小题主要考察函数的单调性、极值、导数、不等式等根本学问，考察运用导数争辩函数性质的方法，考察分类争辩、化归以及数形结合等数学思想方法，考察分析问题、解决问题的力气．总分值14分．解：〔Ⅰ〕由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．〔Ⅱ〕由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．〔Ⅲ〕，，，由此得，故．数学科学段测试〔导数局部〕一、选择题〔12小题，共36分〕1、设曲线在点M处切线斜率为3，那么点M的坐标为 ( )A、〔0，－2〕B、〔1，0〕C、〔0，0〕D、〔1，1〕2、抛物线y=x2在点M〔〕的切线的倾斜角是〔〕A、30°B、45°C、60°D、90°3、将半径为的球加热，假设球的半径增加，那么球体积的平均变化率为〔〕A、 B、C、 D 、4、函数y=x3－3x在[－1，2]上的最小值为〔〕A、2B、－2C、0D、－45、设函数的导函数为，且，那么等于 ( )A、 B、 C、 D、6、曲线在点，那么过P点的切线方程为〔〕A、B、C、D、7、f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和微小值，那么a的取值范围为( )A、－1<a<2B、－3<a<6C、a<－1或a>2D、a<－3或a>68、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如以下图所示，那么导函数y=f '(x)可能为〔〕A B C D值范围是〔〕A、B、C、D、10、函数的单调递减区间是〔〕A、〔，+∞〕B、〔－∞，〕C、〔0，〕D、〔e，+∞〕11、方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是 ( )A．3 B．2 C．1 D．012、对于R上可导的任意函数f〔x〕，且假设满足〔x－1〕>0，那么必有〔〕A、f〔0〕＋f〔2〕<2f〔1〕B、f〔0〕＋f〔2〕≥2f〔1〕C、f〔0〕＋f〔2〕>2f〔1〕D、f〔0〕＋f〔2〕≥2f〔1〕二、填空题〔4小题，共16分〕13、【文】函数，那么它的单调递增区间是。

1．1.1函数的平均变化率明目标、知重点1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．1．函数的平均变化率已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx (或[x 0＋Δx ，x 0])之间的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的斜率．[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一函数的平均变化率思考1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y Bx C －x B 近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．思考2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考3平均变化率有什么几何意义？答设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率ΔyΔx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零． 例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 6.5－3.53－0＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 反思与感悟求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 答案(1)12(2)34解析(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： (1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]． 解(1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为 f (3)－f (1)3－1＝32－122＝4；(2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝22－121＝3；(3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为 f (1.1)－f (1)1.1－1＝1.12－120.1＝2.1；(4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f (1.001)－f (1)1.001－1＝1.0012－120.001＝2.001.反思与感悟函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？解在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ；对任意Δx 有，k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．思考一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 则s 1(t 0)－s 1(0)t 0<s 2(t 0)－s 2(0)t 0，所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．反思与感悟平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢． 跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)．因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数， 所以乙的经营成果比甲的好．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是() A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案B解析v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________． 答案23．已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. [呈重点、现规律]1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.。

函数的平均变化率一、选择题1.函数错误！超链接引用无效。

的导数错误！超链接引用无效.（）A。

错误！超链接引用无效。

B.错误！超链接引用无效。

C.错误！超链接引用无效。

D。

错误!超链接引用无效。

答案:D2.已知函数错误!超链接引用无效。

在错误!超链接引用无效。

处有极值，则该函数的一个错误！超链接引用无效。

递增区间是( )错误！超链接引用无效。

A.错误！超链接引用无效。

B.错误!超链接引用无效。

C。

错误！超链接引用无效. D.错误!超链接引用无效。

答案:B3。

曲线错误！超链接引用无效。

在点错误！超链接引用无效。

处的切线与错误!超链接引用无效。

轴、直线错误！超链接引用无效。

所围成的三角形的面积为( )A。

错误!超链接引用无效。

B.错误！超链接引用无效. C.错误！超链接引用无效。

D。

错误！超链接引用无效。

答案:C4.设错误！超链接引用无效。

,则错误！超链接引用无效。

的值等于( )A。

错误！超链接引用无效.错误！超链接引用无效。

B。

错误！超链接引用无效。

C。

错误！超链接引用无效.D。

错误!超链接引用无效。

答案:D5.若函错误！超链接引用无效。

数错误!超链接引用无效。

在错误！超链接引用无效.处的导数值与函数值互为相反数，则错误！超链接引用无效。

的值（)A.等于0 B。

等于1 C。

等于错误！超链接引用无效。

D.不存在答案:C6。

定积错误！超链接引用无效.分错误!超链接引用无效.的值等于( ）A.错误！超链接引用无效。

B。

错误!超链接引用无效.C。

错误！超链接引用无效。

D。

错误！超链接引用无效。

答案:A7.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为错误!超链接引用无效。

，货款的利率为错误！超链接引用无效。

，假设银行吸收的存款能全部放贷出去。

若存款利率为错误！超链接引用无效.，为使银行获得最大收益,则存款利率为（)A.0、032B.错误！超链接引用无效。

C。

0、04 D。

第一章 §1.1 课时作业1一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A. 0.40B. 0.41C. 0.43D. 0.44解析：∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 答案：B2．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )ΔtB.v ＝s (Δt )Δt C.v ＝s (t )tD.v ＝s (t ＋Δt )－s (Δt )Δt 解析：由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt，故选A. 答案：A3．已知函数f (x )＝2x 2＋3的图象上一点(1,5)与邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4＋2ΔxB ．4＋(2Δx )2C ．4xD ．4解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2＋3－(2×12＋3)＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx ，故选A. 答案：A4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：由定义可知k 1＝2x 0＋Δx ，k 2＝2x 0－Δx ，因为Δx 可正、可负但不可为0，所以k 1与k 2大小不确定．故选D.答案：D二、填空题5．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________(g ＝10 m/s 2)．解析：Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝Δs Δt＝30＋5Δt . 答案：30＋5Δt 6．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如右图，在时间段，，上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为______．解析：由平均速度的定义结合图象知v 3>v 2>v 1.答案：v 3>v 2>v 17．若正方体的棱长从x ＝1到x ＝a 时正方体的体积膨胀率为21，则a 的值为________． 解析：ΔV ＝a 3－1，∴ΔV Δx ＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21. ∴a 2＋a －20＝0.∴a ＝4或a ＝－5(舍)．答案：4三、解答题8．已知f (x )＝x 2－3x ＋5，求函数f (x )从1到2的平均变化率．解：Δx ＝2－1＝1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (2)－f (1)，＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0.∴Δy Δx ＝0.∴函数f (x )从1到2的平均变化率为0.9．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解：从出生到第3个月的时间变化量Δt ＝3－0＝3，从出生到第3个月的体重变化量ΔW＝6.5－3.5＝3，则从出生到第3个月的体重的平均变化率ΔW Δt ＝33＝1. 从第6个月到第12个月的时间变化量Δt ＝12－6＝6，从第6个月到第12个月的体重变化量ΔW ＝11－8.6＝2.4，则从第6个月到第12个月的体重平均变化率ΔW Δt ＝2.46＝0.4.。