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基于课程标准的学科教学设计义，能根据所给信息确定一次函数表达式.4.能画一次函数的图象，理解一次函数图象的变化情况，并利用一次函数图象解决简单的实际问题.5.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程，体会数形结合的思想方法与一次函数中k与b的实际意义.3.单元整体教学思路（教学结构图）课时教学设计课题《一次函数》第一课时课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其它1.课程标准分析1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解函数的概念；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用函数进行表述的方法.2.通过用函数表述数量关系的过程,体会建模思想,建立符号意识；能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式.6.学习活动设计教师活动学生活动环节一：创设情境、导入新课教的活动1播放洋葱数学有关函数的数学史。
学的活动1观看洋葱数学有关函数的数学史。
活动意图说明：承接上一学期变量关系的学习，让学生感受到变量之间关系的是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性。
环节二：展现背景，提供概念抽象的素材教的活动1问题 1.你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，那么变化有规律吗？摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系，右图就反映了时间t(分）与摩天轮上一点的高度h（米)之间的关系.你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当t分别取3，6，10时，相应的h是多少？给定一个t值，你都能找到相应的h值吗？问题2.在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米，一般地有经验公式2300vs ，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）.（1）公式中有几个变化的量？计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？学的活动1畅所欲言，分享体验。
举手回答：摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间的关系。
鲁教版数学九年级上册3.1《对函数的再认识》教学设计一. 教材分析《对函数的再认识》这一节的内容主要涉及函数的概念、性质以及图象。
教材通过实例让学生进一步理解函数的本质，掌握函数的表示方法，以及如何运用函数解决实际问题。
本节课的内容是九年级数学的重要内容，也是高考的考点之一。
二. 学情分析九年级的学生已经初步了解了函数的基本概念，但对其本质和应用可能还不是很清楚。
学生在学习过程中可能存在对函数图象的理解困难，以及如何将函数运用到实际问题中的问题。
因此，在教学过程中，需要帮助学生深化对函数的理解，提高其解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.能够通过实例理解函数的性质和图象。
3.能够运用函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：函数的概念、性质和图象。
2.难点：如何将函数运用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生深入理解函数的概念和性质，通过练习和讨论帮助学生掌握函数的图象，通过实际问题激发学生运用函数解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.投影仪和电脑。
3.函数图象的软件。
4.实际问题的案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出函数的概念，例如：一个物体从静止开始做直线运动，其速度v随时间t的变化可以表示为一个函数v=at。
让学生思考：这个函数有什么含义？它是如何表示物体速度随时间变化的？2.呈现（15分钟）通过教材和投影仪，呈现函数的定义和表示方法，以及函数的性质和图象。
让学生理解函数是一种数学模型，可以用来描述两个变量之间的关系。
3.操练（20分钟）让学生通过软件绘制一些简单的函数图象，例如正弦函数、余弦函数、指数函数等。
同时，让学生观察这些函数图象的性质，如单调性、周期性等。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固对函数的理解。
例如：给定一个函数的图象，让学生写出对应的函数表达式；给定一个实际问题，让学生用函数来描述。
第十二章对C语言的进一步讨论一、选择题1：Cmain()函数的参数通常是两个，第一个必须是int型，第二个必须是字符串的指针。
2：D程序的含义表明将输入的参数命令行看作字符串，将第2，4个字符串即（abcd h3）的字符个数相加，存放到len中，输出。
3：DInt*f()表示返回值是指针的函数4 ：DA,B,C选项正确，D选项中，f是指向函数的指针不能这样调用5：B函数的递归调用分为直接地归调用和间接递归调用两种，其中间接递归调用自己的称为间接递归调用6：C这是函数递归调用：Fun(7)调用后等价于7-fun(5)，又去调用fun(5)，fun(5)又相当于5-fun（3）这时程序相当于计算7-(5-fun(3)),即7-5+fun（3）, 又去调用fun(3)，fun(3)又相当于3-fun（1）,程序相当于计算7-5+3-fun(1),结果为2。
7：A这是函数递归调用：x的输入值为10，调用fun(10),相当于以下过程：fun(10)=10+fun(9);10+fun(9)=10+9+fun(8)10+9+fun(8)= 10+9+8+fun(7)10+9+8+fun(7)= 10+9+8+7+fun(6)10+9+8+7+fun(6)= 10+9+8+7+6+fun(5)..........10+9+8+7+6+5+4+3+2+fun(1)= 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1;结果为558：DA项：预处理命令不一定要放在程序开头，B：一行只能有一条预处理命令。
C 宏名可以小写，但一般用大写进行区别，D正骨俄9：Cf（x）为代参数的宏，f(8)相当于8*8，f(4)相当于4*4，同样f(4+4)相当于4+4*4+4,f(2+2) 相当于2+2*2+2所以结果是4,3.10：AF(X,Y) 为代参数的宏,F(a++,b++)相当于（a++）*(b++),结果为1211：M1+M2相当于(N*3)+(N*2),而N相当于5所以结果为25。
正比例的性质和反比例的性质正比例的性质和反比例的性质，是相反的两个性质，在学习和运用时，由于表述形式近似，只是个别关键词语的不同，极容易相互混淆，必须正确地加以区分。
正比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比，等于另一种量对应的两个数值的比。
例如：一列火车的速度每小时60千米，如果所行时间与所行路程成正比例关系，那么所行时间的任意两个数值的比，必须与对应所行路程的两个数值的比相等。
如下表：从顺向看：时间上2小时与4小时的比为2∶4=0.5；路程上2小时所行的千米数与4小时所行的千米数的比120∶240=0.5。
这两个比的比值相等，具备了正比例的性质。
具备了正比例的性质。
反比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比等于另一种量对应的两个数值比的反比。
例如：完成1200台电视机的生产任务，每天生产的台数和完成的天数成反比例关系，每天产量中任意两个数值的比，等于所对应完成天数的两个数值比的反比。
如下表：从逆向看：台数上400台与200台的比为400∶200=2；其对应天数比的反比为6∶3=2。
两个比的比值相等，具备了反比例的性质。
在比和比例这部分知识中，反比、反比例和反比例关系也是容易混淆的。
不正确区分三者的确切含义，就会在凭借概念进行判断和依据性质进行计算上，产生“后遗症”，最后还得溯本求源，从基本概念上进行澄清。
因此，从防微杜渐的角度上，一开始就结合教材进行正确区分，是非常必要的。
“反比”是与正比相对而言的，它们都不属于比例的范畴。
在两个比中，如果一个比的前项和后项，分别是另一个比的后项和前项，这两个比就叫做互为反比。
例如：3∶4的反比是4∶3；反过来，4∶3的反比是3∶4。
“反比例”是对两种相关联的量对应数值组成比的顺序而言的。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，据此写出的比例式称为反比例。
2.3 映射1．了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是否为映射．2．理解映射与函数的区别与联系．1．映射设两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的_________元素x，B中总有_______的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为_______，B中的元素y称为x的_______，记作f：x→y.映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是特殊的对应．【做一做1－1】给出下列4个对应，是映射的是( )．A．③④ B．①②C．②③ D．①④【做一做1－2】在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为( )．①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应．②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像．③集合B中可能有元素在集合A中无原像．④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个．A．①② B．②③ C．③④ D．①④2．一一映射当映射f：A→B满足：(1)A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；(2)__________中的不同元素的____也不同；(3)B中的每一个元素都有__________，那么就称映射f：A→B是——映射，——映射也叫作一一对应，一一映射是特殊的__________．原像 B 中的一些元素可能没有原像 B 中的任何元素有唯一的原像像 A 中的几个元素可能对应同一个像 A 中的任何元素有唯一的像方向性 B 到A 不一定是映射 B 到A 是一一映射【做一做2】 下列对应是集合M 到集合N 的一一映射的是( )．A ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝－1x，x ∈M ，y ∈N B ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈NC ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x，x ∈M ，y ∈N D ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N3．函数与映射函数是特殊的映射，对于映射f ：A →B ，当两个集合A ，B 均为非空________时，则从A 到B 的映射就是函数，所以函数一定是________，而映射不一定是函数．在函数中，________的集合称为函数的定义域，________的集合称为函数的值域．【做一做3】下列对应为A 到B 的函数的是( )．A ．A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |B ．A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝xD ．A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0答案：1．每一个 唯一 原像 像【做一做1－1】 C【做一做1－2】 A2．(2)A 像 (3)原像 映射【做一做2】 D 用排除法，选项A 中集合M 的元素0，在f 下，N 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；选项B 中集合M 的元素±1，在f 下的像都是1，故排除B ；选项C 中，负实数及0在f 下没有元素和它对应，应排除；故选D.3．数集 映射 原像 像【做一做3】 D 由函数的定义可知，对于选项A,0∈R ，且|0|＝0B ，故A 项中的对应不是A 到B 的函数；对于选项B,0∈Z ，且02＝0N ＋，故B 项中的对应不是A 到B 的函数；对于选项C ，当x ＜0时，如－2∈Z ，但－2无意义，故C 项中的对应不是A 到B 的函数；对于选项D ，是多对一的情形，符合函数的定义，是A 到B 的函数．1．映射f ：A →B 到底是什么？怎样理解映射的概念？剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：①映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的；③映射要求对集合A 中的每一个元素在集合B 中都有像，并且像是唯一的；A 中两个(或多个)元素可能有相同的像，这样集合A 中元素的任意性和在集合B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；映射允许集合B 中存在元素在A 中没有原像，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．2．如何理解一一映射的概念？剖析：(1)一对一：一一映射f ：A →B 中，要求原像不同，像也不同．集合A 中不同的元素在集合B 中有不同的像，集合B 中的元素都有不同的原像．(2)可逆性：若映射f ：A →B 是一一映射，则集合B 到集合A 的映射一定是一一映射f ′：B →A .题型一 判断映射【例1】下列对应是不是从A 到B 的映射？(1)A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：x →|x |；(2)A ＝{x |x ≥2，x ∈N ＋}，B ＝{y |y ≥0，y ∈Z }，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2；(3)A ＝{x |x ＞0}，B ＝{y |y ∈R }，f ：x →y ＝±x .分析：从定义出发来判断．从集合A 到集合B 的映射，是指按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应．反思：映射应满足存在性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；唯一性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应．题型二 求某一映射中的像或原像【例2】 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应的元素和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素． 分析：把x ＝2代入对应关系中可求得在B 中对应的元素，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中对应的元素可通过列方程组解出．反思：求某一映射中的像或原像，要准确地利用映射的关系，恰当地列出方程或方程组． 题型三 求映射的个数问题【例3】 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－1,0,1}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求映射f ：A →B 的个数．分析：A 中元素在f 下对应B 中的一个、两个或三个，并且满足f (a )＋f (b )＝f (c )，需分类讨论．反思：理解映射的概念是解决本题的关键；另外，依映射的定义，若集合A 中有m 个不同元素，集合B 中有n 个不同元素，则A 到B 共有n m 个映射，B 到A 共有m n 个映射．答案：【例1】 解：(1)中，当x ＝0∈A 时，|x |＝0B ，即A 中的元素0按对应法则f ：x →|x |在B 中没有像，∴(1)不是映射．(2)中，∵y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥0，∴对任意的x ，总有y ≥0.又当x ≥2，且x∈N ＋时，x 2－2x ＋2必为整数，即y ∈Z .由A ＝{x |x ≥2，x ∈N ＋}，B ＝{y |y ≥0，y ∈Z }知，当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B ，∴对A 中每一个元素x ，按对应法则f ：x →y ＝x 2－2x ＋2，在B中都有唯一的y 与之对应，∴(2)是映射．(3)中，对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y ＝±x ，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y ＝x 和y ＝－x 与之对应，∴(3)不是映射．【例2】 解：将x ＝2代入对应关系，可求出其在B 中的对应元素为(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12. 所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素为12. 【例3】 解：(1)当A 中三个元素都是对应0时，则f (a )＋f (b )＝0＋0＝0＝f (c )有1个映射．(2)当A 中三个元素对应B 中两个元素时，满足f (a )＋f (b )＝f (c )的映射有4个，分别为1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1，0＋(－1)＝－1.(3)当A 中的三个元素对应B 中的三个元素时，有2个映射，分别是(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0.因此满足题设条件的映射有7个．1 设集合A ＝{a ，b ，c }，集合B ＝R ，以下对应关系中，一定能建立集合A 到集合B 的映射的是( )．A ．对集合A 中的数开平方B ．对集合A 中的数取倒数C ．对集合A 中的数取算术平方根D ．对集合A 中的数立方2 已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中的元素的映射f 的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( )．A ．4B ．5C ．6D ．73 设集合A ，B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，像(2,1)的原像为( )．A ．(3,1) B.31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(1,3) 4 设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{a ，b ，c }，那么从集合A 到集合B 的一一映射的个数为__________．5 判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系f ：x →2x ＋1；(2)A ＝{平面内的圆}，B ＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；(3)A ＝{1,2,3,4}，B ＝1111,,,234⎧⎫⎨⎬⎩⎭，对应关系f ：x →1x .答案：1．D 当a ＜0时，对a 开平方或取算术平方根均无意义，则A ，C 项错；当a ＝0时，对a 取倒数无意义，则B 项错；由于任何实数都有立方，并且其立方仅有一个，所以对集合A 中的数立方能建立映射．2．A ∵a ∈A ，∴|a |＝1,2,3,4，即B ＝{1,2,3,4}．3．B ∵2,1,x yx y+=⎧⎨-=⎩∴3,21.2xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故应选B.4．6 集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，根据一一映射的定义可知从A到B 的一一映射有6个．5．解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f：x→2x＋1和数集B中的元素2x＋1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数．但B中的元素4,6,8没有原像，不能构成一一映射．(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应．(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射．。
对函数的进一步认识 合作与讨论1．怎样判断一个解析式是否是函数?要判断一个解析式表达的是否为函数，利用定义法便可解决．即对定义域中的任何一个值，在值域中都有唯一的函数值与它对应．2．函数y ＝x 2与S ＝t 2是同一函数吗?函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y ＝x 2与S ＝t 2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数．这是由函数的本质决定的．3．如何判断一个对应是否为映射?根据定义即可，称为定义法．对于一个A 到B 的对应，A 中的任何一个元素都对应B 中的唯一一个元素，或A 中的多个元素对应B 中的一个元素，这样的对应都是映射，而A 中的一个元素对应月中的多个元素的对应就不是映射． 可以简单地说：“一对一”“多对一”的对应是映射，“一对多”的对应不是映射．4．无究大∞是一个数吗?无穷大∞仅是一个记号，不是一个数．用－∞，＋∞作为区间一端或两端的区间称为无穷区间，如｛x ｜a ＜x ＜＋∞｝可用区间表示为（a ，＋∞）．5．如何理解符号y ＝f （x ）中的“f ”?符号y ＝f （x ）中的“f ”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f ”的含义不一样，可以形象地把函数的对应法则“f ”看作一个“暗箱”．例如y ＝f （x ）＝x 2，可以将其看作输入x ，输出x 2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用（如下图），则显然应该有f （a ）＝a 2，f （m ＋1）＝（m ＋1）2，f （x ＋1）＝（x ＋1）2．【例题】已知函数．＜，＝，＞＝)0()0()0(02)(2x x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧ 求f （2），f （－3），f ［f （－3）］的值．解：f （2）＝22＝4，f （－3）＝0，f ［f （－3）］＝f （0）＝2．点评：函数的定义域的求法．（1）由函数的解析式确定函数的定义域．在函数的解析式中，自变量可能因为参与某种运算而使其取值范围受到限制．由这种限制要求就可以确定自变量只能取值的范围，也就求得了函数的定义域．这类限制主要有：①分式的分母不能为零．②开偶次方时，被开方数必须为非负数．③对数的真数必须大于零，底数必须为非1的正数．④一些特殊函数对自变量的规定（以后学习）．（2）由实际问题确定函数的定义域．有许多函数是反映生产生活的实际问题的，因而定义域除受解析式的制约外，还必须符合实际问题的情况与要求．如有些问题要求自变量只能取正数（某些图形的边长、面积等），有些问题又要求自变量只能取正整数（以件为单位的物品或人数等）．6．函数的表示法有几种?函数的表示方法有三种，即解析法、列表法、图象法．中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数，对解析法比较容易理解．列表法、图象法也是表示函数的方法．用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时的对应值．图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况．7．函数的图象都是连续的曲线吗?这不一定，一般来说，如果自变量的取值是连续的，那么它的图象是连续的，如一次函数、二次函数，但如果自变量的取值不是连续的，那么它的图象就是一些孤立点．例如：y＝5x，（x ｛1，2，3，4｝）．有时函数的图象是由几段线段组成．8．如何由实际问题写出函数表达式?（1）阅读理解，要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质．（2）数学建模．即将应用题的材料陈述转化成数学问题，这就要抽象、归纳其中的数量关系，并恰当地把这种关系用数学式子表示出来．分段函数是一个函数还是几个函数?分段函数仍是一个函数，只不过是根据自变量的不同范围，函数的表达式不同而已．本节内容中主要包括：函数的概念、函数的表示方法、映射．突破思路1．函数是中学数学中最重要的基本概念之一，高中对函数内容的学习是初中函数知识的深化和延伸，本节中，在学习集合的基础上，用集合对应的语言对函数重新加以定义，从根本上揭示了函数的本质：由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，从而使学生认识到初中变量观点F定义的限制和重新认识函数的必要性．概念的教学是非常重要的，尤其是学生刚接触一种新的概念，教师给学生讲清楚，并通过师生的共同讨论，帮助学生深刻理解变得更为重要，要在学生的思想上、知识结构中打上深刻的烙印，否则后面的学习将会产生困难．2．函数是由其定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，并可用抽象符号f（x）来表示，由于f 所代表的对应法则不一定能用解析式表示，故本节介绍了函数的表示方法，除了解析法还有列表法和图象法，这三种表示函数的方法之间具有内在的联系．比如本节例3的数据可以用列表法给出，教学中可引导学生先列表，再求解析式，最后画图象．例4在本质上则是训练由图象求解析式的过程等，认识函数的三种表示方法之间的联系并能相互转化，是对函数概念深化理解的重要步骤．3．映射是一种特殊的对应，学习这一定义时，应注意以下几点：（1）映射是由集合A，B以及从A到B的对应关系f所确定的．（2）在映射中，集合A中的“任一元素”在集合B中都有“唯一”的象，即不会存在集合A中的某一元素a在集合B中没有象，或者不止一个象的情况．（3）在映射中，集合A与B的地位是不对等的．一般地，在映射中我们不要求B中的每一个元素都与A中的唯一元素相对应．因此，从A到B的映射与从B到A的映射是具有不同的要求的．本节由实际问题引出了对分段函数的认识，即对于自变量不同的取值范围，用不同的解析式表示同一个函数关系，故分段函数是一个函数而不是几个函数，教学中可举一些例子帮助学生理解．根据实际问题中的条件列出函数解析式的训练，是建立函数模型、研究实际问题的关键步骤，这种应用意识的培养和应用能力的提高应不断贯穿于以后的教学过程中．规律总结1．函数的三种表示法的比较（1）用解析法表示函数关系的优点是：函数的关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质．缺点是：函数值的对应关系必须通过计算才能得到，有时其计算量较大，而且并不是所有的函数关系都能用解析法表示出来．（2）用列表法表示函数关系的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时的函数的对应数值．缺点是：有时只能表示一部分的自变量与函数值的对应关系，而不能把所有的对应关系一一表示出来，而且有时所有表示的函数的性质较为隐蔽，不利于研究函数的性质．（3）用图象法表示函数关系的优点是：能直观形象地表示出函数的变化情况．缺点是：不能精确地表示自变量，对应的函数值的对应关系．2．映射是一种特殊的对应，它是研究函数的基础和工具．映射是现代数学的基本语言（如同集合一样），用它来叙述问题简洁明了．因此对于映射的学习重在准确理解和把握映射的概念．．．．．．．．．．．．上，即抓住“取元任意性、成象唯一性”这两点．映射是在函数的基础上引申、扩展的，而函数则是一个特殊的映射．一方面，我们要善于利用函数与映射这一关系来理解和解决问题，如以函数作为特例不难理解映射的概念；反过来，运用映射的语言来叙述问题就简洁明了得多．另一方面，函数与映射的这一关系正是人类对客观事物认识由低级向高级飞跃的一个缩影．因此我们应掌握这种将低级认识扩展到高级认识的思维方法，掌握了这种方法也就掌握了发明和创造的方法．3．基本方法（1）函数及其同一性（两函数“相同”）的判定两个函数当且仅当它们的定义域和对应关系完全相同时，才是同一个函数．判断函数的同一性，重要的是定义域和对应关系的实质，而不是表示它们的公式的外貌．（2）求函数定义域及定义域的应用定义域是函数的关键性特征，对于每个确定的函数，其定义域是确定的．但是，未必每个解析式都能在实数集R 上定义一个函数．例如，21x y －－＝ 就不能在R 上定义出函数来．又如x y －＝1也不是定义域为R 的函数，然而它可以定义为R 的子集（－∞，1］上的函数，这就产生了求定义域的问题．在实际寻找函数的定义域时，应当遵循下列规则：①分式的分母不应该是零；②偶次根式的根号里面的式子应该为非负数；③对数的真数应该是正的；④有限个函数的四则运算得到的函数，其定义域是这有限个函数的定义域的交集（作除法时还要排除使除式为零的x 值）；⑤对于由实际问题建立的函数，其定义域还应该受实际问题的具体条件制约．关于定义域的应用，常见的有如下几个方面：①求值域或确定函数值的变化范围；②解析式的变形或化简；③解不等式或解方程；④求函数的最值．（3）求函数的值域及值域的应用最直接的方法是由函数的定义域通过对应关系求值域，有时也可根据具体情况采用下列适当的方法或技巧：①化为二次函数，利用二次函数的最值确定所给函数的值域；②利用二次三项式的判别式求值域；③由图象，运用数形结合的方法求值域；④利用某些已知函数的值域，通过解不等式求得所给函数的值域；⑤采用换元法求值域；⑥在建立反函数概念后，可利用互为反函数的定义域与值域的互换关系求值域．（4）求函数表达式与函数记号的运用通常会遇到下列各种情形：①对于已知函数f（x）、ϕ（x），求形如f［ϕ（x）］的表达式；②已知函数表达式的类型，根据函数所具有的某些性质或约束条件确定表达式中的待定参数；③根据函数对应关系所满足的某些条件，求函数的表达式．在上述各种情形中，正确理解和运用函数记号，常常是疏通思路的关键．④函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法三种．⑤求函数的解析式的方法有：直接法、配凑法、换元法、消去法、定义法、待定系数法及特殊法等．（5）求函数值与画函数图象求函数值是学习函数概念必须掌握的最基本的但却是最重要的方法．例如画函数图象首先就要求函数值．一个函数y＝f（x）可看成有序实数对（x，y）的集合．在直角坐标系中给出以每个有序实数对为其坐标的点，所有这些点的集合就是函数的图象．函数的图象表示法奠定了数形结合的基础．。
关于幂指函数求导法则的进一步讨论
刘坤
【期刊名称】《常州工学院学报》
【年(卷),期】2004(017)006
【摘要】对幂指函数的求导法则做了进一步推广,并给出了相应的求导举例.【总页数】2页(P1-2)
【作者】刘坤
【作者单位】常州工学院理学院,江苏,常州,213002
【正文语种】中文
【中图分类】O174
【相关文献】
1.关于幂指函数求导的进一步探讨 [J], 王伟
2.幂指函数的求导法则 [J], 王志兵
3.分析幂指函数的求导方法 [J], 陈博照
4.幂指函数直接求导的一条法则 [J], 王国泰
5.幂指函数的求导法则 [J], 刘晨时
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《函数的概念及其表⽰》教案完美版《函数的概念及其表⽰》教案第⼀课时： 1.2.1 函数的概念（⼀）教学要求：通过丰富实例，进⼀步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习⽤集合与对应的语⾔来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作⽤；了解构成函数的要素；能够正确使⽤“区间”的符号表⽰某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，⽤集合与对应的语⾔来刻画函数。
教学过程：⼀、复习准备：1. 讨论：放学后骑⾃⾏车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在⼀个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每⼀个确定的值，y 都有唯⼀的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是⾃变量，y 是因变量. 表⽰⽅法有：解析法、列表法、图象法.⼆、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .⼀枚炮弹发射，经26秒后落地击中⽬标，射⾼为845⽶，且炮弹距地⾯⾼度h （⽶）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近⼏⼗年，⼤⽓层中臭氧迅速减少，因⽽出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞⾯积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常⽤恩格尔系数（⾷物⽀出⾦额÷总⽀出⾦额）反映⼀个国家⼈民⽣活质量的⾼低。
“⼋五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每⼀个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯⼀确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是⾮空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的⼀个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫⾃变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？⼀次函数(0)y ax b a =+≠、⼆次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
