最新 (人教A版)数学【选修2-2】1-1-3《导数的几何意义》ppt课件

Δx→0
lim
3．如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x的导数都存在，那么 称f(x)在区间(a，b)内可导．这样对开区间(a，b)内每一个值 x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构 成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的 ________，记为________，简称为________．今后，如不特别 指明某一点的导数，求导数就是指求导函数.
【解】 (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1,1)． Δy ∵y′＝ lim Δx Δx→0 x＋Δx3－x3 ＝ lim Δx Δx→0 3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3 ＝ lim Δx Δx→0 ＝ lim [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
Δx→0
∴y′|x＝1＝3. ∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0.
x2 0－6 ∴ ＝2x0，即x2 0－5x0＋6＝0，解得 5 x0－ 2 x0＝2，或x0＝3. 即切线经过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)．
故切线方程分别为 y－4＝4(来自－2)，y－9＝6(x－3)， 即4x－y－4＝0，或6x－y－9＝0为所求的切线方程．
规律技巧
求切线方程时，注意两种说法：一是在某点处
规律技巧 已知切线的斜率求切点坐标的方法步骤： (1)设出切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程得x0； (5)点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将点(x0，y0)代入求y0，从 而得切点坐标.
四
的切线方程，此时点在曲线上，且以此点为切点；二是过某点 的切线方程，如本例，此时求解时，首先要设出切点坐标，然 后求解.
三
求切点的坐标
【例3】 抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平 行，求P点的坐标及切线方程． 【分析】 首先设出切点坐标P(x0，y0)，求导函数f′(x)， 得方程k＝f′(x0)＝4.解方程得x0.代入y＝x2，得y0，从而得切线 方程．
导数几何意义的综合应用
【例4】 求曲线y＝x2在点(3,9)处的切线与两坐标轴所围 成的三角形的面积． 【分析】 由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角
三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距，代入三 角形面积公式计算．
【解】
Δy＝(3＋Δx)2－32
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
一
求曲线上某点处的切线方程
【例1】 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点． 【分析】 先求出函数y＝x3在x＝1处的导数，即切线的
斜率，然后写出切线方程，最后列方程看交点个数．
第一章
导数及其应用
§1.1 变化率与导数
1．1.3 导数的几何意义
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1.通过函数的图象直观地理解导数的几何意义． 2．会求函数在点(x0，y0)处的切线方程.
课前热身 1.几何意义：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)即为f(x)所表示的 曲线在x＝x0处的切线的斜率，即k＝f′(x0)＝ fx0＋Δx－fx0 .过点(x0，f(x0))的切线方程为________． Δx 2．物理意义：如果把函数y＝f(x)看作是物体的运动方程 (或叫位移公式)，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻t0的速 Δy 度，即在x0的________．即vx0＝f′(x0)＝ lim Δx. Δx→0
【解】
设P点的坐标为(x0，y0)，
x＋Δx2－x2 Δy ∵y′＝ lim Δx＝ lim ＝ lim (2x＋Δx)＝2x， Δx Δx→0 Δx→0 Δx→0 ∴y′|x＝x0＝2x0. 由切线与直线4x－y＋2＝0平行， 得2x0＝4，∴x0＝2. ∵P(2，y0)在抛物线y＝x2上，∴y0＝4. 故P点的坐标为(2,4)． 切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
y＝3x－1＋1， (2)由 3 y＝x
可得
(x－1)(x2＋x－2)＝0， 解得x1＝1，x2＝－2， 从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)． 说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共 点．
规律技巧 先求出函数y＝fx在x＝x0处的导数，即曲线在 该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方 程.
2．可以利用导数求曲线的切线方程．由于函数y＝f(x)在x ＝x0处的导数，表示曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．因 此，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程可如下求得： (1)求出f′(x0)，则f′(x0)就是点P(x0，f(x0))处的切线的斜 率． (2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴时(此 时导数不存在)，切线方程为x＝x0.
自 1.y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 我 2.瞬时速度 校 对 3.导函数 f′(x)(或y′x、y′) 导数
名师讲解 1.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三 者之间的区别与联系： “函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值；“导函数”简 称“导数”，是一个函数．所以求函数在某点处的导数时，一 般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．
二
求过某点的切线方程
【例2】 【分析】
5 求抛物线y＝x 过点(2，6)的切线方程．
2
5 点( 2 ，6)不在抛物线上，先设出切点坐标，求
出切线的斜率，利用等量关系，求出切点坐标，最后写出切线 方程．
【解】
2 设此切线在抛物线上的切点为(x0，x0 )，则
2 x0＋Δx2－x0 y′|x＝x0＝ lim ＝ lim (2x0＋Δx)＝2x0， Δx → Δx 0 Δx→0